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广州市育才中学2010届高三市调研考模拟测试试题答案
理 科 数 学
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分
30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分．
9．3 10．2550 11．9 12．2
21
- 13．60;75??； 14．cos 2ρθ= 15．72
三、解答题：本大题共6小题，满分80
分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）
解：（1）∵函数()sin cos f x m n
a x
b x =?=+ 的图象经过点,03π?? ???和,1
2π??
???
，
∴
sin cos 0,33sin cos 1.22
a b a b ππππ?+=????+=??即10,2
1.
b a +=?=? 解得1,a b =???=??． （2）由（1）得()sin f x x x =12sin 22x x ??=- ? ???
2sin 3x π?
?=- ???． ∴当sin 13x π?
?
-= ??
?
，即232x k πππ-=+， 即526
x k π
π=+
()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等） 解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6． ∵161n n ==，
∴()4042162C 381
P ξ??=== ???， ()3
1412323C 3381P ξ??==?= ?
??，()2
224
1284C 3327P ξ??
??==?= ?
???
??， ()3
3412
85C 3381
P ξ??==?= ?
??，
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()4
44
116C 381
P ξ??
=== ???． ∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813
E ξ=?
+?+?+?+?=． 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列、放缩法等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，由6711a a q ==，得61a q -=，
从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==．因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+，即3
1
22(1)q q
q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．
所以12q =．故1
1617116422n n n n n a a q q q -----??==== ?
??
．
（2）116412(1)112811281212
n n n n a q S q ??
??-?? ?????-??????===-
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）
（1）证明：在正方形11AA A A
''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．∵3AB =，4BC =，
∴222
AB BC AC +=，则AB BC ⊥． ∵四边形11AA A A
''为正方形，11AA BB ，
∴1AB BB ⊥，而1BC BB B = ，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．
∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，
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∴梯形BCQP 的面积为()1
202
BCQP S BP CQ BC =
+?=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1
203
A BCQP BCPQ V S A
B -=?=，
由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B = ，∴1B B ⊥平面ABC ． ∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，
∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -?=?=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积 之比为722013
205
-=． （3）解：由（1）、（2）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直．
以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()3,0,0A ，()13,0,12A ，()0,0,3P ，()0,4,7Q ，
∴(3,0,3)AP =- ，1
(3,4,5)AQ =-- ， ∴1
11
1cos ,5AP AQ AP AQ AP AQ ?<>==-
，
∵异面直线所成角的范围为0,
2π?
?
??
?
，∴直线AP 与1AQ
所成角的余弦值为1
5
． 20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）
解：（1）c a = 22222
11122b a c a a -∴==-=，∴22
2a b =……① 曲线过? ??
，则221112a b +=……② 由①②解得1
a b ?=??=??， 则椭圆方程为2212x y +=． (2)联立方程22
120x y x y m ?+=???-+=?
，消去y 整理得：22
34220x mx m ++-=
则()
222
1612(22)830m m m ?=--=-+>，解得m <<
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1243m x x -+=
，1212422233
m m
y y x x m m -+=++=+=，
即AB 的中点为2,33m m ??
-
???
又∵AB 的中点不在2
2
59x y +=内，∴
222455
9999
m m m +=≥ 解得，11m m ≤-≥或……④
由③④得：11m m <≤-≤<或
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．
∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．
∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，()f x 有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x
e x -≥，即1x
x e +≤．
令k x n =-（*
,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n
-<-≤，
∴1(1,2,,1)n
n
k
k
n k e e k n n --????-≤==- ? ?????
． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --??≤=- ??? ． ∵1,n
n n ??= ???
∴(1)(2)211211n n n n
n n n n e e e e n n n n -------????????++++≤+++++ ? ? ? ?????????
． ∵(1)
(2)
2
1
11111111
n n n e e
e
e
e e e e e ----------+++++=<=--- ，
∴ 1211n n n n
n n e n n n n e -????????
++++< ? ? ? ?
-????????
．
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