精品教案_第二十一课时与圆有关的位置关系
基础知识回放
考点1 点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆_______①____、点在圆______②__________、点在圆_______③_________。
（1）点与圆的位置关系与点到圆心的距离d、圆的半径r之间的大小关系有着紧密的联系，是“数”与“形”的结合，即点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示。
（2）与其对应关系可简明表示如下：
（3）若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在⊙O内?______④__________；点P在⊙O上?_______⑤_________；点P在⊙O外?_______⑥_________；
温馨提示：上述结论在运用时，“向右推出”是由位置关系判定数量关系；“向左推出”是由数量关系判定位置关系，体现了数形结合的数学思想。
考点2 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系如下表：
规律总结：根据上述表格，研究直线与圆的位置关系，可以转化为点（圆心）到直线的距离d与半径r的大小关系，又可转化为直线和圆的公共点的个数问题。判定直线与圆的位置关系，可以用它们交点的个数来判定，也可用d与r的大小来判定，两种方法是唯一的。
2．切线的判定和性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且____○17______这条半径的直线是圆的切线。
温馨提示：一条直线只有满足：（1）经过半径的外端。（2）垂直于这条半径这两个条件才是圆的切线，缺一不可。
方法点拨：判定切线的方法有以下几种：①若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；②连接圆心与圆和直线的公共点的半径，再证它们互相垂直。简称“连半径证垂直”；③当直线与圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线段的长等于半径，简称“作垂直证半径”。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于______○18_________。
温馨提示：切线的判定与性质有着本质的区别。判定是在未知相切的情况下要证得直线与圆相切；而性质是在相切的条件下，得到半径与切线垂直等一些结论。
方法点拨：圆的切线性质是证明两线垂直的重要方法，常用的辅助线是连接经过切点的半径。
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________○19_____，这一点和圆心的连线______○20__________两条切线的夹角。
（4）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的______○21_____，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的____○22___。
温馨提示：“切”是指三角形的三边与圆的位置关系，而“内”“外”是指三角形与圆的相对位置。三角形的内心到三边的距离相等且必在三角形内部。初中英语词汇表注：n 名词v 动词adj形容词
adv 副词prep介词conj连词
phr.短语num数词
第一册1----833
1 what pron 什么
2 is v 是
3 what's what is的缩写形式
4 your pron 你的,你们的
5 name n 名字
6 my pron 我的
7 I pron 我
8 am v 是
9 I'm I am的缩写形式
10 in prep 在...里(内,上)
11 row n (一)排,(一)行
12 one num 一
13 number n 数字,号码
14 two num 二
15 too adv 也
16 three num 三
17 are v 是
18 you pron 你,你们
19 yes adv 是
20 four num 四
21 five num 五
22 no adv & adj 不,不是
23 not adv 不
24 hi interj 喂(问候或唤起注意)
25 class n (学校里的)班级,年级
26 grade n 年级
27 six num 六
28 seven num 七
29 eight num 八
30 nine num 九
31 ten num 十
32 zero num & n 零
33 plus prep 加,加上
34 it pron 它
35 it's it is的缩写形式
36 how adv (指程度)多少,怎样
37 old adj ...岁的,老的
38 eleven num 十一
39 twelve num 十二
40 minus prep 减,减去
41 thirteen num 十三
42 fourteen num 十四
43 fifteen num 十五
44 hello interj 喂(问候或唤起注意)
45 please interj 请
46 can v.aux 能,可以,会
47 spell v 拼写
48 that pron 那,那个
49 secret n 秘密
50 this pron 这,这个
51 in prep 用...(表达)
52 English n & adj 英语,英国人
英国的,英国人的
53 in English phr. 用英语(表达)
54 a art 一(个,件...)
55 clock n 钟
56 and conj 和,又,而
57 pencil-box n 铅笔盒
58 an art 一(个;件.)(用于元音开头的词前)
59 pencil n 铅笔
60 ruler n 尺子
61 pen n 钢笔
62 sharpener n 卷笔刀
63 eraser n 橡皮擦
64 room n 房间
65 book n 书
66 map n 地图
67 desk n 书桌
68 cup n 杯子
69 bag n 书包
70 computer n 电脑,电子计算机
71 mouse n 鼠,耗子,鼠标
72 bed n 床
73 keyboard n 键盘
74 isn't is not的缩写形式
75 pear n 梨
76 cake n 蛋糕,饼,糕
77 banana n 香蕉
78 apple n 苹果
79 orange n 橙子,橘子
80 egg n 蛋
81 bike n 自行车
82 bus n 公共汽车
83 car n 汽车,小汽车
84 jeep n 吉普车
85 Chinese adj 中国的,中国人的
n 中国人,汉语
86 Japanese adj 日本的,日本人的
n 日本人,日语
87 look v 瞧,看
88 who pron 谁
89 she pron 她
90 he pron 他
91 bird n 鸟
92 its pron 它的
93 do v.aux (构成否定句,疑问句的助动词)
94 don't do not的缩写形式
95 know v 知道,懂得
96 think v 想,认为
97 Mr=mister n 先生(用于姓名前)
98 very adv 很,非常
99 picture n 图画,照片
100 Mrs n 夫人
101 boy n 男孩
102 girl n 女孩
103 woman n 妇女,女人
104 man n 男人,人
105 cat n 猫
106 his pron 他的
107 teacher n 教师
108 her pron 她的
109 everyone pron 每人,人人
110 here adv 这里,这儿
111 today adv & n 今天
112 at prep 在
113 school n 学校
114 at school phr. 在学校
115 sorry adj 对不起,抱歉的
116 where adv 在哪里
117 home n 家
118 at home phr. 在家
119 How are you? 你(身体)好吗?
120 fine adj (身体)好的
121 thanks n 谢谢(只用复数)
122 OK adv (口语)好,对,不错,可以
123 thank v 谢谢
124 goodbye interj 再见,再会
125 bye interj 再见
126 parrot n 鹦鹉
127 sister n 姐,妹
128 father n 父亲
129 mother n 母亲
130 box n 盒子,箱子
131 excuse v 原谅
132 me pron 我
133 Here you are. 给你
134 but conj 但是
135 these pron 这些
136 they pron 他(她,它)们
137 good adj 好的
138 those pron 那些
139 boat n 船
140 hill n 小山
141 tree n 树
142 their pron 他们(她们,它们)的
143 much adv 多,很,非常
144 very much phr. 很,非常
145 all adv 都,完全
146 right adv & adj 对的,正确的
147 all right phr. 好,行,不错
148 mum n (口语)妈妈
149 friend n 朋友
150 brother n 兄,弟
151 nice adj 令人愉快的
152 to prep (表示方向)到,向动词不定式符号153 meet v 见面,会面,遇见
154 child n 小孩
155 children n child的复数形式
156 welcome v 欢迎
157 our pron 我们的
158 come v 来
159 come in phr. 进来,进入160 morning n 早晨,上午
161 class n 同一个班的学生162 on prep 在,在...上
163 duty n 职责,责任
164 on duty phr. 值日
165 we pron 我们
166 aren't are not的缩写形式167 have v 有
考点3 圆与圆的位置关系
温馨提示：（1）圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线。两圆相切包括内切与外切。相离包括外离与内含。同心圆是内含的特殊形式。（2）当d ＞R －r 时，两圆可能相交，还可能外切或外离；当d ＜R ＋r 时，两圆可能相交，还可能内切或内含。因此，只有当R －r ＜d ＜R ＋r 时，才能判断两圆相交，二者缺一不可。
方法点拨：凡涉及两圆的题型，无论是计算还是证明需要添加的辅助线有：公共弦、连心线、公切线。在公切线的计算问题中往往需要构造直角三角形，这些辅助线的作法可以归纳为：圆和圆心相连，相交的两圆不忘公共弦，相切两圆的公切线是常用的辅助线。
中考热点难点突破
例1：如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A.内切、相交
B.外离、相交
C.外切、外离
D.外离、内切 分析：掌握好每种情况的图形是解决本题的关键，对内切，相交，外离，外切等定义一定要结合图形，掌握好它们每一种的形状。
解：上下环之间环环相扣，所以这种位置关系是相交，而同在一行上的两个环，如同在上面或同在下面的两个环，可以看出它们的位置关系是外离，所以综合上述两种位置关系可知应该选择B 。
例2：如图，1O ，2O ，3O 两两相外切，1O 的半径11r =，
2O 的半径22r =，2O 的半径33r =，则123OO O △是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角三角形或钝角三角形
分析：本题主要考查两圆相切的有关性质及三角形的形状的判定。
解：
,两圆外切,连心线经过切点,圆心距等于两圆的半径和,由题意知O 1O 2=3,O 1O 3=4,O 2O 3=5,再由勾股定理的逆定理可知123OO O △是直角三角形,应选B.
例1图
例2图
O 2
O 3
O 1
例3：如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =
∠，且AB AD BC >+，AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为
（ ） A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
分析：本题难度较大，首先即要能正确地作出辅助线，又要能判断出此辅助线是此梯形是中位线，然后再利用半径与圆心到直线的距离关系作出判断，本题联系的知识点非常多，前面过度的范围比较大，所以灵活地掌握各个知识点，是解决好本题的关键。
解：要判断直线与圆的位置关系，需将其转化为圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系.图中圆心O 到直线CD 的距离即为梯形A B C D 中位线的长，即d=
)(21BC AD +，而AB AD BC >+，于是d ＜AB 2
1
，即d ＜r ，故直线CD 与⊙O 相交. 例4：已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切
分析：本题考查两圆的位置关系，两圆的位置关系取决于两圆的圆心距. 正确地掌握好
圆心距与两圆的位置关系是解决本题的关键也是难点，易错点，所以必须把上述定理掌握好。
解：设两圆半径分别为R 、r ，两圆的圆心距为d ，则当d ＞R ＋r 时，两圆外离；当d ＝R ＋r 时，两圆外切；当R －r ＜d ＜R ＋r 时，两圆相交；当d ＝R －r 时，两圆内切；当d ＜R －r 时，两圆内含.所以选择C 。
例5：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．
分析：证明切线的方法通常是连接OD ，然后证明DE ⊥OD 。
证明：连接OD ，则OD=OB ，∴ ∠B=∠ADO ． ∵AB=AC ，∴ ∠B=∠C ，∴∠ADO=∠C ， ∴ OD ∥AC ， ∴∠ODE=∠DEC ． ∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠DEC=90°，
∴ ∠ODE=90°，即DE ⊥OD ，∴ DE 是⊙O 的切线．
例6：已知：如图等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是劣弧 BC 上的一点（端点除外），延长
BP 至D ，使BD ＝AP ，连结CD ．
例3
图
例5图
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断△PDC 是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？
分析：（1）这三角形我们很容易猜测这是一个等边三角形，我们设法证明∠D ＝60°，我们可通过证明△APC ≌△BDC 来实现，由于∠BPC ＝120°，∴∠CPD ＝60°，所以△PCD 是等边三角形；（2）变化的图形总有不变的规律性，我们由（1）作类比联想.
解：（1）答：△PDC 是等边三角形
理由：∵∠PBC ＝∠PAC ，BC ＝AC ，BD ＝AP ，∴ △APC ≌△BDC ，∴∠D ＝∠APC ，∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠D ＝60°，∵∠BPC ＝120°，∴∠CPD ＝60°，∴△ADC 是等边三角形 （2）答：△PDC 是等边三角形，理由同上
中考效能测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（09年山西省）如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2,OD ＝3,则BC 的长为（ ） A ．
23 B ．32 C
．2 D
．2
2．（09年长春）两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
3．已知O 的半径为5，点P 在直线l 上，且5OP ，直线l 与O 的位置关系是（ ） A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．相切或相交
4．（09年新疆乌鲁木齐市）若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
图①
图②
第1题图
5．（09年陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
6．平面直角坐标系中有点 A （3，4），以 A 为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y ＝－x 与⊙A 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D 以上情况都有可能
7．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B ＝50°，∠C ＝60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，∠EDF 等于（ ）
A ．45°
B ．55°
C ．65°
D ．70°
8．下列说法错误的是（ ）
A ．两圆仅有一个公共点时，两圆相切
B ．两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
C ．两圆相切时，连心线必定经过切点
D ．两圆没有公共点时，则两圆外离
9．（09年邵阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450
,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝
21BC B.AD ＝2
1
AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC 10．（09湖南邵阳）已知点P 到⊙O 上的点的最大距离是7cm ，最小距离是1cm ，则⊙O 的
半径是（ ） A ．4cm B ．3cm C ．4cm 或3cm D ．６cm
第9题图
第12题图
第11题图
第5题图
第7题图
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．(09年宁夏)如图，⊙O 是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（09山西省太原市）如图AB 、AC 是O ⊙的两条弦，A ∠＝30°，过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则D ∠的度数为 ．
13．（09年重庆）已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 ．
14．（09年宁波市）如图，A ⊙.B ⊙的圆心A .B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB =，现A ⊙.B ⊙同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为 秒．
15．（09年重庆）已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 ．
16．（09湖北省荆门市）Rt△ABC 中，9068C AC BC ∠===°
，，．则△ABC 的内切圆半径r =______．
17．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为 cm
18．以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为10cm 和5cm ，⊙O′与两个圆都相切，则⊙O′的半径是______________．
19．（09湖北宜昌）如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆，这两个圆的位置关系是 ．
20．(09年南充)ABC △中，10cm 8cm 6cm AB AC BC ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．
第16题图
第14题图 第19题图
三、解答题（共60分）
21．(本题6分)（09年滨州） 如图，PA 为O ⊙的切线，A 为切点．直线PO 与O ⊙交于B C
、两点，30P ∠=°，连接AO AB AC 、、．求证：ACB APO △≌△．
22．(本题6分)（09年台州市）如图，等腰OAB △中，OB OA =，以点O 为圆心作圆与底边AB 相切于点C ．求证：BC AC =．
23．(本题6分)（09年安徽）如图，MP 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于点A 、B ，弦AC ∥MP ，求证：MO ∥BC ．
第22题图
第21题图
第23题图
24．(本题8分)（09年孝感）如图，⊙O 是Rt ABC ?的外接圆，90ABC ∠=
，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝ PB ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2
）已知PA =1BC =，求⊙O 的半径．
25．(本题8分)（’09年清远）如图8，已知AB 是O ⊙的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC ． （1）求证：ABC POA △∽△； （2）若2OB =，7
2
OP =，求BC 的长．
第25题图
第24题图
26．(本题8分)（’09年广西钦州）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ． （1）求证：BC ＝CD ； （2）求证：∠ADE＝∠ABD；
（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．
27．(本题8分)（09辽宁朝阳）如图，O ⊙是Rt ABC △的外接圆，点O 在AB 上，
BD AB ⊥，点B 是垂足，OD AC ∥，连接CD ． 求证：CD 是O ⊙的切线．
第26题图
?
A
B
C
D E
O
第27题图
28．(本题10分)（09恩施市）如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为AB 上一点，以O 为圆心、OB 长为半径的圆交BC 于D ，DE AC ⊥交AC 于E ． （1）求证：DE 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙与AC 相切于F ，3
5cm sin 5
AB AC A ===，
，求O ⊙的半径的长．
第28题图
参考答案
基础知识回放
①外 ②上 ③内 ④d ＜r ⑤d=r ⑥d ＞r ⑦2 ⑧1 ⑨0 ⑩＜ （11）= （12）＞ （13）交点 （14）切点 （15）割线 （16）切线 （17）垂直于 （18）经过切点的半径 （19）相等 （20）平分 （21）内切圆 （22）内心 （23）d=R ＋r （24）2
中考效能测试 一、选择题
1．A 【解析】本题属于一个小综合题，主要考查的知识点有相似三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、切线的性质、平行线的性质.根据BC ∥OD ，可得∠B=∠AOD ，根据直径所对的圆周角为90度，切线垂直于经过切点的直径，可以得到∠C=∠OAD,从而得到△ABC ∽△DOA,可得BC:OA=AB:OD,从而得到BC=
3
2
. 2．B 【解析】因为两个圆的半径之和等于圆心距，所以根据外切的定义可知，这两个圆外切。 3．D 【解析】当OP ⊥l 时，为相切；当OP 不垂直于l 时，为相交。
4．B 【解析】本题考查了相交两圆的数量关系,是一道基础题.当两圆相交时，它们满足下列关系：R -r ≤O 1O 2≤R+r ,即1≤O 1O 2≤3，因此，选择B.
5．A 【解析】本题比较容易，考查两圆的位置关系. 根据图形可知，图形中有的圆的位置关系有相交和内切，所以有2种圆的位置关系，答案选择A. 6．C 【提示】作图，求出点A 到直线y ＝－x 的距离 7．B 【提示】先求∠EOF 的大小
8．D 【提示】没有公共点时，也可能是内含 9．Ａ
10．C 【解析】：由于点P 到⊙O 上的点的最小距离是1cm ， 所以点P 不能在⊙O 上． 当点P 在⊙O 内时，
如图1，P A ＝7cm ，PB ＝1cm ， 则AB ＝７＋１＝8（cm ）．
此时⊙O 的半径为
1
84(cm)2
?=． 当点P 在⊙O 外时，
图2
图1
如图2，P A =7cm ，PB ＝1cm ， 则AB ＝7－１＝6（cm ）．
这时⊙O 的半径为1
63(cm)2
?=． 二、填空题
111
π3
【解析】本题考查等边三角形的性质及内切圆的概念和计算。如图连结OA ，OD 。由于等边三角形的内心就是它的外心，可得AD=21AB=1，∠OAB=2
1
∠CAB=30°，
在Rt △OAD 中，tan 30°=
AD OD ，33=1OD ，OD=3
3
。所以图中阴影部分的面积等于S △ABC -S ⊙O
=
43×22
-π（3
3）2=π313-。
12．30°【解析】本题属于小综合题，考查到的知识点为直径所对的圆周角，圆心角、线切角的性质等.连接oc ，则有∠COB=60°,而∠OCD=90°, 所以∠D=30°.
13．外切【解析】考查圆和圆的位置关系.由d=R+r 可知两圆是外切的位置关系.本题部分学生由于考虑不充分，对概念理解不清，误填为相切，导致得出错误的结论. 14．
12或3
2
【解析】本题有两种情况，学生通常只考虑到其中的一种情况，是一道易错题。本题所说的两圆相切，应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动，即将相离时的相切两种情况。第一种情况两圆所走的路程为4-2=2cm ，第二种情况两圆所走的路程为4+2=6cm 。不妨设圆A 运动的时间为x 秒，根据题意可得方程2x+2x=2或2x+2x=6，解得答案为2
3
21或。本题将圆的有关知识和相遇问题有机的结合在了一起，是一道很好的综合题。
15．外切【解析】考查圆和圆的位置关系.由d=R+r 可知两圆是外切的位置关系.本题部分学生由于考虑不充分，对概念理解不清，误填为相切，导致得出错误的结论. 16．2
17．25或4 5. 18．2.5cm 或 7.5cm ． 19．相交 20．相切 三、解答题
21．证明：∵PA 为O ⊙的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.
又∵30P ∠=°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形.
∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又BC 为O ⊙的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴ACB APO △≌△. 22．证明：∵AB 切⊙O 于点C ， ∴AB OC ⊥． ∵OB OA =， ∴BC AC =．
23．证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90°∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB ∴∠MOP ＝∠B 故MO ∥BC ．
24．（1）证明：连接OB ．∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ．∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ．∴∠OAB+∠PAB ＝∠OBA+∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO 又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°，∴OB ⊥PB ．又∵OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线． 说明：还可连接OB 、OP ，利用△OAP ≌△OBP 来证明OB ⊥PB ．
（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∴OP 垂直平分线段AB ． ∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°．又∵∠APO ＝∠DPA ，∴△APO ∽△DPA ．∴AP PO DP
PA
=
，
∴AP 2
＝ PO ·DP ．又∵OD ＝
12BC ＝12，∴PO （PO –OD ）＝AP 2．即：PO 2
–12
PO ＝2，
解得 PO ＝2． 在Rt △APO 中，1OA =
=，即⊙O 的半径为1．
25．（1）证明：BC OP ∥AOP B ∴∠=∠AB 是直径90C ∴∠=°PA 是O ⊙的切线，切点为A 90OAP ∴∠=°C OAP ∠=∠ABC POA ∴△∽△
（2）ABC POA △∽△BC AB OA PO ∴
=7
22
OB PO == ，24OA AB ∴==， 472
2
BC ∴=7
16827BC BC ∴==，
26．解：（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．∵OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线．又∵CD 切⊙O 于点D ，∴BC ＝CD ；
?
A
B
C
D E
O
（2）∵BE 是⊙O 的直径，∴∠B DE ＝90°．∴∠ADE ＋∠CDB ＝90°．又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°．由（1）得BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ．∴∠ADE ＝∠ABD ； （3）由（2）得，∠ADE ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ．∴△ADE ∽△ABD ．∴AD AB ＝AE
AD
． ∴
21BE
+＝1
2，∴BE＝3，∴所求⊙O 的直径长为3． 27．证明：连接CO OD AC COD ACO CAO DOB ∴∠=∠∠=∠ ∥．
， ACO CAO COD DOB ∠=∠∴∠=∠ 又OD OD OC OB ==，．
COD BOD ∴△≌△90OCD OBD ∴∠=∠=°OC CD ∴⊥，即CD 是O ⊙的切线
28．（1）证明：连接OD ，则OB ＝OD
∴∠OBD ＝∠ODB ， 又∵AB ＝AC ∴∠OBD ＝∠C ∴∠ODB ＝∠C ∴OD ∥AC 又∵DE ⊥AC ∴∠AED ＝90°，
点与圆的位置关系Revised on November 25, 2020
35.1 点与圆的位置关系 教学目标: 1.掌握点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系. 2.经历探索点与圆三种位置关系,体会数学分类讨论思考问题的方法. 教学重点: 用数量判定点与圆的位置关系.教学难点: 判定点与圆的位置关系. 教学过程: 一、创设问题情境 1.足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动,再其穿越中间圆形区域的过程中,足球与这个圆的位置关系呢 2.代号为"白沙"的台风经过了小岛A 。在每一时刻，台风所侵袭的区域总是以其中心为圆心的一个圆。小岛在遭受台风袭击前后，他与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢 二、合作探索 1．点与圆有几种不同的位置关系你还能举出类似的的实例吗 点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。 2．如图表示点与圆的三种位置关系。 点P 在⊙O 内 点P 点P 3.在你画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离 d ，并与圆的半径的r 大小进行比较. 4.点与圆有三种位置关系对应的r 与d 之间的数量关系分别是怎样的与同学交流并填写下表 P O
位置关系。 6．归纳与概括： 点在圆内 d 一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 圆中考试题集锦 一、(哈尔滨市)已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米.⊙O 与⊙O ' 相交于点Ｄ、E .若两圆的公共弦ＤE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两 侧),则两圆的圆心距O O '的长为 ( ） （A)２厘米 (Ｂ）１０厘米 （C ）２厘米或10厘米 (D)4厘米 13．（陕西省)如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线ＯA 、OB ,A 、Ｂ是切点，则∠AOB 等于 （ ) (A ） 30 （B) 45 (C ） 60 （D ） 90 14.（甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，∠C = 30，则∠ABD ＝ （ ） （A) 30 (B) 40 （C ） 50 (D) 60 15．(甘肃省）弧长为６π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 ( ) (A)6 (Ｂ）62 （C)12 （D ）18 １6.(甘肃省)如图，在△AB Ｃ中,∠BAC ＝ 90，AB =AC =2,以AB 为直径的圆交ＢC 于D ，则图中阴影部分的面积为 ( ） （A ）1 （B ）２ （C ）1+4π （D ）2－4 π 1７．(宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 ( ) （A)1８π (Ｂ)9π （C ）6π （D)3π 18.(山东省)如图,点P 是半径为5的⊙Ｏ内一点，且OP =3，在过点P 的所 有弦中,长度为整数的弦一共有 （ ） (Ａ)2条 （B)3条 (C ）4条 (D)5条 19.（南京市)如图，正六边形A ＢCD ＥF 的边长的上a ，分别以C 、Ｆ为圆 心,a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）261 a π (B ）231 a π （C ）232 a π (D ）2 34 a π 点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质 教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线． 知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系 圆中考试题集锦 一、（哈尔滨市）已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米．⊙O 与⊙O '相交于点D 、E ．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为 （ ） （A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米 13．（陕西省）如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） （A ）ο 30 （B ）ο 45 （C ）ο 60 （D ）ο 90 14．（甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝ο 30，则∠ABD ＝ （ ） （A ）ο 30 （B ）ο 40 （C ）ο 50 （D ）ο 60 15．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为ο 60，则弧所在的圆的半径为 （ ） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）18 16．（甘肃省）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ο 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1+ 4π （D ）2－4 π 17．（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π 18．（山东省）如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 （ ） （A ）2条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）5条 19．（南京市）如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）2 6 1 a π （B ）2 3 1a π （C ）2 3 2a π （D ）2 3 4a π 点与圆的位置关系 肖海霞 学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定； 2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念 学习过程 一、点与圆的位置三种位置关系 生活现象：阅读课本P53页，这一现象体现了平面内．．．点与圆的位置关系． 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA r B 点在圆上，OB r C 点在圆外，OC r 反之，在同一平面上．．．．．，已知的半径为r ⊙O ，和A ，B ，C 三点： 若OA ＞r ，则A 点在圆 ； 若OB ＜r ，则B 点在圆 ； 若OC=r ，则C 点在圆 。 二、多少个点可以确定一个圆 问题：在圆上的点有 多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试 画图准备： 1、圆的 确定圆的大小，圆 确定圆的位置； 也就是说，若如果圆的 和 确定了， 那么，这个圆就确定了。 2、如图2，点O 是线段AB 的垂直平分线 上的任意一点，则有OA OB 图2 画图： 1、画过一个点的圆。 右图，已知一个点A ，画过A 点的圆． 小结：经过一定点的圆可以画 个。 图 1 o B A A 2、画过两个点的圆。 右图，已知两个点A 、B ，画经过A 、B 两点的圆． 提示：画这个圆的关键是找到圆心， 画出来的圆要同时经过A 、B 两点， 那么圆心到这两点距离 ，可见， 圆心在线段AB 的 上。 小结：经过两定点的圆可以画 个，但这些圆的圆心在线段的 上 3、画过三个点（不在同一直线）的圆。 提示：如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上， 而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在 线段BC 的垂直平分线上，此时，这 两条垂直平分线一定相交，设交点为O ， 则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆． 小结：不在同一条直线．．．．．上的三个点确定 个圆． 三、概括 我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点． 如图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做 ⊙O 的 。 △ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 四、分组练习 A B C B 《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为 A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中， BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系； 与圆有关的位置关系（讲义）?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________． ①点在圆外?_____________； ②点在圆上?_____________； ③点在圆内?_____________． 三点定圆定理：_________________________________． 注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r表示__________． ①直线与圆相交?____________； ②直线与圆相切?____________； ③直线与圆相离?____________． 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________； 切线的性质定理：__________________________________．*切线长定理：______________________________________ __________________________________________________．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示 _________． ①圆与圆外离?_________________； ②圆与圆外切?_________________； ③圆与圆内切?_________________； ④圆与圆内含?_________________； ⑤圆与圆相交?_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心：___________________________________； 正多边形的半径：___________________________________； A 圆中考试题集锦 一、（哈尔滨市)已知⊙Ｏ的半径为35厘米,⊙O '的半径为５厘米．⊙O 与⊙O ' 相交于点D 、E .若两圆的公共弦DE 的长是6厘米(圆心O 、O '在公共弦ＤE 的两侧） ,则两圆的圆心距O O '的长为 （ ) （A)2厘米 (Ｂ）10厘米 （C)2厘米或10厘米 （Ｄ)4厘米 13．(陕西省)如图,两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、O Ｂ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ) （Ａ） 30 (B) 45 （C) 60 （D ） 90 14．(甘肃省)如图，AB 是⊙O 的直径，∠Ｃ＝ 30，则∠ABD = ( ） （A ） 30 （B ） 40 （Ｃ） 50 （Ｄ) 60 15.（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 ( ) （A ）6 （Ｂ）62 (C)12 (Ｄ)18 １6.（甘肃省）如图,在△ABC 中，∠ＢAC = 90，AB ＝AC ＝２,以AB 为直径的 圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 ( ） （A ）1 (B ）2 （Ｃ）1＋4π (D ）2-4 π 17．（宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为１８,那么圆的面积为 （ ） (A ）１８π （B)９π （C)6π （Ｄ)3π 1８.（山东省)如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点,且ＯP =3，在过点P 的 所有弦中，长度为整数的弦一共有 （ ） (A)2条 (B ）3条 （C)4条 （D ）5条 １９．（南京市)如图，正六边形ABCDEF 的边长的上ａ，分别以C 、Ｆ为圆 心，ａ为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ( ） (Ａ）261 a π （B)231 a π (C ）232 a π (D ）2 34 a π 点和圆的位置关系 1．回忆及思考 投影片 1．线段垂直平分线的性质及作法。 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 作法：如下图，分别以 A．B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧找出两交 36圆与圆的位置关系 一、选择题 1. 如图，在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=8 BC=6 DE// BQ 且AD=2CD 则以 D为圆心DC为半径的O D和以E为圆心EB为半径的O E的位置关系是 ( ) (A)外离；(B)外切； (第1题图) (C)相交；(D)不能确定. A. 1cm B. 3cm C. 10cm D. 15cm 2. 已知 半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是( ) 3. 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距 为1，则两圆的位置关系是( ) A?相交 E.内切 C.外切 D.内含 4.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距 d 的取值范围是( A. d>8 B . d>2 C . 0Edc2 D . d >8 或 0Edc2 5.已知两圆半径分别为 4和7,圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 6.如图，已知O 01与O 02关于y 轴对称，点01的坐标为(-4 , 0).两圆相交于 A B ,且01A 丄02A ,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.4 n - 8 B.8 n - 16 C. 16 n - 16 D.16 n - 32 、填空题 1.如图，O 01和O O2的半径为2和3，连接 0102交O O2于点P , 0102=7若将O 01绕点 01与O 02相切时的旋转时间为 的位置关系是 3.已知O 01和O ° 2的半径分别为3cm 和5cm,且它们内切，则 °1。2等于 ▲ cm . 4.已知O 01的半径为 3,O 02的半径为 5, 010 2 =乙则O 01、O 0 2的位置关系是 P 按顺时针方向以 30° /秒的速度旋转一周，请写出 O O1、O 0 2 第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）． 点和圆的位置关系专题练习题 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 5．过一点可以作_________个圆；过两点可以作_______个圆，这些圆的圆心在两点连线的___________________上；过不在同一条直线上的三点可以作________个圆． 6．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A．三个点一定能确定一个圆B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆D．菱形的四个顶点能确定一个圆 7．下列命题中，错误的有( ) ①三角形只有一个外接圆；②三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；③等边三角形的外心也是其三边的垂直平分线、高及角平分线的交点；④任何三角形都有外心． A．3个B．2个C．1个D．0个 8．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A．点P B．点Q C．点R D．点M 9．直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的__________． 10．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置． 中考几何证明题 1、如图：A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于C ，连结BC ，∠C ＝22.50，∠BAC ＝450。 第 1 题图 C 2. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD . ⑴求证：AD 是⊙O 的切线； ⑵如果AB =2，AD =4，EG =2，求⊙O 的半径． . 3．，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ，扇形的圆心角应为多少度？说明你的结论。 4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AC ＝13，AB ＝5，O 是AB 上的点，以O 为圆心，0B 为半径作⊙O 。 （1）当OB ＝2.5时，⊙O 交AC 于点D ，求CD 的长。 （2）当OB ＝2.4 时，AC 与⊙O 的位置关系如何？试证明你的结论。 第 4 题图 C B D E 第3 题图 第2题 ⌒ 5、如图：已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心，连结GH 、AD ，延长AD 交BC 于M ，延长DA 交EF 于N ，G 是FD 与AB 的交点，H 是ED 与AC 的交点。 （1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）； （2）问FE 、GH 、BC 有何位置关系？试证明你的结论。 第 5 C M B D H G A E N F 6．如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ． （2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 7． 如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F 。 设EF 交AD 于G ，连结DF 。 （1） 求证：EF ∥BC ； （2） 已知：DF =2 ，AG =3 ，求 EB AE 的值。 8、 已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，且BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p 。 求证：q p h ?=2 ，c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题· o C B A 24．2．1 点和圆的位置关系（第六课时） 一．学习目标： 1、掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系， 2、通过探求点和圆三种位置关系，渗透数形结合、分类讨论等数学思想 二．学习重点、难点： 重点：点和圆的三种位置关系； 难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系； 教学过程 一、预习检测： 1、圆的定义是 2、放暑假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，就这一轮来讲，很显然，_____的成绩好。 若把靶子看作以O 点为圆心的圆，你能得出点和圆有几种位置关系吗？ 二、合作探究： （一）自学指导： 阅读课本P92 并完成以下各题 点和圆的位置关系：若设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那点和圆的位置关系可表示成怎样的数量关系？ ?d ＞r ； ?d=r ?d ＜r （二）交流展示，精讲解惑 例：如图，在ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30A ，AB CD ⊥，cm AC 3=，以点C 为圆心，3cm 为半径画⊙C ，请判断A 、B 、D 与⊙C 的位置关系，并说明理由. （三）当堂训练 1、已知⊙O 的半径为5cm ，有一点P 到圆心O 的距离为3cm ，求点P 与圆有何位置关系？ 2、⊙O 的半径为10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与 ⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ； 点C 在 ； 3、若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．⊙A B ．⊙A 上 C ．⊙A 外 D ．不确定 4、⊙O 的直径18cm ，根据下列点P 到圆心O 的距离，判断点P 和圆O 的位置关系． （1）PO ＝8cm （2）PO ＝9cm （3）PO ＝20cm 5、已知⊙O 的半径为5cm ，P 为一点，当cm OP 5=时，点P 在 ；当OP 时， 点P 在圆；当cm OP 5>时，点P 在 . 6、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。 课后反思： 第39讲 圆与圆的位置关系（一） [复习目标] 使学生了解圆与圆之间的5种位置关系，掌握两圆位置关系的判定方法，了解两圆公切线的有关概念，掌握两圆相交、相切的有关性质，并会应用于解题． [知识要点] 1．两圆的5种位置关系及判定方法． 2．相交、相切两圆的性质； 1） 相切两圆的连心线必过切点，相切两圆有公切线； 2） 相交两圆的连心线必垂直平分公共弦． 注：常见的辅助线是①画相切两圆的公切线②画公共弦和连心线。 [典型例题解析] 例1 选择、填空题： 1） 已知两圆的半径满足方程02222=+-x x ，圆心距为2，则两圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离 2）如果两圆相（内）切，一个圆的半径为3，两圆的圆心距为4，则另一个圆的半径为 1 或7 ． 3）相交两圆半径分别为一无二次方程0170272=+-x x 的两根，它们的公共弦长16，则它们的圆心距为 21或9 ． 4）如两圆共有三条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 5）已知两圆半径分别为12和4，外公切线长是15，则两圆的位置关系为 ，外公切线与连心线夹角的正弦值为 ． 例2 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1在⊙O 2上，过点A 的直线CD 分别与 ⊙O 1和⊙O 2交于点C ，D ，过点B 的直线EF 分别与⊙O 1和⊙O 2交于点E ，F ，⊙O 2的弦O 1D 交AB 于P. 1） 求证：CE ∥DF ； 2） 求证：D O P O OG 112?=. 思路 1）画公共弦AB ，证∠E+∠F=180°; 2）证ΔAO 1P ∽ΔAO 1 D 得D O P O OG 112?=. 小结 添公共弦AB 对解题起到了桥梁和关键得作用，是两圆相交中常见得辅助线． 思考 1）如何证G 是ΔABD 得内心？2）若PG=1，GD=2，求⊙O 1得半径？ 例3 如图，⊙O 1和⊙O 2内切于A ，⊙O 2得弦BC 切⊙O 1于D ，AD 得延长线交⊙O 2于M ，连结 AB ，AC 分别交⊙O 1于E ，F ，连结EF ． A B C E F D O 1 O 2 P G 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A 35.1 点与圆的位置关系 教学目标: 1、掌握点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系、 2、经历探索点与圆三种位置关系,体会数学分类讨论思考问题的方法、 教学重点: 用数量判定点与圆的位置关系、教学难点: 判定点与圆的位置关系、 教学过程: 一、创设问题情境 1、足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动,再其穿越中间圆形区域的过程中,足球与这个圆的位置关系呢? 2、代号为"白沙"的台风经过了小岛A 。在每一时刻,台风所侵袭的区域总就是以其中心为圆心的一个圆。小岛在遭受台风袭击前后,她与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢？ 二、合作探索 1.点与圆有几种不同的位置关系？您还能举出类似的的实例不？ 点与圆有三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外。 2.如图表示点与圆的三种位置关系。 点P 在⊙O 内 点P 在⊙O 上 点P 在⊙O 外 3、在您画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离d,并与圆的半径的r 大小进行比较、 6.归纳与概括: 点在圆内 d 2、练习:P36 四、回顾与反思:点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系、 五、作业:P36 1、2、3 35、2 直线与圆的位置关系 教学目标: 1使学生掌握直线与圆的三种位置以及位置关系的判定与性质。 2培养学生用运动变化的观点,去观察图形,研究问题的能力。 3渗透类比、分类、化归、数形结合的思想,指导相应的学习方法,使学生不仅学会数学,而且会学数学教学重点:掌握直线与圆的三种位置关系的性质与判定 教学难点:如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d与r并加以比较。 教学过程: 一、复习引入 我们已经研究了点与圆的位置关系,回忆一下有几种情况？就是怎样判定各个位置关系的？点与圆的位置关系就是用什么方法研究？(演示投影或放录像) 今天我们将借鉴这些方法与经验共同探讨在同一平面内“直线与圆的位置关系”(板书课题) 二、探索、学习新知识 1、直线与圆的位置关系 ①利用投影演示直线与圆的运动变化过程,要求学生观察,圆与直线的位置关系在哪些方面发生了变化？设法引导观察“公共点个数”的变化。 Ⅰ没有公共点Ⅱ有唯一公共点Ⅲ有两个公共点, ②引导学生思考:Ⅰ直线与圆有三个(或三个以上)的公共点不？为什么？ Ⅱ通过刚才的研究,您认为直线与圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各就是什么？ ③在此基础上,揭示直线与圆的位置关系的定义(板书)九年级圆基础知识点,(圆讲义)
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点、直线、圆与圆的位置关系
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点和圆的位置关系教学设计
【教学目标】
教学知识点： 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的 方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 能力训练要求： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的 策略。 情感与价值观要求： 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精 神。 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论。 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
【教学难点】
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三 个点作圆。
【教学方法】
教师指导学生自主探索交流法。
【教学用具】
投影片
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线。那么，经过一点
能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索。 二、新课讲解
1
2 点 C．D，作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距 离相等。
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 定点即为圆心，定长即为半径。根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题。因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小。确定了圆心和半径，圆就随之确定。
2．做一做(投影片) （1）作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使它经过已知点 A．B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分 布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ （3）作圆，使它经过已知点 A．B．C(A．B．C 三点不在同一条直线上)。你是如何作的？ 你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意 见并作出解答。 [生]（1）因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来， 半径就随之确定了下来。所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半 径就可以作一个圆。由于圆心是任意的。因此这样的圆有无数个。如图（1）。
2圆与圆的位置关系练习题
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24.2点及圆的位置关系
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