2014高考数学知识点题型测试8
1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.
2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2
α＝1，sin αcos α＝tan α.
(3)诱导公式：在
k π
2
＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质
考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐
标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0?
??
??
32，12，当秒针 从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函
数关系为 ( )
A ．y ＝sin ?
????π30t ＋π6
B ．y ＝sin ? ????－π
60t －π6
C ．y ＝sin ? ????－π
30
t ＋π6
D ．y ＝sin ? ????－π
30
t －π3
(2)已知点P ? ????sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
( ) A.π
4
B.3π
4
C.5π
4
D.7π4
弄清三角函数的概念是解答本题的关键． 答案 (1)C (2)D
解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π
6，由于秒针每秒转过的弧度
为－π
30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能
为y ＝sin ? ????－π
30
t ＋π6.
(2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos
π4
sin
π4＝－1，
又sin 3π4>0，cos 3π
4
<0，
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π
4
.
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． (1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝13，则cos ? ????32π＋α的值为 ( )
A.10
10 B ．－
1010
C.310
10
D ．－31010
答案 B
解析 由tan(3π＋α)＝1
3
，
得tan α＝13，cos ? ????32π＋α＝cos ? ????π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－
10
10
. (2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，
已知点P 的坐标为? ??
??－35，45.
求
sin 2α＋cos 2α＋1
1＋tan α
的值．
解 由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝4
5
，
∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2
α1＋
sin αcos α＝
2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α
＝2cos 2
α＝2×? ????－352＝1825
.
考点二 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式
例2 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|<π
2)的图象如图所示，为了
得到
g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象
( )
A ．向右平移π
6个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
6个单位
D ．向左平移π
12个单位
答案 A
解析 由图象可知，T 4＝7π12－π3＝π
4
，
∴T ＝π，∴ω＝2ππ＝2，再由2×π
3
＋φ
＝
π，
得φ＝π3，所以f (x )＝sin ?
????2x ＋π3. 故只需将f (x )＝sin 2? ????x ＋π6向右平移π6个单位， 就可得到g (x )＝sin 2x .
(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)(2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π
2)的部 分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
( )
A ．2，－π
3
B ．2，－π6
C ．4，－π
6
D ．4，π3
答案 A
解析 ∵34T ＝5π12－? ????
－π3，T ＝π，∴ω＝2，
又2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π
3，
又φ∈? ??
??－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.
(2)(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
答案 A
解析 利用三角函数的图象与变换求解．
y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍
纵坐标不变 y ＝cos x ＋1
――→向左平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)．
结合选项可知应选A.
(3)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2
x ＋2，x ∈R . ①求函数f (x )的最大值及对应的x 的取值集合； ②画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象．
解 ①f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ? ????2x ＋π6＋1，
当2x ＋π6＝2k π＋π
2 (k ∈Z )时，f (x )取最大值3，
此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π
6，k ∈Z }．
②列表如下：
图象如下：
考点三 三角函数的性质
例3 (2012·北京)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x
sin x
.
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质． 解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝sin x －cos x sin 2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ?
????2x －π4－1，
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为
????
??2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2，x ≠k π(k ∈Z )，
得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
，x ≠k π(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为??????k π－π8，k π和? ????k π，k π＋3π8(k ∈Z )．
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；
第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，有下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π
2个单位可得到g (x )的图象；
②y ＝f (x )g (x )是偶函数；
③f (x )与g (x )均在区间????
??－π4，π4上单调递增； ④y ＝
f x
g x 的最小正周期为2π. 其中真命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C
解析 f (x )＝2sin(x ＋π
4
)，
g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π
4
)，显然①正确；
函数y ＝f (x )g (x )＝sin 2
x －cos 2
x ＝－cos 2x ， 其为偶函数，故②正确；
由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x ≤π
4
，
所以由图象可判断函数f (x )＝2sin(x ＋π4)和函数g (x )＝2sin(x －π4)在[－π4，π
4]
上都为增函数，故③正确； 函数y ＝
f x
g x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π
4
)，由周期性定义可判断其周期
为π，故④不正确．
(2)(2013·安徽)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值；
②讨论f (x )在区间?
?????0，π2上的单调性．
解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π4
＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2
ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ?
????2ωx ＋π4＋ 2.
因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π
2ω
＝π，故ω＝1.
②由①知，f (x )＝2sin ? ????2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π
2，
则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当
π4≤2x ＋π4≤π2
， 即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增；
当π2≤2x ＋π4≤5π4
， 即
π8≤x ≤π
2
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间?
?????0，π8上单调递增，
在区间??
??
?
?π8，π2上单调递减．
1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2． 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式
(1)A ＝
y max －y min
2
，B ＝
y max ＋y min
2
.
(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2π
T
.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4． 求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5． 特别提醒：
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出
下列函数：
①f (x )＝sin x －cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝2sin x ＋2；④f (x )＝sin x . 则其中属于“互为生成函数”的是 ( )
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④
答案 B
2． 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2
ωx －
3
2
(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π
4
.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来
的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－3
2
＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π
3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2
，
T ＝
2π2ω＝πω＝π
2
，所以ω＝2， ∴f (x )＝sin ? ????4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移
π
8
个单位后， 得到y ＝sin(4x －π
6
)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π
6)的图象．
所以g (x )＝sin(2x －π
6
)．
令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π
6
.
g (x )＋k ＝0在区间[0，π2
]上有且只有一个实数解，
即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π
6]上有且只有一个交点．
如图，
由正弦函数的图象可知－12≤－k <1
2
或－k ＝1.
∴－12 2 或k ＝－1. (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2 ＝1逆时针方向运动2π3 弧长到达Q 点，则Q 点的坐标 为 ( ) A.? ????－1 2，32 B.? ? ???－32，－12 C.? ????－1 2，－32 D.? ?? ??－ 32，12 答案 A 解析 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知， Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－1 2 ， y ＝sin α＝sin 2π3＝32 . 2． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3 3 ，则cos 2α等于 ( ) A ．－ 5 3 B ．－ 5 9 C. 5 9 D. 53 答案 A 解析 因为sin α＋cos α＝ 33 ， 两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－2 3. 由于sin α＋cos α＝2sin ? ????α＋π4＝33>0， 且α为第二象限角， 所以2k π＋π2<α<2k π＋3π 4，k ∈Z ， 所以4k π＋π<2α<4k π＋3π 2，k ∈Z ， 所以cos 2α＝－1－sin 2 2α＝－ 1－49＝－53 . 3． 将函数y ＝cos ? ????x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 π 6个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π6 C ．x ＝π D ．x ＝π 2 答案 D 解析 y ＝cos ? ????x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的 2倍纵坐标不变 y ＝cos ? ??? ?12 x －π3 y ＝cos ???? ??1 2? ?? ??x ＋π 6－π 3 ，即y ＝cos ? ?? ??1 2x －π 4. 因为当x ＝π2时，y ＝cos ? ????12×π2－π4＝1， 所以对称轴可以是x ＝π 2 . 4． 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π 2)在一个周期内的图象 如图所 示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON → ＝0，则A ·ω 等于 ( ) A. π 6 B. 7π12 C. 7π6 D. 7π3 答案 C 解析 由题中图象知T 4＝π3－π 12 ， 所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ? ????π12，A ，N ? ?? ? ?7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2 122＝A 2 ， 所以A ＝ 7π12，所以A ·ω＝7π 6 . 5． 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ? ?? ??π12＝0，则ω 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 A 解析 由f ? ????π12＝0知? ????π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以 应有???? ? ω>02πω ≤4? ????π3－π12， 解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A. 6． (2013·江西)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆 被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1， 单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为 ( ) 答案 B 解析 方法一 (排除法) 当t ＝0时，y ＝cos 0＝1，否定A 、D. 当t ＝12时，l 2上方弧长为2 3 π. y ＝cos 23π＝－12 . ∴否定C ，只能选B. 方法二 (直接法) 由题意知∠AOB ＝x ，OH ＝1－t ， cos∠AOH ＝cos x 2＝OH OA ＝1－t ， ∴y ＝cos x ＝2cos 2 x 2－1 ＝2(1－t )2 －1(0≤t ≤1)． ∴选B. 二、填空题 7． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且 sin θ＝－25 5，则y ＝________. 答案 －8 解析 因为sin θ＝ y 42＋y 2 ＝－255， 所以y <0，且y 2 ＝64，所以y ＝－8. 8． 函数f (x )＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2) 成立，则|x 2－x 1|的最小值为________． 答案 3 4 解析 依题意得，当sin πx －cos πx ≥0， 即sin πx ≥cos πx 时，f (x )＝2sin πx ； 当sin πx －cos πx <0， 即sin πx 令f (x 1)、f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值， 结合函数y ＝f (x )的图象可知，|x 2－x 1|的最小值是3 4 . 9． 已知f (x )＝2sin ? ????2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2) 解析 函数f (x )＝2sin ? ????2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的 零 点，等价于方程m ＝2sin ? ????2x －π6在区间[0，π2]上有两解． 作出如图的图象，由于右端点的坐标是? ?? ??π2，1，由图可知， m ∈[1,2)． 10．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题： ①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③? ????π8，0是y ＝f (x )的一个 对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π 4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中 正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③ 解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ????2x －π4， 得T ＝2π 2 ＝π，故①对； f ? ????π4＝2sin π4 ≠±2，故②错； f ? ?? ??π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4 个单位， 得y ＝2sin ??????2? ????x ＋π4－π4＝2sin ? ????2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题 11．(2013·山东)设函数f (x )＝ 32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π 4. (1)求ω的值； (2)求f (x )在区间??????π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32 －3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝ 32cos 2ωx －1 2 sin 2ωx ＝－sin ? ????2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π 4，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ? ????2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π 3. 所以－ 32≤sin ? ????2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤ 32 . 故f (x )在区间? ?????π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 12．(2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ????x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所 示． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f ? ????x －π12－f ? ?? ??x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2? ?? ??11π12－5π12＝π， 所以ω＝2π T ＝2. 因为点? ?? ? ?5π12，0在函数图象上， 所以A sin ? ?? ??2×5π12＋φ＝0， 即sin ? ?? ? ?5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π 6 . 又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π 6 ＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ? ????2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ??????2? ????x －π12＋π6－2sin ???? ??2? ????x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ? ????2x ＋π3 ＝2sin 2x －2? ???? 12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ? ????2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12 ，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是??????k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。 @、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1高考数学高考必备知识点总结精华版
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]