3.1.1 两角和与差的余弦
南京外国语学校李春秋
教学目标：
1. 经历向量的数量积的推导两角差的余弦公式过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数之间的联系；
2．掌握两角和与差的余弦公式；
3．能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值.
教学重点：
两角和与差的余弦公式.
教学难点：
两角和与差的余弦公式的推导.
教学过程：
一、情景创设
问题1：正弦函数、余弦函数可以刻画简单的周期运动，如何对周期运动的另一个基本问题“周期运动的叠加”进行刻画？
如图，以点P为圆心，1为半径做⊙P，在⊙P上取点Q，点P、Q的位置如图，其中OP⊥QP，P、Q两点以相同的角速度逆时针方向转动，这时点Q的运动如何刻画？我们以∠POA为自变量，你能表示出点Q的坐标吗？
学生讨论.
（让学生从三角函数和向量两方面对点Q 的坐标进行表示，从而得出)4cos(2sin cos π
-=+x x x )
分析：这是一个有趣的式子，一方面，它说明函数x x y sin cos += 依然表示一个简谐运动，另一方面，我们对这个式子进行变形，得到
x x x sin 22cos 22)4cos(+=-π
，这说明)4cos(π-x 可以用4,πx 的三角函数进行表示；这样新的问题产生了，一般的)cos(βα-可以用βα,的三角函数表示吗？如果可以，如何表示？
二、学生活动
问题2：设向量a ＝（cos80°，sin80°）,b ＝（cos20°，sin20°）,试采用不同的方法计算a ·b ,你能发现什么？
学生讨论，让学生从两方面得出 20sin 80sin 20cos 80cos )2080cos(60cos +=-=，
由此猜测)cos(βα-的展开形式，并为公式证明做铺垫.
三、建构数学 问题3：的三角函数来表示？如何用猜测βαβα,)cos(-如何证明？ 由于cos y x =是周期为2π的函数，我们只需考虑0≤β≤α≤2π的情况即可；
总结公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （)(βα
-C ）
如何得到)cos(βα+的展开式：
总结公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ （)(βα+C ） 比较和差余弦公式；
四、简单运用
例1：利用两角和（差）的余弦公式，求cos 75°，cos 15°，sin 15°，tan 15°.
例2：利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式.
（1）cos()sin 2π
αα-=； （2）cos sin()2π
αα=-.
五、回顾小结 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+:两角和的余弦公式)
()(βα+C β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-:两角差的余弦公式)
()(βα-C
?)sin(),sin(βαβαβα-+的三角函数表示、思考：如何用
六、作业
课本P106-107习题3.1（1）-1，5，6.
《雷雨》教学案例与反思 一、谈话导入，揭题 （1）、教师板书“雨”，念作——雨，能用上雨说几个词吗？（2）、随机出示四字词语，齐读词语。 师：雷雨是夏天的好朋友，一场雷雨带来凉爽，我们大家可喜欢啦！这节课我们一起来学习——《雷雨》。 二、初读课文，整体感知 1、自由地放声朗读，不认识的字可以请教小贝壳，小蜗牛，自然段比较多，可以标标小节号。 2、检查：知道课文共有几个自然段吗？指名读 （1）、第一位孩子读1－3 段。（小眼睛可真尖，没错就是8 小节。现在老师要看看谁能眼、口、脑并用，来读读1——3 自然段。小评委们听听他是否读准了。） 第二段：藏着好几个生字朋友，读一读：压（压下来）——指名读字、词乱（乱摆）——指名读字、词，男女生读。 垂（垂下来）——读字、词。 （2）、第二位孩子读4－6 段。（刚才他读得真棒，你们也听得很认
真，老师还发现读词语时这个小朋友的小眼睛睁得大大的，可专注了，我把4——6 小节奖给你读）第五段：指导“树哇、房子啊”变音，教师示范，指名读，齐读。 （3）、第三位孩子读7－8 段。（读得真好听，我还想听我们班的小朋友读，谁来读7、8 两小节）第八段：鼓励孩子发现并读通长短句。指名读，齐读。（发现了吗，句子特别多，有些句子只有三个字，五个字，一起来读读好吗？） 3、梳理课文：响亮的告诉大家他们分别读了哪几个自然段，猜猜老师为什么要这样安排，别急，快速默读课文，看谁能发现这个秘密？再次自由默读全文。 交流反馈：雷雨前、雷雨时、雷雨后小结：这篇课文就是告诉我们雷雨前??的景象。 三、品读 （一）学习1——3 自然段 1、出示第1——3自然段，师范读，生放电影，问感受到了什么？（老师读，你们闭上眼睛，放放电影，看看你感受到了什么？） 第一自然段 （1）满天的乌云，黑沉沉地压下来。
角的比较与运算”教学设计（第一课时） 一、内容及其解析 1．内容 角的比较，角的和差，角平分线． 2．内容解析 角的比较，角的和差，角平分线是本章重要的几何基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础．角的大小比较方法有两种：①度量法；②叠合法．其中，叠合法是重要的方法．叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；对于角的移动，具有角的位置改变了，但角的大小保持不变的性质．度量法中量角器起到了一个移角的作用，其实质是将两个角叠合在一起．比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点，不论是图形还是数量关系（教材图4.3—6），除角的大小关系外，自然会产生角的和差问题，再将角的和差问题特殊化，自然又会产生等分问题． 与线段的比较、和差、中点一样，对于角的比较、和差、角平分线也是“数”“形”地说明它的意义的．其认知思维过程反映在两个方面：一是“数”与“形”结合．把几何意义与度数的数量关系结合起来，这是几何学习的特点之一，也是学习几何必须建立的一种思想意识．二是类比学习。按知识内容，线段的比较、和差、中点与角的比较、和差、角平分线是类比性知识；按叙述方式，均采用“图形语言”“文字语言”和“符号语言”综合描述所研究的对象；按学习过程，都特别注重从“有形”到“无形”（模型→图形→文字→符号）的抽象过程，同时也重视相反的化“无形”为“有形”（符号→文字→图形）的训练过程。类比学习是一种重要的学习方法，它既能揭示知识间的联系，在类比中加深理解，也体现了教材内容编排同类知识的同构现象，同时，也明确了研究一类问题的“基本套路”。 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：角的大小、和差、角平分线的几何意义及数量关系；感受学习过程中的类比思想． 二、目标及其解析 1．目标 （1）理解角的大小、和差、角平分线的几何意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述。 （2）经历类比线段的大小、和差、中点学习角的比较、和差、角平分线角过程，体会类比思想。 2．目标解析 （1）能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小．能从几何图形和数量关系认识角的和差与角平分线，知道两个角的和差，仍然是一个角，知道角的和差或等分的度数，就是它们度数的和差或等分．能结合角的大小、和差、角
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
《两角和与差的余弦函数》教学案 (一)教学目标： 1、知识目标：(1)利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2)灵活正反运用两角差的余弦。 2、能力目标：(1)通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。(2)培养学生注重知识的形成过程。 3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。 (二)教学重点、难点 重点：(1)两角差的余弦；(2)灵活应用两角差的公式解决问题 难点：(1)两角差的余弦的推导；(2)两角差的余弦的灵活应用 (三)教学方法： 本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。 (四)教学过程 教学环节教学内容师生互动设计 意图 复习引入 复习向量的数量积以及它的主 要作用：求两个向量夹角的余弦值。 正板书： 例1：已知向量 ) 45 sin , 45 (cos o o a=， ) 30 sin , 30 (cos o o b=，求 的余弦 解：o o a45 sin 45 cos | |2 2+ = =1 o o b30 sin 30 cos | |2 2+ = =1 ) 30 sin , 30 (cos ) 45 sin , 45 (cos o o o o b a? = ? =o o o o30 sin 45 sin 30 cos 45 cos? + ? 学生回答，老师写副板 书；写出向量的数量积以及 它的变形(求夹角的余弦 值) 师：求向量夹角的余弦 值，应具备哪些条件？ 生：应该求出两个向量 的数量积以及它们各自的 模 师：回答很好。我们先 来求这两个向量的模以及 它们的数量积。 以旧 带新，注 意创设问 题的情 境，为引 出新课程 打基础。 通过 这道题一 来巩固向 量积，二 来为引出
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
《雷雨》课后教学反思 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 《雷雨》课后教学反思 《雷雨》是选自人教社课标版第五单元的一篇课文。本文作者用精炼的文字，为我们描绘了雷雨前、雷雨中、雷雨后的自然景象。日月星辰、风云雷电、山川树木、花鸟虫鱼……大自然是一幅多姿多彩的画卷，《雷雨》向读者展示了美丽神奇的自然景象。 我上的是《雷雨》的第一课时。总体上说，本节课基本达到了预想的效果，完成了教学目标，起到了发展学生思维，训练学生语言，激励学生自主创新的目的。课堂上，师生共创了民主，和谐，愉悦的课堂氛围。 这节课在设计上,我采用了先上”雷雨中”,再上”雷雨前”和”雷雨后”的这种方法,并结合我们年级的教研课题《在情
境中有趣地识字、写字》,在阅读教学中渗透识字写字教学。 本学期学生要认的生字是400个,要写的生字是300个,学习任务重,但如果每节课将学习生字和阅读教学分开,这样让学生学得枯燥,老师教得无趣.怎么办呢?我也一直把“低年级的阅读教学不能单纯的朗读感悟，必须体现写字认字这个难点”这个指导思想牢记在心，那如何在阅读教学中巧妙穿插识字写字而不显得唐突呢？ 我做了以下一些尝试： 1、在教学雷雨前景象时，我说：“同学们，看看这幅图，读读这句话，看看有什么感受？是啊，乌云密布，乌云很多。黑沉沉是说乌云很厚、云很低、天色很暗。你能将这种感受读出来吗？在学生读的时候，老师相机指导学生读准“压”字，理解“压”下来的感觉，从而指导书写”压”字：老师先范写，学生书空。 2、指导学习第二段（忽然一阵大风，吹得树枝乱摆。蜘蛛从网上垂下来，逃
走了）时，我问：蜘蛛为什么要逃走？（说明风很大，蜘蛛特别害怕，都从网上滑下来，逃跑了。）你能不能把风的剧烈、蜘蛛的害怕读出来？ 在指导学生朗读完后，点击“乱”字，指导读准，说说识字方法；出示“逃”字，指导读准，组词。点击出示“垂”字，指导读。 接着，我问：同学们，如果我说蜘蛛从网上掉下来，逃走了。行吗？为什么？看图片,了解蜘蛛怎样从网上垂下来：“垂”是说蜘蛛顺着一根蛛丝从网上下来，所以“垂”比“掉”更好。然后我又故意出示一个空出“垂”字的句子，故作惊讶地问学生：“蜘蛛逃走了，看，‘垂’字也逃到哪里去了？蜘蛛逃到课本去了，我们赶快把它捉回来。”这时很自然地让学生翻开课本找到“蜘蛛”两字，观察字形，老师再范写，学生书写。 3 、教授”雷雨后”景象时,指导学生读完该段后,我说:同学们读得这么美，老师
《运算定律与简便计算的整理和复习》评课稿 《运算定律与简便计算》这一单元是四年级下册教学的重点内容。张老师执教的这节课是对这一单元的知识进行整理和复习。通过本节课的学习不仅能让学生掌握得更扎实，能灵活运用计算定律进行简便计算，而且能让学生对所学知识有一个系统的了解。这节课有很多值得我学习的地方，比如教师通过学生的交流及时在黑板上板书出各定律和性质并用字母表示公式，使本章学过的内容一目了然呈现在学生眼前，并培养学生归纳和总结能力。整节课主要分为两大板块：1、通过几道计算题的练习，让学生回忆运算定律，采用框架式板书，对整个单元做一个系统性的归纳与总结。2、对整个单元的内容进行全方面的习题巩固。包括基础题型、经典例题、错例分析。 一、加强基础练习 本节课张老师非常注重基础知识的练习，通过各种练习，学生不仅掌握了所学知识，发展了能力，而且在练习中张老师要求学生能全面掌握。在交流过程中他还要求学生说一说运用了什么运算定律。 二、注重经典例题分析 在练习中张老师出示了很多学生容易搞混、出错的一些经典例题提高学生对运算定律与性质的灵活运用能力。如出示102×99 、 12×125针对学生比较容易出错的题型，进行重点讲解，并注重解法多样化。通过师生互动与交流得出102×99可以把102拆成100+2再运用乘法的分配律进行简便计算；也可以把99拆成100-1；还可以拆成102×100-102再计算。 三、错例分析提高计算正确率 在简便计算中学生总是会犯这样那样的错误，教师要及时了解计算中存在的问题，有针对性地选择常见的典型错例，与学生一起分析、交流，通过集体会诊，达到治病又防
病的目的。课堂上张老师出示12×125，拆成4×8×125，让学生辨析，学生明白了如果将12拆成4×8就改变了原数的大小，应该拆成4+8，然后运用乘法的分配律进行简便计算。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角 和与差的余弦教案 苏教版必修4 3．1 两角和与差的三角函数 3．1.1 两角和与差的余弦 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法 通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质． 3．情感、态度与价值观 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力． ●重点难点 重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式． (教师用书独具) ●教学建议 1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学 教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0 ＜α＜β＜π 2 探求出cos(α－β)的结果．
2．关于公式C(α－β)证明的教学 教学时，建议教师： (1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备． (3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：cosα－ β＝cos α－cos β为什么错误？? 引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.?通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法. ? 通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法. ?通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题 步骤及注意事项.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.? 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. 课标解读 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式的过程，进一步体会向量方法的作 用．(难点) 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式． 3.能用两角和与差的余弦公式化简、求 值．(重点) 两角和与差的余弦公式 1．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA → 与OB → 的夹角 是多少？ 【提示】A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)． OA→与OB→的夹角是α－β. 2．你能用哪几种方法计算OA → ·OB → 的数量积？ 【提示】①OA → ·OB → ＝|OA → ||OB → |cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA → ·OB → ＝cos αcos β ＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？
第四章几何图形初步 4.3角 4.3.2角的比较与运算 一、教学目标： 1.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述． 2.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比思想． 二、教学重点及难点： 重点：角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系；感受类比的思想． 难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角的和差的关系及角的平分线． 三、教学准备： 多媒体课件 四、相关资源： 相关图片 五、教学过程： 【复习回顾】 （1）如图，已知线段AB，CD，你有哪些办法比较它们的长短 （2）画出一个三角形．（如下图所示） C B A 提出问题：比较图中线段AB、BC、CD的长短．D C
师生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．用圆规比较AB、BC、CD三条线段长短，并写出结论：AB＞AC＞BC． 设计意图：通过对线段大小的比较的类比，探究角的大小的比较方法，巩固旧知识，引入新知识． 那么，怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？ 设计意图：通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法． 【探究新知】 本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了比较角的大小的两种方法，并通过讲解实例与练习，巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】角的比较. 探究一：角的比较 活动1：展示下面角的模型，比较两个角的大小. 类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两个角，比较它们的大小，并说明你是怎么比较的． 师生活动：学生讨论解决问题的方法，学生代表展示、交流．
音乐《夏天的雷雨》课后反思 音乐《夏天的雷雨》课后反思 在幼儿园的音乐歌曲选择上我们应该依据：符合幼儿年龄特点；节奏、节拍适合的歌曲；有着丰富的故事情节，有规律性的歌词的歌曲；具有一定教育价值的，孩子们兴趣性高的歌曲等等。我们在进行音乐活动中更多的会关注：幼儿的兴趣、乐曲的音域以及歌词要更加贴近幼儿生活。《夏天的雷雨》是一首问答歌，它以设问作答形式表达内容，可以一问一答，也可以多问多答。形式活泼、问答自由，答者也无拘无束，句式简单，对于开发孩子的智力，提高辨别、联想能力大有裨益。 活动开始了，首先练声活动。我截取了歌曲中的一段旋律和小朋友们互相问好，让幼儿初步感知歌曲的旋律。然后以猜谜语的形式导入，来引起小朋友的兴趣，老师有节奏的说第一段歌词，刚说完谜面很多孩子都迫不及待想要回答，借着孩子们的兴趣，老师追问“你怎么知道是ⅩⅩ，你从哪里听出来的？”帮助幼儿理解并记忆谜面歌词。就在猜一猜、说一说的过程中，很快孩子们掌握了第一段歌词并能有节奏的说一说。在第一段歌词理解的基础上，我开始引导孩子有节奏的创编第二段歌词，因为有了前面的基础，在这一环节中孩子创编的还不错。很快孩子就掌握了两段歌词，接下来我利用不同形式引导孩子学唱这首歌曲。最后我又给孩子提供了几种乐器，让孩子利用符合的乐器进行伴奏，提高对乐曲的感受能力。 本次音乐活动中我利用不同形式引导孩子多次地感受音乐，他们也乐意的地跟着唱，自觉地投入到活动中去，积极性、主动性和创造性得到了充分的发挥，在这节活动结束后，我觉得有存在很不足的地方如：整节课我都是让幼儿随我的思路走，把问题抛给了幼儿，他们也有回答，但是又让幼儿按照自己的答案走，这样幼儿不仅没有得到肯定，也会扼杀了他们的想象发挥，这也是我一直以来做得不足的地方，一节活动，幼儿是的主体，老师起着引导的作用，在一节音乐活动中要让幼儿在快乐、轻松地氛围中学习音乐，要让幼儿能在美妙的音乐中得到心灵的陶冶，在以后的教学中，这些都是我需要改进的地方。
《角的比较和运算》说课稿 勐腊县勐润中学李华明 各位老师，我今天说课的内容是角的比较与运算，我将从教材分析、教学方法、学情分析和教学环节设计四个方面进行说课，请老师们指正。 一.教材分析 1.教材的地位与作用 本节课是人教版七年级(上册)第四章第三节的内容。在此之前，学生已经学习了角的基本概念、角的度量以及直线、线段、射线的概念及相关性质。这为本节课的教学做了知识和思维上的准备。同时它对学生下一节余角、补角的概念的理解进行了思维上的铺垫，从而为学生进一步学习平面几何图形打下了基础。所以本节内容取到了复习旧知识、承接新知识的承上启下的作用。 2.教学目标分析 (1)知识与能力目标：会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义，掌握角平分线的概念，培养学生归纳、分析能力。 (2)过程与方法目标：引导学生在试验、观察、交流、比较等活动的基础上通过类比、总结、逐渐培养学生的动手能力、几何语言的表达能力以及几何识图能力。让学生认识到用新知识建构新体系的过程。 (3)情感与态度目标：增强学生学数学的愿望和信心，培养学生爱思考，善于交流的良好学习习惯；通过对角的大小比较，使学生进一步体会几何图形的形象直观美。 3.教学重难点分析 重点：角的大小比较，角平分线的概念 难点：理解角的和、差、倍、分关系 二.教学方法分析 本节课依照新数学课程标准的要求，结合学生已有的知识和能力水平，从提高学生数学兴趣入手，我主要采用启发式、类比式教学。具体体现在以下几个方面： （1）教学中力求体现“问题情景---问题解决---知识延伸---归纳概念”的模式。
（2）引导学生经历同化新知识、构建新意义的过程，从而更好的掌握必要的基础知识的基本技能。 三.学情分析 初一学生刚刚从小学升人初中，还以形象思维能力为主。遵循这一特点，应该充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展。同时教学时还应该针对不同层次的学生，给与不同层次的关注，实现有梯度层次的教学。 四.教学过程展开分析 （1）新课导入 问题的引入师生行为设计意图 复习小学时学习过的角的概念。问题1：角的大小由那些量决定？ 问题2：已知两条线段AB和线段CD，如何比较这两条线段的大小？ [活动1] 让学生拿出课前准备剪好的角，同伴之间交流。 问题1：请五位同学上来，老师请你们五位站成一排，前后顺序由手中角的大小决定，怎样排呢？ 老师提问，学生在回答问题过程中回忆并补充。 教师通过提问，让学生分组讨论，找到他们的争论的关键：比较角的大小 教师通过不断提问启发学生通过实践，对角的比较方法有一个初步的认识。 回忆角的相关概念、两条线段的比较方法，为比较两个角的大小作铺垫，明确知识间的联系。 从一个生动的实际问题展开角的大小讨论，激发学生的求知欲，提高学生的兴趣着手，引导学生主动探索问题。培养学生对数学新知识学习的兴趣。 （2）讲授新课 问题的解决师生行为设计意图
1.1．2 两角和与差的正弦公式 一、教学目标 ⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 二、教学重、难点 １. 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用; 2． 教学难点：公式的的推导及逆用 三、教学设想: (一)复习式导入： 大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? （二）探讨过程： 我们根据两角差的余弦公式可以得到： cos()cos cos sin sin sin 222π π π αααα-=+= 提示:我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导． ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ -=+-=-+-=-???? 由此得到两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 让学生观察并记忆两角和与差正弦公式,并思考与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 (三）例题讲解 例1、利用和、差角正弦公式求sin 75,sin15的值. 解:分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差. 12sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452=+=+=?+=
《雷雨》教学设计及反思(部编本二年级下册) 教材分析： 本文以简炼的语言，形象地描绘了一幅夏日雷雨图。全文按雷雨前、雷雨中、雷雨后的顺序，清晰地展开陈述，三部分特征鲜明，写景细致逼真，引人入胜。激起了学生对大自然的深刻体验，培养学生观察生活，热爱自然的热情。 教学目标： １、会认5个生字，会写8个字。 ２、默读课文，能边读边想象。有感情地朗读课文，通过声音表现雷雨前后的不同景象。 ３、有留心观察天气的兴趣，能写观察日记。 教学重难点： 弄清雷雨前、雷雨中、雷雨后的自然现象的变化顺序以及雷雨的特征。 课前准备：生字卡片、多媒体课件及雷声录音 课时安排：2课时 教学过程： 第一课时 教学目标： 1、会认5个生字，会写8个字。 2、整体感知课文，弄清雷雨前、雷雨中、雷雨后的自然现象的
变化顺序。 教学过程： 一、联系生活，揭示课题 夏天的午后，常常会出现雷雨的现象，你能说说雷雨时的景象吗？ 老师肯定学生的体验后，揭示课题，看课文是怎样写雷雨的。 二、初读课文，识字学词 １、默读课文，要求读准字音，读通课文。老师巡视，有重点地对读书有困难的学生进行个别指导。 ２、认读词语卡片（黑沉沉、乱摆、迎面扑来、彩虹、蜘蛛、蝉、越来越响、垂、压） ３、生字组词，要求学生从课文中找到带有生字的词语和句子。 ⑴压──压下来；满天的乌云，黑沉沉地压下来。 ⑵乱──乱摆；忽然一阵大风，吹得树枝乱摆。 ⑶垂──垂下来；一只蜘蛛从网上垂下来，逃走了。 ⑷虹──彩虹；一条彩虹挂在天空。 ４、同桌相互听读课文，一人读一段，在读中巩固识字，学习新词。 三、朗读感悟，理清文脉 １、指名分段朗读课文。 ２、老师引读（雷雨前：满天的乌云……树上的叶子……忽然一阵大风……哗，哗，哗，雨下起来了……）。 ３、让学生找一找，课文哪几个段落写雷雨前的景象，哪几个段
《角的比较与运算》教学设计 一、教学内容解析 角的比较和运算是在学生学习了角的基本知识之后对角的进一步认识，更是对几何图形中相关联的量的认识的加深．本节课重点是掌握角的大小比较方法，能进行简单的角的和、差运算；难点是找到图形中角与角的关系．学好本节课对于学生今后的几何学习有很大的启发作用． 二、学生学情分析 角的比较和运算是初中七年级上册的内容，学生刚刚开始接触数学中几何部分内容，对于几何学生仅限于对图形的简单认识而不能了解图形中潜在的联系，对于简单的几何逻辑推理语言仅仅在线段相关问题中使用过．借助于本节课内容的传授能够帮助学生建立简单的条件与结论对应的概念，学会使用数学语言描述数学问题本质． 三、教学策略分析 引课 用肢体语言所能展现的几何图形引入新课，让学生意识到数学来源于生活，高于生活，还要最终服务于生活． 角的比较 运用类比的方法让学生学会用已有的知识探知未知的知识，基于学生对线段大小比较方法的掌握，在抛出角的大小比较后，让学生自行寻找角的大小比较方法．希望可以让学生养成良好的数学基本素养，为学生提供思考的空间，养成善于思考，勤于思考的习惯． 归纳，在学生提出比较的方法之后，要培养学生归纳的习惯．数学的灵感来源于不断地对数学知识的归纳，形成自己的数学触感．归纳能力也是学生所要具备的一种基本能力，在教学中我会多引导学生发现、总结，既可以提高学生对数学的探知兴趣还能提高学生归纳的能力，进而增加学生学习数学的能力．角的和、差 辨析能力的培养，在一个图形中认识几个角之间内在联系为重点，让学生学会把一个式子转化成为多个同等变形的式子，养成学生对同一公式不同表现形式的掌握，认识复杂图形中的内在联系．学会发现一个变化的数学问题中不变的量或关系，并能根据这个量或关系解决相应问题． 发展逻辑推理语言，角平分线的定义中除了让学生能够将定义引申为条件与结论的对应，还要简述几何语言，体会数学逻辑连接词的作用，并且能在今后的学习中学会恰当使用这样的连接词，来阐述数学问题的因果．
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
两角和与差的余弦公式教案 执教教师： 陈 亮 时间：2010年1月13日 授课班级：高一（G ）班 节次：第 2 节 学科及册别：数学必修4 课本页码：91——93 章节：第三章第一节 课时安排：第一课时 【教学三维目标】 1.知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。 2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 【高考等级要求】 C 级 【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。 【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。 【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。 【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作 【知识链接】 诱导公式 平面向量的数量积 一、 产生对公式的需求 引入新课 引入：我们曾经学过乘法对减法的分配律：bc ac c b a -=-)(，余弦也是一种运算，那么 βαβαcos cos )cos(-=-是否成立呢？ 对这个问题我们目前几乎没有办法直接证明，但我们可以用特殊值检验其成立的可能性
两角和与差的余弦 （第一课时） 一、教学目标： （一）知识目标： 1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导； 2、能用赋值法推导C(α-β)公式； 3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目标： 1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。 （三）德育目标： 1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系； 2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题； 3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识。 （四）美育目标： 公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和通过鉴赏C( α±β) 公谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C( α±β)式的强大功能。 二、教学重难点 1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。 2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。 三、教学过程： （一）提出问题，产生对公式的需求。 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公 式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。
（二）预备知识 1． 通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距 2． （结合以下问题，观看《几何画板》演示） （1）分别指出点P 1、P 、P 2、P 3的坐标？ （2）弦P 1P 3的长如何表示？ （3）如何构造弦P 1P 3的等量关系？ [注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现|P 1P 3|可以用 cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P 1P 3相等的弦，从而才想到作出角 (-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。 （三）公式推导 1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式1324PP P P = 2．将1324PP P P =转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。 [cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2 展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C (α-β)，初步认识用赋 值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。 （四）公式应用 正因为α、β的任意性，所以赋予C (α+β)公式的强大生命力。 1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的值呢？ 让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了
《雷雨》教学反思 珠海实验小学杜晓芳 《雷雨》是小学语文课标人教版二年级下册中的一篇文章，课文用精炼的文字，为我们描绘了雷雨前、雷雨中、雷雨后的自然景象，让学生通过学习课文初步感受到了天气的变化和大自然的神奇。 一、在课文开始时，我充分发挥了多媒体的作用。通过音 效，引出课题。让学生亲身感受到雷声和雨声，身临其 境，从而引发学生的兴趣、调动其积极性。为后文的学 习打好了基础。 二、注重生字词的教学。根据低年级学生的年龄特征，注 意力容易分散，再加上字词教学本身就比较枯燥，因此 我采用了自由读、同桌合作读、开火车读、做动作读等 多种形式的认字活动。让每位学生都参与其中，气氛也 比较高涨，获得的效果也不错。 三、图文结合，朗读感悟。本教材中安排了两幅插图，在此基础上我又补充了雷雨前的图片，力图用形象的图画帮助学生理解课文。如，在初读课文之后要让这么小的学生说出课文是按照雷雨前、雷雨时、雷雨后的顺序来写的，是很难的。为了突破重点。所以我选择了三幅和课文内容相关的图片打乱了顺序，让学生按照课文描写的顺序重新摆一摆，希望把这种叙事方法潜移默
化到学生身上。以此来弄清课文的脉络。又如：一只蜘蛛从网上垂下来，逃走了。这句话中的“垂下来”一词学生不好理解清楚，容易与掉下来搞混淆，于是我通过放蜘蛛从网上垂下来的视频让学生看，学生就会对“垂”的理解到位，进而体会出课文用词的准确，把这句话读好。 四、体会悟趣，训练词句。这篇文章在运用词句方面非常准确、传神，值得细细体会。教学中我以各种形式唤起学生对词语的直观理解，体会这些词语的精妙。如：“满天的乌云黑沉沉地压下来”一句中“压”字就用得很妙，满天的乌云是怎样压下来呢?我通过展示图像，然后追问：①从图中看“压”字怎样理解?天上的乌云压地面这么近，人们感受怎样?学生经过训练，不仅会弄清了“压”字具体含义，而且会揣摩出了人们当时的感受。又如“闪电越来越亮，雷声越来越像”，我采用创设语用情境的策略，以运用文本中“越来越”这个描写景物变化开始，理解“越来越”的意思和用法，再让学生用句式说雷雨中，雷雨后看到的景色变化，然后启发学生追溯全文，从而避免逐字逐句的通读全文，做到有详有略，对于第一课时来说，通过这样的方式来初步感知全文似乎是最快捷，也易于让学生接受，在次基础上去体会词语读懂句子，学生自然会学得有趣，用得正确。 都说课堂是一门遗憾的艺术。在上完本节课时，有许多令人
《4.3.2 角的比较与运算》说课稿（二）谨此向在座的老师们学习。，我今天说课的内容是角的比较与运算，我将从教材分析、教学方法、学情分析和教学环节设计四个方面进行说课，请老师们指正。 一、说教材 （一）教材分析 1、本节课是人教版七年级(上册)第四章第三节的内容。在此之前，学生已经学习了角的基本概念、角的度量以及直线、线段、射线的概念及相关性质。这为本节课的教学做了知识和思维上的准备。同时它对学习下一节余角、补角的概念的理解进行了思维上的铺垫，从而为学生进一步学习平面几何图形打下了基础。所以本节内容取到了复习旧知识、承接新知识的承上启下的作用。 （二）学情分析 初一学生刚刚从小学升入初中，还以形象思维能力为主。遵循这一特点，应该充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展。同时教学时还应该针对不同层次的学生，给与不同层次的关注，实现有梯度层次的教学。 （三）教学目标分析 1、知识与技能 （1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，?丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系． （2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，?认识角的平分线
及角的等分线，会画角的平分线． 2．过程与方法 进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法． 3．情感态度与价值观 能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情． （四）教学重难点分析 重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，?认识角平分线及画角平分线。难点：：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小。二、说教法教法分析 鉴于七年级教材特点和学生的认知水平，主要采用启发式和师生互动的教学模式进行教学。注意加强师生之间的情感交流，以观察、思考、讨论、练习贯穿整个教学环节。积极利用多媒体演示，向学生提供更多的活动空间，使学生在动脑、动手、动口过程中获得充分的体验和发展，逐步加深对数形结合思想的认识。三、说学法学法分析 在本节课中不断指导学生学会学习，鼓励学生动手实践，主动探索与合作交流，变“被动学习”为“主动学习”，使每位学生都参与到学习过程中，同时获得轻松、愉快、成功的情感体验。 四、说教学程序教学流程安排活动流程图 活动内容和目的 一、创设情境、观察操作，引出本节课研究的第一个问题――角的比较．二、问题探究、合作验证，引导学生探索角的运算．三、问题引申，解决问题引