长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题一
考试类别:闭 考试时量:120 分钟
一.填空题(每空2分,共32分):
1.设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则
=)(B P .
2.若)4,1(~N X ,则~
21-=X Y .
3.已知
6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则
=?)(B A P ,=)|(A B P .
4.从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .
5.若
],
2,0[~π
U X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6.随机变量),2(~2
σN X ,若3.0)40(=< =)(x F . 8.设随机变量X 有分布函数??? ??≥<≤<=2,12 0,sin 0, 0)(ππx x x A x x F , 则=A 1 , = <)6|(|π X P 0.5 . 9.一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ B(10,1/6) . 10.设),(Y X 的联合分布列为 则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列 为 . 11.若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c 2 . 二.选择题(每题3分,共12分): 1.设B A ,为两事件,且1)(0< C. B A ,独立?Ω=?B A D. B A ,独立?0)(=AB P 2.设 ???????≥<≤<=1,11 0,20,0)(x x x x x F , 则 ( C ) A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数 C. )(x F 不是一个分布函数 D. 5.0)1(==X P 3.设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任 意实数a ,有 ( B ) A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( B. ?-=-a dx x f a F 0)(21)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F 4.设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( A ) A . 对任意实数21 ,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u > 三.某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%, 40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分) 四.箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次 数,求X 的分布列,并求)31(≤< X P .( 9分) 五.设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 ?? ?<<<<=,01 0,10,),(2 y x c x y y x f , 求: 1)常数c ; 2) ) 241 ,210(<<< 3 ) 43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分) 六.在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令 Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列. 七.设12,,,,n X X X ???是来自下列两参数指数分布的样本: ()()11212 1 1,120 ;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤??=??? 其中()1,θ∈-∞+∞,()20,θ∈+∞,试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分) 其它 长沙理工大学数计学院 一.填空题 0.8 0.25 0.35 )1,10(B 三.解3={产品由丙厂生产}, 2分 =?0345 .002.040.0, 6分 36.. 9分 四. 561 = . 7分 )3(=X P . 9分 6|3122|2111031021021 02 101 02 c y c dy y c dy x cy dxdy cxy =?==?==????, Y p Z p 6=∴ c ; 4分 2)????==<<<<21 4 12 141012026),()241,210(dydx xy dydx y x f Y X P =25663)411(2|31630 130 1 11=-=???dx x dx y x ; 8分 3)dx dy y x f Y X P X P ??+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>3),(),43 ()43( 1672|3166111103102333==?==????dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)??????===>>10031002|3166),()(dx y x dydx xy dxdy y x f Y X P x x y x 52 21 4= =?dx x . 16分 六.解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为 ,2215)0,0(11119112110=?===C C C C Y X P 335 )1,0(1111 2112110= ?===C C C C Y X P , ,335)0,1(11111011212=?===C C C C Y X P . 661 )1,1(1111111212=?===C C C C Y X P 6分 七.解:似然函数 ()()1212121 ,,,;,;,n n i i L x x x f x θθθθ=???=∏()[)() 12 1 11 ,21 min n i i x i n e I x θθθ=- -+∞∑= (4分) 要使()1212,,,;,n L x x x θθ???最大,必须min i x 1θ≥且 ()11 n i i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值 为1 θ=min i x . (8分) 而2θ的最大似然估计值是使 2 1 2 1 n L e λ θ- = 取最大值的点. 此处 () 11 n i i x λθ==-∑. (12分) 故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x - 最大似然估计量为 1?θ= min i X , 2?θ =min i X X -. (16分) 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题二 卷 一.填空题(每空2分,共40分) 1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=?)(B A P , =)|(A B P . 2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5}, 2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P . 3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P . 4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32 -+Y X ~ . 5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D . 6.已知 ,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D . 7. 设X 的分布函数=)(x F ??? ??>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ,则X 的分布列为 . 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=< 9. 设),(Y X 的联合分布列为 则 = a , Y 的分布列 为 ;若令2)2(-=X Z ,则 =EZ . 10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知 ><-)3|1(|X P . 12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P . 13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则?→?∑=P n i i X n 11 . 14. 设 74 )0()0(,73)0,0(= ≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P . 15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X , 则= ≤∑=∞→)11(lim 1n i i n X n P . 二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认 为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每 题3分,共15分) 1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对 任意实数a ,有 ( ) ①. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( ②. ?-= -a dx x f a F 0)(21)( ③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F 2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ?A ④. P(A-B)=0.1 3. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( ) ①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D 4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21 ②. 31 ③. 32 ④. 41 5. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( ) ①. (31 , 31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3( 三. 计算题(共45分) 1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂 产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率. (8分) 2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ?? ?≤≤≤≤+=,02 0,10,),(2y x bxy x y x f 求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③ ) 21 |1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分) 3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤ 4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX . 其它 (8分) 5.设12, ,,n X X X 为总体X 的一个样本,X 的密度函数: (1),01()0, x x f x ββ?+<<=? ?其他, 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。 (8分) 长沙理工大学数计学院 一) 7. 97 二 三取中次品}, 2分 5分 54.0=. 分 )dx bx 分 分 X P Y P ③ )2/1() 1,2/1()21|1(<><= <>X P Y X P X Y P ???????+??+?=++=2 /102022 2/102122 2/102022/102 12|)2131(|)2131()31()31(dx y y x dx y x y x dydx xy x dydx xy x 8561161241|)3132(|)4131()322()21(2/10232/10232/102 2/102 =+= ++=++=??x x x x dx x x dx x x ; 14分 ④ 1 0,322|)2131()31()(22 022202≤≤+=?+?=+=?x x x y x y x dy xy x x f X , 20,61 31|)213131()31()(1023102≤≤+=?+=+=?y y x y x dx xy x y f Y , 显然),()()(y x f y f x f Y X ≠?,所以X 与Y 不独立. 18分 3. ① X 的可能取值为1,2,3, 4. , 85 )1(==X P , 5615 7583)2(=?==X P , 565 657283)3(=??==X P 561 55617283)4(= ???==X P ; 5分 ② 145 5655615)3()2()31(= +==+==≤ 23 5614565356152851= ?+?+?+?=EX . 9分 4. 设i X 表示学号为i 的同学坐对座位号与否的情况,即 ( )1=i X ={学号为i 的同学坐i 号座位},()0=i X ={学号为i 的同学没坐i 号座位}, .50,,1 =i 显然 ∑==50 1i i X X .而 50,,1,5049 !50!491)0(,501!50!49)1( ==-==== =i X P X P i i . 5分 ∑∑∑====?+?===50150 15011 )5049 05011()(i i i i i EX X E EX . 8分 5. ()101 (1)2E X x x dx ββββ+=+= +? 1分 由 ()12X E X ββ+== +知矩估计量为1?21X β=-- 3分 ()1 (1),010,n n i i i x x L β ββ=?+<=???∏其它 4分 ()1 ln ln(1)ln n i i L n x βββ==++∑ 5分 ()1 ln 0ln 1n i i L n x βββ=?==+?+∑ 7分 故极大似然估计量为 1 1 ln n i i n x β=-=-∑ 8分 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题三 卷 一.填空题(每空2分,共40分) 1. 设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独 立,则=)(B P . 2. 从15,,2,1 中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中最小的是5},2A ={三个数字中最大的是5},则=)(1A P ,=)(2A P . 3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则Y X +的分布列为 . 4. 若随机变量)4,1(~N X , 则~ 21 -X . 5.设X ,Y ,Z 相互独立,)5,4(~), 4,3(~),6,2(~N Z N Y N X ,令W = Z Y X -+23,则期望=EZ ,标准差)(W σ= . 6.已知随机变量 X ,Y 的方差分别为,64,36==DY DX 相关系数为2.0,=Y X ρ,则 =),(Y X Cov , =-)(Y X D . 7. 设随机变量X 的分布函数 =)(x F ??? ??>≤<≤2/,12/0,sin 0, 0ππx x x A x ,则A = , )6/|(|π 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=< 9. 设),(Y X 的联合分布列为 则=a ,X 的分布列 为 . 10. 在两次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为0.64,则)(A P = . 11. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P . 12. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则?→?∑=P n i i X n 11 . 13. 设 74 )0()0(,73)0,0(= ≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P . 14. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则= ≤∑=∞→)11(lim 1n i i n X n P . 二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每 题3分,共15分) 1. 设B A ,为两事件,且1)(0< ①.B A ,独立)|()| (A B P A B P =? ②.B A ,独立?B A ,互不相容 ③.B A ,独立?Ω=?B A ④.B A ,独立?0)(=AB P 2. 设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为 ( ) ①.=)(x F ?????>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ②. =)(x F ?????≥<≤--<1,111,5.01,0x x x ③.=)(x F ???>≤1,11,5.0x x ④. =)(x F ???≥<1,11,5.0x x 3. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知 ( ) ①. 92)3|1(|≥ ≥-X P ②. 92 )3|1(|≥ <-X P ③. 97)3|1(|><-X P ④. 92 )3|(|≤ ≥X P 4. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( ) ① . (31 , 31) ②. )91,31( ③. )3,3( ④. )9,3( 5. 若),(~2 σμN X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . ( ) ①. 0 ②. -μ ③. μ ④. σ 三. 计算题(共45分) 1. 某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别 为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (8分) 2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ?? ?≤≤≤≤=,01 0,10,),(2y x cxy y x f 求①常数c; ②)1(<+Y X P ; ③ ) 21|41(> 3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤ 4. 某秘书将50封写好的信随机地装入写有这50个收信人地址的信封,X 表示该秘书将信装对信封的数目,求X 的期望EX . (8分) 5.设X 服从参数为λ的泊松分布,试求参数λ的矩估计与极大似然估计。 (8分) 其它 长沙理工大学数计学院 一 ,1,0=k 0.5 2/9 二 三}, 2分 0345 .0, 5分 分 分 -102|dy y 分 ????2/110222/102|266dy x y dxdy xy X P 16 1316312 /12 12/12 = =??dy y dy y ; 9分 ④ 10,2|31 66)(103102≤≤=?==?x x y x dy xy x f X , 10,3|21 66)(21032102≤≤=?==?y y x y dx xy y f Y , 显然),()()(y x f y f x f Y X =?,所以X 与Y 独立. 12分 3. ① X 的可能取值为1,2,3,4. , 85 )1(==X P , 5615 7583)2(=?==X P , 565 657283)3(=??==X P 561 55617283)4(= ???==X P ; 5分 ② 145 5655615)3()2()31(= +==+==≤ 23 5614565356152851= ?+?+?+?=EX . 9分 4. 设i X 表示第i 封信装对信封与否的情况,即 ( )1=i X ={第i 封信装对了信封},()0=i X ={第i 封信没装对信封},.50,,1 =i 显然∑==50 1i i X X .而 50,,1,5049 !50!491)0(,501!50!49)1( ==-==== =i X P X P i i . 5分 ∑∑∑====?+?===50150 15011 )5049 05011()(i i i i i EX X E EX . 8分 5.解:∵X ~()πλ ∴E(X)=λ (1分) 矩估计: ()E X λX == ^ λλ?= (3分) 似然函数: 1 1 1 ()! ! n i i i x x n n n i i i i L e e x x λλ λλ λ=--==∑==∏ ∏ (5分) 111ln ()1ln ln !0n n n i i i i i i L x n x x n λλλλλλ===????=?--=-=??????∑∑∏ (7分) ∴^ 1 1n i i x λ===X ∑n (8分) 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题四 一.填空题(每空3分,共48分): 1.已知3.0)(,6.0)(,8.0)(==-=B P B A P A P ,则=?)(B A P ,=)|(A B P . 2.若10各产品中有7个正品,3个次品.现在不放回地从中随机取出两个产品,则第一次取出的是正品的概率是 , 第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率是 . 3.设3 21321,,,31 )()()(A A A A P A P A P ===独立,则321,,A A A 至少出现一个的概率 是 . 4.设X ~)1(P ,Y ~)1(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P . 5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D . 6.若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32 -+Y X ~ . 7.设X 与Y 独立,且X ~)2,0(N ,Y ~)2,1(N ,则),(Y X 的联合密度为=),(y x f . 8 . 设 X 的密度 函数为 ?? ?≤≤=, 01 0,)(x cx x f ,则 c= , = <<-)2121(X P . 9.若),(Y X 的联合分布X 列为 则 a= ,==+)3(Y X P ,=EX . 10.设 ,,21X X 是一独立同分布的随机变量序列,则 ,,21X X 服从大数定理的充要条件是 . 11.若X ~)4,2(N ,则=>)2(X P . 二.选择题(每题3分,共12分): 1 .设 ?? ? ??≥≤≤<=1,11 0,2/10,0)(x x x x F ,则 ( ) A. )(x F 是一个连续型分布函数 B. 5.0)1(==X P C. )(x F 是一个离散型分布函数 D. )(x F 不是一个分布函数 其它 X Y