数学难题
一．填空题（共2小题）
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD 交于点O n，则BO1=_________，BO n=_________．
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为_________；抛物线C8的顶点坐标为_________．
二．解答题（共28小题）
3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？
5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．
6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．
8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B 左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．
9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
（3）∠EAC=∠B．
11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m ﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_________；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
13．已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若，求y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．
14．已知：关于x的一元二次方程x2+（n﹣2m）x+m2﹣mn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n﹣2m）x+m2﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．
15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，
与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）确定直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．
16．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．
17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_________；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_________．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，
DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；
（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点
19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中
点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=_________；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE ﹣DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．
20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：
①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是_________；
②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是_________．
21．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．
22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG 翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
23．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的最值；
（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．
24．根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；
（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．
25．例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．
解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE
=
=×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．
∴△OBC的面积为3.5．
（1）如图②，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；
（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．26．阅读：
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．
问题1：我们学习过的平移、_________、_________变换都是正交变换．
②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（0＜n≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的n度旋转变换．特别地，具有180?旋转变换的图形称为中心对称图形．
例如，图A中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．
图B的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．
问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值．
答：（图C）_________；答：（图D）_________．
问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为_________．
问题4：请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）
27．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示．
（1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长；
（2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE 的面积的最小值．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=﹣x+交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD
的顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．
（1）求图A中的点B的坐标；
（2）求α的值；
（3）若二次函数y=mx2+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．
29．已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．
（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．
（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED
是等边三角形．
30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．
（1）写出此图中相等的线段．
（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）
2012年初中难题数学组卷
参考答案与试题解析
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于
点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，
第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD
交于点O n，则BO1=2，BO n=．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。
专题：规律型。
分析：（1）结合图形和已知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质，即可得出O1点为BD的中点，很容易就可推出O1B=2；
（2）依据第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，可以推出O2D1=BO2==；以此类推，即可推出：BO n=．
解答：解：∵矩形纸片ABCD中，，
∴BD=4，
（1）当n=1时，
∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1，
∴O1D=O1B=2，
∴BO1=2=；
（2）当n=2时，
∵第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，
∴O2D1=BO2===，
∵设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，
∴O3D2=O3B==，
∴以此类推，当n次折叠后，BO n=．
点评：本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质推出结论
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的
顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的
顶点坐标为（3，2）；抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
考点：二次函数的性质。
专题：规律型。
分析：
根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=x+1，因为顶点C2的在直线AB上，C2
坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y=x+1中，可求纵坐
标．
解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b
则
解得k=，b=1
∴直线AB的解析式为y=x+1
∵抛物线C2的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB上
∴抛物线C2的顶点坐标为（3，2）
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…
∴每个数都是前两个数的和
∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55
∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．
二．解答题（共28小题）
3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）先由k≠0，确定此方程为一元二次方程．要证明方程总有两个实数根，只有证明△≥0，通过代数式变形即可证明；
（2）先利用求根公式求出两根，x1=﹣1，，只要2被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k
的值．
解答：证明：（1）∵k≥1，
∴k≠0，此方程为一元二次方程，
∵△=4﹣4k（2﹣k）=4﹣8k+4k2=4（k﹣1）2，
而4（k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴方程恒有两个实数根．
（2）解：方程的根为，
∵k≥1，∴．
∴x1=﹣1，，
∵k≥1，若k为整数，
∴当k=1或k=2时，方程的两个实数根均为整数．
的方法和整数的整除性质．
4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？
考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。
专题：证明题；分类讨论。
分析：（1）分两种情况讨论，当k=0时为一元一次方程，方程有一个实数根；当k≠0时，利用根的判别式计算出△＞0，得到方程总有实数根；
（2）先判断出方程为一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的两个根，再根据方程两根均为负数得出k的取值范围，从而求出k的值．
解答：解：（1）分类讨论：
若k=0，则此方程为一元一次方程，即﹣3x﹣3=0，
∴x=﹣1有根，（1分）
若k≠0，则此方程为一元二次方程，
∴△=（2k﹣3）2﹣4k（k﹣3）=9＞0，（2分）
∴方程有两个不相等的实数根，（3分）
综上所述，方程总有实数根．
（2）∵方程有两个实数根，
∴方程为一元二次方程．
∵利用求根公式，（4分）
得；x2=﹣1，（5分）
∵方程有两个负整数根，
∴是负整数，即k是3的约数
∴k=±1，±3
但k=1、3时根不是负整数，
∴k=﹣1、﹣3．（7分）
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；同时要加以灵活运用．
5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不
过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，
求直线m的解析式．
考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题。
分析：
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将直线与x轴、y轴交点求出，沿x轴翻折，则直线、直线AB交同一A点，与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，求出K和b；
标，由DF∥x轴，又点F在直线AB上，解得h的值，就能抛物线C2的解析式；
（3）过M作MT⊥FH于T，可证三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求得FN，又由，求得k，故能求得直线m的解析式．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将直线与x轴、y轴交点分别为（﹣2，0），（0，），
沿x轴翻折，则直线、直线AB与x轴交于同一点（﹣2，0），
∴A（﹣2，0），
与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，
∴B（0，），
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为；
（2）设平移后的抛物线C2的顶点为P（h，0），
则抛物线C2解析式为：=，
∴D（0，），
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，），
又点F在直线AB上，
∴，
解得h1=3，，
∴抛物线C2的解析式为或；
（3）过M作MT⊥FH于T，MP交FH于N
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k．
则FN=﹣FM=16﹣5k，
∴．
∵=48，
∴．
解得或k=2（舍去）．
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=．
∴M（，）、N（6，﹣4）．
∴直线MN的解析式为：．
点评：本题二次函数的综合题，涉及的知识有求直线的解析式和抛物线关系式，三角形相似等．
6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），
且AD?BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与
a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题。
专题：开放型。
分析：（1）在△≥0的前提下，用求根公式进行计算即可．
（2）根据（1）的结果可得出A、B的坐标，然后求出AD、BD的长，代入AD?DB=10中，即可求得m 的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）分别将E、F、G的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含a的y1、y2、y3的表达式，进而判断出y1、y2、y3的等量关系．
解答：解：（1）将原方程整理，得x2﹣（m+4）x+4m=0，
△=b2﹣4ac=[﹣（m+4）]2﹣4（4m）=m2﹣8m+16=（m﹣4）2＞0
∴；
∴x=m或x=4；（2分）
（2）由（1）知，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0），
∵A在B的左侧，0＜m＜4，
∴A（m，0），B（4，0）．
则AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4，BD2=OB2+OD2=42+22=20；
∵AD?BD=10，
∴AD2?BD2=100；
∴20（m2+4）=100；（3分）
解得m=±1；（4分）
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴b=m+1=5，c=﹣4m=﹣4；
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4；（5分）
（3）答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式，
如：y3=﹣3（y1﹣y2）﹣4（答案不唯一）；（6分）
证明：由题意可得y1=﹣a2+5a﹣4，y2=﹣4a2+10a﹣4，y3=﹣9a2+15a﹣4；
∵左边=y3=﹣9a2+15a﹣4；
右边=﹣3（y1﹣y2）﹣4=﹣3[（﹣a2+5a﹣4）﹣（﹣4a2+10a﹣4）]﹣4
∴y3=﹣3（y1﹣y2）﹣4成立．（7分）
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识．7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新
图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）首先根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE⊥x轴于E，过Q 作QF⊥x轴于F，根据旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF=GE、PE=GF，可据此求得点Q的坐标．（2）已知了Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得a、b、m的关系式．
（3）延长QC到E，使得QC=CE，那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四边形OEDQ是平行四边形（或证△QCD≌△ECO），那么QD=OE=m，而AQ=QE，且QO平分∠AQC，易证得△AQO≌△EQO，则OA=OE=m，即A点坐标为（0，m），然后将点A的坐标代入（2）的关系式中，即可求得m的值．解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2，
则G（2，0），
∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上，
∴将x=4代入抛物线解析式得：y=（4﹣2）2=4，
∴P（4，4），（1分）
如图，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于F，过点P作PE⊥x轴于E，
依题意，可得△GQF≌△PGE；
则FQ=EG=2，FG=EP=4，
∴FO=2．
∴Q（﹣2，2）．（2分）
（2）已知Q（a，b），则GE=QF=b，FG=m﹣a；
由（1）知：PE=FG=m﹣a，GE=QF=a，即P（m+b，m﹣a），
代入原抛物线的解析式中，得：m﹣a=（m+b）2﹣2m（m+b）+m2
m﹣a=m2+b2+2mb﹣2m2﹣2mb+m2
a=m﹣b2，
故用含m，b的代数式表示a：a=m﹣b2．（4分）
（3）如图，延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE；
∵C为OD中点，
∴OC=CD，
∵∠ECO=∠QCD，
∴△ECO≌△QCD，
∴OE=DQ=m；（5分）
∵AQ=2QC，
∴AQ=QE，
∵QO平分∠AQC，
∴∠1=∠2，
∴△AQO≌△EQO，（6分）
∴AO=EO=m，
∴A（0，m），（7分）
∴m1=1，m2=0（舍），
∴m=1．（8分）
点评：此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大．
8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B
左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）若关于x的一元二次方程有实数根，那么根的判别式必大于等于0，可据此求出c的取值范围，由于c为正整数，即可求出符合条件的c值．
（2）首先根据方程有两个整数根以及抛物线与x轴有两个不同的交点，确定c的值，从而得到抛物线的解析式和对称轴方程；由于四边形OBPC是直角梯形，且CP∥OB，P在抛物线的对称轴上，那么PC的长正好与抛物线对称轴的值相同，由此得解．
（3）首先将（2）所得抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到此时顶点D的坐标；
①抛物线向左平移，可先设出平移后抛物线的解析式；当点P位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，可
将点P坐标代入抛物线的解析式中，即可求得平移的距离；当点O位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，将点O的坐标代入抛物线的解析式中，同样能求出此时平移的距离；根据上面两种情况所得的m值，即可得到m的取值范围．
②抛物线向右平移，方法同①．
解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，
∴△=16﹣4c≥0，∴c≤4．（1分）
又∵c为正整数，∴c=1，2，3，4．（2分）
（2）∵方程两根均为整数，∴c=3，4；（3分）
又∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴c=3；
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（4分）
∴抛物线的对称轴为x=2．
∵四边形OBPC为直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC∥BO，∵P点在对称轴上，∴PC=2．（5分）
（3）由（2）知：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；
①当抛物线向左平移时，设平移后的抛物线解析式为：y=（x﹣2+k）2﹣1；
易知P（2，3），当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点P时，则有：
（2﹣2+k）2﹣1=3，
解得k=2（负值舍去）；
即y=x2﹣1，此时m=0；
当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点O时，则有：
（0﹣2+k）2﹣1=0，
解得k=1（舍去），k=3；
即y=（x﹣1）2﹣1，此时m=﹣1；
故当抛物线向作平移时，﹣2＜m≤0（或﹣1≤m≤0）．
②当抛物线向右平移时，同①可求得2＜m≤4；
综上所述，﹣2＜m≤0或2＜m≤4．（7分）（写对一个给1分）
点评：此题考查了根的判别式、直角梯形的性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移等知识．在（3）题
考点：相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。
专题：证明题。
分析：连AF，则DF=AF，再由△ACF∽△BAF，对应边成比例，即可求证．
解答：证明：连接AF，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，
∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，
∴∠CAF=∠B，
∵∠AFC=∠AFC，
∴△ACF∽△BAF，即=，
∴AF2=CF?BF，
即FD2=CF?BF．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及垂直平分线的性质问题，应熟练掌握．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
考点：线段垂直平分线的性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE=DE，再根据等角对等边可得到∠EAD=∠EDA；
（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF=DF，进而得到∠BAD=∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD=∠CAD，利用等量代换可得∠ADF=∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
解答：证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD=∠EDA，
即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
点评：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．
11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；
考点：抛物线与x轴的交点。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）的解的情况；
（2）用十字相乘法来转换y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，即y=[（m﹣1）x+1]（x﹣1），则易解；
（3）利用（2）的解题结果x=﹣1，再根据两根之积等于﹣是整数，得出m的值，进而得出平移后的
解析式．
解答：解：（1）根据题意，得
△=（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＞0，即m2＞0
解得，m＞0或m＜0 ①
又∵m﹣1≠0，
∴m≠1 ②
由①②，得
m＜0，0＜m＜1或m＞1．
证明：（2）由y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，得
y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）
抛物线y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m﹣1）x﹣1]（x+1）=0的两根．
解方程，得，
由（1）得，x=﹣1，即一元二次方程的一个根是﹣1，
∴无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点（﹣1，0）．
（3）∵x=﹣1是整数，
∴只需﹣是整数．
∵m是整数，且m≠1，m≠0，
∴m=2，
当m=2时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，
把它的图象向右平移3个单位长度，
则平移后的解析式为y=（x﹣3）2﹣1．
点评：（1）在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b2﹣4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；
（2）用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度；
（3）函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|；向上或向下平移时Y=|y+d|．
12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=45°；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°﹣∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°﹣2∠EBA．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
13．已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若，求y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．
考点：根的判别式；根与系数的关系；反比例函数的图象。
专题：证明题；代数综合题。
分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，即可得出结论．
（2）本题需先求出x的值，再代入y与x的关系式即可得出结果．
（3）本题需先分别画出反比例函数和正比例函数的图象，再根据图象即可求出使不等式y≤﹣m成立的m 的取值范围．
解答：（1）证明：由题意可知，∵△=（3﹣2m）2﹣4m（m﹣3）=9＞0，
即△＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由求根公式，得．
∴或x=1．
∵m＞0，
∴．
∵x1＞x2，
∴．
∴．
即为所求．
（3）解：在同一平面直角坐标系中
分别画出
与y=﹣m（m＞0）的图象．
由图象可得，由图象可得
当0＜m≤1时，y≤﹣m．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，在解题时要注意综合应用根的判别式与反比例函数的关系式本题的关键．
14．已知：关于x的一元二次方程x2+（n﹣2m）x+m2﹣mn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n﹣2m）x+m2﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．
分析：（1）直接运用判别式进行判断；
（2）由已知得n=m﹣1，代入方程，将方程左边因式分解求x的值即可；
（3）由（2）可知a=m，n=m﹣1，把x=2代入y1、y2中，得y1=y2，列方程求m、n的值，再分别求抛物线解析式及直线AB解析式，设平行于y轴的直线L解析式为x=h，代入直线AB和抛物线解析式，求C、D两点纵坐标，表示线段CD，利用二次函数的性质求最大值．
解答：（1）证明：∵方程①的判别式△=（n﹣2m）2﹣4（m2﹣mn）=n2≥0，
∴方程①有两个实数根；
（2）证明：由已知得n=m﹣1，代入方程①，得
x2﹣（m+1）x+m2﹣m（m﹣1）=0，
整理，得x2﹣（m+1）x+m=0，即（x﹣1）（x﹣m）=0，
解得x1=1，x2=m，即方程①有一个实数根为1；
（3）解：设平行于y轴的直线L解析式为x=h，
由（2）可知a=m，n=m﹣1，把x=2代入y1、y2中，得y1=y2，
即2（m﹣1）+m2=4﹣2m（m+1）+m2﹣m（m﹣1），
整理，得m2+m﹣2=0，解得m=﹣2或1，n=﹣3或0，
①当m=﹣2，n=﹣3时，y1=﹣3x+4，y2=x2﹣2x﹣2，联立，解得或，
∴A（﹣3，13），B（2，﹣2），直线AB：y=﹣3x+4，
∴CD=（﹣3h+4）﹣（h2﹣2h﹣2）=﹣h2﹣h+6，CD最大值为=；
②当m=1，n=0时，y1=1，y2=x2﹣2x+1，此时抛物线顶点在x轴上，显然CD最大值为1．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，根的判别式．关键是由已知条件，将方程、函数式变形求m、n的值，再表示函数式及线段CD．
15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，
与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）确定直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N
在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：
（1）由抛物线解析式得顶点坐标为（1，﹣m2+5m﹣3），代入双曲线y=中，可求m的值，再把A点坐标代入直线y=mx+b中，确定直线AB的解析式；
（2）由旋转的性质可知，OD=OB，OE=OC，根据B、D、E三点坐标，作EH⊥BD，垂足为H，可知
△BEH为等腰直角三角形，分别求EH，DE，再求sin∠BDE的值；
（3）即△AMN的顶点A的外角为45°，过M点作直线AN的垂线，得到等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求N点坐标．
解答：
解：（1）∵抛物线对称轴x=﹣=1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣m2+5m﹣3），
代入双曲线y=中，得，﹣m2+5m﹣3=3，
∴m=2，
∴A（1，3），把A点代入直线y=2x+b中，得b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1；
（2）由直线AB解析式可知OB=1，OC=，
由旋转的性质可知，OD=OB=1，OE=OC=，
作EH⊥BD，垂足为H，∵∠OBD=45°，
∴△BEH为等腰直角三角形，
又BE=OB﹣OE=，
∴EH==，
在Rt△ODE中，DE===，
∴sin∠BDE===；
（3）N点坐标为（5，1）或（﹣3，1）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据条件确定抛物线和直线AB的解析式，根据旋转的性质，三角形外角的性质解题．
16．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．
考点：直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：（1）根据OB=OC，可得∠BCO=∠CBO，再由FC=FB，得∠FCB=∠FBC，从而得出∠FBO=90°，即可证出结论；
（2）由∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°，可得CF=MF，易证△ACB∽△ABM，则．由勾股定
理求得BM，根据三角函数得出∠MCF的大小．
解答：证明：连接OF．
（1）∵CF⊥OC，
∴∠FCO=90°．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO．
∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC．
即∠FBO=∠FCO=90°．
∴OB⊥BF．
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线（2分）
（2）∵∠FBO=∠FCO=90°，
∴∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°．
∵OA=OC，
∵∠ACB=∠ABM=90°，∠A是公共角，
∴△ACB∽△ABM，
∴．
∵AB=4，MC=6，
∴42=AC（AC+6），
∴AC=2（4分）
∴AM=8，BM==．
∴cos∠MCF=cosM==．
∴∠MCF=30°（5分）
点评：本题是一道综合题，考查了直线与圆的位置关系、切线的判定和性质和相似三角形的判定和性质等知识点，难度较大．
17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是≤p＜3．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，
DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
（2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可．
解答：解：（1）∵等边△ABC的边长为1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，
∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=，
∴△DEF的周长为p=++=；
（2）
根据题意与由轴对称的性质可知，D2F2+F2E3+E3D4=p，
∵D2与D4分别是A1B1与A2B2的中点时D2、F2、E3、D4共线，
∴当D2与D4分别是A1B1与A2B2的中点时，p最小值为：（A1B2+A2B1）=，
∴p的取值范围是：≤p＜3．
故答案为：（1），（2）≤p＜3．
点评：此题考查了三角形与梯形中位线的性质，以及翻折变换的性质．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；
（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点
恰好是点M，求m的值．
考点：抛物线与x轴的交点；解一元一次方程；根的判别式；解一元一次不等式；坐标与图形变化-对称。
专题：计算题；代数综合题。
分析：（1）求出b2﹣4ac的值：（m﹣5）2≥0，即可判断方程总有两个实数根；
（2）求出方程的两根x1=1，x2=m﹣4，根据已知方程有一个根大于4且小于8，列出不等式，求出解集即可；
（3）求出抛物线与Y轴的交点坐标，由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m﹣4，0），根据它们关于直线y=﹣x的对称点分别为（0，﹣1）和（0，4﹣m），得出方程﹣1=m﹣4或4﹣m=m﹣4，求出即可得到答案．
解答：（1）证明：△=b2﹣4ac=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25=（m﹣5）2≥0，
所以方程总有两个实数根．
（2）解：由（1）△=（m﹣5）2，根据求根公式可知，
方程的两根为：
即：x1=1，x2=m﹣4，
由题意，有4＜m﹣4＜8，即8＜m＜12．
答：m的取值范围是8＜m＜12．
（3）解：易知，抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交点为M（0，m﹣4），
由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m﹣4，0），
它们关于直线y=﹣x的对称点分别为（0，﹣1）和（0，4﹣m），
由题意，可得：﹣1=m﹣4或4﹣m=m﹣4，
即m=3或m=4，
答：m的值是3或4．
点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中
点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=1；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE
﹣DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的
最大值．
考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义。
专题：计算题。
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC=，得到．证明△BCG∽△ACE，得到．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是，即可得到BE﹣
DE=EG=2CF；
（3）分类讨论：当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，计算出
AC=12，AB=．M为AB中点，则CM=，FM==2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=；当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于
情况1，可知CF的最大值为．即可得到线段CF长度的最大值．
解答：解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=BD，EF=BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．
（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=，
∴．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，，
∴BE﹣DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，
∴AC=12，AB=．
∵M为AB中点，
∴CM=，
∵AD=，
（易错题精选）初中数学代数式难题汇编及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是（） A ．若 A 、 B 表示两个不同的整式，则 A B 一定是分式 B ．()2442a a a ÷= C ．若将分式xy x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若35,34m n ==则253 2m n -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可. 【详解】 A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称 A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误. C. 若将分式xy x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253 332544 m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C 【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键. 2．若2m ＝5，4n ＝3，则43n ﹣m 的值是( ) A ．910 B ．2725 C ．2 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解． 【详解】 ∵2m ＝5，4n ＝3，
∴43n﹣m= 3 4 4 n m = 3 2 (4) (2) n m = 3 2 3 5 = 27 25 故选B. 【点睛】 本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 3．下列各运算中，计算正确的是( ) A．2a?3a＝6a B．(3a2)3＝27a6 C．a4÷a2＝2a D．(a+b)2＝a2+ab+b2 【答案】B 【解析】 试题解析：A、2a?3a=6a2，故此选项错误； B、（3a2）3=27a6，正确； C、a4÷a2=a2，故此选项错误； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键． 4．下列计算正确的是（） A．a2+a3=a5B．a2?a3=a6C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab2 【答案】C 【解析】 试题解析：A.a2与a3不是同类项，故A错误； B.原式=a5，故B错误； D.原式=a2b2，故D错误； 故选C. 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 5．如果多项式4x4+ 4x2+A是一个完全平方式，那么A不可能是（）． A．1 B．4 C．x6D．8x3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】 ∵4x4+ 4x2+1=（2x+1）2， ∴A=1，不符合题意， ∵4x4+ 4x2+ 4不是完全平方式，
初中数学中考计算题
一．解答题（共30小题） 1．计算题： ①； ②解方程：． 2．计算：+（π﹣2013）0． 3．计算：|1﹣|﹣2cos30°+（﹣）0×（﹣1）2013． 4．计算：﹣． 5．计算：．6．． 7．计算：． 8．计算：． 9．计算：． 10．计算：． 11．计算：． 12．．13．计算：．14．计算：﹣（π﹣3.14）0+|﹣3|+（﹣1）2013+tan45°． 15．计算：．16．计算或化简： （1）计算2﹣1﹣tan60°+（π﹣2013）0+|﹣|． （2）（a﹣2）2+4（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣2） 17．计算： （1）（﹣1）2013﹣|﹣7|+×0+（）﹣1； （2）． 18．计算：．
19．（1） （2）解方程：． 20．计算： （1）tan45°+sin230°﹣cos30°?tan60°+cos245°； （2）．21．（1）|﹣3|+16÷（﹣2）3+（2013﹣）0﹣tan60° （2）解方程：=﹣． 22．（1）计算：. （2）求不等式组的整数解． 23．（1）计算： （2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1．24．（1）计算：tan30° （2）解方程：． 25．计算： （1） （2）先化简，再求值：÷+，其中x=2+1．26．（1）计算：； （2）解方程：． 27．计算：．28．计算：． 29．计算：（1+）2013﹣2（1+）2012﹣4（1+）2011． 30．计算：．
2013年6月朱鹏的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算题： ①； ②解方程：． 考点：解分式方程；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：①根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值求出每一部分的值，再代入求出即可； ②方程两边都乘以2x﹣1得出2﹣5=2x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可． 解答：①解：原式=﹣1﹣+1﹣， =﹣2； ②解：方程两边都乘以2x﹣1得： 2﹣5=2x﹣1， 解这个方程得：2x=﹣2， x=﹣1， 检验：把x=﹣1代入2x﹣1≠0， 即x=﹣1是原方程的解． 点评：本题考查了解分式方程，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等知识点的应用，①小题是一道比较容易出错的题目，解②小题的关键是把分式方程转化成整式方程，同时要注意：解分式方程一定要进行检验． 2．计算：+（π﹣2013）0． 考点：实数的运算；零指数幂． 专题：计算题． 分析：根据零指数幂的意义得到原式=1﹣2+1﹣+1，然后合并即可． 解答：解：原式=1﹣2+1﹣+1 =1﹣． 点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行加减运算，然后进行加减运算．也考查了零指数幂． 3．计算：|1﹣|﹣2cos30°+（﹣）0×（﹣1）2013． 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：根据绝对值的概念、特殊三角函数值、零指数幂、乘方的意义计算即可． 解答： 解：原式=﹣1﹣2×+1×（﹣1） =﹣1﹣﹣1
八年级下册数学难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8 +=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形 式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。 反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.
二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110) A，，(101) B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1 -），且 P（1 -，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴， QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的 OPCQ周长的最小值．
（易错题精选）初中数学代数式难题汇编(1) 一、选择题 1．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（ ） A ．228421a a a -++ B ．328421a a a +-- C ．381a - D ．381a + 【答案】D 【解析】 【分析】 利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】 解：根据题意，得： S 长方形=(4a 2?2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键． 2．计算3x 2﹣x 2的结果是（ ） A ．2 B ．2x 2 C ．2x D ．4x 2 【答案】B 【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得． 【详解】3x 2﹣x 2 =（3-1）x 2 =2x 2， 故选B ． 【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则. 3．下列运算正确的是（ ） A ．21ab ab -= B 3=± C ．222()a b a b -=- D ．326()a a = 【答案】D 【解析】 【分析】 主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式. 【详解】 解： A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误； B 3=，故B 项错误；
C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误； D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ?==. 故选D 【点睛】 本题主要考查： （1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+. 4．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ） A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解：101+103+10 5+107+…+195+197+199 ＝22119919922++????- ? ????? ＝1002﹣502， ＝10000﹣2500， ＝7500， 故选A ． 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 5．下列运算正确的是( ) A ．232235x y xy x y += B ．()323626ab a b -=- C ．()22239a b a b +=+ D ．()()22339a b a b a b +-=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式分别化简即可． 【详解】 A ．22x y 和3xy 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
2019年初中数学中考复习试题（含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）m ＜ 14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1 4 ，且m ≠0 2．若变量y 与x 成正比例，变量x 又与z 成反比例，则y 与z 的关系是（ ） A ．成反比例 B ．成正比例 C ．y 与2z 成正比例 D ．y 与2 z 成反比例 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是 【 ▲ 】 A ．ab ＜0 B ．ac ＜0 C ．当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小 D ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根 4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 【 ▲ 】 A B C D 5．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件 大约只占0.000 000 7 (平方毫米)，这个数用科学记数法表示为 【 ▲ 】 A ．6 107-? B ．6 107.0-? C ．7 107-? D ．8 1070-?
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、 CC1、DD1的中点． 求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N BC 的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F． D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 B
经典难题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）
F 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难题（三）
初中数学中考夺冠真题 月日班级姓名得分 考生注意：本卷共八大题，计 23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40分） 每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号。每一小题：选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。 1.3 4 相反数是………………【】 A.4 3 B. 4 3 - C. 3 4 D. 3 4 - 2.化简（－a2）3的结果是………………【】 A.－a5 B. a5 C.－a6 D. a6 3.今年“五一”黄金周，我省实现社会消费的零售总额约为94亿元。若用科学记数法表示，则94亿可写为…………………………【】 A.0.94×109 B. 9.4×109 C. 9.4×107 D. 9.4×108 4.下列调查工作需采用的普查方式的是………………【】 A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 5.下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是…………………【】 6.化简的结果是………………………………【】 A.－x－1 B.－x＋1 C. 1 1 x - + D. 1 1 x+ 7.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP的长等于【】 A.40 11 B. 40 7 C. 70 11 D. 70 4 8.挂钟分针的长10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是……………【】 A.15 2 cm p B. 15cm p C. 75 2 cm p D. 75cm p 第7题图 P D C B A
A P C D B 初二数学经典题型 1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。 首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线 交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2 又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF 所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ． 过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接 BE
八年级下册数学好题难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整，条件 充分并写出解答过程。 五：已知M ＝2 22y x xy -、N ＝22 22y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的 形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5： 2。
反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围. 二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比 例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
初中数学难题集锦 1．（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. ⑴求∠A 的度数； ⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥ 2．（本小题满分10分） 已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线112 y x =--上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使A D C D -的值最大，请直接写出点D 的坐标. 3．（本小题满分12分） 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒． ⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值； ⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； 图1Q P D C B A A B 备用图A B C D
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA⊥x 轴于点A ，点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C. （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3 2x 2+b x +c ，经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值； （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 5．如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，， ，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？
2018年初中数学中考大题 一．解答题（共25小题） 1．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由． （参考数据：，） 2．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由； （2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
3．如图，某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处，测得∠EAF=60°，然后向左移动12米到B处，测得∠EBF=30°，∠CBD=45°，sin∠CAD=． （1）求旗杆EF的高； （2）求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长． 4．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B
P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A
答案：D 初中数学易错题及答案 1. 4 的平方根是.（A ） 2 （B ） ?、2 （C ） _2 （ D ） 2 . 解：..4 = 2 , 2的平方根为二'”2 2. 若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3. 当 x 时，|3-x|=x-3。答案：x-3 丸，贝U x3 4. 乎_分数（填“是”或“不是” 答案：三 是无理数，不是分数。 5. 尺的算术平方根是 _______ 。 答案："6 = 4, 4的算术平方根=2 6. _________ 当m= 时，J _m 2有意义 答案：-m 2 X ）,并且m 3 4 X ），所以m=0 x 5 +x —6 7分式 2 -的值为零，贝u x= ______________ ■ x -4 (A) a ：：： -2， (B ) a - -2 ， (C ) a ■ -2 ， (D ) a 一 -2 . 2 - 答案：I x-6=0 ... x 「2,X 2 二 [x 2 -4 H0 8.关于x 的一元二次方程（k -2）x 2 -2（k -1）x k 0总有实数根?则K [k —2式0 答案：i . /-k<3 且 k = 2 9.不等式组 x= -2, a .的解集是x> a ，则a 的取值范围是. _3「.x 「3
10. 关于X的不^-<3等式4x-a"的正整数解是1和2：则a的取值范围是。 4 答案：2且3 4 11. 若对于任何实数X，分式于」总有意义，则C的值应满足______ . x +4x +c 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母X2+4X+C =0无解，--C〉4 12. 函数v=也土中，自变量x的取值范围是 x+3 x -1 -0 、，‘ 答案：「X昌 |x +3鼻0 13. 若二次函数y =mx2-3x+2m-m2的图像过原点，贝U m = _______________ . m = 0 2- m = 2 2m - m =0 14 .如果一次函数y=kx的自变量的取值范围是-2辽x乞6，相应的函数值的范围是 -11兰y兰9，求此函数解析式________________________ . 1 x = - 2 _|_x = 6 \ x =-2_|_x = 6 t . t，、“ 答案：当时，解析式为：时，解析式为 |y--11y=9 l y=9 y--11 15.二次函数y=x2-x+1的图象与坐标轴有 _______ 交点。 答案：1个 16 .某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________ 元. 答案：6元 17. 直角三角形的两条边长分别为8和6，则最小角的正弦等于________ . 答案：3 或口5 4
初三数学总复习辅导学习资料（6）——几何经典难题 1.已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ． 2.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ．求证：△PBC 是正三角形． 3.如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、 C 2、 D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2 C 2 D 2是正方形． 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5.已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1
F 6.设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及 CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ． 7.如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作 两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ． 8.如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 9.如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于 10.如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ． E
中考数学好题难题集锦 一、分式： 1、如果abc=1，求证++=1． 2、已知+=，则+等于多少？ 3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 4、已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M ﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．
二、反比例函数： 5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围． 6、如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________． 8、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
（易错题精选）初中数学数据的收集与整理难题汇编附答案(1) 一、选择题 1．随机抽取某校八年级60名女生测试一分钟仰卧数，依据数据绘制成如图所示的数分布直方图，则这60名女生仰卧起坐达到优良（次数不低于41次）频率为（）． A．0．65 B．0．35 C．0．25 D．0．1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据1分钟仰卧起坐的次数在40.5～60.5的频数除以总数60，得出结果即可． 【详解】 这60名女生仰卧起坐达到优良（次数不低于41次）的频率为156 0.35 60 + =． 故选：B． 【点睛】 本题考查了频数分布直方图，学会观看频数分布直方图，频率等于频数除以总数． 2．老师布置10道题作为课堂练习，学习委员将全班同学的答题情况绘制成右图，问答对8道题同学频率是( ) A．0.8 B．0.4 C．0.25 D．0.08 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条形统计图，求出答对题的总人数，再求出答对8道题的同学人数，然后利用答对8道题的同学人数÷答对题的总人数即可得出答案． 【详解】 解：答对题的总人数：4＋20＋18＋8＝50（人）
答对8道题的人数： 20人 ∴答对8道题的同学的频率：20÷50＝0.4 故选：B 【点睛】 本题主要考查了条形统计图的应用，利用条形统计图得出答对题的总人数与答对8道题的人数是解题的关键． 3．某校为了了解八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的数学成绩进行了统计．下面5个判断中正确的有（） ①这种调查方式是抽样调查②800名学生是总体③每名学生的数学成绩是个体④100名学生是总体的一个样本⑤100名学生是样本容量 A．①②B．①②④C．①③D．①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】 解：①这种调查方式是抽样调查，正确；②800名学生是总体，错误：③每名学生的数学成绩是个体，正确；④100名学生是总体的一个样本，错误；⑤100名学生是样本容量，错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的定义，熟练掌握是解题的关键． 4．某牧场为估计该地区山羊的只数，先捕捉20只山羊给它们分别做上标志，然后放回，待有标志的山羊完全混合于山羊群后，第二次捕捉80只山羊，发现其中2只有标志，从而估计该地区有山羊（） A．400只B．600只C．800只D．1000只 【答案】C 【解析】 【分析】 捕捉80只山羊，发现其中2只有标志，说明有标志的占到 2 80 ，而有标记的共有20只， 根据所占比例列式计算即可．【详解】
（专题精选）初中数学四边形难题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ） A ．33° B ．34° C ．35° D ．36° 【答案】B 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°， 由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°， ∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°. 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 2．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD BCE ⊥∠=?，.若2AE =，则边BC 的长为( ) A 5 B 6 C 7 D ．22【答案】B 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果． 【详解】
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD BC BC AB =，∥. ∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥. ∴30BCE ∠=?，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=. 在Rt ABE △中，由勾股定理得()22223BE BE += ， 解得2BE = ，∴36BC BE ==. 故选B. 【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 3．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．48 【答案】B 【解析】 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】 如图所示， 根据题意得AO=12×8=4，BO=12 ×6=3， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ， ∴△AOB 是直角三角形， ∴22169AO BO ++， ∴此菱形的周长为：5×4=20． 故选：B ． 【点睛】 此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键. 4．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
2019年初中数学中考复习试题（含答案） 学校：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1．如图1，已知ABC ?周长为1，连结ABC ?三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为-------------------------------（ ） （A ）12002 （B ）12003 （C ）200212 （D ）20031 2 2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则12 11 x x +的值为---------------------------( ) （A ）2 （B ）2- （C ） 12 （D ） 92 3．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为---------------------------------（ ） （A ）6 （B ）4.5 （C ）2.4 （D ）8 4．多项式2 2 215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 图1
5．右图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是 【 ▲ 】 6．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 【 ▲ 】 A B C D 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 7． 如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F.现有下列结论：（1）DE=DF ；（2）BD=CD ；（3）AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；（4）AD 上任意一点到BC 两端点的距离相等，其中正确结论的个数有________个 8．6 2a a ?-= ；=--3))((x x ；1 +m m y y = 9．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ A B C D F E A A B D C