量子力学练习题
本练习题共352道，其中（一）单项选择题 145题，（二）填空题100题，（三） 判断题50题，（四） 名词解释32题，（五）证明题25题，（六）计算题40题。
做题时应注意的几个问题：
1.强调对量子力学概念、知识体系的整体理解。
2.注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用，如：无限深势阱、谐振子和氢原子等重要问题的求解及其结论，并与其对应的经典理论进行比较，力争把量子力学理论融汇贯通。
3.数学手段上，应多看示例，尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。
4.通过完成练习题，使自己加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学模型求解，培养自己独立解决实际问题的能力。
（一） 单项选择题 （共145题）
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0
. B. 1.5A 0
. C. 2.1A 0
. D. 2.5A 0
. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0
. B. 0.9A 0
. C. 0.5A 0
. D. 1.8A 0
.
3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0
. B.1.9?1012
-A 0
. C.1.17?10
12
-A 0
. D. 2.0A 0
.
4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =
3
2
(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 A.8A 0
. B. 5.6A 0
. C. 10A 0
. D. 12.6A 0
.
5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）
A.E n n = ω.
B.E n n =+()1
2
ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω.
6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是
A.5.2A 0.
B. 7.1A 0.
C. 8.4A 0.
D. 9.4A 0
.
7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0
的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B. 1.25?1018-J. C. 0.25?1016-J. D. 1.25?1016-J.
8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为
A.
2μc . B.
22
μc
. C. 222μc . D. 22μc . https://www.doczj.com/doc/3a4100176.html,pton 效应证实了
A.电子具有波动性.
B. 光具有波动性.
C.光具有粒子性.
D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了
A. 电子具有波动性.
B. 光具有波动性.
C. 光具有粒子性.
D. 电子具有粒子性.
11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a
(),,,=<<∞≤≥???000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x
a =
描写，其归一化常数C 为 A.
1a . B.2a . C.12a . D.4
a
.
12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .
13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为
A.ψ(,,)x y z dxdydz 2
. B.ψ(,,)x y z dx 2
. C.dx dydz z y x )),,((2??ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)???2
. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态
c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为
A.c c 112222ψψ+.
B. c c 112222
ψψ++2*121ψψc c .
C. c c 112
222
ψψ++2*1212ψψc c . D. c c 112
222
ψψ++c c c c 12121212****
ψψψψ+.
15.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.
B.归一、正交、完全性.
C.连续、有限、完全性.
D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是
A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.
B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.
C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.
D. A, B, C. 17.已知波函数
ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp() , ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p ()
,
ψ312=-+-u x i Et u x i
Et ()exp()()exp() , ψ41122=-+-u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p ()
.
其中定态波函数是
A.ψ2.
B.ψ1和ψ2.
C.ψ3.
D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则
A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.
B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.
C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.
D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.
B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .
C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2
:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同. 20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i
px dp =
?12π
的傅里叶变换式是 A. c p t x t i
px dx (,)(,)exp()=
?12π
ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*
=?12π
ψ. C. c p t x t i px dx (,)(,)exp()=
-?12π
ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-?12π
ψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:
(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下
的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是
A. (1)、(3)和(6).
B. (2)、(3)、(4)和(5).
C. (1)、(3)、(4)和(5).
D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是
A.∑
=ψ?=ψ2
1212221),,(2),,(i i t r r t r r t i
μ??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+ B.∑
=ψ?=ψ2
1212221),,(2),,(i i t r r t r r t
μ
??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
C. ∑
=ψ?=ψ2
1212
221),,(2),,(i i i
t r r t r r t μ??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+ D.∑
=ψ?=ψ2
1212
221),,(2),,(i i i
t r r t r r t i μ??),,(),,(2121t r r t r r U ψ+ 23.几率流密度矢量的表达式为
A.
J =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. B. J i =?ψ-2μ()**ψψ?ψ.
C. J i =-?ψ2μ()**
ψ?ψψ. D. J =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ.
24.质量流密度矢量的表达式为 A. J =?ψ-2()**
ψψ?ψ. B. J i =?ψ-2()*
*ψψ?ψ.
C. J i =-?ψ2()**
ψ?ψψ. D. J =-?ψ2
()**ψ?ψψ.
25. 电流密度矢量的表达式为
A. J q =?ψ-2μ()**ψψ?ψ.
B. J iq =?ψ-2μ()*
*ψψ?ψ.
C. J iq =-?ψ2μ()**
ψ?ψψ. D. J q =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ.
26.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.
27.在一维无限深势阱U x x a
x a (),,=<∞≥??
?
022中运动的质量为μ的粒子的能级为 A.πμ222
2
4 n a
,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a , D.πμ222232 n a . 28. 在一维无限深势阱U x x a
x a (),,=<∞≥???
0中运动的质量为μ的粒子的能级为
A.πμ222
22 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ2222
16 n a
. 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥???
022中运动的质量为μ的粒子的能级为
A.πμ222
22 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ2222
8 n b .
30. 在一维无限深势阱U x x a x a
(),,=<∞≥???0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分
布最大处是
A.x =0,
B.x a =,
C.x a =-,
D.x a =2.
31. 在一维无限深势阱U x x a
x a
(),,=<∞≥???0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置
几率分布最大处是
A.x a =±/2,
B.x a =±,
C.x =0,
D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的
A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.
34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-1221
2
2,其位置几率分布最大
处为
A.x =0.
B.x =±
μω
. C.x =
μω
. D.x =±
μω
.
35.线性谐振子的
A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是
A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .
B.[]--= 222
22
212μμωψψd dx x E . C.[
] 22222
212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212
μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为
A.- 22
22e n s μ.B.-μ22222e n s .C.2
42n
e s μ -. D. -μe n s
4
222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2
. B.22
)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2
. D.dr r r R nl 22
)(. 39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为
A.),(?θlm Y .
B. 2),(?θlm Y .
C. Ωd Y lm ),(?θ.
D. Ωd Y lm 2
),(?θ.
40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F
为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =??. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =?
?. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=??. D. ***F d F d ψφτψφτ=??.
41. F
和 G 是厄密算符,则 A. FG
必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FG
GF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p
i x
x =- ?
?,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.
43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)
A.1212/()/π .
B.12/()π .
C.1232/()/π .
D.122/()π 45.角动量Z 分量的归一化本征函数为
A.1
2π?
exp()im . B.
)exp(21
r k i ?π. C.12π?exp()im . D.
)exp(21r k i
?π.
46.波函数)ex p()(cos )1(),(?θ?θim P N Y m l lm m lm -=
A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数.
B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C 是 L 2、 L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z
的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12.
48.氢原子能级的特点是
A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.
B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.
C.能级随量子数的增大而减小.
D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.
49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是
A. 库仑场特有的.
B.中心力场特有的.
C.奏力场特有的.
D.普遍具有的.
50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222
()=,则其几率分布最大处对应于
Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a . 51.设体系处于ψ=
--123
2
31102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为 A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-. C.E E 321232,;,. D.E E 32341
4
,;,.
52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.
53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为
A.01434,;,- .
B. 0143
4
,;, . C.01232,;, -. D. 01232,;,-- .
54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为
A.14 .
B. -14 .
C. 34 .
D. -34 .
55. 接51题,该体系的能量的平均值为
A.-μe s 4
218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s . D.-17724
2
μe s . 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为
A. k k ,-.
B. k .
C. - k .
D.
1
2
k . 57.接上题,体系的动量取值几率分别为
A. 1,0.
B. 1/2,1/2.
C. 1/4,3/4/ .
D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为
A.0.
B. k .
C. - k .
D. 1
2
k .
59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为
A.3252 ωω,.
B. 1252 ωω,.
C. 3272 ωω,.
D. 125
2
ωω,.
60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为 A.2
32
1,c c . B.
2
3
2
12
1
c c c +,
2
3
2
12
3
c c c +. C.
2
3
2
11c c c +,
2
3
2
13c c c +. D. 31,c c .
61.接59题,该振子的能量平均值为
A. ω 23212
32
15321c c c c ++. B. 5 ω. C. 92 ω. D. ω 23212
3
2
17321c c c c ++.
62.对易关系[ ,()]p
f x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().
63. 对易关系[ ,exp()]p
iy y 等于 A.)ex p(iy . B. i iy exp(). C.- exp()iy . D.-i iy exp().
64.对易关系[, ]x p
x 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .
65. 对易关系[, ]L y
x 等于 A.i z
. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L z
y 等于 A.-i x
. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L z
z 等于 A.i x
. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x p
y 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .
69. 对易关系[ , ]p
p y z 等于 A.0. B. i x
. C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]L L x z
等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]L L z y
等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]L L x
2等于 A. L x . B. i L x
. C. i L L z y ( )+. D. 0.
73. 对易关系[ , ]L L z
2等于 A. L z . B. i L z
. C. i L L x y ( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L p
x y 等于 A.i L z
. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x
等于 A.-i p y . B. i p y . C.-i L y . D. i L y . 76. 对易关系[ , ]L p z
y 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x . 77.对易式[ , ]L x y
等于 A.0. B. -i z
. C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]F
F m n 等于(m,n 为任意正整数) A. F
m n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]F
G 等于 A. FG
. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]F
c 等于(c 为任意常数) A.cF
. B. 0. C. c . D. F ?. 81.算符 F
和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )??F G k 2
2
24≥. B. ( )( )??F G k 2224
≥.
C. ( )( )??F G k 222
4≥. D. ( )( )??F G k 222
4
≥. 82.已知[ , ]x
p i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )??x p x 222
≥ . B. ( )( )??x p 22
24≥ . C. ( )( )??x p x 222≥ . D. ( )( )??x p x 22
24
≥ .
83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x
、 L y 的测不准关系是
A.( )( ) ??L L L x y
z 222
2
4
≥ . B.( )( ) ??L L L x y 2222
4≥ . C.( )( ) ??F G L z 2
2
224≥ . D.( )( )??F G L 22224
≥ .
84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是
A.[]-?+= 222
2μψψze r E s . B. []-?+= 222
22μψψze r E s
. C.[]-?-= 222
2μψψze r E s . D.[]-?-= 222
22μψψze r
E s
. 85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为 A.-
μz e n s 22
2
2
2
. B. -
μ224
22
2z e n
s . C.-
μze n s 2
2
2
2
. D. -
μz e n
s 24
22
2 .
86. 在一维无限深势阱U x x a
x x a
(),,,=<<∞≤≥???000中运动的质量μ为的粒子,其状态为
ψππ
=
42a
a x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为 A.2
2222229,2a a μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a , . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1.
88.接86题,能量的平均值为
A.52222πμ a ,
B.2222πμ a ,
C.72222πμ a ,
D.522
2
πμ a . 89.若一算符 F
的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.
90.如果力学量算符 F
和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F
和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F
和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.
C. F
和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确
定值.
D. F
和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.
91.一维自由粒子的能量本征值
A. 可取一切实数值.
B.只能取不为负的一切实数.
C.可取一切实数,但不能等于零.
D.只能取不为正的实数.
92.对易关系式[ , ()]p
p f x x x 2等于 A.-i p
f x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i p f x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符y x L i L L ???±=±, 则[ , ]L L +-
等于 A.z L ? . B.2 L z . C.-2 L z . D.z L ? -. 94.接上题, 则[ , ]L L z
+等于 A. L +. B. L z . C. -+
L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]L L z
-等于 A. L -. B. L z . C. --
L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθ?θ?nlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=
A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.
B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.
C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.
D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψ
A.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.
B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.
C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.
D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.
98.对易关系式[ , ]FG
H 等于 A.[ , ] [ , ]F
H G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]F G H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(
21)('x p i
x P
πψ=,它在动量表象中的表示是
A.δ(')p p -.
B.δ(')p p +.
C.δ()p .
D.δ(')p .
100.力学量算符 x
对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(2
2
)(22)(21x x x ψψψ-=
,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是
A.??????? ?? 02/22/2.
B.???????
?
?
- 02/22/2.C.222200//?? ?
??????.D.222200//-
??
?
?
??
???. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是
A.????
??
? ?? 001. B.
????
??
? ?? 010. C. 1000?? ??
?
???. D. 0100?? ??
????. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是
A.???????
? ??++ 0//2222b a b b a a . B. ???
?
??
?
??++0//02222b a b b a a . C. ????
??
?
?? 0b a . D. 00a b ?? ??
????. 104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=?? ??
???22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.
105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n
,则算符 (,)F x i x
??在 Q 表象中的矩阵元的表示是
A.F u x F x i x u x dx mn n m =?*()(,)() ??.
B.F u x F x i x u x dx mn m n =?*
()(,)() ??.
C.F u x F x i x u x dx mn n m =?()(,)()* ??.
D.F u x F x i x
u x dx mn m n =?()(,)()*
??.
106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是
A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.
107.力学量算符x ?在动量表象中的微分形式是 A.-i p x
??. B.i p x
??. C.-i p x 2??. D.i p x 2??.
108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 A.
p p 2222
2
212μμω??+ . B.
p p 222
2
212μμω??-. C.
2
2
222212p p ??μωμ -.
D.--p p 222
2
212μμω??. 109.在 Q 表象中F =?? ??
?0110,其本征值是
A. ±1.
B. 0.
C. ±i .
D. 1±i .
110.接上题, F 的归一化本征态分别为 A.
22112211?? ???-?? ???,. B. 1111?? ???-?? ??
?,. C. 12111211?? ???-?? ???,. D.22102201?? ????? ?
??,. 111.幺正矩阵的定义式为
A.S S +-=.
B.S S +=*.
C.S S =-.
D.S S *=-.
112.幺正变换
A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.
B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.
C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.
D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.
113.算符 ()( )/a
x
i
p
=+μω
μω
212
,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a
a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n
nn mn n
m
m
()
()
()
''0200++-∑
. B. E H H E E n
nn mn n
m
m
()
()
()
''
'0200++-∑.
C.E H H E E n
nn mn m
n
m
()
()
()
''
'02
00++-∑. D.E H H E E n
nn mn m
n
m
()
()
()
''02
00++-∑
.
115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.
116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn n
m
m
'()
()
200-∑
. B.
''()()
H E
E mn
n
m
m
200-∑. C.
''()()
H E
E mn
m
n
m
200-∑. D.
H E
E mn
m
n
m
'()()
200-∑.
117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为 A.H E E mn n
m m
m '()
()
()000-∑
ψ. B. '
'()
()
()
H E E mn n
m
m m
000-∑ψ. C.
'
'()
()
()
H E E mn
m
n
m m
000-∑ψ. D. H E
E mn
m
n
m m
'()()
()
000-∑ψ. 118.沿x 方向加一均匀外电场
ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为
A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε.
B. H d dx x q x =-++ 222
2212
μμωε. C. H d dx x q x =-+- 222
2212
μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.
H E E mk k
m
'()
()
001-<<. B.
H E E mk k
m
'()
()
001+<<. C. H mk '<<1. D. E E k
m
()
()
001-<<.
120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场
ε中,则该体系的哈密顿为
A.ε ?+=D I L H
2??2. B. ε ?+-=D I L H 2??2. C. ε ?-=D I
L H 2??2. D. ε ?--=D I L H 2??2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为 A.ψψψn n
nm n
m
m
m H E E =+-∑()
()
()
()'
'0000. B.ψψψn n mn n
m
m
m H E E =+-∑()()
()
()
''0000. C.ψψψn n
mn m
n
m
m H E E =+-∑()
()
()
()'
'0000. D.ψψψn n nm m
n
m
m H E E =+-∑()()
()
()''0000.
122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为
A. 五个子能级.
B. 四个子能级.
C. 三个子能级.
D. 两个子能级. 123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为 A.
2
02
' )'ex p('
1?t
mk mk
dt t i H ω . B.
2
' )'ex p(
'?t
mk mk
dt t i H ω.
C.2
2
')' exp(1?t
mk mk
dt t i H
ω
. D.
2
' )'exp(?t
mk mk
dt t i H
ω.
124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是
A. 写出体系的哈密顿. B 选取合理的尝试波函数.
C 计算体系的哈密顿的平均值.
D 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分.
125.Stern-Gerlach 实验证实了
A. 电子具有波动性.
B.光具有波动性.
C. 原子的能级是分立的.
D. 电子具有自旋.
126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S S y x
等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z
. 127. σ
为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ
. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S
2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.12
2 .
129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .
131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z
表象中矩阵表示为 A. S x =?? ??? 21001. B. S i i x =-?? ??? 200. C. S x =?? ??? 20110. D. S x
=-?? ??? 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 S z
表象中矩阵表示为 A. S y =?? ??? 21001. B. S i y =-?? ??? 20110. C. S i i i y =-?? ??? 200. D. S i i y =?? ??? 200.
133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 S z
表象中矩阵表示为 A. S z
=?? ??? 21001. B. S z =-?? ??? 20110. C. S z =-?? ??? 21001. D. S i z =-?? ?
?? 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ , ] J J 212
等于 A. J 1. B. -
J 1. C. 1 . D. 0 . 135.接上题, [ , ] J J z 12
等于
A. i J J x y ( )11+.
B.i J z 1.
C. J z 1.
D. 0. 136.接134题, ]?
,?[12z J J 等于
A. i J J x y ( )11+.
B.i J z 1.
C. J z
1. D. 0.
137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为
A.0, .
B. 0,- .
C.
22,. D. 22,-. 138.接上题,测得s z 为
22
,-的几率分别是
A.a b ,.
B. a b 22,.
C.a b 2222/,/.
D. a a b b a b 222222
/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为 A. 0. B.
)(2
2
2b a - . C. )22/()(2222b a b a +- . D. . 140.在s z 表象中,χ=??
?
?
?3212//,则在该态中s z 的可测值分别为 A. ,-. B. /,2. C. /,/22-. D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为 A.3212/,/. B.1/2,1/2. C.3/4,1/4. D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为
A. /2.
B. /4.
C.- /4.
D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是
A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.
B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.
C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.
D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.
144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数
A.是对称的.
B.是反对称的.
C.具有确定的对称性.
D.不具有对称性. 145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是
A. 0,1,2,3,4.
B.1,2,3,4.
C. 0,1,2,3.
D.1,2,3.
（二） 填空题（共100题）
https://www.doczj.com/doc/3a4100176.html,pton 效应证实了 。
2.Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 。
3.Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 。
4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 。
5.黑体辐射和光电效应揭示了 。
6.1924
年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具
有 。
7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。 8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长是 。 9.玻恩对波函数的统计解释是 。
10.一粒子用波函数Φ(,)
r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 11.描写粒子同一状态的波函数有
个 。 12.态迭加原理的内容是 。 13.一粒子由波函数
ψ(,)(,)exp(
)x t c p t i
px dp =
-∞
∞
?12π
描写，则
c p t (,)= 。
14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。 15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。 16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。 17.几率连续性方程是由 导出的。
18.几率连续性方程的数学表达式为 。 19.几率流密度矢量的定义式是 。
20.空间V 的边界曲面是S ，w 和
J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则
???-=??V S S d J dV t w
的物理意义是 。 21.量子力学中的质量守恒定律是 。
22.量子力学中的电荷守恒定律是 。 23.波函数应满足的三个标准条件是 。 24.定态波函数的定义式是 。
25.粒子在势场U r ()
中运动，则粒子的哈密顿算符为 。 26.束缚态的定义是 。 27.线性谐振子的零点能为 。 28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。
29.当体系处于力学量算符 F
的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。
30.表示力学量的算符都是 。
31.厄密算符的本征值必为 。
32.ψψτ p p
r r d '*()()?= 。 33.角动量平方算符的本征值为 。
34.角动量平方算符的本征值的简并度为 。 35.氢原子能级n =5的简并度为 。
36.氢原子的能级对角量子数l 简并，这是 场所特有的。
37.一般来说，碱金属原子的价电子的能级的简并度是 。 38.氢原子基态的电离能为 。 39.氢原子体系n =2的能量是 。
40.处于ψθ?200(,,)r 态的氢原子,其电子的角向几率分布是 。
41.厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式是 。 42.厄密算符属于不同本征值的本征函数 。
43.力学量算符 F 的本征函数系为{()}φn x ，则本征函数系{()}φn
x 的完全性是 。
44.当体系处于ψφ()()x c x n n n
=∑态时，其中{()}φn x 为 F
的本征函数系，在ψ()x 态中测量力学量F 为其本征值λn 的几率是 。
45.一力学量算符 F
既有分立谱又有连续谱，则 F 在任意态ψ()x 的平均值为 。
46.如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数，则这两个算符 。
47.完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
48.测不准关系反映了微观粒子的 。 49.若对易关系
[ , ] A
B ic =成立，则
, A
B 的不确定关系
是 。
50.如果两个力学量算符对易，则在 中它们可同时具有确定值。 51.电子处于
),(2
3),(211110?θ?θ--Y Y 态中，则电子角动量的z 分量的平均值为 。
52.角动量平方算符与角动量x 分量算符的对易关系等于 。
53. 角动量x 分量算符与动量的z 分量算符的对易关系等于 。 54. 角动量y 分量算符与坐标的z 分量算符的对易关系等于 。
55.=]?,?[y p y
。 56.粒子的状态由kx x cos )(=ψ描写，则粒子动量的平均值是 。 57.一维自由粒子的动量本征函数是 。 58.角动量平方算符的本征值方程为 。
59.若不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是 。
60.氢原子能量是考虑了 得到的。 61.量子力学中， 称为表象。 62.动量算符在坐标表象的表达式是 。 63.角动量算符在坐标表象中的表示是 。 64.角动量y 分量的算符在坐标表象中的表示是 。 65.角动量z 分量的算符在坐
标
表
象
中
的
表
示
是 。
66.波函数),(t x ψ在动量表象中的表示是 。 67.在动量表象中，具有确定动量p '的粒子，其动量算符的本征方程是 。
68.已知 Q 具有分立的本征值{}Q n
，其相应本征函数为{()}u x n ，则任意归一化波函数ψ(,)x t 可写为
ψ(,)()()
x t a t u x n n n
=∑，则ψ(,)x t 在Q 表象中的表示
是 。
69.量子力学中 Q 的本征函数为{()}u x n
(n=1,2,3,...)有无限多, 称为Hilbert 空间。
70.接68题，力学量算符 (,)F
x i x
??在Q 表象中的矩阵元的数学表达式为 。
71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是 矩阵。
72.接68题,力学量算符 (,)Q
x i x
??在自身表象中的表示是 。
73.力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵。
74.力学量算符 (,)F
x i x
??在坐标表象中的矩阵元
为 。
75.幺正矩阵满足的条件是 。 76.幺正变换不改变力学量算符的 。 77.幺正变换不改变矩阵F 的 。
78.力学量算符 x
在动量表象中的微分形式是 。 79.坐标表象中的薛定谔方程是),()](2[),(2
2t r r U t r t i ψ+?-=ψμ
??，它在动量表象中的表
示是 。
80.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 。
81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为 。
82.非简并定态微扰理论中，波函数的一级近似表示为 。
83.非简并定态微扰理论的适用条件是 。 84.Stark 效应是 。
85.氢原子处于弱电场
ε中，其体系的微扰哈密顿是 。 86.在微扰作用下，t 时刻由Φk 态到Φm 态的跃迁几率
是 。
87.1925年，Ulenbeck 和Goudsmit 提出每个电子具有自旋角动量
S ，它在空间任何方向的
投影只能取两个数值，即是 。 88.Stern-Gerlach 实验证实了 。
89.Pauli 算符 , σ
σx z 的反对易关系式是 。 90.自旋角动量算符的定义式为 。
91.自旋角动量算符 S x 在z S 表象中的矩阵表示是 。 92.自旋角动量算符 S y 在z
S 表象中的矩阵表示是 。 93.自旋角动量算符 S z
属于本征值- 2
的本征函数 在S z 表象中的矩阵表示是 。 94.Pauli
算符
, σ
σx z 的积算符在
z
σ表象中的矩阵表示
是 。
95.全同性原理的内容是 。 96.全同粒子体系的哈密顿具有 对称性。
97.全同粒子体系的波函数具有确定对称性，这种对称性不随
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 — 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
喀兴林高等量子力学习题E X2.算符
EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= #
练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -.
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2 (0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。高等量子力学第一章习题
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