小甸子中学九数上 2.2配方法(2) 研学案（新授）
主备：刘长芬 副备：隋润波、刘伟 审核： 2010.9.9
一．准备知识：
解下列一元二次方程：
（1）x 2-4=0 （2）x 2-4x +4=0 （3）x 2-8x +1=0
二．自学提示：
1. 解下列一元二次方程：
（1）3x 2-27=0 （2）2
1x 2=3
思考：这两个方程与上面（1）（2）（3）方程之间有何不同？你又是怎样解的呢？与同桌交流。
2．解下列一元二次方程：
2x 2+24x-6=0 3x 2+8x -3=0
归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
3.完成P56 做一做.
2.
1. 4. 3.
必做题：
1. 2x2+5x-3=0
2. 3x2-4x-7=0
3. 5x2-6x+1=0
4.2x2-5x+2=0
自我检测：
用配方法解下列方程：
（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-
（3）x x 10152=+ （4） 3y 2-y-2=0
中考链接：
1.用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）
A.2x 2-4x+4=3+4
B. 2x 2-4x+4=-3+4
C.x 2-2x+1=23+1
D. x 2-2x+1=-23
+1
2.关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+3x+a 2-3a-4=0的一个根为0，则a 的值为（
） A 、-1 B 、4 C 、-1或 4 D 、1
选做题：
1、当x 取何值时，代数式10-6x+x 2有最小值，是几？
2、配方法证明y2-12y+42的值恒大于0。
思考题：
1.已知1
x=-是关于x的方程22
x ax a
+-=的一个根，则a=____ ___
20
2.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）
A、总不小于2 B 、总不小于7 C、可为任何实数 D、可能为负数、
3. 已知两个数的和为10，积为9，求这两个数。
4. 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240
-+=的一个根，求这个三角形的周长。
x x
反思：
17.2 一元二次方程的解法 1．配方法 学习目标 1．学会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程；(重点) 2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点) 教学过程 一、情境导入 读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x ，十位数字为x-3 x 2=10(x-3)+x 二、合作探究 探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝9; (2)x 2＝0.25； (32x 2=18; (4)(2x －1)2＝9. 解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边 是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情 况． 解：(1)移项，得x 2＝9根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3； (2)移项，得x 2＝0.25根据平方根的定义，得x ＝±0.5，即x 1＝0.5，x 2＝－0.5； (3)两边同时除以2，得x 2＝9，根据平方根的定义，得得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3； (4)根据平方根的定义，得2x －1＝±3，即2x －1＝3或2x －1＝－3，即x 1＝2，x 2＝－1 方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的 定义，它的可解类型有如下几种：①x 2＝a (a ≥0)；②(x ＋a )2＝b (b ≥0)；③(ax ＋b )2＝c (c ≥0)； ④(ax ＋b )2＝(cx ＋d )2(|a |≠|c |)． 探究点二：用配方法解一元二次方程 【类型一】 用配方法解一元二次方程 1、x 2－4x +1＝0如何解这个方程？想想可能转化成 的形式？ 2、复习完全平方 (1)x 2＋8x ＋ =(x ＋4)2 ()2a ????=
配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
3.2用配方法解一元二次方程（1）导学案 一、学习目标 知识与技能： 1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程； 2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。 4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。 过程与方法： 在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。 感情态度与价值观： 在共同探究问题中学会学习，树立自信心。 二、学习重点 掌握直接开平方法，渗透转化思想。 三、学习难点 是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。 四、学习过程 （一）复习练习： 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。 （1）（2） （3） 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于，这个数叫的平方根。 （2）用式子表示：若，则叫做的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3） 4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。 （二）学习过程
活动一：自主探究，合作交流 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 活动二：探索新知 概括 对于第（1）个方程，有这样的解法： 方程x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 , 即x= 2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思考 （1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？ （2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 活动三：运用新知解决问题 做一做： 试用两种方法解方程x2－900＝0. 活动四、挑战自我 解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0 ; （3）x2＝169；（4）45－x2＝0； （5）12y2－25＝0；（6）4x2+16＝0 五、归纳总结，形成知识网络 通过这节课的学习你有哪些收获？ 六、作业布置 课本81页练习题1、2
学习内容21.2.1配方法解一元二次方程主备使用者审核课型时间 学习目标1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成=p（p≥0）或=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 教学重点 讲清“直接降次有困难”，如+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 教学难点不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 学法导航自主学习，小组交流，教师点拨 学习内容及学习流程方法指导 一、课前预习 要点①把二次项系数为1的二次三项式配成完全平方形式 1.填上适当的数,使下列等式成立,并归纳得到的结论 ⑴+ 6x+____= ⑵+8x+____= ⑶-12x+____= ⑷-+____= ⑸+2ab+____= ⑹-2ab+____= 结论_______________________________________________________要点②用配方法解一元二次方程 2.通过配成_______________来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了________________________,把一个一元二次方程转化成________________________来解。 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤是:化二次项系数为1,把方程化为+mx+n=0的形式;把常数项移到方程右边即________________; 方程两边同时加上,整理得到_______________=;≥0 时,x+=______________;当时，原方程_____________。 4.用配方法解方程:2-4x-1=0 提示：让学生通过阅读教材后，独立完成所有知识点的内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成。 提示：可以先安排小组内小展示（交流预展），
21.2.2配方法解一元二次方程（1） 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0 （1）x 2+10x+9=0 （2）x 2-x- 47=0 （3）3x 2+6x-4=0 （4）4x 2-6x-3=0 （5）x 24x-9=2x-11 （6）x(x+4)=8x+12
21.2.2配方法解一元二次方程（1） 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x 2=p （p≥0）或（mx+n ）2=p （p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x 2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材第31页至第34页的部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9 填空： （1）x 2+6x+______=（x+______）2；（2）x 2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x 2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x 2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm ，并且面积为16cm 2,场地的长和宽应各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-2 1x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】
活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0 练习： （1）x 2+10x+9=0 （2）x 2-x- 4 7=0 （3）3x 2+6x-4=0 （4）4x 2-6x-3=0 （5）x 24x-9=2x-11 （6）x(x+4)=8x+12 【课堂练习】： 活动3、知识运用 1. 填空： （1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2 （3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-3 2x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列关于x 的方程 （1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0 （4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0 （7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2 归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课后巩固】 一、选择题 1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1
配方法 【教学目标】 1．知识与技能： （1）理解一元二次方程“降次”的转化思想。 （2）根据平方根的意义解形如()20x p p =≥的一元二次方程，然后迁移到解()()20mx n p p +=≥型的一元二次方程。 （3）把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握。 2．过程与方法： （1）通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活。 （2）通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法，配方法。 3．情感态度与价值观： 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 【教学重点】 1．运用开平方法解形如()()2 0mx n p p +=≥的方程；领会降次──转化的数学思想。 2．用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程。 【教学难点】 掌握降次思想，配方法。 【教学过程】 一、复习导入。 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法，首先学习直接开平方法，配方法。 二、探究新知。 （一）探究课本问题分析。 1．用列方程方法解题的等量关系是什么？ 2．解方程的依据是什么？ 3．方程的解是什么？问题的答案是什么？ 4．该方程的结构是怎样的？ （二）归纳。 可根据数的开方的知识解形如()20x p p =≥的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定
都是实际问题的解。 （三）解决课本思考。 1．如何理解降次？ 2．本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？ 3．能化为()()20x m n n +=≥的形式的方程需要具备什么特点？ 4．归纳。 （1）运用平方根知识将形如x 2=p （p≥0）或（mx+n ）2=p （p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可。 （2）左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为()()20x m n n +=≥。 （四）探究课本问题。 1．根据题意列方程并整理成一般形式。 2．将方程26160x x +-=和2692x x ++=对比，怎样将方程26160x x +-=化为像2692x x ++=一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？ （1）完成填空：26x x ++ =（x + ）2。 （2）方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？ 三、归纳小结。 1．根据平方根的意义，用直接开平方法解形如()()20mx n p p +=≥的一元二次方程。 2．用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方。 3．在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根。 四、作业布置。 （1）若28160x -=，则x 的值是 。 （2）如果方程()22372x -=，那么，这个一元二次方程的两根是 。 （3）若()224x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）。 A ．p =4，q =2 B ．p =4，q =－2 C ．p =－4，q =2 D ．p =－4，q =－2 （4）方程3x 2+9=0的根为（ ）。 A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．无实数根 （5）已知28150x x -+=，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）。
《21.2.1配方法》教学设计 第1课时 教材分析: 本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：x2=p和(x+n)2=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据. 教学目标： 【知识与能力目标】 1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方； 3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解； 【过程与方法】 1.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法． 2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一元二次方程，同时为配方法的学习打好基础． 【情感态度与价值观】 通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．教学重难点： 【教学重点】
使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解. 【教学难点】 探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？（请设未知数列方程解决） 【解】设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144. 根据平方根的意义，得x＝±144＝±12， ∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12. ∵边长不能为负数， ∴x＝12. 即这个正方形舞台的边长是12米． 【设计意图】用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活． 问题2：（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里． A：9(±3)，5(±5)，49(±7)； B：8(±2 2)，24(±2 6)，14(±14)； C：3(±3)，1.2(±30 5 )，2(±2)．
三佳中学九年级 数学（上）学案 2011年_ 月_ _日 班级 姓名 课题 用配方法解一元二次方程 主备 杨小玲 课时 第1课时 五、板演展示亮风采： 用配方法解一元二次方程： ⑴ X 2-10X+25=7 ⑵ X 2+6X=1 ⑶ X 2-14X=8 ⑷ X 2+2X+2=8X+4 六、当堂检测我善思： A 组：【夯实基础】 ⑴ 方程（X-2）2=9的解是（ ） A X 1=5,X 2=-1 B X 1=-5,X 2=1 C X 1=11,X 2=-7 D X 1=-11,X 2=7 ⑵ 已知-1是关于X 的一元二次方程x 2+ax+2=0的一个根，则方程的 另一个根 是（ ） A -2 B 2 C -3 D 3 ⑶ 若x 2-4x+m=（x+n ）2,则m,n 分别是（ ） A m=4,n=2 B m=4,n=-2 C m=-4,n=2 D m=-4,n=-2 ⑷ 三角形一边长为10，另两边是 方程X 2-14X+48=0的两实根，则这个三 角形的形状是 （ ）三角形。 ⑸ 在实数范围内定义“※”，其规则为m ※n= m 2- n 2,则方程4※3※X=13的解是 （ ） B 组【链接中考】 ⑴ 解“情境导入”中所列方程。 ⑵再次阅读“情境导入”中的 题目，题目中条件不变，当“水泥道路”的 形状发生如下图所示的变化时，请思考如何列方程求得道路的 宽度呢 学习 目标 1. 会用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的一元二次方程。 2. 会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程。 学习流程： 一、情境导入： 我校为了营造和谐校园，准备在长32米，宽20米的 长方形空地上，修筑两条宽度相等且互相垂直的水泥道路，余下部分做操草坪，为了使剩下的 草坪总面积为540平方米，道路的 宽度应为多少米 二、 自学路上我能行： 阅读教材P 53－－P 54,完成下列练习： ⑴你会接下列一元二次方程吗 X 2 =5, (x+2)2 =5, x 2 +12x+36=5 ⑵请思考上述方程各有何特点 ⑶你会填吗 x 2+12x+ =（x+6）2 x 2 -4x+ =（x- ）2 x 2+8x+ =（x= ）2 在上面等式的 左边，常数项和一次项系数的 关系是什么用自己的 语言说出来。 ⑷解方程x 2 +12x-15=0的 困难在哪里你能将方程x 2 +12x-15=0转化成上面方程的形式吗如能，请转化： 。 ⑸尝试解一元二次方程x 2 +12x-15=0 三、合作学习我最棒 1、以小组为单位纠正x 2+12x-15=0的解题过程。
用配方法解一元二次方 程教学设计 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
解一元二次方程——配方法教学设计 教学目标 1、会用开方法解形如(x+m)2=n (n>0) 的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程; 2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力; 3、体会转化的数学思想方法; 4、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。 学情分析 学生学习过完全平方式、开平方,知道一个正数有两个平方根,会利用开方求一个正数的两个平方根。也学习过解二元一次方程,知道解二元一次方程这样的异形方程是先把它化为一元一次方程。在本章前面几节课中,又学习了一元二次方程的概念,并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程,初步理解了一元二次方程解的意义。学生自然会产生用简单方法求其解的欲望。 重点难点 重点:能熟练地运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程;
难点:在掌握配方法的过程中,体会解方程的转化思想:多元要消元,高次要降次。 第一环节：复习回顾 活动内容：1、如果一个数的平方等于4，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。 活动目的：通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫。 实际效果：第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。 第二环节：自主探究 （1）你会解下列一元二次方程吗你是怎么做的 52=x ； ； ； 。 活动目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。 实际效果：在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第1问，为解决第二问做好了准备，依始类推。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔。 第三环节：讲授新课 二、试一试配方： ()532=-x 5962=+-x x 0462=+-x x
解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版） 第3课时解一元二次方程-配方法 一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； ．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾1．形如的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+= ± 从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”. ．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形式,那么利用直接开平方法可得x＝ ± 或x＋n= ± ． 三、新知讲解1．配方法的依据 配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．
．配方法的步骤 化—— 化二次项系数为1 如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. 移——移项 通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 右边为 常数项 配——配方 在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 根据完全平方公式把原方程变为的形式． 解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究 ．配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是 A．x2﹣2x﹣99=0化为2=100B．x2+8x+9=0化为2=25 c．2t2﹣7t﹣4=0化为2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为2=
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤： 把二次项的系数化为1； 把常数项移到等号的右边； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 用直接开平方法解这个方程. 练1用配方法解方程： x2﹣2x﹣24=0；3x2+8x-3=0；x=120. ．用配方法求多项式的最值 【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值. 练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 练3已知a、b、c为△ABc三边的长． 求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0． 当a2+2b2+c2=2b时，试判断△ABc的形状． 五、课后小测一、选择题 ．若把代数式x2﹣2x+3化为2+形式，其中，为常数，结果为 A．2+4B．2+2
3.2 用配方法解一元二次方程（1） 【学习目标】1.知道什么叫开平方法。 2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。 【学习过程】 一.复习回顾： 1.平方根的定义____________________________。 2.求下列各数的平方根：4 ，6 ，0 ，12. 3.负数有没有平方根？ 相关知识链接： 为美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少？ 解：设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________ 同学们思考，怎样解这个方程？ 二.探求新知： 自学课本80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程 ①x2=9 ②x2=6 ③(x+3)2=1 ④(x-2)2=2 方法总结： 通过学习，总结以上各题的特点：1.如果一个一元二次方程一边是____________________ 另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。 2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有__________个解。 三.典型例题： 例1.解方程：4x2-7=0 对应练习：解方程 ①49x2=25 ② 0.5x2-32=0 ③2x2=3 ④9x2-8=0 例2. 9（x-1）2=25 对应练习：（1）（x+1）2=16 （2）(6x-1)2=81 小结： 当堂测试： 1.下列方程，能否用开平方法求解（） （1）2x2=1 （2）3x2+1=0 （3）9(x-2)2=25（4）x2-4x+4=9 2.利用开平方法解方程： (1)4x2=9 (2)2(x-3)2=8 3.解方程：（
21.2.1 配方法 导学探究： 阅读教材P6-9，回答下列问题: 1.将下列各式配成完全平方式: (1)x2 -12x+_____=(x+_____)2; (2)x2– x +______=(x-_____)2; (3)x2 - 1 6 x +_______=(x-____)2. 2.回顾: (1)等式的基本性质是什么? (2)用直接开平方法解一元二次方程x2 + 6x + 9 = 7 3. (1)解一元二次方程x2+12x=15的困难在哪里? 如何转化才能将其化为上面方程的形式求解? 试试看. (2)对于一元二次方程x2-2x -2 =0，如何转化才能化为上面方程的形式求解? 试试看. 4.上面解一元二次方程的方法叫什么方法比较合适? 请你给这种方法下一个定义，并简要说明这种方法的基本思想. 归纳梳理 1.配方法的基本要求是把一元二次方程的一边配方化为一个__________，另一边化为_________________,然后用法求解. 2.配方法的一般步骤: (1)移项，使方程左边为_________项、_______项，右边为_____项:(一移) (2)方程两边都除以______系数，将________系数化为l:(二除) (3)配方,方程两边都加上_________________的平方，使方程左边成为一个__________,右边是一个______________的形式;(三配) (4)如果右边是___________,两边直接开平方，求这个一元二次方程的解.(四开) 如果右边是负数.则这个方程没有实数解. 典例探究 1．配方法解一元二次方程 【例1】（2020?科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2= D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2= 总结：配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右边； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法解这个方程.
课时：第 课时 日期： 学习内容： 2.2 配方法（1） 学习目标：1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． 重点：利用配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式 学习过程： 一、温故而知新 1、平方根的定义：若x 2=a (a≥0), 则x 叫___________..用式子表示为x=________. 若x 2=1，则x=______;若x 2=25，则x=______;若x 2=28，则x=______; 若2x 2=32 , 则x=______;若2x 2=82, 则x=______; 我发现：若a x 2=n (a n ≥0),则可以通过___________的办法求一元二次方程的解. 2、什么是完全平方式？ 利用公式计算： （1）(x+6)2 =______________ （2）(x －12 )2 =______________ 我发现：它们各自的常数项是一次项系数__________________________ 二、探索新知 探索：配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 以上可知：当二次项系数为1时，常数项配上__________________________就可 配成完全平方式 三、看我有多棒 1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________. 2.若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________. 3.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________.
人教版九年级数学上册第二十一章 21.2.1 配方法 导学案 第1课时 直接开平方法 1、教学目标 1．理解解一元二次方程“降次—转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2．能熟练解形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程． 2、预习反馈 1．已知方程x 2＝25，根据平方根的意义，得x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5． 2．已知方程(2x －1)2＝5，根据平方根的意义，得2x －1即x 12 x 22 3．方程x 2＋6x ＋9＝2的左边是完全平方式，这个方程可化为(x ＋3)2＝2， 进行降次，得到x ＋3x 1x 2 【点拨】 上面的解法，实际上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 3、例题讲解 例 解下列方程： (1)3x 2－27＝0；(2)1 3(x ＋3)2＝4； (3)4(x －2)2－36＝0；(4)x 2＋2x ＋1＝9. 【思路点拨】 把已知方程变形为x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式，再对方程的两边直接开平方．
【解答】(1)移项，得3x2＝27. 方程两边同时除以3，得x2＝9. 方程两边开平方，得x＝±3. ∴x1＝3，x2＝－3. (2)方程两边同时乘3，得(x＋3)2＝12. 方程两边开平方，得x＋3＝±2 3. ∴x1＝23－3，x2＝－23－3. (3)移项，得4(x－2)2＝36. 方程两边同时除以4，得(x－2)2＝9. 方程两边开平方，得x－2＝±3. ∴x1＝5，x2＝－1. (4)根据完全平方公式，可将原方程变形为(x＋1)2＝9. 方程两边开平方，得x＋1＝±3. 即x＋1＝3或x＋1＝－3， ∴x1＝2，x2＝－4. 【方法归纳】直接开平方法适用于解x2＝a(a≥0)形式的一元二次方程，这里的x可以是单项式，也可以是含有未知数的多项式．换言之，只要经过变形可以转换为x2＝a(a≥0)形式的一元二次方程都可以用直接开平方法进行求解． 【跟踪训练】解下列方程： (1)4x2＝1；(2)(2x－3)2－1 4 ＝0. 解：(1)二次项系数化为1，得x2＝1 4 .
第3课时一元二次方程的解法 一、知识目标 1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程. 2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0 ( )2≥ m x形式的过程，进一步理解配 +n n = 方法的意义。 3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。 重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式 二、知识准备 1、用配方法解下列方程： (1)x2-6x-16=0；(2)x2+3x-2=0； 5x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？ 2、请你思考方程x2- 2 三、学习内容 如何解方程2x2-5x+2=0？ 点拨： 对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解 四、典型例题 例1、解方程：0 32= 8 1 x + +x
例2、-01432=++x x 五、知识梳理 1、对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？ 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程 六、达标检测 1、填空： (1)x 2-3 1x+=(x-)2, (2)2x 2-3x+=2(x-)2. (3)a 2+b 2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)2 2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是。 3、方程2(x+4)2-10=0的根是. 4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（） A.2x 2-4x+4=3+4 B. 2x 2-4x+4=-3+4 C.x 2-2x+1=23+1 D. x 2-2x+1=-2 3+1 5、用配方法解下列方程： （1）04722=--t t ；（2）x x 6132=- （3）x x 10152=+（4） 3y 2-y-2=0
22.2 一元二次方程的解法 2 配方法 学习目标： 1.了解配方法解一元二次方程的解题步骤（重点）. 2.用配方法解一元二次方程（难点）. 自主学习 一、新知预习 试着解方程：x2+2x-3=0. 第一步：把常数项移到等式的右边，方程变形为x2+2x=_____. 第二步：等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完全平方形式：x2+2x+_____=______.（想一想，等号两边应同时加上几，依据是什么？）第三步：用直接开平方法解方程，（x+____）2=____.开平方可得x+____=±____. 于是可以得到方程的解为__________. 【自主归纳】通过方程的简单变形，将左边配成一个含未知数的________, 右边是一个____ 常数，从而用______ 求解的方法叫做____. 合作探究 一、探究过程 探究点：用配方法解一元二次方程 问题1：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程： （1）x2-10x-11=0；（2）x2+2x-1=0. 解：移项，得______________. 解：移项，得_____________. 配方，得_______________；配方，得______________； 即_________________. 即_________________. 两边开平方，得____________. 两边开平方，得______________. 所以_________________. 所以___________________. 【归纳总结】利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 类型2：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程： 2x2+3=8x. 解：移项，得_____________________. 配方，得______________________. 即____________________. 两边开平方，得________________. 所以________________________. 【归纳总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1.把常数项移到方程右边，使方程的左边只有二次项和一次项； 2.两边加上一次项系数一半的平方； 3.变成(x+a) 2=b的形式；
21．2.1 配方法 《第2课时配方法》教案 【教学目标】 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 【教学过程】 一、情境导入 李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？ 二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【类型二】利用配方法解一元二次方程 用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时
加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3. 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 【类型三】用配方解决求值问题 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2y x2＋y2 的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x ＝－2且y＝3，∴原式＝－2－6 13 ＝－ 8 13 . 【类型四】用配方解决证明问题 (1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式． 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零． (2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等． 【类型五】配方法与不等式知识的综合应用 证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0. 证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程． 三、板书设计
第22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 2 配方法 学习目标： 1.了解配方法解一元二次方程的解题步骤（重点）. 2.用配方法解一元二次方程（难点）. 自主学习 一、新知预习 试着解方程：x2+2x-3=0. 第一步：把常数项移到等式的右边，方程变形为x2+2x=_____. 第二步：等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完全平方形式：x2+2x+_____=______.（想一想，等号两边应同时加上几，依据是什么？）第三步：用直接开平方法解方程，（x+____）2=____.开平方可得x+____=±____. 于是可以得到方程的解为__________. 【自主归纳】通过方程的简单变形，将左边配成一个含未知数的________, 右边是一个____ 常数，从而用______ 求解的方法叫做____. 合作探究 一、探究过程 探究点：用配方法解一元二次方程 问题1：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程： （1）x2-10x-11=0；（2）x2+2x-1=0. 解：移项，得______________. 解：移项，得_____________. 配方，得_______________；配方，得______________； 即_________________. 即_________________. 两边开平方，得____________. 两边开平方，得______________. 所以_________________. 所以___________________. 【归纳总结】利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 类型2：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程： 2x2+3=8x. 解：移项，得_____________________. 配方，得______________________. 即____________________. 两边开平方，得________________. 所以________________________. 【归纳总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1.把常数项移到方程右边，使方程的左边只有二次项和一次项；