第一篇理论力学
理论力学，它是研究物体机械运动一般规律的一门科学；理论性较强，且在工程技术领域中有着广泛应用的技术基础课，是近代工程技术的重要理论基础之一；为大家的后继课程，材料力学、机械原理、机械设计等等提供必要的基础知识。
一、基本概念
1.机械运动：指物体在空间的位置随时间的变化；
2.物体的平衡：指物体相对于地面静止或作匀速直线运动；
注：我们这里说的位置是相对的量，需要借助参考系对位置进行具体描述。
二、理论力学的主要内容：
1.静力学：研究力系的简化与物体在力系作用下的平衡规律；
2.运动学：从几何学的角度来研究物体的运动规律；
3.动力学：研究作用于物体上的力与物体运动变化的关系；
4.研究对象：刚体，指任何情况下都不发生变形的物体，也就是说，一个物体受力后，其内部任意两点的距离保持不变，其尺寸又不可忽略的物体，即不考虑受力时的变形；
质点：同刚体相类似，不考虑变形，且其大小尺寸也可忽略不计的受力体。
第一章静力学基础
静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学，其主要内容之一就是建立力系的平衡条件，并借此对物体进行受力分析。
一、概念：
1.力系：指作用于同一物体上的一组力；
2.物体的平衡状态：指物体相对于地球处于静止或匀速直线运动；
3.平衡力系：物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系；
4.力系的简化：它是静力学建立力系平衡条件的主要方法，指用简单的力
系代替复杂的力系，这种代替必须在两力系对物体的作用效应完全相同的条件下进行；
5.等效力系：对同一物体作用效应相同的两力系；
6.合力：一个力与一个力系等效，则此力为该力的合力。
二、静力学研究的主要问题
1. 力系的简化；
2. 建立物体在各种力系作用下的平衡条件。
第一节 力的概念
一、力的概念
1. 力是相互的；力是物体间的相互作用，这种作用将引起物体机械运动状态发生变化；
2. 力作用于物体的两种效果：
力的外效应：使机械运动状态发生变化（静力学） 力的内效应：使物体产生变形（材料力学） 3. 力的三要素：力的大小、方向和作用点（线） 4. 力的单位：牛顿（牛）：N ；千牛顿：kN
5. 力的矢量表示：F
A B ??→ ：力是矢量：既有大小，又有方向的物理量。 用带箭头的线段表示；线段的延伸称为力的作用线；
注：线段AB 的长度表示力的大小；线段的方位和箭头表示力的方向，其起点和
终点表示力的作用点。用带箭头的大写字母表示力；F
，用F 表示力的大小。
力的性质（公理）
性质1（两力平衡原理）：作用于同一物体上的两个力，使其处于平衡状态的必要与充分条件是：此两力必须等值，反向，共线（只适用于刚体） 注：受两个力而平衡的构件称为两力构件。 例：
性质2（加减平衡力系原理）：在已知力系上，加上或减去任一平衡力系，不会改变力系对刚体的作用效应。
推论1（力的可传性原理）：作用于刚体上的力，可沿其作用线滑移到该刚体的任何位置而不会改变此力对刚体的作用效应（力是滑移矢量，不能任一移至作用线以外的位置）。
注：121F F F F F ==??和平衡力由性质2得推论1。
注意：力的可传性原理不适用于研究物体的内效应；在研究物体的内效应时，力
应作为固定矢量处理。
性质3（力的平行四边形法则）：作用于某点两力的合力也应用于该点，其大小和方向可用此两力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。 矢量合成式：
矢量合成式：12R F F F =+
反之，力也可以分解，也可用平行四边形法则来进行，但必须附近一定条件： 1) 规定两个分力的方向；
2) 规定其中一个分力的大小和方向等等
推论2（三力平衡定理）：若刚体在三个共面而又互不平行的力作用于平衡状态，则此三力必须汇交于一点（三力构件）。 证明：
注：若三个力中已知两个力的交点及第三个力的作用点，即可判断出第三个力作用线的方位。
性质4（作用与反作用公理）：若将物体间相互之一称为作用力，则另一个就被称为反作用力，两物体间的相互作用力与反作用力必定等值，反向，共线，分别同时作用于两个相互作用的物体上。
此公理阐明了力是物体间的相互作用，作用与反作用的称呼是相对的，力总是以作用与反作用的形式存在的，且以作用与反作用的方式进行传递。 注意：性质1与性质4的区别。 补：
1. 物体系（物系）：多个物体（构件）通过某种约束按照一定的方式连接起来的系统。物系外的物体与系间的作用力称为外力，而物系内部物体间的相互作用力称为内力。内力总是成对出现的，且等值，反向，共线，所以对物系而言，内力的合力总是零。
2. 公理：是人们在长期的生活和实践中总结概括出来的，它们简单而明显，为大家所公认而无需证明，上面的四条力的性质即为公理，而推论则需要严格的证明过程。
静力学的全部理论都可以用上述四个公理推证而得出，如前所述的推论1和推论2。这部分基本上采用这种逻辑推演的方法，建立静力学的理论体系，这
一方面能保证理论体系的完整和严密性，另一方面也可以培养我们的逻辑思维能力。
第六节约束力与约束反力
1.约束的概念：一物体的运动受到周围物体的限制时，这种限制称为约束，约束限制了物体本来的可能产生的某种运动，因此，约束有力作用于物体，这种力称为约束力。
2.力的分类：
主动力：使物体产生可能运动的力，称为主动力；
约束力：约束限制某种可能运动的力，称为约束力。
因为约束力是由主动力引起的反作用力，故其全称为约束反作用力，简称约束反力。
注：约束反力总是作用在被约束物体与约束物体的接触处，其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反。
一、柔性约束：
由柔（绳）索，胶带，链条等所形成的约束。
只限制物体沿柔索伸长方向的运动，即对物体只有沿柔索方向的拉力，由F表示。
受力：沿柔索的中心线而背离物体（拉力）
例：
二、光滑面约束（相对光滑）
此约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线指向约束物体的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束物体，简称法向压力。
例：
注：
1)指向被约束物体；
2)沿曲面的法向方向；
3)不计摩擦
三、铰链约束
1) 若项链的构件有一个固定，则为固定铰链（支座） 2) 若均不固定，则为中间铰链
3) 支座只能限制构件沿之承面垂直方向的运动，约束反力必定通过铰链中心，
并垂直于之承面。 例：
四、固定端约束反力
例：建筑物上的阳台，地面上的电线杆等等 既限制移动，又限制转动。 力：限制移动；力偶：限制转动
五、轴承约束（向心轴承或径向轴承）or （向心推力轴承和径向止推轴承） 1. 向心轴承通常不限制轴沿轴线方向的运动，约束反力在垂直于轴线的径向平
面内，一般有两个正交分力：A X 和A Y （空间）或A X
（平面问题）； 2. 径向轴承不但限制垂直于轴线方向的运动，而且还起到轴向止推的作用，为
此，我们要用三个约束反力B X ，B Y ，B Z （空间问题）或为B X ，B Y
（平面问题）。
第七节 受力图
为了求解力学问题，我们需要根据问题的已知条件和待求量有选择地研究某个物体或某几个物体的运动和平衡，这一个或几个物体就称为研究对象。 1. 分离体：把研究对象从与它联系的周围物体中分离出来，这种解除了约束的自由体称为分离体。
2. 研究对象：受力体；与其周围联系的物体：施力体。
3. 画受力图的一般步骤：
1) 画出分析对象的分离体简图（取隔离体）； 2) 在简图上标上已知的主动力（先画主动力）；
3) 在简图上解除约束处画上约束反力（后画约束反力）； 4) 回头检查，力是否画的完整，正确 例： 解：
第二节 平面汇交力系的合成运算
什么是平面汇交力系？力系中各力作用线在同一平面且汇交于一点者称为平面汇交力系。因为力是矢量，故平面汇交力系的合成亦按矢量法则进行。 平面汇交力系的合成方法有两种：一是几何法，二是解析法，下面分别介绍。 一、几何法
1. 两汇交力系合成的三角形法则：将2F 平行移至1F 的终点，连接1F 的始点和2F 的终点，即得合力R ，指向2F 的终点。
注意：力三角形只表明力的大小和方向，它不表示力的作用点或作用线，合成时合力的大小与作用力的次序无关。 例：
2. 多个汇交力合成的力的多边形法则
必须注意：在力多边形中，各分力矢依次首尾相接，也就是说各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，由此构成一个有缺口的力多边形abcde ，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则是此力多边形的封闭边，但它的方向与各分力环绕力多边形的方向相反，且与各分力矢的作图顺序无关。
12R F F F =++ ……n F F =∑
即平面汇交力系合成的一般结果为一合力R F ，合力R F
为力系中各力的矢量和，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力R F
的大小和方向与各力合成的顺序
无关。
3. 平面汇交力系平衡的几何条件：R F =
0F =∑
即：此力系组成的力多边形自行封闭。
注：几何法解题具有直观、简便、一目了然的优点；但结果不够十分精确。 二、解析法（以力在坐标轴上的投影为基础）
1. 力在直角坐标轴上的投影：过力F 两端向坐标轴引垂线。
cos sin x y F ab F F a b F αα
==''==-（α为锐角）
投影的正负号规定：从始端到末端的指向与坐标轴正向相同为正，反之为负。
注：力的分量是矢量，力的投影是代数量。
由勾股定理知：tan (y
x
F F F α?=?
?=??
矢量方向） 2. 平面汇交力系合成的解析法：
已知：12R F F F =++ ……n F F =∑
将上式两边分别向力，y 轴取投影，则有：
12Rx x x F F F =++ ……nx x F F =∑
12Ry y y F F F =++ ……ny y F F =∑
即得到合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。 同理：
R F =
；tan y
x
F F
α=∑∑
3. 平面汇交力系平衡的解析条件：R F ＝0
即： 00
x y F F ?=??=??∑∑ 平面汇交力系的平衡方程。
则有：各力在x 轴和y 轴上投影的代数和分别等于零。 4. 求解平面汇交力系平衡问题的主要步骤：
1) 选取研究对象 2) 受力分析（4步走）
3) 根据平衡条件列平衡方程求解未知力： 几何法：选适当的长度和力的比例尺 解析法：选坐标系，投影计算
第三节 力对点之矩
一、力矩的概念：力对点优点之矩为一代数量，它的大小为力F 的大小与力臂S
的乘积，它的正负号表示力矩在平面的转向，记作()
2o M F FS OAB =±=±?
1. 符号规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正，反之为负。 例：
2. 显知：
当力的作用通过矩心时，即S=0，则()
0o
M F =
力沿其作用线滑移时，不会改变力对点之矩的值。 3. 力矩的单位：牛[顿]米，NM 二、合力矩定理（适用于任意力系）
叙述：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点之矩
的代数和。()()
o R o M F M F =∑
注：在计算力矩时，有时力臂值未在图上标出，计算亦较繁，应用这个定理，可将力沿图上标注尺寸的方向作正交分解，分别计算各分力的力矩，然后相加求出原力对该点之矩。
第四节 力偶的概念及其运算法则
一、力偶的定义：一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶臂：二力之间的距离，用d 表示
表示：()
,F F '
二、力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位（力偶对物体的作用效应取决于
此）
力偶矩：在力学上，以F 和d 的乘积冠以适当的正负号作为量度力偶在其作用面
内对物体转动效应的物理量，记作：()
,M F F '
或M 。
即：()
,2M F F M Fd OAB '==±=±?
符号规定：力偶取逆时针转动为正，反之为负。 单位：
三、力偶的等效条件
凡三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以置换，等效示意图 例：
四、力偶的性质
性质1：力偶对其作用面内的任意点的力矩值恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。 证明：
性质2：力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，即力偶无合力（力偶不能用一个力等效，也不能用一个力来平衡）
力和力偶可同时看成力系的两个基本元素。
由上述两条性质，则有：
力偶在其作用面内可任意转移位置；
力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小。
五、平面力偶系的合成：结果为一合力偶，合力偶矩的大小为各分力偶矩的代数和。
补：平面力偶系平衡的充要条件是：
力偶系中各力偶矩的代数和等于零
例：
整体受力分析如上图所示：
取隔离体
反代回去，得
综上所述，各约束处得约束反力均为已知了。
第五节力的平移定理（力线平移定理）
1.内容：作用于“刚体”上的力，均可平移到刚体内任一点，但同时附加一个力偶，力偶等于原力对该点之矩，此即力的平移定理。
2.力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用。
例：
补：力在直角坐标系与斜坐标系上的投影的区别及分解与投影的关系？
第二章 平面力系
第一节 平面任意力系的概念，简化及简化结果的讨论
一、平面任意力系的概念
力系中各力的作用线都在同一平面内，它们即不汇交于一点，也不全部平行，此力系称为平面任意力系。 二、平面任意力系的简化结果及其讨论
平面汇交力系简化时可以用力的平行四边形法则或三角形法则，将力依次合成，平面任意力系的简化也可以用这种方法，但过程较繁琐，实际意义也不大，因此我们利用刚学过的力的平移定理，将其向一点进行简化。
例：
简化之后得到一个合力'
R F 和一个合力偶o M 。
其中，'R F 称为主失，o M 称为主矩，原力系与主失'
R F 和主矩o M 的联合作用等效。主失'
R F 的大小和方向与简化中心O 的选择无关，只是原力系各力的矢量和；但
主矩o M 与简化中心O 的选择有直接的关系。 三、简化结果的讨论
1. '0,0R
o F M =≠?合力偶，()
o o
M M F =∑
，此时为平面力偶系的简化，与简
化中心无关；
2. '0,0R o F M ≠=?合力，
R F =
3. '0,0R o F M ≠≠?合力，力的平移定理的应用； 其中，'o o R R
M M
d F F =
=，'O 在O 的哪一侧由o M 的转向决定。 4. '0,R o F M =?平衡力系。
第二节 平面任意力系的平衡方程及其应用
一、平面任意力系的平衡方程
1. 基本形式：由上一节的平面任意力系的简化讨论知道，当主失'
R F 和主矩o M 同
时等于零时，力系即为平衡状态，则平面任意力系平衡的充要条件为：
()
'0
0000x R
y o o o
F F F M M F M F ?=??==???=????
==?=??∑∑∑∑ 此组平衡方程相互独立，最多只能求解三个未知量。
2. 二矩式：()()0000x y A B
F F M F M F ?==??
=??=??∑∑∑∑
或力的投影轴不能与A 、B 的连线相垂直。
3. 三矩式：()()()
000A B
C
M F M F M F ?=??
=??=??∑∑∑
A 、
B 、
C 三点不共线。 注：
1. 在应用平衡方程解平衡问题时，为了使计算简化，通常将矩心选在两个未知力的交点上，而坐标轴则尽可能与该力系中多数未知力的作用线垂直。
2. 如果不满足2、3中的两个附加条件，所列的三个平衡方程将不能保持相互独立，不论选取哪一组形式的平衡方程，对同一个平面力系来说，最多只能列出三个独立的平衡方程，因而只能求出三个未知量。 三、平面任意力系平衡方程的解题步骤： 1. 确定研究对象，画出受力图；
应该选取既有已知力又有未知力作用的物体（二力构件不能作为研究对象）；当研究对象是物系时，先观察整体构件，计算中最好遵循“先整体，后局部”的做法，尽量避开题目不要求求解的未知力（内力）。 2. 列平衡方程求解
适当选取坐标轴和矩心，一般水平和垂直坐标轴可以不画，但倾斜的坐标轴必须画。
注意：由于物体系是由许多物体组成的，因此，在解物体系时，就有一个选择对象的问题，原则是：先选取运用平衡方程能确定某些未知量的部分为研究对象；此外，在选择平衡问题时，应尽可能避免解联立方程；当物系平衡时，该系中的物体必然处于平衡状态，对于每一个物体，可以列出若干个独立的平衡方程，在
考察整体平衡时，不必计及系统的内力。
约定：受力分析时，系统内力不必画出。 三、平面任意力系的特殊形式
1. 平面汇交力系：()
00
x o y F M F F ?=?≡?=??∑∑∑ （两个投影方程）
2. 平面平行力系：()
00y x o F F M F
?=?≡?=??∑∑∑ 或者()
()
00A B
M F M F ?=??=??∑∑
（AB 不平行F 作用线） 例：
第三节 静定与静不定问题及物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
1. 静定问题：一个刚体平衡时，未知量个数等于独立平衡方程格式，全部未知量可通过静力学平衡方程求解。
2. 静不定问题（超静定问题）：为了提高构件与结构的可靠性，采用了增加约束的方法，因而未知量个数超过了独立方程个数，仅用静力学平衡方程不可能求出所有的未知量。 二、物体系统的平衡（回顾） 例：
补：刚结点（不承受弯矩）用侧结点的两构件没有相对的转角，永远保持直角。
第四节 平面静定桁架内力的计算
1. 桁架的概念：是由一些杆件彼此在两端连接而组成的一种结构，各杆件处于同一平面内的桁架称为平面桁架；桁架中各构件彼此连接的地方称为节点。
2. 为了简化计算，工程中采用以下两种假设：
1) 桁架中各杆重力不计，载荷加在结点上； 2) 各杆件两端用光滑铰链连接。
?桁架中各杆件均为二力构件（杆）
，内力均沿杆件的轴线方向。 3. 桁架中杆件内力的计算方法：节点法和截面法。
一、节点法：取单个节点为研究对象即平面汇交力系的形式，只有两个独立的平衡方程，故应从只有两个未知力的节点开始计算。
注：在解题中，各杆内力一律假设为受拉状态，即其指向背离节点，求得力为正即为拉力，反之为压力。
例：
二、截面法：假想用一个截面将切开，任取一半为研究对象；在切开处画出杆件的内力，分离体上受平面任意力系作用，它可求解三个未知力。
注意：
1.所取截面必须将切成两半，不能有一根杆件相连；
2.每取一次截面，截开的杆件都不应超过三根。
例：
第三章 空间力系
1. 空间力系：力系中各力的作用线不在同一平面内。
2. 空间力系的分类：空间汇交力系，空间平行力系，空间任意力系。
第一节 力在空间直角坐标轴上的投影
1. 力在空间的方位分类
1) 轴向力：力的方位与某坐标轴重合或平行。 例：
轴向力不需要标注方向角。 投影：要么全投影，要么为零。
111222233310,,0.0,0,.,0,0.
x y z x y z x y z F F F F F F F F F F F F ======-=== 2) 平面力：力的作用线在某坐标平面或它的平行面上的力。 例：
力的下标即表示该力所处之平面；力F 的作用线与该力作用点引出的辅助线之夹角，即为它的方向角。 xz F
投影：cos ,0,sin x xz y z xz F F F F F αα=-==
xy F
投影：sin ,cos ,0x xy y xy z F F F F F θθ=== yz F
投影：0,cos ,sin x y yz z yz F F F F F ββ==-=-
3) 空间力：非以上两种情况的力。
1) 若力F 与x 、y 、z 轴的正向夹角α、β、γ为已知，则力F
在空间
的方向就完全确定了。
2) 若力F 与z 轴的夹角γ已知，同时F
与z 轴所组成的平面OA AD '和
oxz 坐标平面的夹角?已知，则F
在空间的方向也完全确定。
2. 力的投影
1) 直接投影法：cos ,cos ,cos x y z F F F F F F αβγ===
2) 二次投影法：sin ,cos ,
cos sin cos ;sin sin sin xy z x xy y xy F F F F F F F F F F γγ?γ??γ?
======
3.
力的计算：F == （大小） c o s ,c o s ,c o s y x
z F F F
F
F
F
αβγ=
=
= （方向）
第二节 空间汇交力系的合成与平衡
一、 空间汇交力系的合成
矢量式：12R F F F =++ ……n F F =∑
投影式： 1212Rx x x nx x
Ry y y ny y Rz z
F F F F F F F F F F F F =++??????==++??????=?=∑∑∑合力投影定理
计算公式：
R F =
c o s ,c o s
,c o s y
x
z R
R
R
F
F
F
F F F α
βγ===∑∑∑
注：空间汇交力系合成的结果为一合力，合力的作用线通过各力的汇交点，合力矢量为各力矢量的矢量和。
二、 空间汇交力系的平衡条件及平衡方程
1. 平衡条件：0R F =
2. 平衡方程：0,0,0Rx Ry Rz F F F ===∑∑∑
第三节 力对轴之矩
一、 力对轴之矩的概念
1. 学习目的：为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引进力对轴之矩的概念。
2. 定义：用d 表示z 轴与xy 平面的交点O 到xy F 作用线的垂直距离，在xy F 对O 点之矩就可以用力度量F 对门绕z 轴的转动作用，记作：
()
()z o xy xy M F M F F d ==±
注：力对轴之矩在轴上的投影是代数量，其值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩。
3. 符号规定：从z 轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。
4. 注：
1) 当力的作用线与转轴平行时，力对轴之矩为零； 2) 当力的作用线与转轴相交时，力对轴之矩为零。 5. 单位：N m ? 二、合力矩定理
计算空间力对轴之矩：()()
z
R z
M F M F =∑∑
第四节 空间任意力系的平衡方程 一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程
分析方法：通过力系的简化建立平衡条件，从而得到平衡方程。
1. 平衡条件：如果某一物体上作用着一个空间力系12,,n F F F ??????
，它既能产生使物体沿x ，y ，z 三轴方向的移动效应，又能产生绕轴转动的效应。若物体在空间力系作用下保持平衡，则物体应既不移动也不转动，从而得到平衡方程。 2. 平衡方程：0,0,0x y z F F F ===∑∑∑
()
()()
0,0,0
x
y z
M F M F M F ===∑∑∑
即：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和都必须分别等于零。
三、空间平行力系的平衡方程式
令z 轴与力系的各力平行，则有：()
0,0,0x y z F F M F ≡≡=∑∑∑
则得到平衡方程式：()
()
0,0,0z x
y F M F M F ===∑∑∑
补：四、空间汇交力系的平衡方程：()
()()
0,0,0x
y z M F M F M F ≡≡≡∑∑∑
则有平衡方程式：0,0,0x y z F F F ===∑∑∑ 五、空间力系的平面解法:
将空间受力图投影到三个坐标平面上，得到三个平面力系，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所有的未知量。
例题1
例题2（3－6）
第五节 重心的概念
1. 学习目的：因为重心与平衡稳定、安全生产有密切的关系。
2. 何以见得？
1) 用手推车推重物时，只有重物的重心正好与车轮轴线在同一铅垂面内时，
才能比较省力。
2) 起重机起吊重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的上方，才能使起吊过
程中保持物体的平衡稳定。
3) 电机转子、砂轮、飞轮等，都要求它的重心位于转动轴线上，否则会使
高速旋转的机器产生剧烈的振动，甚至引起破坏，造成事故，等等。
3. 重心的概念：由地球引力组成的一个空间平行力系的合成G 称为物体的重力；不论物体如何放置，此合力作用点是确定的，该点叫做物体的重心。
第六节 重心坐标公式
1. 均质、等厚平板，其形心为：
,,i i
i i
i i
c c c i
i
i
A y A y A z x y z A
A
A
=
=
=
∑∑∑∑∑∑？
2. 均质体，其形心为：
,,i i i i i i
c c
c
i
i
i
xV y V z V x y z V V V
=
==∑∑∑∑∑∑
3. 任物体：
,,i
i
i
i
i
i
c
c
c
i
i
i x G y G z G x y z G G G
===∑∑∑∑∑∑
注：
若某轴通过图形的形心，在图形对该轴的静矩必为零； 若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
第七节 重心及形心位置的求法
一、对称法（图解法）
对于均质体，若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，在物体的重心或形
心亦必在此对称面，对称轴或对称点上。
1. 若物体有两个对称面，则重心在两对称面的交线上；
2. 若物体有两个对称轴，则重心必在两对称轴的交点上；
3. 球心即重心、形心；圆心即形心。 例：
二、分割（解析）法 (1) 积分法－无限分割法
在求基本规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小的形体。 重心公式：,,c
c
c
c
c
c
xdG ydG zdG x y z G
G
G
=
=
=
???
类似地也可以用dV 和dA 来求解重心和形心。 组合法－有限分割法
若某物体为一个基本形体挖去一部分后的残留体，则只需将挖去的体积或面积看成负值，仍然可应用相同的方法求出形心。 三、平衡法（实验法）
注：物体的形状复杂或质量分布不均匀，其重心常由实验来确定 (1) 悬挂法：形状复杂的薄平板
(2) 称重法：形状复杂的零件，体积庞大的物体以及由许多构件组成的机械。 例：
第四章 摩擦
1. 研究摩擦的目的：掌握其规律，以便充分利用其有利的一面，尽可能地克服其不利的一面。 举例：
(1) 有利：人靠摩擦行走，车靠摩擦制动――摩擦制动器、带传动、摩擦轮
传动等等；
(2) 不利：由于摩擦带来了多余的阻力，损坏机件，消耗能量，降低效率，
同时摩擦还可能产生磨损。
2. 分类：
(1) 按照物体接触部分可能存在的相对运动，分为滑动摩擦和滚动摩擦。 1. 滑动摩擦是两物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦； 2. 滚动摩擦是一个物体在另一个物体上滚动时的摩擦，如车轮在轨道上的滚动。
(2) 按照两接触物体之间是否发生相对运动，分为静摩擦和动摩擦。 (3) 按照接触面之间是否润滑，分为干摩擦和湿摩擦。
第一节 滑动摩擦
1. 作用于接触处的公切面上；
2. 方向与物体的滑动方向或滑动趋势的方向相反。
3. 分类：静滑动摩擦和动滑动摩擦。 一、静摩擦： 实验： 分析：
(1) 开始时，用较小的砝码去作用于A 物体时，物体由于重力和摩擦力的作用处
于平衡；
(2) 逐渐增加砝码，此时f F 随1W 的增加而变大，当1W 增加到某一临界值时fm F ，
物A 处于临界平衡状态；此后若继续增大1W ，物体就会开始滑动。因此，静摩擦力也被称为切向有限的约束反力。 临界摩擦力：fm s N F f F =?
?静摩擦定律：临界摩擦力的大小与物体间的正压力成正比。 式中：s f －静滑动摩擦因数（静摩擦因数），为比例系数； N F －物体的正压力。
其中，s f 的大小与两接触物体的材料及表面粗糙度、干湿度、温度等有关，而与接触面积的大小无关。
由先前的分析知道，f F 随主动力的不同而改变，它的大小可由平衡方程确定，但介于0和临界值之间，即0f fm F F ≤≤，其方向与两物体间相对滑动趋势的分析相反。 注：
(1) 生产中利用也就是增大f F 的方法：加大正压力或s f 或两者同时加大来实现。 例：带传动中，需增加胶带轮之间的f F ，可以用张紧轮，也可以采用三角胶带代替平胶带等办法来增加f F 。
(2) 克服或减少f F 的方法：设法减少f F 例：降低接触面的粗糙度，加入润滑剂等。 综述，静摩擦力f F 的三要素：
(1) 大小：0f fm F F ≤≤，由物体的平衡条件来决定；临界状态下：f fm s N F F f F ==；
(2) 方向：与物体间相对滑动趋势的方向相反，并沿接触表面作用点的切向； (3) 作用点：接触点或接触面上摩擦力的合力作用点。 二、动滑动摩擦（'f F ）
1. 'f N F f F =? （当主动力1fm W F >f 时，由静变动，物体开始运动） 式中：f －动摩擦因子，通常s f f <
2. f F 与'f F 的显著不同点：
(1) 动摩擦力一般小于临界静摩擦力?维持一个物体的运动要比使它由静止进入运动要容易。
实验一求不规则物体的重心 一、实验目的：用悬吊法和称重法求出不规则物体的重心的位置。 二、实验设备仪器：ZME-1型理论力学多功能实验台，直尺、积木、磅秤、胶带、白纸等。 三、实验原理方法简述 （一）悬吊法求不规则物体的重心 适用于薄板形状的物体，先将纸贴于板上，再在纸上描出物体轮廓，把物体悬挂于任意一点A，如图1-1（a）所示，根据二力平衡公理，重心必然在过悬吊点的铅直线上，于是可在与板贴在一起的纸上画出此线。然后将板悬挂于另外一点B，同样可以画出另外一条直线。两直线的交点C就是重心，如图1-1（b）所示。 A (a) 图1-1 （二）称重法求轴对称物体的重心 对于由纵向对称面且纵向对称面内有对称轴的均质物体，其重心必在对称轴上。
图1-2 首先将物体支于纵向对称面内的两点，测出两个支点间的距离l ，其中一点置于磅秤上，由此可测得B 处的支反力N1F 的大小，再将连杆旋转180O ，仍然保持中轴线水平，可测得N2F 的大小。重心距离连杆大头端支点的距离C x 。根据平面平行力系，可以得到下面的两个方程： C 1N N21N =?-?=+x W l F W F F 根据上面的方程，可以求出重心的位置： N2 N11N F F l F x C +?= 四、实验数据及处理 （一）悬吊法求不规则物体的重心 （二）称重法求对称连杆的重心。 a.将磅秤和支架放置于多功能台面上。将连杆的一断放于支架上，另一端放于支架上，使连杆的曲轴中心对准磅秤的中心位置。并利用积木块调节连杆的中心位置使它成水平。记录此时磅秤的读数 F N1=1375g b.取下连杆，记录磅秤上积木的重量F J1=385g c.将连杆转?180，重复a 步骤，测出此时磅秤读数F N2=1560g d.取下连杆，记录磅秤上积木的重量F J1=0g
《理论力学》考试知识点 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系与平衡力系,静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束与球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影与平面力对点的矩,掌握空间力对点的矩与力对轴之矩的计算方法,以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统,熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶与力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法与简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢与主矩;掌握力的平移定理与空间一般力系与平面力系的简化方法与简化结果。 4、掌握合力投影定理与合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法与负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系(包括空间汇交力系、空间平行力系与空间力偶系)的平衡条件求解单个物体与简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系(包括平面汇交力系、平面平行力系与平面力偶系)的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式;熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体与物体系的平衡问题。 3、了解静定与静不定问题的概念。 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法与截面法,掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法与弧坐标法,能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动
理论力学转动惯量 实验报告
【实验概述】 转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。 正确测定物体的转动惯量,~对于了解物体转动规律,~机械设计制造有着非常重要的意义。 然 而在实际工作中,大多数物体的几何形状都是不规则的, 难以直接用理论公式算出其转动惯~ 量，只能借助于实验的方法来实现。 因此，在工程技术中，用实验的方法来测定物体的转动 ’ 惯量就有着十分重要的意义。 IM-2刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计 ’ 时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下， 的角加速度和刚体的转动惯量。 因此本实验提供了一种测量刚体转动惯量的新方法, 实验思 路新颖、科学，测量数据精确，仪器结构合理，维护简单方便，是开展研究型实验教学的新 仪器。 【实验目的】 1. 了解多功能计数计时毫秒仪实时测量(时间)的基本方法 2. 用刚体转动法测定物体的转动惯量 3. 验证刚体转动的平行轴定理 4. 验证刚体的转动惯量与外力矩无关 【实验原理】 1. 转动力矩、转动惯量和角加速度关系系统在外力矩作用下的运动方程 即绳子的张力T=m(g-r p 2) 砝码与系统脱离后的运动方程 (2) 由方程(1) (2)可得 J=mr(g-r p 2)/( p 2- p 1) 2. 角加速度的测量 0=3 o t+? p t2 若在t 1 、t 2时刻测得角位移0 1、B 2 则 0 1 = 3 0 t 1+? p t2 0 2=3 0 t 2+? p t2 所以，由方程(5)、(6)可得 p =2 (0 2 t 1- 0 1 t 2) / t 1 t 2 (t 2- t 1) 【实验仪器】 转过n 角位移的时刻，测定刚体转动时 T X 叶M 严J p 2 (1) 由牛顿第二定律可知，砝码下落时的运动方程为: mg-T=ma (5)
第一篇静力学 第 1 章静力学公理与物体的受力分析 1.1 静力学公理 公理 1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。F=-F' 工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。 公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。 推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。 公理 3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。 推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。 公理 4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。 公理 5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。 1.2 约束及其约束力 1.柔性体约束 2?光滑接触面约束 3.光滑铰链约束
第2章平面汇交力系与平面力偶系 1. 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过各力作用线的汇交点，其大小和 方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和，即F R=F1+F2+…..+Fn=^ F 2. 矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。 3. 力对刚体的作用效应分为移动和转动。力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应 用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。(Mo ( F) =± Fh) 4. 把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶， 记为(F,F')。 例2-8 如图2.-17 (a)所示的结构中，各构件自重忽略不计，在构件AB上作用一力偶，其力偶矩 为500kN?m，求A、C两点的约束力。 解构件BC只在B、C两点受力，处于平衡状态，因此BC是二力杆，其受力如图2-17( b) 所示。 由于构件AB上有矩为M的力偶，故构件AB在铰链A、B处的一对作用力FA、FB) 构成一力偶与矩为M的力偶平衡(见图2-17 (c))。由平面力偶系的平衡方程刀Mi=0，得-Fad+M=0 500 则有FA=FB ' N=471.40N 由于FA、FB'为正值，可知二力的实际方向正为图2-17 ( c)所示的方向。 根据作用力与反作用力的关系，可知FC=FB '471.40N，方向如图2-17 ( b)所示。 第3章平面任意力系 1. 合力矩定理：若平面任意力系可合成为一合力。则其合力对于作用面内任意一点之矩等于力系中 各力对于同一点之矩的代数和。 2. 平面任意力系平衡的充分和必要条件为：力系的主失和对于面内任意一点Q的主矩同时 为零，即F R'=0,M O=0. 3. 平面任意力系的平衡方程：刀Fx=0,刀Fy=O,刀Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析条件是,力系 中所有力在作用面内任意两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对于作用面内任一点之矩的代数和也是等于零 例3-1 如图3-8 (a)所示，在长方形平板的四个角点上分别作用着四个力，其中F仁4kN , F2=2kN , F3=F4=3kN，平板上还作用着一力偶矩为M=2kN ? m的力偶。试求以上四个力及 一力偶构成的力系向O点简化的结果，以及该力系的最后合成结果。 解(1)求主矢FR'建立如图3-8 (a)所示的坐标系，有 F 'Rx=刀Fx= - F2cos60° +F3+F4cos30 ° =4.598kN
CATALOG OF CHAPTER 4§4.1 SPACIAL ROTATIONAL FRAME OF REFERENCE §4.2 THE EFFECTS INDUCED BY THE EARTH’S ROTATION
CH4 ROTATIONAL FRAME OF REFERENCE §4.1 Spacial Rotational Frame of Reference （一）Kinematics the stationary frame of reference S： Setting up a stationary coordinate system o-ξηζ；the spacial rotational frame of reference S'： Setting up a moving coordinate system o-xyz；
?The origin is coincident with that of the stationary coordinate system ，∴r r ' = o z η ξ ζ x y P ?The angular velocity is always through the origin point O ； ω
In the stationary frame , the time derivative of any physical quantity is G G k dt dG j dt dG i dt dG z y x ?+++=ω???)???(k G j G i G dt d dt G d z y x ++= th e component expression for the vector G the moving frame in the o z η ξ ζ x y P ω
理论力学实验报告 实验名称：ZME-I型理论力学 多功能试验台实验 指导教师： 学院：建筑工程学院 班级：工力131 学号： 姓名： 时间：2016.12.29 昆明理工大学
ZME-I型理论力学多功能试验台实验报告 实验设备名称： ZME-I型理论力学多功能试验台 实验日期： 2016.12.27 试验一：测试单自由度振动系统的变形，计算刚度系数与固有频率 一、实验目的 1.了解并掌握单自由度振动系统的刚度系数k的测定； ； 2.求取单自由度振动系统的固有频率f 二、实验设备和仪器 1.ZME—1理论力学多功能实验装置； 2.质量为0.138kg的高压输电线模型； 3.100g砝码2个，200g砝码2个； 三、实验原理 弹簧质量组成的单自由度振动系统，在弹簧的线性变形范围内，系统的变形和所受到的外力的大小成线性关系。据此，施加不同的力，产生不同的变形，可以得到系统的刚度系数。 四、实验方法与步骤： 1.将砝码托盘挂在弹簧质量系统塑料质量模型下的小孔内，记录此时塑料质量模型上指针的位置； 2.首先把一个200g的砝码放在砝码托盘上，稳定后读取并记录指针的偏移位置； 3.逐步增加砝码质量至600g，并记录相应的指针偏移位置； 4.在坐标上画出系统变形与砝码重量之间的关系曲线； 5.计算振动系统的刚度系数和固有频率。 图1 加200g砝码图2 加至600g砝码
五、数据记录及处理： 表一： 5.88 75 48 122.5 图3 振体竖向变形图 1.单自由度系统的等效刚度： l k eq ?=W =125.33N/m 2.单自由度系统的固有振动频率： m k 21f eq n π = =4.8Hz 实验二：物体重心的测试 一、实验目的： 1.用悬吊法测取不规则物体的重心位置； 2.用称量法测取连杆的重心位置，并计算其重量。 二、实验设备和仪器： 1.ZME —1理论力学多功能实验台； 2.不规则物体（各种型钢组合体）； 3.连杆1个； 4.台秤1台。 三、实验原理： 物体重心的位置是固定不变的，利用柔软细绳的受力特点和二力平衡原理，我们可以用悬挂的方法决定重心的位置；再利用平面一般力系的平衡条件，可以测取连杆的重心位置和物体的重量。
F F B o C o W o A (a) (b) A A B W W X C l l ⑻ (b) x C A 7 F N 1 F N1 F N1 F N1 F N2 F N2 F N1 I 实验一求不规则物体的重心 一、 实验目的： 用悬吊法和称重法求出不规则物体的重心的位置。 二、 实验设备仪器：ZME-1型理论力学多功能实验台，直尺、积木、磅秤、胶带、白纸等。 三、 实验原理方法简述 （一）悬吊法求不规则物体的重心 适用于薄板形状的物体，先将纸贴于板上，再在纸上描出物体轮廓，把物体悬挂于任意一点 A ，如图 1-1（ a ）所示，根据二力平衡公理，重心必然在过悬吊点的铅直线上，于是可在与板贴在一起的纸上画出 此线。然后将板悬挂于另外一点 B ，同样可以画出另外一条直线。 两直线的交点C 就是重心，如图1-1（b ） 所示。 图1-1 （二）称重法求轴对称物体的重心 对于由纵向对称面且纵向对称面内有对称轴的均质物体，其重心必在对称轴上。 图1-2 首先将物体支于纵向对称面内的两点，测出两个支点间的距离 I ，其中一点置于磅秤上，由此可测得 B 处的支反力F N1的大小，再将连杆旋转 180°,仍然保持中轴线水平，可测得 F N2的大小。重心距离连杆 大头端支点的距离 x C 。根据平面平行力系，可以得到下面的两个方程: F N2二W 根据上面的方程，可以求出重心的位置: I -W x C =0 四、实验数据及处理 （一）悬吊法求不规则物体的重心
F NI =1375 g 4）连杆 a. 将磅秤和支架放置于多功 能台面上。将连杆的一断放于支架上，另一端放于支架上，使连杆的曲轴 中心对准磅秤的中心位置。 并利用积木块调节连杆的中心位置使它成水平。 记录此时磅秤的读数 b. 取下连杆，记录磅秤上积木的重量 F JI =385g c. 将连杆转180，重复a 步骤，测出此时磅秤读数 F N 2=1560g d. 取下连杆，记录磅秤上积木的重量 F JI =0 g e. 测定连杆两支点间的距离 I =221mm f. 计算连杆的重心位置 = （1375_385）_ _ 86mm 重心距离连杆大头端支点的距离 x C =86mm 。 1375 -385 1560 五、思考题 1. 在进行称重法求物体重心的实验中，哪些因素将影响实验的精度？ 答：影响实验精度的因素有： 1）磅秤的精度；2）支点位置的准确度；3 ）连杆中心线的水平度; 支点间距离测量的准确度，等。 实验四四种不同载荷的观测与理解 一、 实验目的： 通过实验理解渐加载荷，冲击载荷，突加载荷和振动载荷的区别。 二、 实验设备仪器：ZME-1型理论力学多功能实验台，磅秤，沙袋。 三、 实验原理方法：
20XX190201班理论力学实验报告数据已填 写 实验一求不规则物体的重心 一、实验目的：用悬吊法和称重法求出不规则物体的重心的位置。 二、实验设备仪器：ZME-1型理论力学多功能实验台，直尺、积木、磅秤、胶带、白纸等。三、实验原理方法简述 （一）悬吊法求不规则物体的重心 适用于薄板形状的物体，先将纸贴于板上，再在纸上描出物体轮廓，把物体悬挂于任意一点A，如图1-1（a）所示，根据二力平衡公理，重心必然在过悬吊点的铅直线上，于是可在与板贴在一起的纸上画出此线。然后将板悬挂于另外一点B，同样可以画出另外一条直线。两直线的交点C就是重心，如图1-1（b）所示。 FFABCWW(a)A(b) 图1-1 （二）称重法求轴对称物体的重心 对于由纵向对称面且纵向对称面内有对称轴的均质物体，其重心必在对称轴上。 AxCAWBFN1lWBxCFN2l(a)(b)
图1-2 首先将物体支于纵向对称面内的两点，测出两个支点间的距离l，其中一点置于磅秤上，由此可测得B处的支反力FN1的大小，再将连杆旋转180O，仍然保持中轴线水平，可测得FN2的大小。重心距离连杆大头端支点的距离xC。根据平面平行力系，可以得到下面的两个方程： FN1?FN2?WFN1?l?W?xC?0 根据上面的方程，可以求出重心的位置： xC?FN1?l FN1?FN2四、实验数据及处理 （一）悬吊法求不规则物体的重心 A C B （二）称重法求对称连杆的重心。 a.将磅秤和支架放置于多功能台面上。将连杆的一断放于支架上，另一端放于支架上，使连杆的曲轴中心对准磅秤的中心位置。并利用积木块调节连杆的中心位置使它成水平。记录此时磅秤的读数FN1=1375g b.取下连杆，记录磅秤上积木的重量FJ1=385g c.将连杆转180?，重复a步骤，测出此时磅秤读数 FN2=1560g d.取下连杆，记录磅秤上积木的重量FJ1=0g e.测定连杆两支点间的距离l=221mm f.计算连杆的重心位置
理论力学组合实验报告 使用设备名称与型号 同组人员 实验时间 一、实验目的 理论力学是一门理论性较强的技术基础课，是现代工程技术基础理论之一，在日常生活、工程技术各领域都有着广泛的应用。这门学科的理论比较抽象，真正掌握也较困难。本实验指导书介绍理论力学的六个小实验，让学生在做实验过程中既动手又动脑，培养学生的创新思维和科学实验能力。 二、实验设备与仪器 理论力学多功能实验台ZME-1型 三、实验原理 四、实验操作步骤 实验（1）：求弹簧质量系统的固有频率 在高压输电线模型的砝码盘上，分四次挂上不同重量的砝码，观察并记录弹簧的变形。 实验（2）：求重心的实验方法 （A）悬吊法 将求重心的型钢片状试件，用细绳将其挂吊在上顶板前端的螺钉上，再换一个位置挂吊，通过两次挂吊便可求出重心位置。 （B）称量法 使用连杆、积木、台称，利用已学力学知识，用称量法求连杆的重量及重心位置。实验（3）：验证均质圆盘转动惯量的理论公式
转动实验台右边手轮，使圆盘三线摆摆长下降为60cm，左手给三线摆一初始角（一般小于60），释放圆盘后，三线摆发生扭转振动。右手拿秒表，记录扭转十次或以上的时间，并算出周期，比较实验与理论计算两种方法求得的转动惯量，确定误差，还可以求摆长（四种长度）对误差的影响。 由弹簧的变形计算该系统的等效刚度和固有频率。 实验（4）：用等效方法求非均质物体转动惯量 分别转动左边两个三线摆的手轮，让有非均质摇臂的圆盘三线摆下降至摆长约60cm，也使配重相同的带有强磁铁的两个圆柱铁三线摆下降到相同的高度进行转动惯量等效实验，测出扭转振动的周期，再与两个圆柱的三线摆计算周期进行等效，从而求出非均质摇臂的转动惯量。 五、实验结果及分析计算 1、弹簧质量系统的固有频率 2、连杆的重心
静力学知识点 第一章静力学公理和物体的受力分析 本章总结 1.静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。 2.静力学公理 公理1 力的平行四边形法则。 公理2 二力平衡条件。 公理3 加减平衡力系原理 公理4 作用和反作用定律。 公理5 刚化原理。 3.约束和约束力 限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。约束对非自由体施加的力称为约束力。约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。 4.物体的受力分析和受力图 画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。物体受的力分为主动力和约束力。要注意分清内力与外力，在受力图上一般只画研究对象所受的外力；还要注意作用力和反作用力之间的相互关系。 常见问题 问题一画受力图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。
第二章平面力系 本章总结 1. 平面汇交力系的合力 （1 ）几何法：根据力多边形法则，合力矢为 合力作用线通过汇交点。 （2 ）解析法：合力的解析表达式为 2. 平面汇交力系的平衡条件 （1 ）平衡的必要和充分条件： （2 ）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3 ）平衡的解析条件（平衡方程）： 3. 平面内的力对点O 之矩是代数量，记为
一般以逆时针转向为正，反之为负。 或 4. 力偶和力偶矩 力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。 平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向，即 式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。 5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶相等，则彼此等效。力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。 6. 平面力偶系的合成与平衡 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 平面力偶系的平衡条件为 7、平面任意力系
理论力学 一 静力学(平衡问题) 01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件 04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论 06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题 01力的投影与分力 基本概念： 刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。 平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。 集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。 分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。 力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)： cos x F F α= cos y F F β= 分力(矢量) cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r
2)在斜坐标系： 投影(标量)： cos x F F α= cos()y F F ?α=- 分力(矢量) (cos sin cot )x F F F i αα?=-u u r r sin sin y F F j αβ =u u r r 02约束与约束力 约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。 约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。 约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。 (1)柔索约束： 柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。 特点：只能承受拉力，不能承受压力。 约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。 (2)光滑面约束 光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。 约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。 特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。
《理论力学》实验报告 班级： 姓名： 学号： 成绩：
实验一 实验方法测定物体的重心 一、实验目的： 1、通过实验加深对合力概念的理解； 2、用悬挂法测取不规则物体的重心位置； 3、用称重法测物体的重心位置并用力学方法计算重量。 二、实验设备和仪器 1、理论力学多功能实验装置； 2、不规则物体（各种型钢组合体）； 3、连杆模型； 4、台秤。 三、实验原理 物体的重心的位置是固定不变的。再利用柔软细绳的受力特点和两力平衡原理，我们可以用悬挂的方法决定重心的位置；又利用平面一般力系的平衡条件，可以测取杆件的重心位置和物体的重量。 物体的重量：21F F W +=；重心位置：W l F x C 1= 四、实验方法和步骤 A 、悬挂法 1、从柜子里取出求重心用的组合型钢试件，用将把它描绘在一张白纸上； 2、用细索将其挂吊在上顶板前面的螺钉上（平面铅垂），使之保持静止状 态； 3、用先前描好的白纸置于该模型后面，使描在白纸上的图形与实物重叠。 再用笔在沿悬线在白纸上画两个点，两点成一线，便可以决定此状态的重力作用线； 4、变更悬挂点，重复上述步骤2-3，可画出另一条重力作用线； 5、两条垂线相交点即为重心。
B、称重法 1、取出实验用连杆。将连杆一端放在台秤上，一端放在木架上，并使连杆保 持水平。 2、读取台秤的读数，并记录； 3、将连杆两端调换，并使摆杆保持水平； 4、重复步骤2； 五、数据记录与处理 A、悬挂法（请同学另附图） B、称重法 六、注意事项 1、实验时应保持重力摆水平； 2、台称在使用前应调零。
实验二、四种不同类型载荷的比较实验 一、实验目的 1、了解四种常见的不同载荷； 2、比较四种不同类型载荷对承载体的作用力特性。 二、实验仪器和设备 1、理论力学多功能实验装置； 2、2kg台秤1台； 3、0.5kg重石英沙1袋； 4、偏心振动装置1个。 三、实验原理 渐加载荷、突加载荷、冲击载荷和振动载荷是常见的四种载荷。不同类型的载荷对承载体的作用力是不同的。将不同类型的载荷作用在同一台秤上，可以方便地观察到各自的作用力与时间的关系曲线，并进行相互比较。 四、实验方法和步骤 1、将台秤置于实验装置合适的位置并放平稳； 2、渐加载荷：取出装有石英沙的袋子，将沙子缓慢、渐渐地倒入台秤上的 托盘中，仔细观察台秤指针的变化，并描绘出作用力的时程曲线示意图； 3、突加载荷：将托盘中的石英沙装回原袋子，用手将沙袋拎起至刚好与托 盘分离时突然松手，仔细观察台秤指针的变化，并描绘出作用力的时程 曲线示意图； 4、冲击载荷：再将沙袋拎起至某一高度（如5cm）后自由释放，沙袋对台秤 造成一定的冲击，仔细观察台秤指针的变化，并描绘出作用力的时程曲 线示意图； 5、振动载荷：用偏心振动装置代替沙袋。先打开偏心振动装置上的电源开 关让其上的电机旋转，然后轻轻置于台秤的托盘上。仔细观察台秤指针 的变化，并描绘出作用力的时程曲线示意图。 五、实验结果与数据处理
《理论力学教程》基础知识 第一章 质点力学 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径 副法向：0 F b R b o 7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在 1. 2. 向速度和横向速度，其表达式分别为： v r r : v 为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为a r 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是 以分开解算，这套方程可表示为，切向： md t ;将加速度矢量分解 a r 2r 。 运动规律和约束反作用力可 2 v m F n R n : 3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式 mx F x 、my F y 、mz F z o 4. 质点在有心力作用下，只能在 垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力 学特征是：（1）对力心的动量矩守恒：（2）机械能守恒 5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系：牛顿运动定律不能成立的参考 系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加 上适当的惯性力。 6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为a d ，它是由于速度大小改 变产生的；法向加速度的表达式为a n 2 —，它是由于速度方向改变产生 2
质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度 8.一质量为m的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A点向顶点0运动，其 2 建立起的运动微分方程为：吩 mgsin ; m- R mgcos。 注：此题答案不唯一。 9.一物体作斜抛运动，受空气阻力为R mkv，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：證 mkv x ；瞪 mg mkv y ；若采用自 mg cos 。 10 .动量矩定义表达式为J r mv，它在直角坐标系中的分量式为 J x m yz zy、J y m zx xz、J z m xy yx。 然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为: dv m一 dt mkv mg sin ； 第9题图
《理论力学实验》讲义 福州大学机械工程及自动化学院 机械设计系《工程力学》组编 二O O九年十一月
前言 科学和经济的发展，市场经济体系的建立，人才聘用的市场化，都对大学生的实际能力提出了很高的要求。培养和训练大学生的分析问题、解决问题的能力，培养和训练大学生的实践动手能力，是课程建设和课程教学的基本目标，为此，我们突破长期以来《理论力学》课程教学无实验的状态，初步建设了理论力学实验室，开展了《理论力学》实践教学活动。 《理论力学实验》作为《理论力学》新教学体系的重要组成部分，目的是通过这样一组实践教学环节的实施，开阔学生的眼界，加强《理论力学》的工程概念，了解这门课程与工程实际的紧密关系，培养、锻炼学生的创新思维和科研能力。大量与《理论力学》相关的产品和科研成果作为《理论力学实验》实践教学的内容，通过参观图片实物、实验演示以及学生自己观察、分析和动手实践达到实验的目的。实验的结果考核将采取填写实验报告、撰写小论文和交习作的形式进行。 目前，《理论力学实验》主要包括三项内容： 1、静力学、运动学和动力学创新应用实验。 2、动力学参数测定实验。 3、运动学和动力学计算机模拟仿真实验。
第一项实验 静力学、运动学和动力学创新应用实验 一． 实验目的 1、 通过大量工业产品和科技成果向学生展示《理论力学》的工程意义和工程应用，开阔学生的眼 界。 2、 通过学生对大量工业产品和科技成果的观察分析，通过学生动手操作，加深对《理论力学》基 本概念的理解，巩固力学分析方法的掌握。 3、 培养、训练学生的创新思维，提高、锻炼他们建立力学模型的能力。 二． 仪器设备 1、 挂图、照片。 2、 40余套产品、模型、设备和零部件。 三． 实验内容 （一） 静力学部分 （一）曲柄滚轮挤水拖把的受力分析与过程 其计算简图如图2，应用虚位移原理可以得出D F 和B F 的关系。
理论力学组合实验 理论力学组合实验报告 使用设备名称与型号________________________________________ 同组人员__________________________________________________ 实验时间__________________________________________________ 一、实验目的 理论力学就是一门理论性较强的技术基础课，就是现代工程技术基础理论之一，在日常生活、工程技术各领域都有着广泛的应用。这门学科的理论比较抽象，真正掌握也较困难。本实验指导书介绍理论力学的六个小实验，让学生在做实验过程中既动手又动脑，培养学生的创新思维与科学实验能力。 二、实验设备与仪器 理论力学多功能实验台 ZME-1型 三、实验原理四、实验操作步骤实验(1):求弹簧质量系统的固有频率 在高压输电线模型的砝码盘上，分四次挂上不同重量的砝码，观察并记录弹簧的变形。实验(2):求重心的实验方法 (A)悬吊法 将求重心的型钢片状试件，用细绳将其挂吊在上顶板前端的螺钉上，再换一个位置挂吊,通过两次挂吊便可求出重心位置。 (B)称量法 使用连杆、积木、台称，利用已学力学知识，用称量法求连杆的重量及重心位置。实验(3):验证均质圆盘转动惯量的理论公式 转动实验台右边手轮，使圆盘三线摆摆长下降为60cm,左手给三线摆一初始角(一般小 于60)，释放圆盘后，三线摆发生扭转振动。右手拿秒表，记录扭转十次或以上的时间，并算出 周期，比较实验与理论计算两种方法求得的转动惯量，确定误差，还可以求摆长(四种长度) 对误差的影响。 由弹簧的变形计算该系统的等效刚度与固有频率。 理论力学组合实验 实验(4)：用等效方法求非均质物体转动惯量 分别转动左边两个三线摆的手轮，让有非均质摇臂的圆盘三线摆下降至摆长约60cm,
平面力系 1. 平面汇交力系可简化为以合力，其大小和方向等于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点。 2. 平面汇交力系平衡的充要条件为合力等于零，与任意力系不同，任意力系由 于不能汇交，会产生力偶，必须得满足主矢主矩都等于零才平衡。 3. 平面汇交力系可以通过解析法，即将各力分解到直角坐标系上，再求合力。 4. 力对点取矩：是一个代数量，绝对值等于力的大小与力臂的乘积： Fd F Mo =)( 5. 合力矩定理：平面力系的合力对于平面内任一点的矩等于所有分力对该点的 矩的代数和。 6. 力偶、力偶矩：力偶由两个大小相等，方向相反，作用线不在同一直线上的 平行力组成。力偶矩等于平行力的大小乘上平行力的间距，逆时针为正，顺时针为负。 7. 力偶的等效定理：在同一平面内，只要力偶矩的大小和转向不变，力偶的作 用效果就不变。 8. 平面力系的简化：平面任意力系向一点的简化结果为一合力和一合力偶，合 力称为主矢，合力偶为主矩。主矢作用线过简化中心。 9. 平面任意力系平衡的充要条件：???==00'Mo F R ，其平衡方程为∑=0x F ，∑=0y F ， ∑=0)(Fi Mo ，是三个独立的方程，可以求解三个未知数。 10. 静定问题：当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目，则所有未知数 都能解出，这种问题称为静定问题。反之为非静定问题。
空间力系 11. 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。可得合 力的大小和方向余弦：()()()222∑∑∑++Fz Fy Fx R F ，() R R F Fx i F ∑=,cos ，其余类似。 12. 空间汇交力系平衡的充要条件为该力系的合力为零，或所有分力在三个坐标 轴上投影的代数和为零，∑∑∑===0,0,0Fz Fy Fx ，可求三个未知数。 13. 力对点的矩矢等于该力作用点的矢径与该力的矢量积：()F r F M ?=o ；若k Fz j Fy i Fx F k z j y i x r ++=++=,，由行列式可得，()()()()k y F x x F y j x F z z F x i z F y y F z F Mo -+-+-=，在坐标轴上的投影为()[]y F z z F y F Mo x -=，()[]xFz zFx F Mo y -=，()[]yFx xFy F Mo z -=。 14. 力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影 对于这个平面与该轴的交点的矩，而正负号只表示其转向。 15. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系：()[]()F M F Mo x x =。 16. 空间力偶矩矢是自由矢量，而空间力偶对刚体的作用效果完全由力偶来确定，于是存在空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。 17. 等效定理表明：空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面而不改变力 偶对刚体的作用，只要力偶矩矢的大小方向不改变，其作用效果不改变。力偶矩矢d F M ?=，其中d 为'F F 和的间距。 18. 空间力偶系平衡的充要条件为：该力偶系的合力偶矩等于零或在各坐标轴上 的投影代数和分别为零。 19. 空间力系向任一点的简化同平面力系一样得到主矢和主矩，而主矢与简化中
基础知识复习: 一、滑轮、滑轮组 定滑轮： ①定义：中间的轴固定不动的滑轮。②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆 ③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向。 ④对理想的定滑轮(不计轮轴间摩擦）F=G 绳子自由端移动距离S F (或速度v F ) = 重物移动的距离S G (或速度v G )。 动滑轮： ①定义：和重物一起移动的滑轮。（可上下移动，也可左右移动）。 ②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆。 ③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向。 ④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F= 1/2G 。 只忽略轮轴间的摩擦则：拉力F= 1/2(G 物+G 动)。 绳子自由端移动距离S F (或v F )=2倍的重物移动的距离S G (或v G )。 滑轮组： ①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组。 ②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向 ③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F= 1/n G 。 只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F= 1/n (G 物+G 动) 。 绳子自由端移动距离SF(或vF)=n 倍的重物移动的距离S G (或v G )。 ④组装滑轮组方法： 首先根据公式n=(G 物+G 动) / F 求出绳子的股数。 然后根据“奇动偶定”的原则。结合题目的具体要求组装滑轮。 二、计算公式 公式：s=hn 。 V 绳=n*V 物 注：s ：绳子自由端移动的距离。 h ：重物被提升的高度。 n ：承重的绳子段数。 1
原则是：n为奇数时，绳子从动滑轮为起始。用一个动滑轮时有三段绳子承担，其后每增加一个动滑轮增加二段绳子。如：n=5，则需两个动滑轮（3+2）。n为偶数时，绳子从定滑轮为起始，这时所有动滑轮都只用两段绳子承担。如：n=4，则需两个动滑轮（2+2）。 其次，按要求确定定滑轮个数，原则是：一般的：两股绳子配一个动滑轮，一个动滑轮一般配一个定滑轮。力作用方向不要求改变时，偶数段绳子可减少一个定滑轮；要改变力作用方向，需增加一个定滑轮。 综上所说，滑轮组设计原则可归纳为：奇动偶定；一动配一定，偶数减一定，变向加一定。 滑轮组的用途: 为了既节省又能改变动力的方向，可以把定滑轮和动滑轮组合成滑轮组。 省力的大小 使用滑轮组时，滑轮组用几段绳吊着物体，提起物体所用的力就是物重的几分之一。 滑轮组的特点 用滑轮组做实验，很容易看出，使用滑轮组虽然省了力，但是费了距离——动力移动的距离大于货物升高的距离。 滑轮组绕线问题归类例析 简单的说就是：奇动偶定，先里后外，一动配一定。 偶定：指的是当动滑轮上的绳子段数为偶数时，绳子的起始端在定滑轮上 奇动：指的是当动滑轮上的绳子段数为奇数时，绳子的起始端在动滑轮上 解决简单滑轮组组装问题时，在承重的绳子股数确定以后，如何根据要求设计滑轮组的方法不唯一。 下面介绍“偶顶奇动”的简单法则： 1、当承重的绳子股数n为偶数时，顺子的固定端应栓在定滑轮上（即“偶定”）。如不改变作用 力的方向，则需要的动滑轮为n/2个，定滑轮为（n/2—1）个，如果要改变作用力的方向，则需要定滑轮为n/2个，动滑轮个数=定滑轮个数=n/2个 2、当承重绳子的股数n为奇数时，绳子的固定端应栓在动滑轮上（即“奇动”）。如果不改变力 的方向，则需要的动滑轮个数=定滑轮个数=（n—1）/2个，如果改变力的方向，则需要动滑轮个数为（n—1)/2个，定滑轮个数为（n+1）/2个 例题精讲：
111、 (C)。 一平面任意力系向O 点简化后得到一个力R F 和一个矩为M 0的力偶， 则该力系最后合成的结果是（ ） A 、作用于O 点的一个力 B 、作用在O 点右边某点的一个合力 C 、作用在O 点左边某点的一个合力 D 、合力偶 R 112、 (A)。 圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以 匀速u 在直槽内运动。若以圆盘为动系，则当M 运动到A 、 B 、 C 各点时， 科氏加速度的大小 。 A 、相等； B 、不相等； C 、处于A ，B 位置时相等。 D 、以上答案不对 113、 (B)。 曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M 的力偶， 则图（a ）中B 点的反力比图（b ）中的反力 。 A 、大； B 、小 ； C 、相同。 D 、以上答案不对
114、 (B)。 已知杆AB 长2m ，C 是其中点。分别受图示四个力系作用， 则以下说法正确的（ ）。 A 、图（a ）所示的力系和图（b ）所示的力系是等效力系； B 、图（c ）所示的力系和图（d ）所示的力系是等效力系； C 、图（a ）所示的力系和图（c ）所示的力系是等效力系； D 、图（b ）所示的力系和图（d ）所示的力系是等效力系。 115、 (A)。 正方体仅受两个力偶作用，该两力偶矩矢等值、反向，即21M M ， 但不共线，则正方体（ ）。 A 、平衡； B 、不平衡； C 、 因条件不足，难以判断是否平衡。 D 、以上答案不对 116、 (A)。 作用在刚体上的力是滑移矢量，则力偶矩是（ ）矢量 A 、自由 B 、定位 C 、滑移 D 、固定 117、 (B)。 作用在刚体上的力是滑移矢量，则力对点的矩是（ ）矢量
理论力学讲义 绪论 一、理论力学研究对象和任务： 1、研究对象； 研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的分析方法来加以处理。 机械运动物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。 2、任务：归纳机械运动的规律。（借助严密的数学规律进行归纳） 3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。） （1）、矢量力学（牛顿力学） 从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是矢量力学中最关键的量。） （2）、分析力学： 从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量。） （分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。） 二、理论力学的研究内容 1、运动学：从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。 2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。 3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体） 三、理论力学的研究方法