2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
二次根式
◆知识讲解
1.二次根式
a≥0)叫做二次根式.
2.最简二次根式
同时满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式.
4.二次根式的性质
2=a(a≥0);
│a│=
(0)
0(0)
(0)
a a
a
a a
>
?
?
=
?
?-<
?
;
a≥0,b≥0);
=b≥0,a>0).
5.分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去,叫做分母有理化;两个含有二次根式的代数式相乘,?若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式.
6.二次根式的运算
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
◆例题解析 例1 填空题:
(1 其中是二次根式的是_________(填序号).
(2
x 的取值范围是_______.
(3)实数a ,b ,c a -b │.
o
【解答】(1)1) 3) 4) 5) 7).
(2)由x -3≥0-2≠0,得x ≥3且x ≠7. (3)由图可知,a<0,b>0,c<0,且│b │>│c │
-a ,-│a -b │=a -b
a -
b │.
例2 选择题:
(1)在下列各组根式中,是同类二次根式的是( )
A B
C D
(2)在根式1)
) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4)
(3)已知a>b>0,的值为( )
A .
2
B .2
C
D .12
【解答】(1A 错.
B 正确.
|b =│a ∴C 错,而显然,D 错,∴选B . (2)选C .
(3)∵a>b>02 2
=a+b -
2
1,22===,故选A . 例3(2006,辽宁十一市)先化简,再求值:
11()b a b b a a b ++++,其中, 【解答】原式=22()()()()ab a a b b a b a b
ab a b ab a b ab
+++++==
++
当,
◆强化训练 一、填空题
1.(2007,福州)当x______
2.已知0 3.已知最简二次根式b a=______,b=_______. 4.(2008,长沙)已知a ,b 为两个连续整数,且,则a+b=______. o b a 5.已知实数x ,y 满足x 2+y 2-4x -2y+5=0 的值为________. 6.(2006 ,内蒙古)已知a - 1,a+1)(b -1)=_______. 7 .观察下列分母有理化的计算: ===律,并利用这一规律计算: 6+)=________. 二、选择题 8 .(2006,四川南充)已知a<02a │可化简为( ) A .-a B .a C .-3a D .3a 9 .已知xy>0,化简二次根式 ) A ..C D 10 ,甲,乙两位同学的解法如下 .== 甲乙 对于甲,乙两位同学的解法,正确的判断( ) A .甲,乙的解法都正确 B .甲正确,乙不正确 C .甲,乙都不正确 D .甲不正确,乙正确 11.若 a ,3- b ,则a+b 等于( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 12.如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│ a - b │ 的结果等于( ) A .-2b B .2b C .-2a D .2a 13.若a=3a 2-6a -2的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .3 14.若ab ≠0= ) A .a>0,b>0 B .a>0,b<0 C .a<0,b>0 D .a<0,b<0 15.(2007,连云港)已知m ,n 是两个连续自然数(m A .总是奇数 B .总是偶数 C .有时是奇数,有时是偶数 D .有时是有理数,有时是无理数 三、解答题 16.计算:(1)(2008 ) (2)(2008,南通)计算:(15 17.(2008,广州)如图所示,实数a ,b b a 18.(2006,江苏淮安)已知,求(22121x x x x x x +---+)÷1 x 的值. 19.对于题目“化简求值: 1a a=15”,甲、乙两个学生的解答不同. 甲的解答是: 1a 1a 1a +1a -a=2495a a -= 乙的解答是: 1a 1a 1a +a -1a =a=15 谁的解答是错误的?为什么? 答案: 1.x ≥3 2.2x 3.0 2 4.5 5. 6 7.2005 8.C 9.D 10.A 11.B 12.A 13.B 14.B 15.A 16.(1)4 (2)2 17.-2b 18.原式= 2 1(1) x -=-12 19.对于甲的解答,当a= 15时,1a -a=5-15=445>01a -a 正确; 而乙的解答,当a= 15时,a -1a =15-5=-445<0a -1a , 因此乙的解答是错误的. 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并 二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)()2= (≥0);(2) 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. =·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 (2)、平方法 当时,①如果,则;②如果,则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。 (4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 (5)、倒数法 例5、比较与的大小。 (6)、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 (7)、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①;② 例7、比较与的大小。 (8)、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①;② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1)()2=- ();(2)=- () (3)(-)2=- ();(4)(2)2=2×=1 () 2.下面的计算中,错误 ..的是() A.=±0.03 B.±=±0.07 C.=0.15 D.-=-0.13 3.下列各式中一定成立的是() A.=+=3+4=7 B.=- C.(-)2= D.=1-= 4.()2-=________; 5.+(-)2=________.6.[-]·-6; 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+? 由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案. 二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根 式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注: 因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注: 二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本 身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实 数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算 (1)因式的外移和移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. 21·1 二次根式 1. 二次根式的定义 一般地,式子(a ≥0)叫做二次根式,a 叫被开方数,a 可以是数可以是单项式或 多项式,如,,判断一个式子是否为二次根式;要看它是否具备两个特征: 一是根指数是2,二是被开方数为非负数,二者缺一不可. 2.二次根式的性质1 (Ⅰ)文字语言是:非负数的算术平方根是一个非负数. (Ⅱ)数学语言为:≥0(a ≥0),它的用途非常大,例如:若2+=0, 则a =0,b =0,若+|b|=0,则a =0,b =0,若+b 2=0,则a =0,b =0 思考:当a<0时,有意义吗?当a ≥0时,可能为负数吗? 3.二次根式的性质2 (Ⅰ)文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. (Ⅱ)数学语言为:()2≥0(a ≥0) (Ⅲ)证明:∵( a ≥0)是a 的算术平方根 ∴()2=a (Ⅳ)作用()2=3,()2=,()2=x (x ≥0) 反过来:若a ≥0则a = ,如:2=,=()2 4.二次根式的性质3 (Ⅰ)文字语言:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. (Ⅱ)数学符号: =|a| (Ⅲ)说明: ①a 的取值范围是任意实数. ②=a 的前提是a ≥0,=-a 的前提是a ≤0 5.()2与的异同点 a 3xy 12+x a a 3 1 b a a a a a a a 33131 x ()2 a () 2 221 212a 2 a 2 a a 2 a (Ⅰ)区别:中a 必须取非负数即a ≥0,而 中的a 可以取任何实数. (Ⅱ)相同点: 当被开方数都是非负数,即a ≥0时,=()2 a<0时,()2无意义而=-a 典型例题 例1. 当a 为实数时下列各式中哪些是二次根式. , ,,,, 解:,,,是二次根式. 例2. x 为何实数时,式子在实数范围内有意义? 解:由x -2≥0得x ≥2,当x ≥2时在实数范围内有意义. 例3. 计算: (1)()2;(2)(3)2; (3)(-2)2;(4)()2 解:(1)()2= (2)(3)2=32×()2=9×2=18 (3)(-2)2 =(-2)2×()2=4×= (4)()2=x 2+y 2 例4. 计算: (1); (2) ; (3)(a<3); (4)(x<) ()2 a 2a 2 a a a 2a 10+a a 2a 12-a 12+a 2)1(-a a 2a 12+a 2)1(-a 2-x 2-x 52 231 22y x +52252 22313131342 2y x +252 )5.1(-2 ) 3(-a 2 )32(-x 23 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理; (3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10< 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 二次根式的运算(提高)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根 式加减运算; 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘 除运算; 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 要点诠释: (1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤: 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变, 只把被开方数相乘. 要点诠释: (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0). (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2.积的算术平方根: (a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数,把含有形式的a移到根号外面. 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式知识点总结
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