2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．复数
(2)
12i i i
+-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1
D ．1-
2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2
{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B e中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120
c b B ===
，则a
等于（ ）
A
B ．2
C
D
4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
50y m -+=与圆2
2
220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）
A 或
B ．
C ．-
D ．-6．“18a =
”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数3
()2
x f x +=，1
()f
x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则
11()()f m f n --+的值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．4
D ．10
8．双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D ．
3
9．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和?，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θ?>>， B ．m n θ?><， C ．m n θ?<<，
D ．m n θ?<>，
10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ??
-??+?
≥，
≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等
于（ ） A ．7 B ．5
C ．4
D ．3
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输
信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，
例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1
lim
2n a n n a
∞++=+→，则a = ．
14．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其
中
1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，
则
m
n
的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60
．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火
A B a
b
l α
β
炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）
已知函数2()2sin
cos 444
x x x
f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ??
=+
??
?
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）
某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得
1~i (1
23)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=
，
1A A ⊥平面ABC
，1A A =
AB =，2AC =，111A C =，
1
2
BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =
，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
A 1 A
C 1
B 1
B
D
C
21．（本小题满分12分） 已知函数21
()kx f x x c
+=
+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项13
5
a =
，1321n n n a a a +=+，12n = ，，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??
-- ?++??
≥
，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2
121
n n a a a n +++>+ ．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．
1
2
15．② 16．96 三、17．解：
（Ⅰ）2()sin
2sin )24x x f x =-
sin 22x x =π2sin 23x ??
=+ ???
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ??+=-
???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??
+= ???
时，()f x 取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+
???．又π()3g x f x ?
?=+ ??
?．
∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????
???π2sin 22x ??
=+ ???2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ??
-=-== ???
．
∴函数()g x 是偶函数．
18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，， ()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为
00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.
19．解法一：（Ⅰ） 1A A ⊥平面ABC BC ?，平面ABC ，
∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △
中，2AB AC BC ==∴=，
ξ 0 1 2 3 P
0.008
0.032
0.16
0.8
:1:2BD DC =
，3BD ∴=
，又3BD AB AB BC
==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠= ，即AD BC ⊥．
又1A A AD A = ，BC ∴⊥平面1A AD ，
BC ? 平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．
AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．
由三垂线定理知1BE CC ⊥，
AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．
过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=
，11C F A A ==，
160C CF ∴∠= ．
在Rt AEC △
中，sin 6022
AE AC ==?
=
在Rt BAE △
中，tan AB
AEB AE =
==．
arctan
3
AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --
为． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则11(000)0)(020)(00(01A B C A C ，
，，，，，，，，， :1:2BD DC = ，13
BD BC ∴= ．
A 1
A
C 1
B 1
B
D C
F
E
（第19题，解法一）
（第19题，解法二）
D ∴
点坐标为03???
?，，． ∴203AD ?=????
，，
，1(0)(00BC AA == ，，． 10BC AA = ，0BC AD =
，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A = ，
BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ． （Ⅱ）BA ⊥ 平面11ACC A
，取0)AB ==
，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==
，
n n ．
200m m ?+=?∴?
-=??，
，
l n ∴==，， 如图，可取1m =
，则=?
n ，
010cos ?+<>=
=
，m n ， 即二面角1A CC B --
为arccos
5
． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设2
11(2)A x x ，
，2
22(2)B x x ，，把2y kx =+代入2
2y x =得2220x kx --=，
由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ?? ???
，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ?
?-=- ??
?， 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
2
22282()04
8m m mk k m k ∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =
，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224k k ??=+=+ ???
． MN ⊥ x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
．
又12||||AB x x =-=
==
2168k +∴=2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =
．
解法二：（Ⅰ）如图，设2
2
1122(2)(2)A x x B x x ，
，，，把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212
k
x x x x +==-，．
∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ?? ???
，．22y x = ，4y x '∴=， ∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ?
=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =
．
由（Ⅰ）知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ????=--=-- ? ????? ，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ????
????=--+-- ??? ????
???????
222212124441616k k k k x x x x ?????
???=--+-- ??? ????????
???
1212144444k k k k x x x x ???????
???=--+++ ??? ???????????????
()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ????
=-++++++?????
???
22114(1)421624k k k k k k ????
=--?++?-+?+ ????
???
22313164k k ????
=---+ ? ????
?
0=，
21016k --< ，23
304k ∴-+=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =
．
21．解：（Ⅰ）222222
()2(1)2()()()
k x c x kx kx x ck
f x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得2
20c k c ck --=，（*）0c ≠ ，0k ∴≠． 由()0f x '=得2
20kx x ck --+=，
由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2
x c k
=-
）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =
-，即21c k
=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．
（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．
1(1)012
k k
M f c +∴==
=>+， 2
21()02(2)
kc k m f c c c k -+-=-==<++，
由2
122(2)
k k M m k -=+
+≥及0k >，解得k （ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．
2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k
m f ==<
22(1)1
112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．
综上可知，所求k
的取值范围为(2))-∞-+∞ ，
． 22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=
+ ，1121
33n n a a +∴=+
，1111113n n a a +??∴-=- ???
， 又
1213n a -=，11n a ??∴- ???
是以23为首项，1
3为公比的等比数列． ∴11212
1333n n n a --== ，332n n n
a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032n n n a =>+，
21121(1)3n
x x x ??-- ?++?? 2112111(1)3n x x x ??
=
-+-- ?++?? 2
11
1(1)1(1)n x x x a ??
=
-
-+??++??
2112
(1)1n a x x
=-
+++ 2
1
11n n n
a a a x ??
=-
-+ ?+??
n a ≤，∴原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有
122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++???? ≥
21121(1)3n
x x x ??++-- ?++??
2212221(1)333n n nx x x ??
=
-+++- ?++??
．
∴取22111222113311333313n n n x n n n ??- ????
??
?=+++==- ? ???????
- ??? ， 则2
2
12111111133
n n n
n
n n a a a n n n +++=>
+??+-+- ???
≥
． ∴原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ??
=
-- ?++??
， 则2222
22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????
-+--+- ? ?????'=--=
+++
0x > ， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2
3
n x >时，()0f x '<，
∴当2
3n
x =
时，()f x 取得最大值212313n n n
f a ??
== ???+．
∴原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．