打破思维定势完整准确解题
现在复习资料铺天盖地，题海题洋淹没了众人，搅混了一些人的思维。以至于不少好题，流传了多年不准确的解法，甚至是错误的解法，得不到纠正，误导了莘莘学子，发人深省。也有一些题目，命题有误，缺乏科学性。本文想通过以下几例解剖，提醒同仁，要亲手解题，不盲从他人解析法；慎重选题，三思而行。
1 好题错解发人深思
【例1】(2000全国高考题)在玻璃圆筒中盛有2种无色的互不相溶的中性液体。上层液体中插入2根石墨电极，圆筒内还放有1根下端弯成环状的玻璃搅棒，可以上下搅动液体，装置如下图所示。接通电源，阳极周围的液体呈现棕色，且颜色由浅变深，阴极上有气泡生成。停止通电，取出电极，用搅棒上下剧烈搅动。静置后液体又分成2层，下层液体呈紫红色，上层液体几乎无色。根据上述实验回答：
(1)阳极上的电极反应式为_______________。
(2)阴极上的电极反应式为_______________。
(3)原上层液体是_______________。
(4)原下层液体是_______________。
(5)搅拌后2层液体颜色发生变化的原因是_______________。
(6)要检验上层液体中含有的金属离子，其方法是_______________，现象是_______________。
(6)要检验上层液体中含有的金属离子，其方法是，现象是。
【简析】这道高考题转载率高。原命题和解答多数没有问题，其中第(5)题所提供的解答“停止通电，取出电极，用搅棒上下剧烈搅动。静置后液体又分成
二、《解密数学思维的内核》 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）、充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）、全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己
如何打破思维定势？ 20世纪80年代，德国经历了数次通货膨胀之后，一位叫沃尔夫冈的烟草商发现，原来卖4.2马克一盒的万宝路香烟已经无利可图。他知道，万宝路香烟在德国的销量一直稳居第一，现在竟然出现零利润，该怎么扭转这一局面呢？ 沃尔夫冈曾想过提高烟草的零售价，但又怕顾客一时难以接受。所以他绞尽脑汁，希望能想出一个解决的办法。一天，他来到超市，在厨房用品的货架旁，沃尔夫冈看到两个主妇在购买茶具，只见她们对货架上的两种茶具进行了讨论。 “您觉得哪套茶具会更好一些呢？” “两套的质量看起来一样，但我觉得这套更好一些，它是5只装的。” “那一套6只装的不是更好一些吗？它还多出了一只。” “多出一只，但价格也相对高出一些。反正5只够用，为什么不买经济又实用的？” 最后，两名主妇同时选购了5只装的茶具。待她们走后，沃尔夫冈看了一下货架发现，其实两种茶具里面的茶杯单价一样。 这给他提了个醒：在价格和数量这两个问题上，消费者似乎更愿意买数量少但价格低的商品。如果在价格不变的情况下，直接减少万宝路的包装数量，消费者是不是也更容易接受呢？沃尔夫冈这样分析到。 沃尔夫冈按照自己的想法马上实践起来。他联系了烟草生产厂家，希望他们把万宝路的包装数量由原来的20支装改成19支装。此外，沃尔夫冈还特别嘱咐厂家在香烟的外包装上注明这样一些字：吸烟有害健康，本包装采用独特的19支装，为您减去“1支”负担。 果然，19支装的万宝路上市之后，不但没有引起消费者的不满，许多烟民还说改得不错，因为他们在无形当中少抽了许多烟。而对于沃尔夫冈来说，减少一支烟之后，他的利润又恢复到原样。 烟草商们见19支装的万宝路如此受欢迎，急忙仿效。仅仅几个月时间，德国市场上出现的万宝路都是独一无二的19支装，烟草商们终于保住了万宝路的市场。
2014考研数学备考：常见的数学思维定势 第一部分《高数解题的四种思维定势》 1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 第二部分《线性代数解题的八种思维定势》 1.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 2.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 3.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 4.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 5.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 6.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 7.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 8.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》 1.欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。 2.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。 3.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
数学答题高分必看的21个思维定势 数学答题高分必看的21个思维定势 所谓思维定势，就是按照积累的思维活动经验教训和已有的思维规律，在反复使用中所形成的比较稳定的、定型化了的思维思维定势路线、方式、程序、模式。 第一部分《高数解题的四种思维定势》 1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，"不管三七二十一"，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则"不管三七二十一"先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则"不管三七二十一"先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则"不管三七二十一"先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 第二部分《线性代数解题的八种思维定势》 1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，...，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6.若由题设条件要求确定参数的`取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》 1.如果要求的是若干事件中"至少"有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。 2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。 4.若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化X~N(0，1)来处理有关问题。 5.求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而Y的求法类似。 6.欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。 7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。 8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。 9.若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。
打破思维定势 教学理念： 所有人都存在某些程度上的思维定势，它可能会有助于新问题的解决，而有时又会妨碍问题的解决。中学生在学习时，常常不自觉地把自己习惯了的思维方式运用于新的问题情景中去，不善于变换认识问题的角度，因而造成问题得不到正确地解决。同时，在他们的生活中也存在着习惯性思维，如和老师的关系，父母的关系，学习方法的改进等等，适当的反省自己的思维习惯是否合理，对这些刚进入高中，面临着很多新情景适应的新生有重要的现实意义。 教学目标： 1 使学生认识到什么是思维定势以及为什么要打破思维定势。 2 使学生学会如何打破思维定势，提高学生的创新能力。 3 将思维定势与现实学习生活联系起来，注意生活中的思维定势。 教学对象： 高中一年级 教学重点和难点： 1 锻炼学生的思维，摆脱不利的思维定势 2 突破自我界限，提高学生的创新能力 3 使学生认识到自己学习生活中的惯性思维 教学形式和方法： 以活动、讨论为主 教学教具准备： 准备三个钥匙圈；三个秒表。 教学课时和场地： 1个课时。 活动小教室。 教学活动过程： ⒈导入（6分钟）
教师：同学们好！昨天我的一位朋友问了我一个问题，我觉得很有意思，想拿来跟大家分享一下。这个问题是这样的：（在黑板上简单的画出图片，用图片帮助学生理解问题） 有两个房间，在A 房间里有三盏灯，这三盏灯的开关都在B 房间里（每一个开关只能控制一盏灯），另外，只有进入A 房间才能看到里面的三盏灯是否亮着。现在假设，你只能进一次A 房间，请问你有什么办法可以判断出三个开关分别控制哪三盏灯？ （最多给学生3分钟时间思考） A 房间 B 房间 答案是：先在B 房间任意开一个开关，然后等5分钟，关掉这个开关，再开另一个开关，接着就到A 房间去看看亮着哪一盏灯，这一盏灯的开关就是第二次开的那一个开关；再摸摸另外两盏灯看看哪一盏灯是热的。热的那一盏灯的开关就是第一次开的那一个开关，剩下那一盏灯的开关就是没有开过的那一个开关。 教师讲解：其实这是一个关系到我们的思维定势的问题。平时我们都习惯于认为，灯就是用来照明的，那么自然就会想到“看”它是否亮过，再沿着这一思路去找解决方法。但是，如果我们能够跳出这一思维定势，联想到灯不但会发光还会发热，那么问题就迎刃而解了。 ⒉学生讨论：什么是思维定势？（4分钟） 教师：刚才大家的发言大概说出了思维定势的含义。那么什么是思维定势呢？思维定势就是人们在长期的思维过程中所形成的一种思维条件反射，或者说是一种固定的思维方式吧。思维是人类本质的特征，是人一切活动的源头，也是
数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段 理解问题是解题思维活动的开始 第二阶段 转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段 计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段 反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。（三）恰当构造辅助元素： 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命
高考数学解题思维能力是怎样练成的 纵观近几年高考数学试题，可以看出高考数学试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高考数学解题思维能力怎样练成的 第一，从求解(证)入手——寻找解题途径的基本方法遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔路众多，顺推下去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所求，必须要做什么，找到"需知"后，将"需知"作为新的问题，直到与"已知"所能获得的"可知"相沟通，将问题解决。事实上，在不等式证明中采用的"分析法"就是这种思维的充分体现，我们将这种思维称为"逆向思维"——必要性思维。 第二，数学式子变形——完成解题过程的关键解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一道数学综合题，要想完成从已知到结论的过程，必须经过大量的数学式子变形，而这些变形仅靠大量的做题过程是无法真正完全掌握的，很多考生都有这样的经历，在解一道复杂的考题时，做不下去了，而回过头来再看一看答案，才恍然大悟，解法这么简单，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢? 其实数学解题的每一步推理和运算，实质都是转换(变形).但是，转换(变形)的目的是更好更快的解题，所以变形的方向必定是化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，也就是创造条件向有利于解题的方向转化.还
必须注意的是，一切转换必须是等价的，否则解答将出现错误。 解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的 桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。寻找差异是变形依赖的原则，变形中一些规律性的东西需要总结。在后面的几章中我们列举的一些思维定势，就是在数学思想指导下总结出来的。在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单，这也就是转化，数学式子变形的思维方式：时刻关注所求与已知的差异。 第三、回归课本---夯实基础。 1)揭示规律----掌握解题方法高考试题再难也逃不了课本揭示的思维 方法及规律。我们说回归课本，不是简单的梳理知识点。课本中定理，公式推证的过程就蕴含着重要的方法，而很多考生没有充分暴露思维过程，没有发觉其内在思维的规律就去解题，而希望通过题海战术去"悟"出某些道理，结果是题海没少泡，却总也不见成效，最终只能留在理解的肤浅，仅会机械的模仿，思维水平低的地方。因此我们要侧重基本概念，基本理论的剖析，达到以不变应万变。 2)构建网络----融会贯通在课本函数这章里，有很多重要结论，许多学生由于理解不深入，只靠死记硬背,最后造成记忆不牢，考试时失分。 例如： 若f(x+a)=f(b-x)则f(x)关于对称。如何理解?我们令x1=a+x,x2=b-x,则f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常数，即两自变量之和是定值，它们对应的函数值相等，这样就理解了对称的本质。结合解析几何中的中点坐标的横坐标为定值，或用特殊函数，二次函数的图像，记忆这个结论就很简单了，
浅谈思维定势与数学教学 向明初级中学郑性慧定势又叫心向，是指先于一定活动而指向一定活动对象的一种动力准备状态，又叫 “一种预备性顺应或反应的准备”。它是指向于一定对象的动力因素，可以使人倾向于在 认识或外显行为方面，以一种特定的习惯方式进行反应，其本身是在一定需要和活动重 复的基础上形成的。根据迁移理论，迁移与学生在应用知识技能时的准备状态有关，这 种准备状态在心理学上即是定势，在数学学习中我们通常称之为思维定势。 在思维不受到新干扰的情况下，人们依照既定的方向或方法去思考，这就是思维定 势。可以用巴普洛夫的高级神经系统的“兴奋——抑制”说来解释思维定势。我们把定 势看做是某种熟悉的或曾强烈反应过的神经联系，这种联系在有关条件下容易兴奋起来，因而在它的周围形成了相对抑制区，其他可以察觉或已经形成的联系，则处在抑制区内。 当处在抑制区内的神经联系较之兴奋的联系更为合理、正确时，定势表现为负迁移；反 之，则为正迁移。 思维的定势是一种客观存在的现象。心理学的研究表明，人在学习过程中使用某一 认知方式进行思维，重复的次数越多，越有效，那么，在新的相似情境中就会优先运用 这一方式。这是一种不甚自觉发生的行为。它是思维的“惯性”现象，是人的一种特别 本能和内驱力的表现。定势思维对于问题解决具有极其重要的意义。在问题解决活动中， 定势思维的作用是：根据面临的问题联想起已经解决的类似的问题，将新问题的特征与 旧问题的特征进行比较，抓住新旧问题的共同特征，将已有的知识和经验与当前问题情 境建立联系，利用处理过类似的旧问题的知识和经验处理新问题，或把新问题转化成一 个已解决的熟悉的问题，从而为新问题的解决做好积极的心理准备。 例如，在几何论证中，有时为了在已知与求证之间铺路架桥，往往需要在图形中另 外添加一些辅助线，而这又恰恰是许多学生感到困难的地方。因此，我认为作为教师在 日常教学中可教给学生一些添线的思考方法，帮助学生一起归纳常用辅助线的添加方法，培养学生的添线能力，以促进他们在学习中的迁移。 以我在教学中的体会为例，在教学中首先要让学生了解添线的目的和添线的方法。 为了解决问题通常我们添线的目的有两个：一是把分散的几何条件转化为相对集中的几 何元素；二是把不规则的图形转化为规则的图形或复合的图形转化为单一图形或基本图 形。添线的常用方法是：从图形的运动特点可分为平移、翻折、旋转，另外还常添加如 平行线等一些为已知与求证铺路架桥的辅助线。添线的方法和目的常常是相辅相成的， 方法为目的服务，而目的又会促使合理方法的产生，教师在讲解辅助线的添加方法时， 要注意引导、及时归纳。 例：已知：⊿ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C 求证：AB+BD=AC 分析：在证明一条线段等于两条线段之和时，常用的方法是在长的一条线段上截取一段等于已知的一条线段，再设法证明剩下的一段等于另一段或移动一条短的线段与另一条短的线段相接得到新的一条较长的线段，再证明它与给定的那条较长 A B C D E
《高中数学解题思维与思想》 导读 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策 略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了 全面验证。
一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1 111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。 （2）善于联想
数学问题解决的思维过程 摘要: 数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。这里所指的“问题”不是指那些与课本例题同类型的常规习题,而是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。这些问题不能直接套用现成公式获得解决,而要调动所学知识系统,运用一定的思维策略,通过一定的思维过程逐步指向问题目标,使问题在探究中获解。 关键词:缕析问题;求解方案;问题解答;解题过程 数学问题的解决是一个复杂而连续的心理活动过程,其一般思维过程是:缕析问题信息→确定求解方案→实施问题解答→反思解题过程,下面以实例加以分析。 一、缕析问题信息 1.理清数学问题信息。数学问题作为一种有待加工的信息系统,它主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提供的条件信息和目标信息。 对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整,特别是对那些综合性强、关系复杂的问题,要注意发现问题中的隐性信息,充分挖掘有用的信息,这对问题解决的顺利实施具有重要的意义。例如,在问题“大数和小数的差是80.1,小数的小数点向右移一位,刚好与大数相等。大数和小数各是多少”中,大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息没给出,而隐藏在“小数点向右移”一句话中,需要学生自己去发现。 二、确定求解方案 在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下,在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态,及要解决的问题的目标状态。这时,解决者的思维就要进一步深入,提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息,链接各信息间的运算信息,选择解题方法,制定合理的求解计划,这是实现问题解决的最关键一步。这一过程由一组复杂的心理活动组成,一般要连续完成以下几方面的任务。 1.类化问题信息。一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程,这是解决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来,并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础,重新组合演化成解决新问题所需的新策略。 2.寻找解题起点。解决问题的切入点往往有所不同,具有因人而异的相对灵活性。如在解决例1时,学生一般都会想到从求科技书入手,求出前后科技书本数之差即可;另外,学生想到
打破思维定势，巧解数学应用题 在小学数学教学中，应用题的教学占有严重地位，不仅体现了现代数学思想，而且应用题的解题方法，富有创造性内容，有用地培养学生解决实际问题的能力。 一、培养学生的审题习惯 审题是解决应用题的关键，仔细的读题，找出已知和未知条件，找出相关条件之间的联系，条件和问题之间的联系。对现有条件的分析，找出内在联系，从而确定数量关系。为了便于思考，可以将重点内容作出图文标记。 教师对应用题这部分知识要分类，系统地从题中发现规律，从规律中找到解决办法，举一反三。例如税率=利息/本金对这一等式我们可以推出另外两个等式，在解题的时候加以应用。同时为了区分对关键知识的理解，学生边读边思考，找出变化的量和不变量之间的联系，老师还可以用图示的方式帮助理解。 二、教给学生分析应用题常用的推理方法 在解题过程中，学生往往习惯于模仿教师和例题的解答方法，机械地去完成。因此，教给学生分析应用题的推理方法，帮助学生明确解题思路至关严重。 1.分析法。就是从应用题中欲求的问题出发进行分析。首先思考解题需要哪些条件，而这些条件哪些是已知的，哪些是未知的，直到未知条件都能在题目中找到为止。例如行程问题路程=速度×时间，围绕着这个基本概念，我们又发展到追击和相遇问题，通过练习和对比我们就会发现路程和=速度和×时间，路程差=速度差×时间。 2.图例法。对路程问题最多的就是线段图，通过在图中找出对应的分率，还有比例关系，更简易找到解决应用题的方法。 3.假设法。对很多应用题，题目中的相互关系都比较隐藏，学生不简易理解，我们可以逆向思维。如鸡兔同笼问题，我们就可以用假设法来解决问题，
把笼里的都假设成是兔或者是鸡，按照这个思路，把多余的腿，再还原回去，就找到了问题的答案。 4.列表法。对典型的应用题我们可以通过列举方案寻求答案，找到规律解决问题，像年月日的教学中，对闰年的计算，4年一闰，排出几个后，学生就会发现，每隔4年的规律。列举是，为了找到解决问题的规律，这样学生会在理解的基础上记忆，达到教学目的。 三、对应用题的总结和归类 对小学高年级的应用题，除了较繁复的，基本上都带有一定的典型性，很多都是仿例练习。对于学生来讲，要掌握每种题型最显赫的特点，如分数应用题，我们就会想到抓住单位“1”，是求部分还是整体。这样就会转化难点。在规律中求发展，而且对简单的应用题也尽可能运用多种的方法，对比，分析，选择最易理解和优化的方法，才可能让学生创造性的思维。形成自己的学习体系。我们老师经常做的就是把同类的易混淆的放在一起，通过已知条件的对比加深基础知识的掌握。如： 1.果园里有梨树24棵，比苹果树多■，苹果树有多少棵？ 2.果园里有梨树24棵，比苹果树少■，苹果树有多少棵？ 3.果园里有梨树24棵，苹果树比梨树少■，苹果树有多少棵？ 4.果园里有梨树24棵，苹果树比梨树多■，苹果树有多少棵？ 两数相比较，以后面的数为标准数，前面的数为比较数，即与谁相比谁为标准数。已知一个数，求它的几分之几是多少与已知一个数的几分几之是多少，求这个数。通过相同和例外的差异，学生就能掌握这类应用题的解答方法。 四、要引导学生自编应用题 让学生了解应用题的结构，重视自编应用题的教学，是提高解题能力的严重环节。在低年级进行简单应用题教学时，就让学生了解一道应用题总题由已
《初中数学解题思维与思想》 中数学解题思维与思想》 导 读
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学 教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维 品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教 学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、 对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在 教学实践中得到了全面验证。
二、《解密数学思维的内核》 、《解密数学思维的内核》 解密数学思维的内核 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至 解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清 问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八 个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝 试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技 能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段： 反思问题往往容易为人们所忽视， 它是发展数学思维的一个重要方面， 是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索 的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道 或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到 解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、 一般化、整体化、间接化等。 一、 熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时， 要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验 或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从 结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此， 要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的 联系方式上多下功夫。 常用的途径有： ）、充分联想回忆基本知识和题型 充分联想回忆基本知识和题型： （一）、充分联想回忆基本知识和题型 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题 相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论， 从而解决现有的问题。 全方位、 （二）、全方位、多角度分析题意 全方位 多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己 的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟 悉的解题方向。 恰当构造辅助元素： （三）恰当构造辅助元素 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或 问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题 目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉
2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之二 数学思维的反思性 一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。 二、思维训练实例 (1)检查思路是否正确，注意发现其中的错误。 例1已知b x ax x f +=)(，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。错误解法由条件得 ?? ???≤+≤≤+≤-622303b a b a ② ① ② ×2－①得15 6≤≤a ③① ×2－②得3 2338-≤≤-b ④③+④得 .3 43)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 b x ax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有
?? ???+=+=22)2()1(b a f b a f 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴把)1(f 和)2(f 的范围代入得.3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 例2证明勾股定理：已知在ABC ?中，?=∠90C ，求证. 222b a c +=错误证法在ABC Rt ?中，,cos ,sin c b A c a A ==而1cos sin 22=+A A ，1)((22=+∴c b c a ，即.222b a c +=错误分析在现行的中学体系中，1cos sin 22=+A A 这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。 (2)验算的训练 验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。 例3已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求. n a 错误解法 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a ，错误原因，没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是).(2N n n ∈≥因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验 1=n 时的情形。即：???∈≥==) ,2()1(1N n n S n S a n n
打破思维定势 教学理念：无数事实证明伟大的创造,无数的发明都是从突破思维定势开始的.在学生的学习生活中,常用一种固定了的思路和习惯去考虑问题,它阻碍了思维开放性和灵活性，造成思维的僵化和呆板。这使得学生不能灵活运用知识,创造性也受到了阻碍。突破原来的思维定势,善于创新,不被条条框框所限制才是成功最重要的精神所在。 教学重难点 教学过程 1.导入环节：今天由我给大家上一节心理健康课，希望能和大家一起度过愉快的四十分钟。 师：在开始上课的时候，老师要先来考考大家。我们先来看一道趣味题。 一个公安局长在茶馆里与一位老头下棋。正下到难分难解之时，跑来一个小孩，小孩着急地对公安局长说：“你爸爸和我爸爸吵起来了。”“这孩子是你的什么人？”老头问。公安局长答道：“是我的儿子。”请问：两个吵架的人与这位公安局长是什么关系？ （公安局长是女的，小孩的妈妈） 有人曾将这道题对一百个人进行测试，结果，只有两个人答对。后来，又有人将这道题对一个三口之家进行了测验，结果，父母猜了半天没答对，倒是他们的儿子（小学生）答对了。这是怎么回事呢？ 师：因为我们通常的思维就会认为公安局长一般是男人，所以习惯性认为公安局长是小孩的爸爸,其实啊这是思维定势在作怪，我们今天就来聊聊有关思维定势的内容，今天上课的主题是跳出思维定势。 2.第二环节 师：那到底什么是思维定势？
思维定势的含义：人们在长期的思维过程中所形成的一种思维条件反射，简单来说就是习惯于用以往常用的思维方式来考虑、分析和解决问题。 思维定势在我们的日常生活中是非常常见的，例如同学们在做一道数学题的时候，你做得熟悉了，下次碰到同一类型的题目你不需要多加思考马上就会做了；或者是发生地震人们会想都不想就跑出房子，这其实啊也是思维定势给我们带来的的积极作用，思维定势使我们能够应用过去已掌握的方法迅速解决一些类似的问题。在日常生活中，思维定势可以帮助人们解决每天碰到的90%以上的问题。人一旦形成了习惯的思维定势，就会习惯地顺着定势的思维思考问题，比如说在刚刚提到的公安局长的问题中，很多人会习惯性地认为公安局长是男性，这就会影响我们对这个问题的思考与解决，所以思维定势在一定的情况下会禁锢我们的思维，抑制思维的灵活性和创造性，很容易把人的思维限制在已有的条条框框或模式中，使我们的思维僵化。 3.第三环节打破思维定势的方法 所以我们在享受思维定势给我们带来的便利时，也要学会去跳出思维定势。那我们该如何跳出思维定势呢？下面我们一起来看一下有哪些方法。 1打破惯性思维——跳出原来的圈子 数学擂台：我们来一道题目，这里有九个点，请同学们用四条连续的直线用一笔的方式将这九个点连起来，大家可以自己先拿出纸和笔来画一画。 小结：刚才很多同学被这九个点给困住了，我们习惯性地想着怎样才在这个框里链接这些点，但是只有我们把思路延伸到外面才能更好地解决问题。其实我们刚才这种思维方式就是“打破惯性思维”。 认识了这个打破思维定势的方法，接下来我们来进行练习。 接下来，我们来玩一个小游戏。（打结游戏） 我们可能会习惯性地先去用双手握住绳子，然后尝试着去打结，其实我们打破这种惯性思维，那问题就会迎刃而解了。
中学生数学学习中的思维定势 凌兵 盐城市鹏城教育中心 摘要：思维定势是中学生在数学学习过程中常见而又不可避免的的一种现象；思维定势容易使中学生养成一种机械、呆板、千篇一律的解题习惯，能够使解题者墨守成规，摆脱不了思维定势的束缚，让解题者很难涌出新思维、很难想出新的解题思路；本文结合了教学实践中的事例阐述了影响中学生在数学学习过程中形成思维定势的主要六点因素以及克服中学生在数学学习中形成思维定势的一些措施与方法；克服中学生数学学习中的思维定势不仅能够减轻中学生学习数学的负担、提高中学生学习数学的效率，而且还可以全面地提高中学生的思维品质。 关键词：思维定势；中学生；数学；问题 思维定势是中学生在数学学习过程中常见而又不可避免的的一种现象；所谓思维定势，就是指人们按照积累的思维活动经验、已有的思维规律和在反复使用过程中所形成的比较稳定的、定型化的思路和模式去思考和解决问题。思维定势在思维模式上有强大的惯性和顽固性，所以思维定势容易使中学生养成一种机械、呆板、千篇一律的解题习惯，能够使解题者墨守成规，摆脱不了思维定势的束缚，当遇到类似的问题时，思维定势往往会使解题者步入误区，让解题者很难涌出新思维，从而很难想出新的解题思路；另外思维定势还能够加深中学生解题的主观臆断性，束缚中学生数学思维能力的培养，长期下去很容易使中学生形成思维障碍；因此，弄清中学生数学学习过程中思维定势形成的原因及采取相应的措施，有效地加以克服中学生在数学学习过程中的思维定势是刻不容缓的。 一、中学生数学学习中产生思维定势的因素 中学生数学学习过程中产生思维定势的因素主要有以下几点： 1.对数学概念、数学公式、数学定理等模糊不清不少中学生对一些数学概念、数学公式、数学定理等模棱两可，抓不住其实质内容；在教学中我曾遇到这样的一个例子，例1：已知A=2x2＋3xy－1,B= -x2＋xy－1，且3A＋6B的值与x无关，求3A＋6B的值，有不少中学生在算到3A＋6B= -15 xy－9时，下面就无处下手了，原因是他们不理解“与x无关”的含义，有的中学生说“与x无关”不就是3A＋6B 中“x的系数为零”吗，其实“与x无关”与“x的系数为零”是两个完全不同的概念，“与x无关”是指无论x的值取多少，3A＋6B的值不变，它的言外之意是使另一个变量y为零；而3A＋6B 中“x的系数为零”是指“-15 y”为零，并非单单的指y为零；因此，对数学概念、数学公式、数学原理等模糊不清很容易使中学生在数学学习过程中形成思维定势。 2. 受已有数学知识局限性的影响，解题时主观臆断有一部分中学生在解题过程中往往把自己掌握的数学概念、公式等死搬硬套到新的题目中；还有的中学生受代数学和几何学分支固有的影响，代数问题只用代数方法解，几何问题只从几何的角度去思考；也有一部分中学生在解题过程中问题还没有看完或还没看仔细就想当然的认为问题是他以前做过的或与以前那个问题类似，从而就用解以前那个问题的方法和思想去解新的问题。
数学思维方法：化零为整巧解题 生活中的数学无所不在，如何才能更好的训练孩子的数学思维呢?接下来，跟你分享的6个数学思维方法。 我们在平时学习的知识一般都是分层次、分内容的较零散的知识形式，在解答应用题时，就会将我们学习掌握的知识逐个知识点从储存的大脑中调出来分内使用。但是，有些题若按常规方法来解答不太容易，也比较麻烦，这时我们可以将思维方法转换一下，把问题看作一个整体，这样解题效果特别好。这种解决问题的的思维方法叫做集零为整法，或称为整体思维。 例1、有五个数的平均数是7;如把其中一个数改为9后，这五个数的平均数则为8。改动的那个数原来是多少? [解题思路]： 你可能读了题目之后，想知道五个数各是多少，这显然是没有必要的。这道题的解答应该从整体去考虑，改动后的五个数的总和比原来增加： 8×5-7×5=5 那么，什么数“增加5”后变为9呢?这就太简单了，一年级的小朋友都会做。 解：根据分析，列综合算式为： 9-(8×5-7×5)=4
答：改动后的那个数是4。 例2、设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数。 [解题思路]： 此题按常规的解题习惯，须分别设四个未知数，然后列出四个方程，这样就出现了很大的难度，我们小学没学过方程组。如把四个数之和作为整体x,则可列出简易方程求解。 解：设四个数之和为x,则四个数为x-22、x-20、x-17、x-25，由题意可得 (x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x 解得x=28 所以，四个数依次为8、3、6、11。 请你试用集零为整的思维方法解答下面的题： 任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得五位数中质数的个数有多少个? 数学思维方法(2);;巧在变更豁然开朗某山区农民收获了很多花椒，拿到集贸市场去卖，但销路不好，其原因是包装不吸引人。后来他们重新设计了一种漂亮、新颖的包装，很快就打开了销路。 这个例子说明了由于变更了花椒的包装，使得山区农民获得了可观的经济效益。 解数学题也要这样考虑，把问题进行适当的变更来达到化难为易，化繁为简的目的，从而达到顺利解决问题的目的，这种解决问题