北京市西城区2013年初三二模试卷
数 学 2013. 6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的． 1．3-的倒数是
A ．3
1
B ．3
C ．3
1
-
D ．3-
2．下列运算中正确的是
A ．2a a a =+
B ．22a a a
=? C ．222()=ab a b D ．532)(a a =
3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
420-=y ，则x
y 的值为
A ．8
B ．6
C ．5
D ．9 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D 6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误．．
的是 A ．中位数是6 B ．众数是3 C ．平均数是4 D ．方差是1.6 7．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG ， EF 交AD 于点H
，则四边形DHFC 的面积为 A
．3 B ．33
C ． 9 D
．36
8．如图，点A
，B ，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A ，B ，C
三
点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是
A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数3
2
=
+y x 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．若把代数式1782+-x x 化为k h x +-2)(的形式，其中h ，k 为常数，则+h k = ．
11．如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点D ，E 分别是AB ， AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠AFC=90°，
则∠FAE 的度数为 °．
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，
点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB =90°．⊙P 1是△OAB 的内切圆，且P 1的坐标为(3,1)．
(1) OA 的长为 ，OB 的长为 ；
(2) 点C 在OA 的延长线上，CD ∥AB 交x 轴于点D ．将⊙P 1沿水平方向向右平移2个单
位得到⊙P 2，将⊙P 2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P 4，……⊙P n ．若⊙P 1，⊙P 2，……⊙P n 均在△OCD 的内部，且⊙P n 恰好与CD 相切，则此时OD 的长为 ．（用含n 的式子表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：101
()(5)6tan604-?-π+．
14．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 在直线AB 的同侧，∠ECA =∠DCB ，∠D =∠E ．
求证：AD =BE ．
15．已知2
310x x +-=，求代数式(2)(3)(21)(21)4x x x x x ---+--的值．
16．已知关于x 的一元二次方程01172=-++m x x 有实数根． (1) 求m 的取值范围；
(2) 当m 为负整数时，求方程的两个根．
17．列方程（组）解应用题：
水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1) 参加问卷调查的学生共有人；
(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；
(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从
所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A (3-,0)，
与y 轴交于点B ，且与正比例函数4
3
y x =
的图象的交点为C ((1) 求一次函数y kx b =+的解析式；
(2) 若点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的 等腰直角三角形，直接写出点D 的坐标．
20．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= 63
． (1) 求BD 的长；
(2) 求AD 的长．
21．如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点
D 作⊙O 的切线交AC 边于点
E ．
(1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4∠=ABC ，求OF
FC 的值．
22．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作
),(),(y x y x ''=τ，其中?
?
?-='+='by ax y by ax x ,
(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．
(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ； (2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；
(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x
=
>的图象上，
其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1．
(1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值； (3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)k C y x x
=
>的图象分别与线段BE ，
BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，
若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式以及S 的最大值．
24．在△ABC 中，AB =AC ，AD ，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB ，且AD 与CE 交于点M ．点N 在射
线AD 上，且NA =NC ．过点N 作NF ⊥CE 于点G ，且与AC 交于点F ，再过点F 作FH ∥CE ，且与AB 交于点H ．
(1) 如图1，当∠BAC =60°时，点M ，N ，G 重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC
为“黄金三角形”，此时
2
BC
AC
=．若EH=4，
直接写出GM的长．
图
1 图
2 备用图
25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 和抛物线W 交于A ，B 两点，其中点A 是抛物
线W 的顶点．当点A 在直线l 上运动时，抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB 的长度保持不变． 应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线
1:2l y x =-．点A 是直线1l 上的一个动点，且点A 的横坐标为t ．以A 为顶点的抛物线
2
1:C y x bx c =-++与直线1l 的另一个交点为点B ． (1) 当0t =时，求抛物线1C 的解析式和AB 的长；
(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标； (3) 过点A 作垂直于y 轴的直线交直线21:2
l y x =
于点C ．以C 为顶点的抛物线
2
2:C y x mx n =++与直线2l 的另一个交点为点D ．
①当AC ⊥BD 时，求t 的值；
②若以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值范围．
图2
备用图
参考答案及评分标准
2013.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16
分，每小题4分）
阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式=416-+……………………………………………… 4分 =5+． ……………………………………………… 5分 14．证明：∵点C 是线段AB 的中点，
∴AC =BC. …………………………1分 ∵∠ECA=∠DCB ，
∴∠ECA +∠ECD =∠DCB +∠ECD ，
即∠ACD =∠BCE . …………………2分 在△ACD 和△BCE 中，
,,,D E ACD BCE AC BC ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△ACD ≌△BCE. ……………………………………………… 4 分
∴AD =BE . ……………………………………………… 5分 15．解：(2)(3)(21)(21)4x x x x x ---+--
22
56(41)4x x x x =-+--- …………………………………………… 2分 2
397x x =--+. …………………………………………………… 3分 ∵2
310x x +-=， 即2
31x x +=， ……………………………………………4分
E
D
C
B
A
∴原式2
3(3)7
x x
=-++3174
=-?+=. ……………………………… 5分16．解：(1) ∵关于x的一元二次方程27110
++-=
x x m有实数根，
∴274(11)0
?=--≥
m. ….….…..…..…………..……………………1分
∴
5
4
≥-
m. …..….….…..…………..……………………2分
(2) ∵m为负整数，
∴1
=-
m. .….……..…..…………..……………………
3分
此时方程为27120
++=
x x. (4)
分
解得x1= 3，x2= 4. (5)
分
17．解：设租用4座游船x条，租用6座游船y条. (1)
分
依题意得
4638,
60100600.
x y
x y
+=
+=
?
?
?
….………..……………………3分
解得
5,
3.
x
y
=
=
?
?
?
(4)
分
答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条. (5)
分
18．解：(1) 80；……………………………………………………………………1分 (2) 54；……………………………………………………………………3分
(3) 3
20
．…………………………………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)∵点C(m,4)在直线
4
3
y x
=上，
_ _
∴4
43
m =，解得3m =. ……………… 1分
∵点A (3-,0)与C (3,4)在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴03,43.k b k b =-+??=+?
……………… 2分 解得2,
32.
k b ?
=???=? ∴一次函数的解析式为2
23y x =+. ……………………………………… 3分
(2) 点D 的坐标为(2-,5)或(5-,3). (5)
分
阅卷说明：两个点的坐标各1分.
20．解：(1)在Rt△BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= 6
3
，
∴
2=CD ∴CD=6. …………………………………… 1分 ∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2
=10 . ……… 2 分
(2)如图，过点D 作DE ⊥AB 交BA 延长线于点E . ∵∠BAD=135°， ∴∠EAD=∠ADE=45°.
∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3分 设AE=ED= x
，则AD= 2x
.
∵DE 2+BE 2=BD 2
，
∴x 2
+(x +2)2
=(10)2
. ………………………………………………… 4分
解得x 1= 3(舍)，x 2=1 .
∴AD= 2x = 2. ………………………………………………………… 5分 21． (1)证明：连接OD .
∵DE 是⊙O 的切线，
∴DE ⊥OD ，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴O 是AB 的中点.
E
A
B
C
D
_
又∵D 是BC 的中点， . ∴OD ∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE ⊥AC . ……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD ∥AC ， ∴
EC
OD
FC OF =. …………………………………………………………………… 3分 ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D 为BC 的中点，
∴AB =AC . ∵sin∠ABC=
AD AB =34
， 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∵DE ⊥AC ，
∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD ， ∴△ADC ∽△AED . ∴
=
AD AC
AE AD
. ∴AC AE AD ?=2. ∴9
4=AE x .
∴7
4
=EC x .
∴
8
7
==OF OD FC EC . ………………………………………………………………… 5分 22．解：(1)(0,1)τ=(2,2)-； ………………………………………1分
(2)a =1-，b =
12
； ……………………………………… 3分
(3) ∵点(,)P x y 经过变换τ得到的对应点(,)P x y '''与点P 重合， ∴(,)(,)τ=x y x y .
∵点(,)P x y 在直线2y x =上，
∴(,2)(,2)τ=x x x x . ∴2,22.
x ax bx x ax bx =+=-??
? ……………………………………… 4分
即(12)0,(22)0.a b x a b x --=-+=???
∵x 为任意的实数，
∴120,220.a b a b --=-+=??? 解得3,2
1.4
a b ==-?
??????
∴32
a =
，14
b =-
. ……………………………………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1) AO
BOD 的面积为 1； ………………………… 2分
(2) ∵A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x
=
>的图象上，
∴点A ，B 的坐标分别为1(1,)k ，1(,1)k . ………………… 3分 ∵AO =AB ，
由勾股定理得2211+=AO k ，22211(1)(1)=--+AB k k ， ∴2221111(1)(1)+=--+k k k .
解得12k =
12k =…………………………………………… 4分 ∵11k >，
∴12k =………………… 5分 (3) ∵OC =4，
∴点A 的坐标为(1,4).
∴14k =. 设点B 的坐标为4
(,)m m ，
∵BE ⊥y 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴四边形ODBE 为矩形，且=4ODBE S 四边形，
点M 的纵坐标为
4m
，点N 的横坐标为m .
∵点M ，N 在函数22:(0)k C y x x
=>的图象上，
∴点M 的坐标为24(,)4mk m ，点N 的坐标为2(,)k
m m
. ∴2=2
=
OME OND k S S ??. ∴222114=
()(2
2
4
)mk k S BM BN m m
m
?=--
2
2(4)
8
k -=
.
∴12=S S S -222=(4)k S S ---22=42k S --.
∴2
2
2222(4)
1428
4
k S k k k -=--?
=-+， ………………………… 6分
其中204k <<.
∵22
22211(2)144S k k k =-+=--+，而104
-<，
∴当22k =时，S 的最大值为1. …………………………………… 7分
24．解：(1)补全图形见图1， ………1分
EF 与HM 的数量关系是EF =HM ； ………2分
(2)连接MF （如图2）.
∵AD ，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB ，
且∠BAC =120°，
∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4. ∵AB =AC ， ∴AD ⊥BC . ∵NG ⊥EC ，
∴∠MDC =∠NGM =90°. ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.
∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5.
∵NA =NC ，∠2=60°，
∴△ANC 是等边三角形.
A B
C
E
M
F
H
图1
76
5
4
32
1N
G
A
B
C
D
E
H
F M 图2
∴AN =AC .
在△AFN 和△AMC 中，
53,,22,∠=∠??
=??∠=∠?
AN AC
∴△AFN ≌△AMC. …………………………………………… 3分 ∴AF =AM .
∴△AMF 是等边三角形. ∴AF =FM ，∠7=60°. ∴∠7=∠1. ∴FM ∥AE . ∵FH ∥CE ，
∴四边形FHEM 是平行四边形. ……………………………………… 4分 ∴EH =FM .
∴AF =EH . …………………………………………… 5分
(3) GM
1. …………………………………………… 7分 25．解：(1) ∵点A 在直线1:2l y x =-上，且点A 的横坐标为0，
∴点A 的坐标为(0,2)-.
∴抛物线1C 的解析式为2
2y x =--. …………………………… 1分 ∵点B 在直线1:2l y x =-上， ∴设点B 的坐标为(,2)x x -. ∵点B 在抛物线1C :2
2y x =--上， ∴2
22x x -=--. 解得0x =或1x =-. ∵点A 与点B 不重合，
∴点B 的坐标为(1,3)--. …………………………… 2分
∴由勾股定理得AB
=
…………………… 3分
(2) 点A 的坐标为(1,1)-. …………………………… 4分
(3) ①方法一：设AC ，BD 交于点E ，直线1:2l y x =-分别与x 轴、y 轴交于点P
和Q （如图1）.则点P 和点Q 的坐标分别为(2,0)，(0,2)- . ∴OP =OQ =2.
∴∠OPQ =45°. ∵AC ⊥y 轴， ∴AC ∥x 轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB =90°，AB
∴EA =EB =1.
∵点A 在直线1:2l y x =-上，且点A 的横坐标为t ， ∴点A 的坐标为(,2)t t -. ∴点B 的坐标为(1,3)t t --. ∵AC ∥x 轴，
∴点C 的纵坐标为2t -. ∵点C 在直线21:2l y x =
上，
∴点C 的坐标为(24,2)t t --.
∴抛物线2C 的解析式为2
[(24)](2)y x t t =--+-. ∵BD ⊥AC ，
∴点D 的横坐标为1t -. ∵点D 在直线21
:2l y x =
上， ∴点D 的坐标为1
(1,)2
t t --. …………………………………………… 5分 ∵点D 在抛物线2C ：2
[(24)](2)y x t t =--+-上， ∴2
1[(1)(24)](2)2
t t t t -=---+-. 解得52
t =或3t =.
∵当3t =时，点C 与点D 重合，
图1
∴52
t =
. …………………………………………… 6分
方法二：设直线1:2l y x =-与x 轴交于点P ，过点A 作y 轴的平行线，过点B
作x 轴的平行线，交于点N .（如图2） 则∠ANB =90°，∠ABN =∠OPB.
在△ABN 中，BN =AB cos∠ABN ，AN =AB sin∠ABN . ∵在抛物线1C 随顶点A 平移的过程中，
AB 的长度不变，∠ABN 的大小不变，
∴BN 和AN 的长度也不变，即点A 与点B 的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变.
同理，点C 与点D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变. 由(1)知当点A 的坐标为(0,2)-时，点B 的坐标为(1,3)--，
∴当点A 的坐标为(,2)t t -时，点B 的坐标为(1,3)t t --. ∵AC ∥x 轴，
∴点C 的纵坐标为2t -. ∵点C 在直线21:2l y x =
上，
∴点C 的坐标为(24,2)t t --. 令2t =，则点C 的坐标为(0,0). ∴抛物线2C 的解析式为2
y x =. ∵点D 在直线21:2l y x =
上，
∴设点D 的坐标为(,)2
x
x .
∵点D 在抛物线2C ：2
y x =上， ∴2
2x x =.
解得12
x =或0x =.
∵点C 与点D 不重合， ∴点D 的坐标为11
(,)24
.
图2
∴当点C 的坐标为(0,0)时，点D 的坐标为11
(,)24
.
∴当点C 的坐标为(24,2)t t --时，点D 的坐标为7
7
(2,)24
t t --. …… 5分 ∵BD ⊥AC ， ∴7122
t t -=-.
∴52
t =
. …………………………………………… 6分
②t 的取值范围是154
说明：设直线1l 与2l 交于点M .随着点A 从左向右运动，从点D 与点M 重合，到
点B 与点M 重合的过程中，以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形不是凸四边形.