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高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习

数列单元易错题分析

赵玉苗整理

1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？

2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？

① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）.

[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n

S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求

3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？

4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)

5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n

n n a a a a 求+==-

6、你知道n

n q ∞

→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？

你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？

7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)

*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳

假设”吗？

1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论.

2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲

1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：

例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n

3－2；

【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）1

23n n a -=?

【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解.

【正解】（1）a n =10n －2; （2）1

1 (1)23

(2)

n n n a n -=?=?

?≥?

2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：

例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) . 【错解】S =(a ＋(a 2

＋a 3

＋…＋a n

) －(1＋2＋3＋…＋n )=

(1)(1)

a a n n a

-+-

【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1. 【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )

当a =1时，S =

n n -；当1a ≠时，S =

(1)(1)

a a n n a

-+-

3、忽视公比的符号

例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116

，求这个等比数列

的公比．

【错解】四个数成等比数列，可设其分别为3

3,,,,a a a q a q q q

则有4

116a a a q q

?=????+=??

1q =

或1q =

，故原数列的公比为2

3q =+

3q =-

【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题

中无此条件，所以增加了限制条件。

【正解】设四个数分别为23,,,,a aq aq aq

则46

2116a q a q a q ?=???+=?

，()42

164q q ∴+=

由0q >

时，可得2610,3q q q -+=∴=± 当0q <

时，可得21010,5q q q ++=∴=-- 变式、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值

（A ）是3或－3 （B ）是3 （C ）是－3 （D ）不存在

【错解】 }{n a 是等比数列， ∴3a ，5a ，7a 成等比，)1)(9(2

5--=a ＝9，35±=∴a

选A

【分析】3a ，5a ，7a 是}{n a 中的奇数项，这三项要同号。错解中忽视这一点。【正解】C

4、 (见手写P 13－25 13)

5、 (见手写P 14－25 14)

6、缺乏整体求解的意识

例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的

和为234，求7a

【错解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d

则依题意有 510341510146

22234

311a d a d a a

n n n

+=-=+?=?

???

??()

()()

，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。【分析】在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将a a n 1+作为一个整体，不能解决问题。事实上，本题求a 7，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的

性质，2

17a a a +=，求出131a a +即可。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻

理解。

【正解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有

51034151014622234

311a d a d a a

n n n

+=-=+?=?

???

??()

()()

，()()12+可得 a a n 136+=，代入(3)有n =13 ，从而有a a 11336+=，又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=

+==a a a 7113

362

例7 (1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .

错误解法 ,2963S S S =+

q a q

q a --?

=--+

--∴

1)1(21)1(1)1(9

1，

.012(3

63）＝整理得--q q q

1q 2

4q ,0)1q

)(1q

2(.01q

20q 3

=∴=-+∴=--≠或得方程由。

错误分析在错解中，由

q a q

q a --?

=--+

--1)1(21)1(1)1(9

1，

01q q

2(q 3

）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和。

在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，

即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q . 又依题意 963S 2S S =+ ?

q a q

q a --?

=--+

--1)1(21)1(1)1(9

? 01

q q 2(q 3

）＝--,即,0)1)(12(3

=-+q q 因为1≠q ，所以,013

≠-q 所以.0123

=+q

解得 .2

说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根

据评分标准而痛失2分。

例题7 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .

(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．

由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，

∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－1

∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝1

4a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.

(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.

设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．

由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－1

当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假. 例题8 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=－13，62212-=+-++n a a a n n n （Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式；（Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）

解：（I ）622,1121-=-=+-∴-=++++n b b a a a a a b n n n n n n n n

7)()1(6)1()

1(6)]1(...21[2162,....,6)2(2,6)1(22

12112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n

a a n n n

b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得

将这

即数列{b n }的通项公式为872

--=n n b n

（Ⅱ）若a n 最小，则00.1111≥≤≤≤+-+-n n n n n n b b a a a a 且即且

?????≤----≥--∴0

8)1(7)1(0872

2n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9 ∴当n=8或n=9时，a n 的值相等并最小

例题9 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．（Ⅰ)求函数f (x )的表达式；

（Ⅱ)设数列{a n }满足条件：a 1∈(1,2)，a n +1=f (a n )

求证：(a 1－ a 2)·(a 3－1)+(a 2－ a 3)·(a 4－1)+…+(a n － a n+1)·(a n +2－1)＜1 解：(Ⅰ)由f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，所以

x 3+ax 2+bx +c +(2－x )3+a (2－x )2+b (2－x )+c =2

对一切实数x 恒成立．得：a =－3，b +c =3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表达式为：f (x )= x 3－3x 2+3x ． (Ⅱ) a n +1=f (a n )= a n 3－3 a n 2+3 a n (1)

令b n =a n －1，0

b ，b n =1

-n b ，

∴ 1＞b n ＞b n +1 ＞0 (a 1－a 2)·(a 3－1)+(a 2－a 3)·(a 4－1)+…+(a n －a n +1)·(a n +2－1)

=∑

=++?-n

k k k k b b b 1

1)(＜∑=+-n

k k k b b 1

1)(=b 1-b n +1＜b 1＜1。

例题10、平面直角坐标系中，已知(,

)

n n A n a 、(,

)

n n B n b 、*

(1,

0)()

n C n n -∈N ，满足向量

1n n A A + 与向量n n B C

共线，且点*(,)()n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上．

（1）试用11

a b 与n 来表示n a ；

（2）设1

1,a a b a

==-，且12＜a ≤15，求数列{}n a 中的最小值的项．解：（1）点*

)()

n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上，

∴

(1)n n b b n n

+-=+-，即1

n n b b +-=，

于是数列{}n b 是等差数列，故16(1)

b b n =+-．

11(1,)

n n n n A A a a ++=-

，(1,)

n n n B C b =--

，又1n n A A + 与n n B C

共线，

111()(1)()0,.n n n n n n b a a a a b ++∴?----=-=即

∴12132

12()()()n

n n

n a a a a a a a a -=+-

+- 当≥时， 11231n a b b b b -=+++++ 11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．当n ＝1时，上式也成立．

所以a n 11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．（2）把1

1,a a b a

==-代入上式，

得n

a =(1)3(1)(2)

a a n n n --+--2

3(9)62.n a n a =-+++

12＜a ≤15，79<

a +∴

≤，

当n =4时，n a 取最小值，∴

最小值为a 4=18－2a ．

基础练习题

1、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n －

1(n ≥2)，则a n = ________。2n －1(认清项数)

2、已知－9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b

3、－1 五个实数成等比数列，

则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号) (A) －8 (B) 8

(C) －98

(D) 98

3、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？

当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列；当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。（忽视公比q = －1）

4、已知等差数列{a n }的首项a 1=120，d =－4，记S n = a 1＋a 2＋…＋a n ，若S n ≤a n （n ＞1），则n 最小值为……………………………………………………………（ B ） (A)60 (B)62

(C)63

(D)70

5、在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（C ）

(A) 1

2n +- (B) 3n (C) 2n (D) 31n

6、若数列{}n a 中，3

11=

a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a

（A ）1

31-?

??n （B ）n ??? ??312 （C ）n

??31 （D ）31 ( C)

7、已知数列}{n a 的前n 项和q

q a aq

S n n

,1,0(1

≠≠=-为非零常数），则数列}{n a 为（）

（A ）等差数列

（B ）等比数列

（C ）既不是等差数列，又不是等比数列（D ）既是等差数列又是等比数列 8、设数列{a n }是等比数列，2,512

11==q a ，则a 4与a 10的等比中项为

（）

A ．

1 B ．

1 C ．4

1±

D ．8

1±

9、设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则

21)(b b a a +的取值范围是____________.

（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

10、设123,,,,x a a a y 成等差数列，123,,,,x b b b y 成等比数列，则2

1313

()a a b b +的取值范围是

____________.（答：[4,)+∞）。

11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0

则当n m >（*N n ∈）时，有_____n n S a （填“>”、“<”、“=”）． < 12、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 12＞0，S 13＜0，则

S 1a 1，S 2a 2，…，S 12

a 12

中最大的是 B

(A)

S 1a 1 (B) S 6a 6 (C) S 7a 7 (D) S 12

a 12

13、已知数列{}n a 为等差数列，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件易错原因：不注意{}n a 为常数列特殊情况.

14、

“b =,,a b c 成等比数列的（D ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件易错原因：对等比数列的概念理解不全面.

15、等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为（B ）

A.14

B. 15

C. 16

D.17

易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.

16、等差数列{}n a 中，1011100,||,n a a a S <>为其前n 项的和，则（B ）

A.1210,,,S S S ???都小于0，1112,,S S ???都大于0

B.1210,,,S S S ???都小于0，2021,,S S ???都大于0

C. 125,,,S S S ???都小于0，67,,S S ???都大于0

D. 1220,,,S S S ???都小于0，2122,,S S ???都小于0 易错原因：已知条件1110||a a >不会灵活运用.

17、在等差数列{}n a 中，若3915170a a a a +++=，则11a 的值是（C ）

A.1

B. 1-

C. 0

D.不能确定易错原因：找不到3915170a a a a +++=与11a 的关系.

18、若{}n a 为等比数列，4738512,124a a a a ?=-+=，若公比q 为整数，则10a =（C ）

A.256

B. 256-

C. 512

D. 512- 易错原因：①未考虑q 为整数；②运算发生错误.

19、数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则n a 为（C ） A.21n

+ B. 21n

- C. 1

21n -+ D. 1

1n --

易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难. 20、数列{}n x 满足

3121231

n x x x x x x x x n =

=???=

++++-，且128n x x x ++???+=，

则首项1x 等于（D ） A.21n - B.n C.

821

n - D.

易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知*

()156

n n a n N n =

∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：

125

）；

（2）数列{}n a 的通项为1

n a n a b n =

+，其中,a b 均为正数，则n a 与1n a +的大小关系为___（答：

n a <1

+n a ）；

（3）已知数列{}n a 中，

n a n n

λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：

3λ>-）；

（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式

)

(1n n a f a =+得到的数列

}

{n a 满足

)

1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）

A B C D

2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法

1(n n a a d d +-=为常数）

或

11(2)

n n n n a a a a n +--=-≥。如

设{}n a 是等差数列，求证：以bn=n

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差

数列。

（2）等差数列的通项：

1(1)n a a n d

=+-或

()n m a a n m d

=+-。如

（1）等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

3d <≤）

（3）等差数列的前n 和：

1()

n n n a a S +=

，1(1)

n n n S n a d

-=+

。如

（1）数列{}n a 中，*

11(2,)

n n a a n n N -=+

≥∈，

2n a =

，前n 项和

2n S =-

，则1a ＝

＿，n ＝＿（答：

a =-，10n =）；

（2）已知数列{}n a 的前n 项和

12n S n n

=-，求数列

{||}

n a 的前n 项和

T （答：

2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?

-+>∈??）

（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b A +=

。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1

a 、d 、n 、

a 及

S ，

其中

a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即

知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，

3,,,3a d a d a d a d

--++,…（公差为2d ）

3.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d

=+-=+-是关于n 的一次函

数，且斜率为公差d ；前n 和2

11(1)

()2

n n n d d S n a d n a n

-=+

是关于n 的二次函数

且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p

a a a +=.如（1）等差数列

{}

n a 中，

12318,3,1

n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____

（答：27）；

（2）在等差数列{}n a 中，

10110,0

a a <>，且

1110||

a a >，

S 是其前n 项和，则A 、

1210

,S S S 都小于0，

1112,S S

都大于0 B 、

1219

,S S S 都小于0，2021,S S

都大于

0 C 、

125

,S S S 都小于0，

67,S S

都大于0 D 、

1220

,S S S 都小于0，

2122,S S

都大于0 （答：B ） (4) 若{}n a 、

{}

n b 是等差数列，则

{}

n ka 、

{}

n n ka p b + (k 、p 是非零常数)、

{}(,)

p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n

S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}

n a

a 成等比数列；若

{}

n a 是等比数列，且

n a >，则

{lg }

n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为

100，则它的前3n 和为。（答：225）

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，

S S n d

=偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中

，

21(21)n S n a -=-?中

（这里

a 中

即

a ）；

1):奇偶

S S

k k

=+。如

（1）在等差数列中，S11＝22，则

a ＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）若等差数列{}n a 、

{}

n b 的前n 和分别为

A 、

B ，且

()

A f n

B =，则

2121

(21)(21)

(21)n n n n

n a n a A f n b n b B ---=

==--.如设{}n a 与{

b }是两个等差数列，它们的前n 项和分

别为

S 和

T ，若

413-+=

n n T S n

，那么

b a ___________（答：62

87n n --）

(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差

数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

???

?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确

定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如

（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040

a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新

等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究

n m

a b =.

4.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法

1(n n

a q q a +=为常数）

，其中

0,0

n q a ≠≠或

n n n

n a a a a +-=

(2)

n ≥。如

（1）一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则

n a +为____

（答：5

6）；（2）数列{}n a 中，n

S =4

n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b

｝

是等比数列。

（2）等比数列的通项：

1n n a a q

-=或

n m

n m a a q

-=。如设等比数列{}n a 中，

166

n a a +=，

21128

n a a -=，前n 项和

S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，

2q =

或2）

（3）等比数列的前n 和：当

q =时，

n S n a =；当

q ≠时，1(1)1n

n a q S q

11n a a q q

-。如（1）等比数列中，q ＝2，S99=77，求

63a a a +++ （答：44）；（2）

)

(10

∑∑==n n

k k n

的值为__________（答：2046）；

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对

分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两

数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数

,()

a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1

a 、q 、n 、

a 及

S ，

其中

a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即

知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，2

,,,a

a a a q a q

…

（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…

,,,aq

aq q a q

a ，…，因公比不一定为正

数，只有公比为正时才可如此设，且公比为

。如有四个数，其中前三个数成等差数列，

后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：（1）当m n p q

+=+时，则有

m n p q

a a a a = ，特别地，当

2m n p

+=时，则有

m n p

a a a = .

如

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512

a a a a +==-，公比q 是整数，则

a =___（答：

512）；

（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310lo g lo g lo g a a a +++= （答：10）。

(2) 若{}n a 是等比数列，则

{||}

n a 、

{}(,)

p nq a p q N +∈、

{}

n ka 成等比数列；若

{}{}

n n a b 、成等比数列，则

{}

n n a b 、

{

}

n n

a b 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n

S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如

（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1

l o g 1

l o g a n a n

x +=+(*)n N ∈，且

12100

100

x x x

+++= ，则101102200x x x +++= . （答：100

100a ）；

（2）在等比数列{}n a 中，n

S 为其前n 项和，若

140

,1330101030=+=S S S S ，则

S 的值

为______（答：40） (3)若

10,1

a q >>，则{}n a 为递增数列；若

10,1

a q <>, 则{}n a 为递减数列；若

10,01

a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若

10,01

a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，

则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}

n a 为常数列.

(4) 当1q ≠时，

a q

a S n

n +=-+

--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等

比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n

S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。如

若{}n a 是等比数列，且

n S r

=+，则r ＝（答：－1）

(5)

m n

m n m n n m

S S q S S q S +=+=+.如设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为

S ，若

,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，

S q S =偶奇

；项数为奇数21n -时，

1S a q S =+奇偶

(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列

{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列{}n a 的前n 项和

为n S （N ∈n ），关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)

(1N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等

差数列又是等比数列；②若

()R

∈+=b a n b n

a S n 、2

，则{}n

a 是等差数列；③若

()n n S 11--

=，则{}n

a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）

6.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列

,32

,16

,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：1

1212

n n a n +=++

）

⑵已知

S （即

12()

n a a a f n +++= ）求

a ，用作差法：

{11

,(1),(2)

n n

n S n a S S n -==

-≥。如

已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a

（答：

{

3,1

2,2

n n a n ==

≥）；

②数列{}n a 满足122

11125

n n

a a a n +

=+ ，求

a （答：

{

14,12,2

n n n a n +==

≥）

⑶已知

12()

n a a a f n = 求

a ，用作商法：

(1),(1)()

,(2)

(1)n f n f n a n f n =??

=?≥?-?

。如数列{}n a 中，

11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ，则=

+53a a ______（答：61

16）

⑷若

1()

n n a a f n +-=求

a 用累加法：

11221()()()

n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-

1a +(2)

n ≥。如已知数列{}n a 满足11a =，

n a a n n +

--111(2)

n ≥，则

a =________

（答：

n a =

）

⑸已知

()

n n

a f n a +=求

a ，用累乘法：

121

n n n n n a a a a a a a a ---=

???

? (2)

n ≥。如已知数列

}

{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2

=，求n a

（答：

4(1)

n a n n =

+）

⑹已知递推关系求n

a ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如

1n n a ka b

-=+、

n n a ka b

-=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法

转化为公比为k 的等比数列后，再求n

a 。如

①已知111,32

n n a a a -==+，求

a （答：

n n a -=- ）；

②已知

111,32

n n a a a -==+，求

a （答：

n n n a -+=- ）；

（2）形如11n n n a a ka b

--=

+的递推数列都可以用倒数法求通项。如

①已知1111,31

n n n a a a a --==

+，求

a （答：

132n a n =

-）；

②已知数列满足1

a =1

a （答：

1n a n

）

注意：（1）用

--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常

需运用关系式

--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含

a 或

S 的关系式，然后再求解。

如数列

{}

n a 满足

4,3n n n a S S a ++=+=，求n a （答： ???≥?==-2,431

,41

n n a n n ）

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

1123(1)

n n n ++++=+ ，

222

112(1)(21)

n n n n +++=++ ，

3333

(1)

123[

]

n n n +++++= .如

（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

a a a a ++++ ＝_____（答：

413

-）；

（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示

二进制数，将它转换成十进制形式是132********

123=?+?+?+?，那么将二进制

20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：2005

1-）

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357(1)(21)n

n S n =-+-+-+-- （答：

(1)n

-?）

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 如

①求证：01235(21)(1)2n n

n n n n C C C n C n +++++=+ ；

②已知22

()1x

f x x

+，则111(1)(2)(3)(4)()()()2

f f f f f f f ++++++＝___（答：7

）

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如

（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，24T =，①求数

列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11

a =，2q =；

②

n n T n +=--）；

（2）设函数2

()(1)()4(1)f x x g x x =-=-，，数列{}n a 满足：12,()n a f a =(n a =-

1)()()n n a g a n N ++∈，①求证：数列{1}n a -是等比数列；②令2

12()(1)(1)h x a x a x =-+-

(1)n

n a x ++- ，求函数

)

(x h 在点83

x =

处的导数8()3h '，并比较8

()3

h '与n n -2

2的大小。

（答：①略；②8()(1)213n

h n '=-+ ，当1n =时，8()3

h '＝n n -2

2；当2n =时，

8()3h '

()3

h '>n n -22）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②

1111()()n n k k n n k =-++； ③2

111

k k k <

--+，

11111111(1)(1)1

k k k

k k

++--；

④

[

](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =

+++++；

⑤11

(1)!

n n n n =-

++；

⑥22

如（1）求和：

111

(32)(31)

n n +

++=

??-?+ （答：

n +）；

（2）在数列{}

n a 中，n a =

S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如 ①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ?+，…前n 项和n S = （答：(1)(5)

n n n ++）；

②求和：111

112

123

123n

+++++++ （答：

n n +）

8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题

(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =+++++

(1)

()2

n n p n r +=+

（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模

型：若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）

后为第一次还款日，如此下去，分n期还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期等额

还款x元应满足：

(1)(1)(1)(1)

n n n

p r x r x r x r x

+=+++++++

（等比数列问题）.

数列求和精选难题易错题含答案

1、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，。（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足的整数的个数称为这个数列的”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”。解：（1）由题意，当时，有两式相减，得即：（）当时，是等比数列，要使时是等比数列，则只需，从而得出（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比， ① 可得② 得（3）由（2）知，，，，数列递增由，得当时，数列的“积异号数”为1。

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小值；（Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列？证明你的结论．解：（Ⅰ）∵，由，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即；（Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5；（Ⅲ）∵，若，，成等比数列，即由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为， ∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数，因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列．

3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。（2）若数列{cn}满足求数列{cn}的前n项和Wn。设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q ∵a1=1，b1=3由a2+b2=8，得1+d+3q=8 ① 由T3-S3=15得3（q2+q+1）-（3+3d)=15 ② 化简①②∴消去d得q2+4q-12=0 ∴q=2或q=-6 ∵q＞0∴q=2则d=1∴an=n bn=3·2n-1 ⑵∵an=n∴① 当时，…② 由①-②得∴cn=3n+3 又由⑴得c1=7 ∴ ∴{an}的前n项和… 4、已知各项均不相等的等差数列的前四项和是a1，a7。（1）求数列的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最大值。解：（1）设公差为d ，由已知得解得d=1或d=0（舍去）。

数列易错题带答案

数列易错题带答案

D ．18 6．已知数列{}n a 的通项公式是32 122-+-=n n a n ,其前 n 项和是n S ,则对任意的m n >（其中* ∈N n m ,* ）， m n S S -的最大值是 . 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9 72 S =,则 249 a a a ++= 。 8．设等比数列{}n a 的公比12 q =，前n 项和为n S ，则44 S a = ． 9．已知数列{}n a 满足：1 a ＝m （m 为正整数）， 1,2 31,n n n n n a a a a a +??=??+? 当为偶数时，当为奇数时。若6 a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。 10．如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少? 你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8 410?米) 11．已知(2n x x +的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项． 12．已知数列{n a }的前n 项和22n S n n =+, （1）求数列的通项公式n a ；

数列中的常见错误

数列中的易错问题分析 11,1 12,22n n S n n n S S n k b -=?==≥?-≥?=+n n n n n+1n n n+1 n n n+1n n 一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：（1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。（）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如 =f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一）概念理解错误例题1：两个数列 {}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且 :(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（）易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则 115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-= 所以1010:a b =4:3，故选C ，从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数 n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则 1(108)n n n a S S n k -=-=+ 1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥ :n n a b ∴=(108):(81)n n ++ 所以1010:a b =4:3，故选D 。例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若230,90m m S S ==，求3m S 。易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。解析：设数列的公差为d ，则 123......m m S a a a a =++++ 212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

《数列》练习题及答案

《数列》练习题姓名_________班级___________ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 2 2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N * )，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2 3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( ) A ．33个 B ．65个 C ．66个 D ．129个 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174 5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12 ，a n ＝f (n )(n ∈N * )，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( ) A ．[12，2) B ．[12，2] C ．[12，1) D ．[1 2，1] 6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N * )．其中正确的命题序号为( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．① 7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1 (n ∈N * )，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D. 32 8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ 3 n }为等差数列的实数λ＝( ) A ．2 B ．5 C ．－1 2 D.12 9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( ) A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19 D ．S 20 10．将数列{3 n －1 }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100 组中的第一个数是( ) A ．3 4 950 B ．3 5 000 C ．3 5 010 D ．3 5 050 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦指导教师：任宝安参加学生：路栋胡思敏李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如

果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小值是分析2 1 ,第二原式由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。

数列练习题(含答案)

数列测试题（答案在底部） (本测试共18题,满分100分,时间80分钟) 日期姓名得分一、填空题:(共十小题,每题4分,共40分) 1. 数列{n a }的通项公式是41n a n =-，n s 为前几项和，若数列为等差数列，则实数t=__________. 2.。的等比中项为和_______27log 4log 89 3．223233(33)(333)(3333)_____________n n n S S =+++++++++++=L L 已知，则。 4.在等差数列n a {}中，当()r s a a r s =≠时，n a {}必定是常数数列，然而在等比数列n a {}中，对某些正整数r 、s (r s ≠)时，当r s a a =时，数列n a {}不是常数列的一个例子是__________________________________________________。 5. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{n a }是等和数列且1a =2，公和为5，那么这个数列的前n 项和的计算公式为n S =__________________。 6.设数列{n a }的通项公式是2n a n c =+（c 是常数），且2468102 30,a a a a a ++++=则{n a }的前n 项和的最小值为_________. 7．数列2,5,11,20，x ,47,…中x 等于___________。 8.在100以内能被3整除但不能被7整除的所有自然数的和等于_________。 9.某流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为02a =，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，,3小时后分裂成10个并死去1个，……记n 小时后细胞的个数为n a ,则n a =___________(用n 表示)。 10.已知一个数列n a {}的各项是1或3两个数值。首项为1，且在第K 个1和第K+1个1之间有（2K-1）个3，即1,3,1,3,3,3，1,3,3,3,3,3,1,…….则第12个1为该数列的第_________项。二、选择题：（共四小题，每题4分，共16分） 11．等差数列等于，则中，若8533 5,53}{S S S a n ==（）

高考数学压轴专题新备战高考《数列》易错题汇编含答案解析

新数学《数列》试卷含答案一、选择题 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（） A ．63 B ．21 C ．63- D ．21 【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得 21112163S a ==-. 【详解】 ∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-，故选：C ．【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和. 2．在递减等差数列{}n a 中，2132 4a a a =-．若113a =，则数列1 1 { }n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ． 24143 B ． 1143 C ． 2413 D ． 613 【答案】D 【解析】设公差为,0d d < ，所以由2 1324a a a =-，113a =，得 213(132)(13)42d d d +=+-?=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，因为 111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +?? ???? 的前n 项和等于 1111116 ()()213213213261313 n --≤--=-?- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +?? ???? (其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类

数列求和精选难题易错题含答案

数列求和精选难题易错题含答案

数列求和精选难题易错题含答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

（Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小值；（Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列证明你的结论．解：（Ⅰ）∵，由，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即；（Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5；（Ⅲ）∵，若，，成等比数列，即由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为， ∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数，因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列． 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。（2）若数列{cn}满足求数列{cn}

等差数列易错题分析

数列易错题分析一、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(11 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 1．设s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知s 6=36, s n =324, s 6-n =144 (n >6),则n=( ) A 15 B 16 C 17 D 18 正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a 1+a n =6 14432436-+ 2．已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数，则数列｛s n ｝中是常数的项是（） A s 7 B s 8 C s 11 D s 13 正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。 3．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（） A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 解：设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有

(完整版)非常规数列问题及数列中的易错题.docx

1.非常规数列问题及数列中的易错题 2. 已知函数 (3a) x 2, x2 ，若数列 { a} 满足 a f (n) ，且 f ( x)2( a 0, a 1) 9 x 11, x n n a2x2 { a n} 是递增数列，则实数 a 的取值范围是___________________ 2 ．设数列{ a n}的前项和为S n , a11 , 且对任意正整数n,点a n 1,S n在直线2x y 2 0 上.则数列{ a n}的通项公式为________________ 2a n ,0 a n1 ，且 a16 3．若数列{ a n}满足a n 1 1，则 a2017的值为____________ a n 1,a n7 4. 已知数列 a n ,当a n为偶数时，若 a6＝ 1，a n满足：a1＝m（m为正整数）， a n 12 3a n1,当a n为奇数时。则 m所有可能的取值为 _________________ 5. 已知数列a n满足： a1 3 (m∈ N ﹡) ，a n 1 a n 3,a n3, a n的前 m 2a n , a n ，则数列 21 3. 4m+4 项的和S4m4 6. 已知数列{ a n}的各项均为正整数，对于n 1, 2, 3, ，有 5a n27, a n 为奇数， N *，当 n a n 1a,若存在 m m 且 a n为奇数n a n为偶数.其中k为使 a n 1为奇数的正整数 2k 时， a n恒为常数p ，则 p 的值为_______

3 ,a n 120121 7.数列a n足a1a n2 a n 1(n N* ) ， m的整数部分是 __________ 2i 1a i 8. 已知数列a n的前三分 a1 5 ， a2 6 ， a3 8 ，且数列 a n的前 n 和 S n 足 S n m 1 (S2n S2m ) (n m)2，其中 m ， n 任意正整数.数列a n的通公式2 __________ 9. 在数列a n中，a1 3 ， a21， (a n 22)(a n2) 2（n N* ），数列前2014 的和 10.下面的数均由三个数成： (1 ， 2， 3) ， (2 ， 4， 6) ， (3 ， 8， 11) ， (4 ， 16， 20) ， (5 ， 32， 37) ，?， ( a n，b n，c n ) ．若数列 { c n } 的前n和S n，S10 = 11.正数列 { a n } 足 a11,a2 2 ,又数列 { a n a n1} 是以2 公比的等比数列 , 使得2 不等式1 1L1 1280成立的最大整数n a1a2 a 2 n 1 12. 若增数列{ a n}足a n a n 1 a n 23n6, 且 a2 1 a1， a1的范是______ 2 13.正数列 { a n} 的前n和是 S n，若 { a n } 和{S n } 都是等差数列，且公差相等， a1 14. 已知数列a n中，a n5n 1 ，n N* ，将数列a n中的整数按原来的序成数列 b n， b2015 15. 已知 a n，b n＝3n，n N * ，于每一个k∈N *，在 a ＋ 1 之插入 b k个 3得到 n＝3k 与a k 一个数列 { c n} ． T n是数列 { c n} 的前 n 和，所有足T m＝3c m＋1的正整数 m 的

求数列通项公式练习题(有答案)

数列的通项公式 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++ 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== == 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4

112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 设 {}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=， 5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；．练习5 练习6 练习7

答案练习1答案：练习2 证明： (1) 注意到： a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2) 由(1)知， {S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于N) 即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N 且n>1) 又当n=1时上式也成立所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N) 由(*)式得： 234 2 1416,,3927 11 14()233n n a a a n a n -====?? =?≥?? 234[()1]73 n -

高中数学易错题举例解析

高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。下面通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ? ?? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ? ?? x + y >3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- (2) 已知(x+2)2+ y 2 4 =1, 求x 2+y 2的取值范围。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1 a )2+(b+ 1 b )2的最小值。 ●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a (2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2 1 2 =有两个公共点。 ●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q . (2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。《章节易错训练题》 1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2 2、已知A = ? ??? ?? x | x 2 + tx + 1 = 0 ，若A ∩R * = Φ ，则实数t 集合T = ___。 3、如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是 (A) －1≤k ≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1

(完整版)数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1) ，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得???? ? 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9 2d ＝10a 1＋45d ＝100，解得??? a 1＝1， d ＝2， 3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12? ? ???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1 .12分

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》图文答案

高考数学《数列》练习题一、选择题 1．设函数()m f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n * ????∈?????? 的前n 项和是（） A ． 1 n n + B ． 21 n n + C ． 21 n n - D ． () 21n n + 【答案】B 【解析】【分析】函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()() 2N n f n * ????∈?????? 的前n 项和即可．【详解】 Q 1()21m f x mx a x -'=+=+， 1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+， 11 2()()(1)221 f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111 n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ．【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用． 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（）条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要

数列易错题集

数列部分易错题选一、选择题： 1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知6S =36, n S =324, ()61446n S n -=>,则n=( ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（） A. 7S B. 8S C. 11S D. 13S 3．设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L 若 111111,a b a b ==，则 ( ) A . 66a b = B . 66a b > C. 66a b < D. 66a b >或66a b < 4．已知非常数数列{}n a ，满足 2 21 10i i i i a a a a ++-+=且1i i a a +≠,1,2,3,,i n =L ,对于给定的正整数n, 11n a a +=,则 ∑-=1 1 n i i a 等于（） A. 2 B. -1 C. 1 D. 0 5．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）． A a (1+p)7 B a (1+p)8 C )]1()1[(7p p p a +-+ D )1()1[(8p p p a +-+] 6．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（） A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 7． x ab =是a x b ，，成等比数列的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．已知k S 表示{}n a 的前k 项和，1n n n S S a +-=（n ∈N +），则{}n a 一定是_______。 A 、等差数列 B 、等比数列 C 、常数列 D 、以上都不正确 9．已知数列121,,,4a a --，成等差数列, 1231,,,4b b b --成等比数列，则2 1 2b a a -的值为_______。 A 、 21 B 、—21 C 、21或1 2- D 、4 1 10．等比数列{}n a 的公比为q ，则q ＞1是“对于任意n ∈N +”都有1n n a a +>的_______条件。 A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 11．数列{}n a 的前n 项和为2 S 21n n n =+-，则13525a a a a +++=L ( ) A. 350 B. 351 C. 337 12．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为（） A. 17S B.18S C.19S D.20S 13．已知三个互不相等实数a,b,c 成等差数列，那么关于x 的方程2 20ax bx c ++= A.一定有两个不相等的实数根 B.一定有两个相等的实数根 C. 一定没有实数根 D.一定有实数根 14.从集合{}1,2,3,,10L 中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 15. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列四组量中，一定能成为数列{}n a “基本量”的是（）（1）21,s s ，（2）32,s a （3）1a ，n a ，（4）n a q , A.（1）（3） B.（1）（4） C.（2）（3） D.（2）（4） 16．已知等差数列{}n a ,的前n 项和为n S ，且210S =,555S =,则过点, n S P n n ?? ?? ? ，22,2n S Q n n +? ?+ ?+? ?()n N *∈的直线的斜率为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 17．数列}{n a 满足112,02 121,1 2 n n n n n a a a a a +? ≤

数列易错题带答案

1．若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ?-=+2007)1(，n b n n 2008 )1(2+-+=，且n n b a <，对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是（） A.[)1,2- B. [)+∞-,2 C. []1,2- D. ()1,∞- 2．已知等差数列{a n }的前n 项和是n a n S n 2 2182--=，则使2006-，1,2,n = ，且25252(3)n n a a n -?=≥，且当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++= （） A ．(21)n n - B ．2(1)n + C ．2n D ．2(1)n - 5．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 6．已知数列{}n a 的通项公式是32122-+-=n n a n ,其前n 项和是n S ,则对任意的 m n >（其中*∈N n m ,*），m n S S -的最大值是 . 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 8．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44 S a = ． 9．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n n n n n a a a a a +??=??+? 当为偶数时，当为奇数时。若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。 10．如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8 410?米)

经典等差数列性质练习题(含答案)

等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

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