若尔当标准形的研究
中文摘要：
矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。
关键字：
若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量
Jordan standard form of research
Abstract：
Matrix's Jordan canonical form is linear algebra is an important component of digital matrix, he, through the acquaintance transform to get. Matrix's when standard theory if in mathematics and mechanics, calculation method, physics, chemistry and other fields of mathematics are extremely extensive application.
Every n level too complex matrix A darfur with A similar when form if darfur, the matrix when form matrix removed if darfur of block if when the sequences is decided by matrix A only, it's called alli when A standard form if. For n order matrix for, if his characteristic root equations with heavy root and heavy root number equal to its corresponding eigenvectors number, this n order matrix can be transformed to diagonal shape by similar. This paper mainly through the research of minimal polynomial matrix, reversible matrix, and the method of calculating P when a standard form if several darfur's for solving method, when a standard form if discussed.
Key words:
Similar matrices, elementary factor, circulation vector
目录
目录 (3)
第一章：绪论 (1)
第二章：若尔当标准形 (2)
2.1若尔当标准形的定义 (2)
2.2矩阵最小多项式 (3)
2.3定理的证明 (6)
本章小结： (10)
3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型 (11)
3.2利用矩阵的秩 (13)
3.3用循环向量法求若尔当形 (17)
本章小结： (19)
第四章若尔当标准形的应用 (20)
4.1可逆矩阵P的求法 (20)
4.2常系数齐次线性微分方程的解 (24)
本章小结： (27)
结论： (28)
参考文献： (29)
致谢： (30)
第一章：绪论
矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。 在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况。
在高等代数中我们知道形如,(,)01,1
0,a b J a b or b a other λ=??
===???，其中λ是复数。由若干个若尔当块组成
的准对角矩阵称为若尔当形矩阵。每个n 级得复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个
若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形。对于n 阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n 阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。
本文在了解若尔当标准形的基础上，进一步做出探究，首先对若尔当标准性的定义（像这样
112233()0
0()00
00()00000()k k k ks s J J J J λλλλ??
?
? ?
?
? ??
?
的矩阵，我们把它称为若尔当矩阵）进行分析。第二章主要是对矩阵的极小多项式进行分及其求解过程，以及对可逆矩阵P 的求法做出了探讨。并对矩阵相似的定理做出了证明。第三章主要是对若尔当标准形的求解方法做出了探讨，通过利用初等因子求解矩阵的若尔当标准型、利用矩阵的秩求解若尔当标准型和利用循环向量来求解若尔当标准性。通过以上三种方法对矩阵的若尔当标准性的求解过程做出了深刻详细的求解过程，引用鲜明的例子对以上求解方法做出相应的解释。第四章主要是对若尔当标准形在微分方程中的一个应用。
矩阵理论学习就是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的理论。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、已与计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。因此，掌握矩阵的相似标准化的方法在解决实际问题时，往往可以起到事半功倍的效果。
第二章：若尔当标准形
2.1若尔当标准形的定义
定义：上三角矩阵
000000()0
0000
def k c c J c c c ??
? ? ? ? ? ??
?
=
称为若尔当块（jordan block ）。 由若尔当块构成的对角矩
112233()000
0()00
00()0000
()k k k ks s J J J J λλλλ??
? ? ?
? ? ??
?
称为若尔当矩阵。
2.2矩阵最小多项式
定义2.21：设()n A M K ∈ 是一个矩阵，如果多项式
1
011()m
m m m
f a a a a λλ
λ
λ--=++???++
使得：
1
011()0
m
m m m n f A a A a A a A a E --=++???++=
则称()f λ是A 的零化多项式。A 的次数最小的首一零化多项式称为A 的极小多项式（minimal polymial ）,记为()A m λ。
引理2.21：()A m λ整除A 的任意零化多项式。特别的()|()A A m f λλ。
证明 设()f λ是A 的任一零花多项式，则()0f A =。由带余除法定理可知
()()()()
A f m q r λλλλ=+，()0
r λ=或
00
(())(())
A r m λλ?
(())
A m λ?的最小性
知()0r λ=
()|()
A A m f λλ∴
引理2.22：
()
A m λ的根必是
()
A f λ的根。 证明 若A 有特征根0
λ不是
()
A m λ的根，则
0,(())1
A m λλλ-=。∴存在(),()[]u v C λλλ∈使得
0()()()()1
A u v m λλλλλ-+=
0()()m n
u A A I I λ∴-=，取行列式知0det()0
m A I λ-≠与
λ是A 的特征根矛盾。
由引理1、2知
()
A m λ与
()
A f λ有相同的根。
引理2.23 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。 例2.21 设
0100000000010
0A ?? ? ?= ?
???
010
00000000000
0B ??
? ?=
? ???
2
()()A B m m λλλ
==，但A 、B 不相似。
引理2.24 设A 为n 阶方阵且A 相似于
1
230
B B B B ??=
???
其中1B 、3B 为方阵，则12[(),()]|()B m B m B m λλλ 特别的由引理3 知 当20B =时
12()()[(),()]
A B m m m B m B λλλλ==。
定理2.21 设()n A M C ∈
12121
()()()(),i
s
r r r A i i f ri n
λλλλλλλ==---=∑
则
1212()()()()i
t
t
t
A i m λλλλλλλ=--- ，其中1,1.i i t r i s ≤≤≤≤
由引理1、2即得结论。 例2.22 设
3100
2011
2A -?? ?= ? ?-?
?
，求()A m λ
解
2
()(3)(2)A f λλλ=
--
，
()
A m λ∴只能是下两个多项式之一，即
1()(3)(2)
m λλλ=--，
2
2()(3)(2)
m λλλ=--将A 带入
1()
m λ得1()0
m λ=，故
()(3)(2)
A m λλλ=--。
定理2.22 11()(),()
()A A n n f A m D D λλλ--=为I A λ-的n-1阶行列式因子。
可根据如下方法求出
1()
n D λ-。
因为(()()),
A A f f u λ-记
()()
(,)A A f f u r u u
λλλ-=
-故
()()()(,)
A A f f u u r u λλλ-=-，分别以I λ与A
代λ和ui 得()()(,)A f I I A r I u λλλ=-得*
()()r I A I A λλ-=- （*A 表示A 的伴随矩阵。而
1()
n D λ-恰为
*
()
I A λ-的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求出A 的最小多项式）。
例2.23 设
3321
5213
0A -?? ?=-- ? ?-?
?
求
()
A m λ。
解
2
()(2)(4)
A f λλλ=--
2
2
()()
(,)(8)820
A A f f u r u u u u
λλλλλλ-=
=+-+-+-
2*22
2
2
5636
24
()(8)(820)2
32
24236
812I A A A I λλλλλλλλλλλλλλλλ??
-+-+- ?
∴-=+-+-+=-+-+-+ ? ?-++-+?
?
显然
*
()I A λ-中所有元素首一最大公因式1()2n D λλ-=-
2()()(2)(4)
()
A A f A m D λλλλ=
=--
2.3定理的证明
定理2.31：任意的复数域矩阵()n A M c ∈都与一个若尔当矩阵相似，这个若尔当矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，被矩阵A 唯一确定，称为矩阵A 的若尔当典范型。 证明：如果矩阵A 的初等因子组是
()11k λλ-，()22k λλ-，……，()ks
s λλ-
则若尔当矩阵
112233()000
0()00
00()0000
()k k k ks s J J J J λλλλ??
? ? ?
? ? ??
?
有同样的初等因子组，因此A 与J 相似，如果A 又与另一个若尔当矩阵1J 相似，则J 与1J 有相同的初等因子组，因而有相同的若尔当块，它们之间的差别只是块的排列次序不同。
对矩阵A 的阶数n 用数学归纳法证明。
n=1时，一阶矩阵自身就可以看作若尔当形矩阵。设n>1且一切阶数小于n 的矩阵都相似于一个若尔当形矩阵，现在我们就来看n 阶矩阵的情况。
设A 为n 阶矩阵，我们将它看作n 为向量空间V 的线性变换
1
012
12
111
1
000
n k J a a J A T AT A J λ-??
?? ? ?
?
?== ? ?
? ?
????
关于基12{,,}
n ξξξ 的矩阵，任取σ的一个特
征根
λ，设
1
a 是σ的属于特征根
λ的特征向量，由它扩充得V 得一个基12{,,,}
n a a a ，那么
σ关于这个基的矩阵是一个与A 相似的矩阵A ，
12
11
00
n a a A A λ?? ? ?= ? ???
其中1
A 为n-1阶矩阵，根据归纳假设可知，存在n-1阶可逆矩阵1T
，使得
12
1
1100
k J J T AT J -??
?
?= ? ???
为若尔当标准型，现令
1
10
000T T ?? ?
?= ? ???
那么T 的可逆且1
T AT B -=有以下形状：
1211
00n k b b J B J λ??
?
?= ?
???
其中
i
J 为形如
1
0000100000100
i
i i i λλλλ?? ? ? ? ? ? ??
?
的若尔当块。因此存在V 的一个基
12,{,}
n βββ ，使线性变换σ关于这个基的矩阵B 。
如果σ至少有两个不同的特征根，我们不妨设
k λλ≠，并设
k
J 的阶数为
n m - (11)m n ≤≤-。
取V 的基
12,{,}
n γγγ ，使
,1,2,i i i m γβ== 1,1,,,
i j j x j m n γββ=+=+
其中
11
1
10
,,2,,,
j j m m j k k b x b x x j m n λλλλ-++-=
=
=+-- 那么我们将有 111
1(),(),2,,.
m k m j j k m j m n σγλγσγγλγ++-+==+=+
于是σ关于基
12,{,}
n γγγ 的矩阵C 于A 相似，且有以下形式：
1211
110
00000m
k k k b b J C C J J J λ-??
? ?
???==
? ???
? ? ? ??
?
对于C 使用归纳假设，不难证得C （从而A ）相似于一个若尔当标准形矩阵。
现在设0λ为σ的n 重特征根。这时在矩阵B 中，120k λλλλ==== 。我们设23,,,k J J J 的第一列在B 中的位置分别为第23,,,k S S S 列，下面我们分三种情况讨论： 如果
21211,,,k
S S b b b ，中至少有一个是零。我们不妨设
1k
S b =0（否则适当调整
12,{,}
n βββ 中向
量的顺序就可以做到这一点），现令
,1,2,,1i i k i s γβ==- ,,,1,
j j k j s n γβ==-
那么σ关于基
12,{,}
n γγγ 的矩阵C 有如下形状：
1211
1
11
00000k s k k k b b J C C J J J λ--??
? ?
?? ?==
? ???
? ??
?
如同上述，C （从而A ）相似于一个若尔当标准型矩阵。 若矩阵B 中，k=2而
120
b ≠，现在令
11223311,,2,3,,i i i ii i ii i x x x x i n
γβγββββ--==++++=
适当选取ij
x ，使
10(),2,3,,i i i i n
σγγλγ-=+= 这时可以做到的，事实上只需要令2212
1x b =-
，
并且当
1213(1)
,,,i i i i x x x ---- 已求的时，令
1212131314(1)112
1()
i i i i i x x b x b x b b ----=-
+++ ，
(1)(1),3,4,,,
ij i j x x j i --== 即可。σ关于
12,{,}
n γγγ 的矩阵为若尔当标准型矩阵：
000010000100000100
λλλλ?? ? ? ? ? ? ??
?
若尔当矩阵B 中k>1且
21211,,,k
s s b b b 均不为零，我们不妨设
k
J 的阶数不超过
1
J 的阶数，并令
1,1,2,,,
i i k i s γβ-==
1,2
2,
k
k
k
s s
s x γββ+=+
1
1,221,331,
k
k k k s
s s s x x γβββ++++=++
……………………
2233,2
,
k
k
n n n n n s
n s n x x x γββββ-+-=++++
与（2）类似，我们可适当选取
ij
x ，使得
0(),
k
k
s s σγλγ=
1
01(),,,.
j j j k j s n σγγ
λγ-+=+=
于是σ关于基
12,{,}
n γγγ 的矩阵的C 的形状为
1211
1
11
00000k s k k k b b J C C J J J λ--?? ? ?
?? ?==
? ???
? ??
?
进而可证明C （从而A ）于一个若尔当矩阵相似。
本章小结：
本章主要是对矩阵若尔当标准形的定义的给出，与矩阵极小多项式的求法和一个定理的证明（即任意的复数域矩阵()n A M c 都与一个若尔当矩阵相似，这个若尔当矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，被矩阵A 唯一确定，称为矩阵A 的若尔当典范型）。
第三章：矩阵若尔当标准型的求法
3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型
由初等因子求A 的若尔当标准型的一般步骤：
第一步：求A 的初等因子，一般是对E A λ-进行变换，求出A 的不变因子，从而得到A 的初等因子。也可以通过行列式因子确定A 的初等因子。 第二步：如果以求出A 的全部初等因子为
1
(),1,2,,1i i i
r i i J i s λλλλ??
?
?== ? ??
?
分别写出与这些初等因子相应的若尔当快
12()()
,()i i i r r r s J J J J λλλ?? ? ?=
? ?
??
?
就是A 的若尔当标准形。
例3.11求矩阵13
16146
766
8
7A ??
??=---????---??
的若尔当典范型。
解：先求A 的初等因子，然后由初等因子写出A 的若尔当标准形。
1316
141
2
146
76016
6
8
71
1
7E A λλλλλλλλλ-+--??
??
?
?
?
?-=-+-??→
+????????--+---++??
??
()
()2
12
141
1
61
711λλλλλ??
+--??
??????→+??→
??????
??+??
+-??
?
?
其中最后一步又行列式因子而得到。从而A 的初等因子为
()1λ-，()2
1λ+，
它们所对应的若尔当块分别为
1(1)
J =与211(
)
1J -=-
所以A 的若尔当典范形为
1000
110
1J ??
??=-????-??
3.2利用矩阵的秩
定理3.21 设0λ为矩阵A 的一个特征值，令
00;(),1,2,k
k n n n rank A E k λ==-=
作出下表
n 1n 2n ，…，1k n - k n 1k n +…
1b 2b
3
b ，…，k b 1k b +… 1a
2
a ，…，k a …
其中1k k k b n n -=-，，1
k k k
a b b +=
-则
（1）1b 等于A 的属于0λ的若尔当标块（也是初等因子）的个数； （2） k a 等于A 的属于0λ的k 阶若尔当块（也是k 次初等因子）的个数。 证明 设
i
A 为i r
阶矩阵，令
1
s
i
i
i A a
A ==
⊕
表示依次由
i
a 个子矩阵
(1,2,,)
i A i s = 所构成的分块对角矩阵，显然有
1
s
i
i rankA a
rankA
==
?∑
1
s
k
k
i i
i A a A ==⊕
设J 为若尔当标注形，
k
a 等于A 的属于
λ的i 阶若尔当块的个数，则
1
n i i i J a J B
==⊕⊕
其中
i
J 表示A 的属于
λ的i 阶若尔当块,B 为由A 的不属于特征值0
λ的若尔当块所构成的分
块矩阵对角阵。设B 的阶为t ，则：
1
n
i
i n a i t
==
+∑
因A 与J 相似，所以
0A E
λ-与
0J E
λ-也相似。从而
00()()
k
k
rank A E rank J E λλ-=-
故
00()()
k k
rank A E rank J E λλ-=-
001
()()
n
k
k
i
i
i t i a rank J
E rank B E λλ==
-+-∑
1
()n
i
i a i k t
==
-+∑
所以
1
00()
()
k k
k b rank A E rank A E λλ-=---
1
1
()n
n
i i
i i n a i t a
===-++
∑∑
1
n
i
i a
==
∑
=A 的属于特征根0λ的若尔当块的个数。
1
00()
()
k k
k b rank A E rank A E λλ-=---
1
(1)()
n
n
i
i i i k
a i k a i k
===
-+
--∑∑
1(11)(1)
n
k i i k
a k k a i k i k
-==--++-+-+∑
n
i
i k
a
==
∑
所以
11
n
n
k b i
i k
i k
i k b b a
a a +==+-=
-
=∑∑
，即得所证。
如果利用矩阵的的初等变换来求若尔当标准形，其要点是对E A λ-进行初等变换，求出
E A λ-的不变因子。所以计算量是比较大的。用这种方法即使对于低价的矩阵也是比较复杂
的。所以我们可以利用定理3.21求矩阵A 的若尔当标准形，求若儿的标准形的一般步骤为： 第一步：求A 的特征多项式()||
A E A χλλ=-；
第二步：解方程
()0A χλ=，求出A 的所有不同特征值：
12,,,s
λλλ 。
第三步：对每一个i
λ，计算
()
k
k n E A λ=-及
,,1,2,k k b a k =
n =n 1n 2n ，…，1k n - k n 1k n +…
1b 2b
3
b ，…，k b 1k b +… 1a
2
a ，…，k a …
则
j
a 就是A 的属于特征值
j
λ的若尔当块的块数。
第四步：按第三步所确定的
j
a ，写出相应的若尔当形矩阵J ，这就是A 的若尔当标准形。
例3.21求矩阵
1316146
766
8
7A ??
??=---????---??
的若尔当典范型。
13
16
141214()676
016
6
8
71
1
7
A λλχλλλλλλλ---+--=
+=
++---++
即：
2
1
2
7()016
(1)(1)
1
A λλχλλλλλ+-+=
+=-+-
因为特征根为1λ=的重数为1，故A 仅有一个1阶的属特征值1λ=的若尔当块1(1)
J =
对于1λ=-，因为
14
1614020(1)6
66111,()268
602
0A E rank A E ????
? ?
--=---→+= ? ? ? ?----?
??
?
因为特征根1λ=-的重数是2。，故这个若尔当块为
21
10
1J -??=
?-??
从而A 的若尔当标准形为：
1000
110
1J ??
??=-????-??
例3.22求矩阵
5
262
0321
2A ?? ?=- ? ?-?
?
若尔当标准形。
解 A 的特征多项式
32
()31923(1)(11A χλλλλλλλ=--+=----+
因A 的特征多项式无重根，所以A 可对角化。从而A 的若尔当标准形就是由A 的特征值所构成的对矫正。故A 的若尔当标准形为
111J ?? ?=+
? -?
3.3用循环向量法求若尔当形
定义3.31 设0λ是n 阶方阵A 的一个特征根，0p 是A 的属于特征根0λ的特征向量，若有k 个非零向量12,,,k p p p 为0p 的循环向量。
命题1 某个特征向量的循环向量的个数加上1等于他所对应的若尔当块的阶数； 命题2 所有的特征向量和他们的循环向量组成演化矩阵P 。
证明 设n 阶方阵A 相似于若尔当标准形J ，即有可逆矩阵P,使得1
P AP J -=（即A P P J =）。
其中，
1
2
r J J J J ??
?
?= ?
?
?
?
，而
121
,(1,2,,),,,,1k k
k r
k J k r λλλλλ
λ??
?
?== ? ???
是A 的特征根。
若12,,,n
p p p 是演化矩阵P 的n 个列向量，则
1212(,,,)(,,,)n n A p p p p p p J
=
设
k
J 的左上角第一个k
λ位于若尔当标准形J 的第
k
j 列
k
j 行，
k
J 是
k
n 阶若尔当块，则由矩阵的
乘法可得：
()
11212(1)(2)1,k k k k k k k k k k k k k
k j j k j j k j j j k j j n j n k j
n A p p A p p p A p p p A p p p λλλλ++++++-+-+-==+=+=+
于是：
121(1)(2)()0;();();().
k k k k k k k k k k j k j j k j j k j n j n E A p E A p p E A p p E A p p λλλλ++++-+--=-=--=--=-
因此
k
j p 就是A 的特征根
k
λ的一个特征向量，而向量
12(1)
,,,k k k k j j j n p p p +++- 就是
k
j p 的循环向
量。所以A 的特征向量的个数就是A 的若尔当块的个数r,第k 个特征向量k
p 的循环向量的
个数加上1就是A 的第k 个若尔当块的阶数k
n ，所有的特征向量和他们的循环向量组成了演
化矩阵P 。