2017山东省高考压轴卷
理科数学
一、
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1. 已知复数z 满足5)2(=-z i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2. 设集合{}
2320M x x x =++<，集合?
??
???≤=4)21(x x N ，则 M N = （ ）
A ．{}2x x ≥-
B ．{}1x x >-
C ．{}1x x <-
D ．{}2x x ≤- 3.设βα,是两个不同的平面，直线α⊥m ，则“β⊥m ”是“βα//”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ).
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生， 将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A ．588
B ．480
C ．450
D ．120
6.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为22log 3+， 则输出y 的值为( )
A. 7
B. 11
C. 12
D. 24
7.已知}{n a 是公差为
2
1
的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和.若1462,,a a a 成等比数列，则=5S A ．2
35 B ．35 C ．225 D ．25
8.一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点Po 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h （m ）与时间f （min ）之间的函数关系式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.设函数()f x '是()f x （x R ∈）的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-，则()()
4f x f x '>的解集是( )
A. 43ln ,??+∞ ???
B. 23ln ,??
+∞ ???C. 2,??+∞ ? ???D. 3,??+∞ ? ???
10. 已知点A 是抛物线2
14
y x =
的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．12
C 1
D 1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知向量,，满足)3,1(=，)()(-⊥+，则=|| .
12. 二项式6
1x x ?
?+ ???展开式中的常数项为 .
13. 若x ，y 满足约束条件
则目标函数z=﹣2x+y 的最小值为 ．
14.已知点P 在单位圆221x y +=上运动，点P 到直线34100x y --=与3x =的距离分别记为
1d 、2d ，则12d d +最小值为__________．
15.现定义一种运算“⊕”；对任意实数,a b ，,1
,1b a b a b a a b -≥?⊕=?-
若函数()()g x f x k =+的图象与x 轴恰有二个公共点，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16.（本小题满分12分）在ABC ?中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知b a A c 2cos 2=+. （1）求角C 的值；
（2）若2=c ，且ABC ?的面积为3，求b a ,.
17. （本小题满分12分） 在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱11A B ，1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且1
4
AF AB =
.
（1）求证：//EF 平面1BDC ； （2）求二面角1E BC D --的余弦值.
18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=. （Ⅰ）求n S 与n b ；
（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由.
19. （本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一
次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42
；两小时以上且不超过三小时还车的概率
分别为11
,24
；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．
20. （本小题满分13分） 已知直线1y x =+被圆223
2
x y +=
截得的弦长恰与椭圆
2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率2
e =． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点1(0,)3
M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，
使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分14分）已知函数ln()
()ln(),[,0),(),x f x ax x x e g x e x
-=--∈-=-其中是自然对数的底数，R a ∈．
（1）当1-=a 时，讨论函数)(x f 的单调性并求)(x f 的最小值； （2）求证:在(1)的条件下，2
1)(|)(|+
>x g x f ； （3）是否存在实数a ,使)(x f 的最小值是3，如果存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由.
1.【 答案】D 【 解析】 由题意得55(2)22(2)(2)
i z i i i i +=
==+--+，所以2z i =-，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D. 2.【 答案】A 【 解析】
由已知{|21}A x x =-<<-，{|2}N x x =≥-，所以{|2}M N x x =≥- ．故选A ． 3.【 答案】C 【 解析】
一条直线垂直于两个不同的平面，则这两个平面平行；反之也成立（面面平行的判定与性质）。故选C.
考点：充分条件和必要条件. 4. 【 答案】B 【 解析】
由三视图可知几何体为圆锥和半球的组合体.半球的半径为1，圆锥的高为为
母线长为3=，故几何体的表面积21
411352
S πππ=??+??=. 5.【 答案】B 【 解析】
根据频率分布直方图，成绩不少于60分的频率，然后根据频数=频率×总数，可求出所求.根据频率分布直方图，成绩不少于60分的学生的频率为8.0)015.0005.0(101=+?-.由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不少于60分的人数为4808.0600=?.故选B. 6.【 答案】D 【 解析】
由程序框图，22log 34x =+<，因此x 值变为222log 313log 34++=+>，此时计算
223log 3log 332228324y +==?=?=．故选D ． 7.【 答案】C
因为}{n a 是公差为
2
1
的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，1462,,a a a 成等比数列，所以2111111(5)()(13)222a a a +?=++?，解得132a =，所以535412552222
S ?=?+?=，故选C.
8.【 答案】B 【 解析】
设h （t ）=Acos ωt+B ， ∵12min 旋转一周，∴
=12，∴ω=
．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴
，解得A=﹣8，B=10．
∴h （t ）=﹣8cos t+10．
故选：B ． 9. 【 答案】D 【 解析】
根据()01f =，()()33f x f x '=-，导函数于原函数之间没有用变量x 联系，可知函数与x y e =有关，可构造函数为()321x f x e =-，()()()433f x f x f x '>=+，即()3f x >，3213x e ->，解得2
3
ln x >
，故选D 10.【 答案】C. 【 解析】
如下图所示，(0,1)A -，(0,1)F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，∴||||
sin ||||
PF PH m PAH PA PA =
==∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，
而2
1111144tan 14y x PAH x x x x +
+∠=
==+≥=，当且仅当1124x x x =?=时等号成立，
此时||||221PA PF a a -==?=
，∴1c e a =
==，故选C ．
11.【 答案】10 【 解析】
由)()(b a b a -⊥+，即22()()0a b a b a b +?-=-= ，即22
a b = ，所以||||b a === . 12.【 答案】20 【 解析】
61x x ??+ ???中的通项为61r r n r C x x -?? ???，若为常数项，则3r =，3
66120r
r n r C x C x -??== ???.
13.【 答案】-4 【 解析】
由题意作平面区域如下，
，
目标函数z=﹣2x+y 可化为y=2x+z ， 故结合图象可知，
当过点B （3，2）时， z 有最小值为﹣2×3+2=﹣4； 故答案为﹣4． 14.【
答案】5【 解析】
设()cos ,sin P θθ，则13cos 4sin 1043
2sin cos 555
d θθθ-θ--=
=+，而23cos d θ=-，所以
12d d +=485sin cos 55θθ+
-()5θ?=-，所以12d d +
最小值为5
55
-
15.【 答案】()(]{}3,28,71--?--? 【 解析】
由题意得出函数()()()
2341214x x x f x x x x ?+≥≤-?=?--<
实根，则1k -=-或23k <-<或78k ≤-<，所以k 的取值范围是()(]{}3,28,71--?--?，故答案应填()(]{}3,28,71--?--?.
16.【 答案】（1）3
π
=
C ；（2）2==b a .
【 解析】
（1）∵b a A c 2cos 2=+，∴B A A C sin 2sin cos sin 2=+， ∴)sin(2sin cos sin 2C A A A C +=+，
∴C A C A A A C sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2+=+， ∴C A A cos sin 2sin =，∴2
1cos =C . 又∵C 是三角形的内角，∴3
π
=
C .
（2）3=?ABC S ，∴33
sin 21=π
ab ，∴4=ab ，
又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a , ∴2==b a .
17.【 答案】（1）详见解析；（2
. 【 解析】
（1）设O 为AB 的中点，连结1A O ，∵1
4
AF AB =
，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点， 又∵E 为1AA 的中点，∴1//EF AO ，又∵D 为11A B 的中点，O 为AB 的中点，∴1A D OB =， 又∵1//A D OB ，∴四边形1A DBO 为平行四边形，∴1//AO BD ，又∵1//EF AO ，∴//EF BD ， 又∵EF ?平面1DBC ，BD ?平面1DBC ，∴//EF 平面1DBC ；（2）建立如图所示的坐标系， ∵12AB BC CA AA ====，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，1
4
AF AB =
， (1,0,1)E -，1
(,0,0)2
F -，(1,0,0)B ，(0,0,2)D
，1C ，
设平面1DBC 的法向量为(,,)n x y z = ， 1(,0,1)2
EF =- ，(1,0,2)BD =-
，1(1BC =- ，20BD n x z ?=-+=
，
120BC n x z ?=+=
，
不妨令1z =，则0y =，2x =，∴(2,0,1)n = ，同理可得平面1EBC
的一个法向量为(1,m =
，
||cos ,5||||m n m n m n ?<>===
?
，∴二面角1E BC D --
.
18.【 答案】（Ⅰ）2(22)
2
n n n S n n +=
=+，13n n b -=；（Ⅱ）当*4()n n N ≤∈时，2n n n n S b T a <；当*5()n n N ≥∈时，2n n n n S b T a >，理由见解析. 【 解析】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：
11
545302
109101102
a d a d ??+=???
??+=??解得122a d =??=?， 所以2(1)22n a n n =+-?=，2(22)
2
n n n S n n +=
=+ 对数列{}n b ，由已知有2121b T -=，即22213b b =+=， 所以213b b =，（*）
又由已知121n n b T +-=，可得*121(2,)n n b T n n N --=≥∈，
两式相减得112()0n n n n b b T T +----=，即*120(2,)n n n b b b n n N +--=≥∈， 整理得*13(2,)n n b b n n N +=≥∈ 结合（*）得
1
3n n
b b +=（常数）
，*n N ∈, 所以数列{}n b 是以11b =为首项，3为公比的等比数列， 所以13n n b -=.
（Ⅱ）12131n n n T b +=-=-，
所以()()213,2231,n n n n n n S b n n T a n -=+?=-