2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何
三、解答题
1．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所
在的平面,C 是圆上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
2．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥
P ABCD
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD A -中,⊥
AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0
60,求BDC ∠的大小.
4．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC
中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点
,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿
DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,
其中A O '=.
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
A
B
C
D
P
Q
M
（第20题图）
【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===
连结,OD OE
,在OCD ?中,由余弦定理可得
OD ==由翻折不变性可知A D '=,
所以222
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥, 又OD
OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--
的平面角.
结合图1可知,H 为AC 中点,
故
2OH =
,从而
2
A H '== 所以cos 5OH A HO A H '∠
=
=',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为.
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,
3,0C -,()1,2,0D -
所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ?'?
=??
'?
=??,即3020
y x y ?
+=??-++=??,解得y x z =-?
??=??,令1x =,得(
1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,
C D O
B
E
'A
H
所以
15
cos,
35
n OA
n OA
n OA
'
?
'===
?
'
,即二面角A CD B
'--的平面角的余弦值为
15
.
5．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱
A 1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = A
B = 2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2
, 求线段AM的长.
【答案】
6．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
7．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平
面ABCD,
12
AB AA
==
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
1
A
【答案】解:(Ⅰ) BD
O
A
ABCD
BD
ABCD
O
A⊥
∴
?
⊥
1
1
,
,面
且
面
;又因为,在正方形AB CD 中,BD
C
A
AC
A
C
A
AC
A
BD
A
AC
O
A
BD
AC⊥
?
⊥
=
?
⊥
1
1
1
1
1
,，故
面
且
面
所以
；且.
在正方形AB CD中,AO = 1 . .1
1
1
=
?O
A
OA
A
RT中，
在
O
E
C
A
OCE
A
E
D
B
1
1
1
1
1
1
1
⊥
为正方形，所以
，则四边形
的中点为
设.
，所以由以上三点得
且
，
面
面
又O
O
BD
D
D
BB
O
D
D
BB
BD=
?
?
?
1
1
1
1
1
1
E
.
E,
D
D
BB
C
A
1
1
1
面
⊥.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
)1
,0,1(
)1,1,1(
),1
0(
),
1(
,
0,1,0
1
1
1
-
=
?C
A
B
A
C
B，
，
，
，
）
（.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量.
0,0,1
),
1,1,1(
),
1
,0,1(
1
1
1
）
（
=
=
-
=
=OB
A
n
设平面OCB1的法向量为
，
则0
,0
,
2
1
2
2
=
?
=
?OC
n
OB
n
n
).1-,1,0(
法向量
2
=
n
为
解得其中一个
2
1
2
2
1
|
||
|
|
,
cos
|
cos
2
1
2
1
1
1
=
?
=
?
=
>
<
=
n
n
n
n
θ.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为
3
π
8．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
如图,在直三棱柱
111
A B C ABC
-中,AC
AB⊥,2
=
=AC
AB,4
1
=
AA,点D是BC的中点
1
A
(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.
9．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD
-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.
【答案】
10．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱
1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.
(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.
11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））如图,直棱柱
12．（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面
AA 1C 1C ,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求
1
BD
BC 的值.