32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
一、知识概述
1、矩形的性质定理
定理1：矩形的四个角都是直角．
说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．
(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．
定理2：矩形的对角线相等．
说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．
2、矩形的判定定理
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
3、菱形的性质定理
定理：菱形的四条边都相等．
说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．
(2)利用该特性可以证明线段相等．
定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．
说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．
4、菱形的判定定理
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理2：四条边都相等的四边形是菱形．
说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．
5、正方形的性质
普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．
说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．
特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
6、正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．
(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．
说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．
二、重难点知识归纳
1、特殊的平行四边形知识结构
三、典型例题讲解
例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形．
错解：
连接MN．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．
又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．
∴四边形AMNB是平行四边形．
又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．
∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．
同理∠MQN=90°，∴四边形PMQN为矩形．
分析：
错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好．
正解：
连接MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．
又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，
∴四边形BNDM为平行四边形．
∴BM DN，同理AN MC．
∴四边形PMQN是平行四边形．
∵AM BN，∴四边形ABNM是平行四边形．
又∵AD=2AB，AD=2AM，
∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形．
∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQN是矩形．
例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．
(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；
(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；
(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?
分析：
(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP CE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，
分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．
解：
(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：
在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．
∴四边形PQEF为正方形．
(2)连接AC交PE于点O．
∵AP EC，∴四边形APCE为平行四边形．
又∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．
(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，
当PE⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半．
小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．
例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC 于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．
(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；
(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
分析：
本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．
解：
(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．
又∵DE⊥BC，∴EF//AC．
∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形．
当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．
此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，
∴ED=BD·tan B=(3－x)．
∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．
在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，
∴x2＋(x)2=22，
∴(负值不合题意，舍去)．
即当时，四边形ACFE是菱形．
(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，
例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
(1)求证四边形MENF是菱形；
(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
分析：
由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形MENF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究．
证明：
(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M为AD中点，∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．
∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，
∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，
∴EN=FN=MF=ME，
∴四边形ENFM是菱形．
解：
(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半．理由如下：
连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．
∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，
又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，
∵N为BC中点，∴MN=BC．
小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．
例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．
分析：
本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因
为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．
答案：
例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．
分析：
要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．
如图所示，已知梯形ABCD，AD//BC．
求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．
证明：
假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．
∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．
又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．
∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．
∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明（1） 教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。掌握矩形的性质定理 2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计 算题。 3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力 教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定 教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用． 节前预习： 1：矩形的四个角都是． 2：矩形的对角线． 3：直角三角形等于斜边的一半． 4：的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形． 5：的四边形是矩形． 矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四 边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角 是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．
作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法． 讲矩形判定定理1，对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：在平行四边形ABCD 中，AC=DB ， 求证：平行四边形ABCD 是矩形。 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC 。务员 又∵AC=DB ，BC=CB ， A B ∴△ABC ≌△DCB 。 ∴∠ABC=∠DCB 。 又∵AB ∥DC ， B ∴∠ABC+∠DCB=180°。 ∴∠ABC=90°。 C D ∴四边形ABCD 是矩形。 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 归纳矩形判定方法（由学生小结）： 1、一个角是直角的平行四边形． 2、对角线相等的平行四边形． 3、有三个角是直角的四边形． （3）．矩形判定方法的实际应用 除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值． （4）．矩形知识的综合应用。（让学生思考，然后师生共同完成） 例：已知 ABCD 的对角线AC ， BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，cm 4=AB ，求这个平行 求：四边形的面积． 三、课堂训练： 1、矩形的面积是12，一边与一条对角线的比为3∶5，则矩形的对角线长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 2、已知矩形的对角线长为10cm ，那么顺次连接矩形四边的中点所得的四边形的周长为( ) A ．40cm B ．10cm C ．5cm D ．20cm 3、如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（ ） 学生板书） 题讲解：（强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算） 让学生写出推理过程。 分析解题思路：（1）先判定 ABCD 为矩 形．（2）求出Rt △ ABC 的直角边 BC 的长．（3）求 BC AB S ?=．
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1、探究菱形的面积计算方法： 练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（） A.4 cm B.3cm C.2 cm D.23cm 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH. 变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.
例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=?,试问：P 点运动到什么位置时，ADP V 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？ 例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=?,P 点在BD 上，求PE+PC 的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC = 2 1 ∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为_______.
个性化教学辅导 教学 内容 菱形 教学目标1、掌握菱形的定义和性质； 2、学会判定菱形； 3、平行四边形和菱形的区别和联系； 重点难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握； 2、利用菱形的性质综合解决问题； 教学过程知识讲解 一、菱形的定义 如图，如果一个平行四边形有一组邻边相等，那么这个平行四边形会有怎样的变化？ 定义：叫做菱形。 二，菱形的性质。 菱形性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角； 4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
以上菱形的性质你能给出证明吗？ 练习：1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______。 2、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______。 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______。 4、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm， 高为_____cm。 三、菱形的判定 根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形。 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直。 求证：四边形ABCD是菱形． 例1：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE 是菱形．
猜想2四条边都相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 猜想3：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形。 已知：四边形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形 总结：菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 练习：1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） Ａ、等腰梯形Ｂ、正方形Ｃ、矩形Ｄ、菱形 2、下列说法中正确的是（） Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形。Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ、四个角相等的四边形是菱形
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平 行四边形” 之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展 学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1. 既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？
第一章特殊平行四边形 1．菱形的性质与判定（1） 一、学情与教材分析 1.学情分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容. 学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形的平移旋转及平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质. 其次，经历了七年级下册“相交线与平行线”、“三角形”和八年级下册“平行四边形”的学习和推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础. 再次，本章第4节将学习“正方形的性质与判定”，正方形是菱形的特殊情形，本节课学习将为正方形性质与判定的学习打下良好的基础. 2.教材分析 教科书在学生学习了“平行四边形”的基础上，提出了本课的学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度，会求菱形的周长和面积.本节课通过观察、分析、类比、动手操作，推论论证等活动过程探究菱形的定义和性质，进一步提高了学生的观察分析能力和类比探究能力. 二、教学目标： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，理解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2. 经历利用折纸等活动探索菱形的轴对称性和菱形的其他性质，发展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中探究菱形的周长公式和面积公式，进一步发展学生的逻辑推理能力. 三、教学重难点： 重点：菱形的性质
难点：菱形性质的综合运用 四、教法建议（探究法） 教师可采用“探索——发现——猜想——论证”的教学方法，引导学习探索菱形的定义和性质. 五、教学设计 （一）课前设计 1、预习任务 任务1：我们已经学习了平行四边形这个特殊的四边形了，小红想，如果平行四边形再特殊一些，如果一个平行四边形邻边相等，那么这个四边形是什么样子呢？请按照小红的要求，画出一个邻边相等的平行四边形，并观察生活，举出生活中类似的图形的例子？ 任务2：学习课本第2页想一想上面内容，初步了解菱形的定义. 任务3：既然菱形是特殊的平行四边形，那么它肯定具有平行四边形的所有性质了，你能就你目前的认识，写出菱形的性质么？ 任务4：既然菱形是特殊的平行四边形，那么，菱形肯定还有它特殊的性质，请用菱形纸片探究猜测以下问题： （1）菱形的对称性； （2）菱形的边之间的关系； （3）菱形的对角线的关系； （4）菱形的周长与面积的求法. 2、预习自测 一、填空题 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成菱形，需要添加条件为_____________. B 答案：AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD.
第一章特殊平行四边形 菱形的性质与判定（一） 一、学生知识状况分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。 九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。 其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。 再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 综上所述，本节的教学目标为： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行 四边形的关系； 2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发 展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 知识点睛 中考要求
重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． E F D B C A 例题精讲 重、难点
教学设计 1.1 菱形的性质与判定 第一课时 北师大版 | 九年级数学上 | 2018年 湘东区腊市中学 lashizhongxue 设计 执教：杨毫
1.1《菱形的性质与判定》教学设计 学情分析： 纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，已具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习矩形、正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。 教材分析： 本节课是菱形的第1课时，主要内容是菱形的性质，为了体现新课标的要求，在性质的教学方面，采用直观操作和几何论证相结合的探究式的教学方法，即关注学生学习的结果，更关注他们学习的过程，进一步培养学生的形象思维和逻辑推理能力．在学生的学习方式上，采用动手实验、自主探索与合作交流相结合的方式，使学习过程直观化、形象化。此外，生活中菱形的广泛应用反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 教学目标： 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。 2．能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理等。 3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 教学重点： 掌握菱形的性质和定理，以及证明方法。 教学难点： 运用综合法证明菱形的性质定理。 教学方法：动手实验、自主探索与合作交流相结合。 教学工具：赣教云教学通、赣教云APP、CEEWO白板课件、导学案。 教学过程： 活动一：情境引入 1.生活中经常看到由一些简单的平面图形组成的美丽图案，而它们也都各自具有一些独特的性质。（如：平行四边形） 回顾平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 2.提出质疑：平行四边形的邻边可能存在哪些数量关系？ 3.动画演示： 如图，在平行四边形ABCD中，AB 精心整理九年级·数学·上册·总第（）课时·授课时间：年月日 教学课题：§ 1.1 菱形的性质与判定（ 2）课型：新授课 教学目标：（ 1）进一步理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理； （2）经历菱形判定定理的探究过程，进一步发展合情推理能力。 （3）能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。 教学重点：菱形判定定理的探究与证明； 教学难点：探究菱形的判定定理，并利用菱形的判定定理解决简单问题 教学过程： 教学流程二次备课 一、检 问题 1：菱形的定义： 问题 2：菱形的性质定理： 问题 3：平行四边形的判定方法有哪些？ 二、学 问题 4：有的平行四边形叫做菱形。 问题 5：有的四边形叫做菱形。 问题 6：对角线的平行四边形叫做菱形。 问题 7：对角线的四边形叫做菱形。 证明菱形的判定定理1： 证明菱形的判定定理2： 三、讲 例1、如图，在ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O,AB=5，OA=4，OB=3， 求证：ABCD是菱形 例2、如图，四边形纸片ABCD中，AD∥CB,AD﹥CD,将纸片沿过点D的直线折叠， 使点 C落在 AD上的点 C′处，折痕 DE交 BC于点 E, 连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？ 四、测 （一）练习检测 1、有的平行四边形是菱形； 2、的四边形是菱形； 3、对角线的平行四边形是菱形； 4、对角线的四边形是菱形； 5、见课本第 7 的随堂练习 精心整理 精心整理 （二）归纳总结： （1）在平行四边形的基础上再添加一个什么条件可使这个平行四边形是菱形？ （2 在四边形的基础上再添加什么条件可使这个四边形是菱形？ （三）课后作业 必做题：习题 1.2 的 1、 2、题 选择题：在△ ABC 中，D、E、F 分别是三边的中点。求证：四边形 AFDE 是菱形。精心整理 课题菱形的性质和判定定理时间 教学目标1.掌握菱形的性质判定，并能用定义判定一个四边形是菱形 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力。 2.通过教具的演示培养学生的观察能力并提高学生的学习兴趣。 3.通过把矩形和菱形的定义、性质、判定相互对比，将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生的辨正观点。 重难点重点：菱形的性质定理和判定定理的了解和运用 难点：平行四边形，矩形，菱形的性质定理，判定定理的综合应用。 教学方法教学方法 观察分析讨论相结合的方法。 （做一个短边可以运动的平行四边形）投影仪、透影胶片 角色教师活动学生活动备注 教学过程（一）引入新课 我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩 形，其实还有另外的特殊平行四边形， 这时可将事先按课本中做成的一个短边也可以活 动的教具进行演示，如，改变平行四边形的边， 使之一组邻边相等，引出菱形概念。 （二）讲解新课 1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形。 2.菱形的性质 教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此 它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比 平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩 形类似，也比平行四边形增加了一些特殊的性质。 菱形性质定理1：菱形的四条边都相等 菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一 条对角线平分一组对角 师1：菱形ABCD被对角线分成的四个直角三角形 有什么关系？ 师2：它们的底和高和两条对角线有什么关系？ 师3：如果设菱形的两条对角线分别为a、b，则 菱形的面积是什么？ S＝1/2ab。教师指 出当不易求出对 角线长时，就用平 行四边形面积的 一般计算方法计 算菱形面积。 讲解这个 定义时， 要抓住概 念的本 质，应突 出两条： （1）强调 菱形是平 行四边 形。 （2）一组 邻边相 等。 矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明 一、知识概述 1、矩形的性质定理 定理1：矩形的四个角都是直角． 说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质． (2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直． 定理2：矩形的对角线相等． 说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等． 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系． 2、矩形的判定定理 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 3、菱形的性质定理 定理：菱形的四条边都相等． 说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质． (2)利用该特性可以证明线段相等． 定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理． 4、菱形的判定定理 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理2：四条边都相等的四边形是菱形． 说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等． 5、正方形的性质 普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角． 说明：正方形这些性质根据定义可直接得出． 特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 6、正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)； ③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)． 说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件． 二、重难点知识归纳 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 《菱形的性质与判定》典型例题 例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且a ⊥,，求： DE= AB AB （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，AB CE⊥于AD E⊥ ,于F． CF 求证：. AE= AF 例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点， = ∠18 D，? BAE，求CEF ∠的度数. ∠ ? = = EAF ∠60 例 4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD=． DF 求证：GH垂直平分CF． 例5 如图，ABCD中，AB AD2=，E、F在直线CD上，且=． DE= CF CD 求证：AF BE⊥． 例6 如图，在Rt△ABC中， 90 ∠ACB，E为AB的中点，四边形 = BCDE是平行四边形． 求证：AC与DE互相垂直平分 参考答案 例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ?是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ?= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD = E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD = ∴ABD ?是等边三角形，∴DBC ?也是等边三角形． ∴.120260?=??=∠ABC （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =??=?= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不 《菱形的性质与判定》典型例题 例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且a DE= ⊥,，求： AB AB （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，AB CE⊥于AD ,于F． CF E⊥ 求证：. AE= AF 例 3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点， = ∠18 BAE，求CEF ∠的度数. EAF D，? ∠60 = ? ∠ = 例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且DF AD=．求证：GH垂直平分CF． 例 5 如图，ABC D中，AB =，E、F在直线CD上，且 AD2 =． DE= CD CF 求证：AF BE⊥． 例6 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE = 90 是平行四边形． 求证：AC与DE互相垂直平分 参考答案 例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ?是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ?= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD = E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD = ∴ABD ?是等边三角形，∴DBC ?也是等边三角形． ∴.120260?=??=∠ABC （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =??=?= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ???，从而可以证得本题的结论． 证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且?=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ???，∴DF BE =， AD AB = ， ∴DF AD BE AB -=-， ∴.AF AE = 例3 解答：连结AC . ∵四边形ABCD 为菱形， ∴?=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===. 乐恩特教育个性化教学辅导教案 讲授新课 1、叫菱形 2、菱形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 1、探究菱形的面积计算方法： 练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（） A.4 cm B.3cm C.2 cm D.23cm 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16 cm ，BD =12 cm ，求菱形ABCD 的高DH . 变式：菱形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积. 例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=?,试问：P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14 ？为什么？ 例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=?,P 点在BD 上，求PE+PC 的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =2 1∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为_______. 3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm 2 . 4.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ） A.168 cm 2 B.336 cm 2 C.672 cm 2 D.84 cm 2 5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A.43 B.83 C.103 D.123 6.下列语句中，错误的是（ ） A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 7.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______. 8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是 ，最大值是 。 9、如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=?，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，求FPC ∠的度数。 菱形培优训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2011?聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（） A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2 考点：菱形的性质． 分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x， 已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8cm和6cm， 所以菱形的面积=×8×6=24cm2， 故选B． 点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 2．（2012?孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论： ①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 专题：综合题． 分析：先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断． 解答：解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确； ②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故 可得出BG+DG=CG，即②也正确； ③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误； ④S△ABD=AB?DE=AB?（BE）=AB?AB=AB2，即④正确． 综上可得①②④正确，共3个． 矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选 矩形的性质和判定 1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。 2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S、S，则二者的大小关21系是：S____S。21 3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。 5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。 7．下列说法中正确的是( ) A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。 ．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。B． C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。 D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。 8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（） A．AB=CD,AD=BC, BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180° ★菱形的性质和判定 9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。 10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。 11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。13．菱形具有而矩形没有的是（） A．对角线相等且互补 B．对角线互相平分 C．一组对边平行，另一组对边想等 D．对角线互相垂直。 14．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角钱互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ★正方形的性质及判定 15．如图32-3-4，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠。DCE=____ 16．如图32-3-5，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=____。 17．如图32-3-6，若P是边长1的正方形ABCD内一点且S=0．4，则S=____。DCPABP△△ 18．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 [互动探究，拓展延伸] [科学综合] （一）新形题 、AP，AC ∥P D，BD∥AP，O交于点BD、AC的对角线ABCD，矩形32-3-7．如图19． DP交于点P，你能判断四边形AODP是什么特殊四边形吗？证明你的结论。 [创新思维] 20．如图32-3-8，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（） 矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定 1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。 2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。 3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。 4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。 5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。 6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。 7．下列说法中正确的是( ) A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。 C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。 D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。 8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（） A．AB=CD,AD=BC, BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180° ★菱形的性质和判定 9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。 10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。 11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。 12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。 13．菱形具有而矩形没有的是（） A．对角线相等且互补 B．对角线互相平分 C．一组对边平行，另一组对边想等 D．对角线互相垂直。 14．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角钱互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ★正方形的性质及判定 15．如图32-3-4，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=____。菱形的性质与判定2教案.docx
菱形的性质和判定定理
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
《菱形的性质与判定》典型例题(优选.)
《菱形的性质与判定》典型例题
菱形的性质及其判定
1.1菱形的性质和判定培优(一)
人教版八年级下册数学 182矩形菱形的性质定理和判定定理及证明 习题精选含答案
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及证明 习题精选(含答案)
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