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1．2.2 同角三角函数的基本关系
课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________(α≠k π＋π
2
，k ∈Z )．
2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：
sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______； sin α·cos α＝______________________＝________________________.
(2)tan α＝sin α
cos α
的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.
一、选择题
1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14 B.12 C ．1 D.32
2．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43
4．已知tan α＝－1
2，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是( )
A.13 B ．3 C ．－1
3
D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1
tan α
的值为( )
A ．－4
B ．4
C ．－8
D ．8 6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( ) A.12 B ．2 C ．－1
2 D ．－2
二、填空题
7．已知α是第四象限角，tan α＝－5
12
，则sin α＝________.
8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.
9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π
2，则cos α－sin α＝____.
10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1
k －3
，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
11．化简：1－cos 4α－sin 4α
1－cos 6α－sin 6α
.
12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x
1＋tan 2x
.
能力提升 13．证明：
(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1
＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )． (1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；
(2)求tan θ＋1
tan θ
的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在
“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8α
cos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同
角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin α
cos α
2．(1)1－cos 2α
1－sin 2α
1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－1
2
1－(sin α－cos α)22 (2)cos αtan α sin α
tan α
作业设计
1．C 2.B 3.A
4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12
－1
＝－1
3.]
5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α.
∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1
tan α
＝－8.]
6．B [方法一 由?????
cos α＋2sin α＝－5
cos 2α＋sin 2α＝1
联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.
化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0 ∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－25
5
. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55
. ∴tan α＝sin α
cos α
＝2.
方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，
∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α
＝5，
∴tan 2α－4tan α＋4＝0， ∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]
7．－513
8.45 解析
sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝
sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2
tan 2
θ＋1
， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝4
5.
9．－
3
2
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝3
4
，
∵π4<α<π2，∴cos α ∵sin 2θ＋cos 2θ＝ ? ????k ＋1k －32＋? ?? ??k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0， ∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去． 当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝3 4. 11．解 原式＝(1－cos 4α)－sin 4α (1－cos 6α)－sin 6α ＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α (1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α ＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α ＝ 1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α 1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝2 3 . 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝ (cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x ) ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝右边． ∴原等式成立． 13．证明 (1)左边＝sin 2α sin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 α sin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2α cos 2α ＝sin 2α sin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α ＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α ＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α ＝sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立． (2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， 右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α ∴左边＝右边，∴原式成立． 14．解 (1)由韦达定理知： sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a . ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴a 2＝1＋2a . 解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2 ∵sin θ≤1，cos θ≤1， ∴sin θcos θ≤1，即a ≤1， ∴a ＝1＋2舍去． ∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝2－2. (2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2 θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝1 1－2 ＝－1－ 2. 高中数学知识点 三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。 2 、同角三角函数的关系中，平方关系是：，， ； 倒数关系是：，，； 相除关系是：，。 3 、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： ，= ，。 4、函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其 图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ；的递增区间是，递 减区间是，的递增区间是 ，的递减区间是。 6 、 7 、二倍角公式是：sin2 = cos2 = = = tg2 = 。 8 、三倍角公式是：sin3 = cos3 = 9 、半角公式是：sin = cos = tg = = = 。 10 、升幂公式是：。 11 、降幂公式是：。 12 、万能公式：sin = cos = tg =
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