第13章多目标决策
单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。
国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。
总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。
13.1 基本概念
多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。
例13.1房屋设计
某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；
2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；
3）建造时间（越快越好）；
4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；
5）造型美观（评价越高越好）
这三个方案的具体评价表如下。
表13.1 三种房屋设计方案的目标值
123
低造价（元/平方米）500 700 600
抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5
建造时间（年） 2 1.5 1
结构合理（定性）中优良
造型美观（定性）良优中
由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案1较好；如从合理美观的目标出发，方案2就不错；但如果从牢固性看，显然方案3最可靠等等。
1．多目标决策问题的基本特点
例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。
目标间的不可公度性是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计问题中，造价的单位是元/平方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。
目标间的矛盾性是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。
2．多目标问题的三个基本要素
一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。
目标体系—是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；
备选方案—是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。
决策准则—是指用于选择的方案的标准。通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方案依某个准则排序。另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。如“可接受”与“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。
3．几个基本概念
1）劣解和非劣解
劣解：如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通
过比较可直接舍弃的方案称为劣解。
非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。非劣解在多目标决策中起非常重要的作用。
单目标决策问题中的任意两个方案都
可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一定都可以比较出其优劣。如图13.1，希望f 1和f 2两个目标越大越好，则方案A 和B 、
方案D 和E 相比就无法简单定出其优劣。
但是方案E 和方案I 比较，显然E 比I 劣。
而对方案I 和H 来说，没有其它方案比它们
更好。而其它的解，有的两对之间无法比较，但总能找到令一个解比它们优。I 、H 这一类解就叫非劣解，而A 、B 、C 、D 、E 、F 、
G 叫作劣解。
如果能够判别某一解是劣解，则可淘汰
之。如果是非劣解，因为没有别的解比它优，就无法简单淘汰。倘若非劣解只有一个，当
然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一个，这就有待于决策者选择，选出来的解叫选好解。
对于m 个目标，一般用m 个目标函数12(),(),,()m f x f x f x 刻划，其中x 表示方案，而x 的约束就是备选方案范围。
最优解：设最优解为*
x ，它满足
)()(*x f x f i i ≥ n i ,,2,1 = （13.1.1）
2）选好解
在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个比较满意的方案。这个比较满意的方案就称为选好解。
单目标决策主要是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案。而多目标决策除了需要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。
f 1(第一目标值)
f 2(第二目标值)
图13.1 劣解与非劣解
13.2 决策方法
解决多目标决策问题的方法目前已有不少，本节主要介绍以下三种：化多目标为单目标的方法、重排次序法、分层序列法。决策的一般步骤为，第一步，判断各个方案的非劣性，从所有方案中找出全部非劣方案，即满意方案。第二步，在全部非劣方案中寻找最优解或选好解。
13.2.1 化多目标为单目标的方法
由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。下面介绍几种较为常见的方法。
1) 主要目标优化兼顾其它目标的方法
设有m 个目标f 1(x )，f 2(x )，….，f m (x )，x ∈R 均要求为最优，但在这m 个目标中有一个是主要目标，例如为f 1(x )，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即
m i f x f f i i i ,...,3,2,)('''=≤≤
就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：
'
1'
'''
max (){(),2,3,...,;}
x R i i i f x R x f f x f i m x R ∈=≤≤=∈ （13.2.1）
例13.2 设某厂生产A 、B 两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需
的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表13.2所示。在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一，计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品A 的产量必须为产品B 的产量的1.5倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于11个单位。
表13.2 产品消耗、利润表
显然，上述决策问题是一个多目标决策问题，今若将利润最大作为主要目标，
则后面两个目标只要符合要求即可。这样，上述问题就可变换成单目标决策问题，并可用线性规划进行求解。
设1x 为产品A 的产量，2x 为产品B 的产量，则上述利润最大作为主要目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下：
max 212.34x x z +=
12121212122412(3312
.. 1.50
2411,0
x x x x s t x x x x x x +≤??
+≤??
-=??+≥??≥?设备台式约束）（原料约束）（目标约束）（目标约束） （13.2.2） （线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅《运筹学》有关部
分。）
2) 线性加权和法
设有一多目标决策问题，共有f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x )等m 个目标，则可以对目标 f i (x ) 分别给以权重系数i λ（i =1，2，…，m ），然后构成一个新的目标函数如下：
max F (x )=
)(1
x f i m
i i
∑=λ
（13.2.3）
计算所有方案的F (x )值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。
在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。
3) 平方和加权法
设有m 个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x )与规定的m 个满意值f 1*，f 2*，…，f m *的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：
F (x )=
2*1
))((i
i
m
i i
f
x f -∑=λ （13.2.4）
并要求min F (x )，其中i λ是第i (i =1,2,…)个目标的权重系数。
4) 乘除法
当有m 个目标f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x )时，其中目标f 1(x )，f 2(x )，…，f k (x )的值要求越小越好，目标f k (x )，f k+1(x )，…，f m (x )的值要求越大越好，并假定f k (x )，f k+1(x )，…，
f m (x )都大于0。于是可以采用如下目标函数
F (x )=
)
()()()
()()(2121x f x f x f x f x f x f m k k k ????????++ （13.2.5）
并要求min F (x )。
5) 功效系数法
设有m 个目标f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x )，其中k 1个目标要求最大，k 2个目标要求最小。赋予这些目标f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x ) 以一定的功效系数d i (i =1,2,…,m )，
10≤≤i d 。当第i 个目标达到最满意时d i =1，最不满意时d i =0，其它情形d i 则为0，
1之间的某个值。描述d i 与f i (x )关系的函数叫作功效函数，用d i =F (f i )表示。
不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。图13.2所示为线性功效函数的两种类型。图13.2a 所示为要求目标值越大越好的一种类型，即f i 值越大，d i 也越大。图13.2b 为要求目标值越小越好的一种类型，即f i 越小，d i 越大。
记 max f i (x )= f i max ，min f i (x )=f i min ，若要求f i (x )越大越好，则可设0)(m in =i i f d ，
1)(m ax =i i f d ，第i 个目标的功效系数d i 的值为
min
max min
)())((i i i i i i f f f x f x f d --=
（13.2.6）
若要求f i (x )越小越好，则可设1)(m in =i i f d ，0)(m ax =i i f d ，第i 个目标的功
效系数d i 的值为
图13.2 线性功效函数
a) 目标值愈大愈好的类型 b) 目标值愈小愈好的类型
min
max min
)(1))((i i i i i i f f f x f x f d ---
= （13.2.7）
同理，对于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定d i 的取值。 当求出n 个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以
m m d d d D 21= （13.2.8）
作为总的目标函数，并使max D 。
从上述计算D 的公式可知，D 的数值介于0、1之间。当D = 1时，方案为最满意，D = 0时，方案为最差。另外，当某方案第i 目标的功效系数d i =0时，就会导致D = 0 ，这样也就不会选择该方案了。
13.2.2 重排次序法
重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。下面举例说明重排次序法的求解过程。 例13.3 设某新建厂选择厂址共有n 个方案m 个目标。由于对m 个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用f ij 表示第i 方案第j 目标的目标值，则可列表如表13.3所示。
表13.3 n 个方案的m 个目标值
（1）无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值f ij 变成无量纲的数值y ij 。变换的方法是：对目标f j ，如要求越大越好，则先从n 个待选方案中找出第j 个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即
j i ij n
i b f f =≤≤1max ，j i ij n
i w f f =≤≤1min
并相应地规定
100=→j i j i b b y f 1=→j i j i w w y f
而其它方案的无量纲值可根据相应的f 的取值用线性插值的方法求得。
对于目标f i ，如要求越小越好，则可先从n 个方案中的第j 个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。可规定1=→j i j i b b y f ，100=→j i j i w w y f 。其它方案的无量纲值可类似求得。这样就能把所有的f ij 变换成无量纲的y ij .。
(2) 通过对n 个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作{B}，然后对该组非劣解作进一步比较。
(3) 通过对非劣解{B}的分析比较，从中找出一“选好解”，最简单的方法是设一新的目标函数
∑==m
j ij i i y F 1
λ， }{B i ∈ （13.2.9）
若F i 值为最大，则方案i 为最优方案。
13.2.3 分层序列法
分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成f 1(x )，f 2(x )，…，f m (x )。然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R 1表示，接着在集合R 1范围内求第2个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R 2表示，依此类推，直到求出第m 个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即
(1)11()max ()x R f x f x ∈=
1
(2)22()max ()x R f x f x ∈= （13.2.10）
…
1
()()max ()m m m m x R f x f x -∈=
1{min (),},1,2,...,1i i i R x f x x R i m -=∈=- R R =0
这种方法有解的前提是R 1，R 2，…，R m-1等集合非空，并且不止一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对
最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是
(1)11()min ()x R f x f x '∈=
1
(2)22()min ()x R f x f x '∈= （13.2.11）
…
1()()max ()m
m m m x R f x f x -'∈=
''1{|()max (),}i i i i i R x f x a f x x R -=<∈ i =1,2,…,m -1, R R ='
而a i >0是一个宽容限度，可以事前给定。
13.3 多目标风险决策分析模型
假设有n 个目标，m 个备选方案（12,,...,m A A A ），第i 个备选方案i A 面临i l 个自然状态，这i l 个自然状态发生的概率分别为12,,...,i i i il p p p 。方案i A 在其第k 个自
然状态下的n 个后果值分别为(1)(2)()
,,...,n ik ik ik θθθ。该模型可表述为图13.3。
各方案中各目标的期望收益值分别为
???????????
???=?=)(1)2(1)1(1)(12)2(12)1(12)
(11)2(11)1(111111111111)()(n l l l n n l p p a P A E θθθθθθθθθ … … ??????
????????=?=)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(11)()(n ml ml ml n m m m n m m m ml m m m m m m m m p p a P A E θθθθθθθθθ （13.3.1） 这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标
确定型决策问题：
n
m mn m m n n m m def a a a a a a a a a A A A A E A E A E A E ??
?
??????????=????????????= 2
1
22221112112121)()()()( （13.3.2） 13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法
13.4.1 基本结构
我们的问题可表述为：从现有的m 个备选方案m A A A ,,,21 中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n 个：n G G G ,,,21 。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示（其中ij a 表示第i 个方案的第k 个后果值）：
)
,,)(11)2(11)1(11n θθθ ),,()(1)2(1)1(11
11n l l l θθθ )
,,()(21)2(21)1(21n θθθ )
,,)(2)2(2)1(2222n l l l θθ )
,,)(1)2(1)1(1n m m m θθθ ),,()()2()1(n ml ml ml m
m m θθθ 图13.3 多目标风险型决策模型
显然这一表式结构可用矩阵表示为
111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ????????????
（13.4.1） 这个矩阵称为决策矩阵，它是大多数决策分析方法进行决策的基础。
决策准则：
∑=j
ij j i a A E λ)( （13.4.2）
其中j λ为第j 个目标的权重。
13.4.2 决策矩阵的规范化
在决策矩阵中如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。这是因为各目标采用的单位不同，数值可能有很大的差异，因此最好把矩阵中元素规范化，即把各目标值都统一变换到[0，1]范围内。规范化的方法很多，常用的有以下几种：
1．向量规范化 令
∑==
m
i ij
ij
ij a
a b 1
（13.4.3）
这种变换把所有目标值都化为无量纲的量，且都处于(0，1)范围内。但这种变换是非线性的，变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，即最小值不一定为0，最大值不一定为1，有时仍不便比较。
2． 线性变换
如目标为效益（目标值愈大愈好），可令
}
{max ij i
ij ij a a b =
（13.4.4）
显然10≤≤ij b .
如目标为成本（目标值愈小愈好），令
}
{max 1ij i
ij ij a a b -
= （13.4.5）
同样有10≤≤ij b .
这种变换是线性的，变换后的相对数量和变换前相同。 3． 效用值法
把每一目标的各后果值转化为效用值。 4． 其他变换
在决策矩阵中如果既有效益目标又有成本目标，采用上述变换产生了困难，因为它们的基点不同。这就是说变换后最好的效益目标和最好的成本目标有不同的值，不便于比较。如果把成本目标变换修改为
ij
ij i
ij i
ij ij a a a a b }
{min }
1{max 1=
=
（13.4.6）
这样基点就可以统一起来。
一种更复杂的变换是，对于效益，令
}
{min }{max }
{min ij i
ij i
ij i
ij ij a a a a b --=
（13.4.7）
对于成本，令
}
{min }{max }max{ij i
ij i
ij ij ij a a a a b --=
（13.4.8）
这种变换的好处是，变换后把目标的最大值统一为0和1，但是这种变种不是成比例的。
13.4.3 确定权的方法
在多目标决策问题中，决策者所考虑的多个目标对决策的重要程度并不是相同的，相对的来说，总有一定的差别。目前大部分的多目标决策方法都通过赋予各目标一定的权重进行决策，以权重表示各目标的重要程度，权重越大，其对应目标越重要。确定权重的方法很多，现介绍几种常用的方法。
1． 老手法
这是一种凭借经验评估并结合统计处理来确定权重的方法。
首先，选聘一批对所研究的问题有充分见解的L 个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立的对n 个目标i G （n i ,,2,1 =）给出相应的权重。设第j 位老手所提供的权重方案为：
nj j j w w w ,,,21 ，L j ,,2,1 = （13.4.9）
它们满足0≥ij w ，（n i ,,2,1 =）.，11
=∑=n
i ij
w
。则汇集这些方案可列出如表13.5
所示的权重方案表。
表13.5 老手法所得到的权重方案表
其中
∑==L
j ij i w L w 1
1 n i ,,2,1 = （13.4.10）
表中的最后一行是L 个权重方案的均值，或权重的数学期望估值：
∑=--=n
i i ij j w w n D 1
2][11， L j ,,2,1 = （13.4.11） 设给定允许0>ε，检验由上式确定的各方差估值。如果上述各方差估值的最
大者不超过规定的ε，即若
ε≤≤≤j L
j D 1max
则说明各老手所提供的方案没有显著的差别，因而是可接受的。此时，就以
1w ,2w ,…,n w 作为对应各目标1G ,2G ,…,n G 的权重。如果上式不满足，则需要和
那些对应于方差估值大的老手进行协商，充分交换意见，消除误解（但不交流各老手所提出的权重方案），然后，让他们重新调整权重，并将其再列入权重方案表。重复上述过程，最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。
这种方法比较实用，但一般要求老手的人数不能太少。
2． 环比法
这种方法先随意把各目标排成一定顺序，接着按顺序比较两个目标的重要性，得出两目标重要性的相对比率——环比比率，然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标基数的定基比率，最后再归一化为权重。设某决策有五个目标，下面按顺序来求其权重，见表13.6。
表13.6 用环比法求权重
表13.6第二列是各目标重要性的环比比率，是按顺序两两对比而求得的，则可以通过向决策者或专家咨询而得到。例如该列第一个数值为2；它表示目标A 对决策的重要性相当于目标B 的2倍；第2个数字为0.5，它表明目标B 对决策的重要性值相当于目标C 的一半，其余类推。第三列的数据是通过第二列计算得到的，即以目标E （排在最后的目标）对决策的重要性为基数，令其重要性为1，由于目标D 的重要性相当于E 目标的1.5倍，所以换算为定基比率仍是1.5，即1?1.5=1.5，由于目标C 的重要性相当于目标D 的3倍，所以目标C 的重要性相当于目标E 第4.5倍，即目标的定基比率为4.5，其余类推。把各目标的重要性比率换算更为以E
目标为基数的定基比率后，求得这些比率的总和为13.75，即第三列的合计数，然后把第三列中各行的数据分别除以这个合计数13.75就得到了归一化的权重值，列于表13.6最后一列。
值得注意的是上述方法的前提是决策者对于各目标间相对重要性的认识是完全一致的，没有矛盾，可实际上决策者对各目标相对重要性的认识有时不完全一致，此使这种方法便不适用，一般可改用权的最小平方法或下面其他方法。
3． 权的最小平方法
这种方法也是把各目标的重要性作成对比较，如把第i 个目标对第j 个目标的相对重要性的估计值记作ij a （n j i ,,2,1, =），并近似的认为就是这两个目标的权重i w 和j w 的比j i w w 。如果决策人对ij a （n j i ,,2,1, =）的估计一致，则
j i ij w w a =，否则只有j i ij w w a ≈，即0≠-i j ij w w a 。可以选择一组权
},,,{21n w w w ，使
∑∑==-=n i n
j i j ij w w a Z 11
2)(
为最小，其中i w （n i ,,2,1 =）满足1
1n
i i w ==∑，且0>i w 。
如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：
)1(2)(1
11
2
-+-=∑∑∑===n
i i n i n j i j ij w w w a L λ (13.4.12)
将上式对k w 微分，得到：
11
()()0n n
ik k i ik kj j k i j k L
a w w a a w w w λ==?=---+=?∑∑，1,2,,k n = (13.4.13) 式（13.4.13）和1
1n
i i w ==∑构成了n+1个非齐次线性方程组，有n+1个未知数，可
求得一组唯一的解。式（13.4.13）也可写成矩阵形式：
m Bw = （13.4.14）
式中
T n w w w w ),,,(21 =，T m ),,,(λλλ---=
()2
11112211112112
222
221
112212()
()()
2()()
2n i n n i n
i n n i n n n n n in nn i a n a a a a a a a a n a a a B a a a a a n a ===??
---+-+??
?
?
??
-+---+?
?=?
?
??
?
?-+-+--??
???
?∑∑∑
4． 强制决定法
此法要求把各个目标两两进行对比。两个目标比较，重要者记1分，次要者记
0分。现举一例以说明之。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下（表13.7）。其中打分所用列数为15（如目标数为n ，则打分所用列数为
2
)
1(-n n ）。在每个列内只打两个分，即在重要的那个目标行内打1分，次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。
表中总分列为各目标所得分数之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。
表13.7 高度计设计方案选优决策中权重的计算
13.5 层次分析法（AHP ）
层次分析法（AHP ）是本世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。它本质上是一种决策思维方式，基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和若干要素，在各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不同备选方案的权重。
应用层次分析法的步骤如下：
① 对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构模型；
② 对同一等级（层次）的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评
定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵； ③ 确定各要素的相对重要度；
④ 综合相对重要度，对各种替代方案进行优先排序，从而为决策者提供科学
决策的依据。
13.5.1 多级递阶结构
用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。方案层即解决问题的方案。
层次结构往往用结构图形式表示，图上标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构（如图13.4）。如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全
独立性结构。也有由上述两种结构结合的混合结构。
例13.4 某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究，制定出三种可供选择的方案：
A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马路； A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横道； A3：搬迁商场。
试用决策分析方法对三种备选方案进行选择。这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定了以下5个分目标
目标层A
准则层C
方案层P
图13.4 递阶层次结构
作为对备选方案的评价和选择标准：
C1：通车能力；
C2：方便过往行人及当地居民； C3：新建或改建费用不能过高； C4：具有安全性；
C5：保持市容美观。其层次结构如图13.5所示。 递阶层次结构建立的合适与否，对于问题的求解起着关键的作用。但这在很大
程度上取决于决策者的主观判断。这就要求决策者对问题的本质、问题所包含的要素以及相互之间的逻辑关系要有比较透彻地理解。
13.5.2 判断矩阵
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。 1） 建立判断矩阵
改变闹市区交通环境（G ）
通
车能力C 1
方便市民C 2
改建费用C 3
安全性C4
市容美观C5
天桥A 1
地道A2
搬迁A3
图13.5 改善市区交通环境的层次结构
设对于准则H ，其下一层有n 个要素A 1，A 2，…，A n 。以上一层的要素H 作为判断准则，对下一层的n 个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式如下：
a ij 表示以判断准则H 的角度考虑要素A i 对A j 的相对重要程度。若假设在准则H 下要素A 1，A 2，…，A n 的权重分别为,1w ,1w ….,,n w 即T n w w w W ),...,,(21=，则
j
i
ij w w a =
。矩阵 ?
?
???
???????=nn n n n n a a a a a a a a a A 21
22221
112
11 （13.5.1） 称为判断矩阵。
2） 判断尺度
判断矩阵中的元素a ij 是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表13.8所示。
表13.8 判断尺度的取值
由表13.8可知：若A i 比A j 重要，则5/==j i ij w w a ，反之，若A j 比A i 重要，
则5/1/1==ji ij a a 。
13.5.3 相对重要度及判断矩阵的最大特征值m ax λ的计算
在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道A i 关于H 的相对重要度，也就是A i 关于H 的权重。我们的问题归结为：
已知
()n n ij a A ?=＝ []
n n j i w w ?/＝?
?
???
??
?????n n n n n n
n w w w w w w w w w w w
w w w w w w w /////////2
1
221
212111 求T n w w w W ),...,,(21=。
由
111212122212/////////n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w ????
??
??
?
?
?? ????????????n w w w 21=n ?????
???????n w w w 21 知W 是矩阵A 的特征值为n 的特征向量。
当矩阵A 的元素ij a 满足
1=ii a ； ji ij a a /1=； jk ik ij a a a /= （13.5.2）
时，A 具有唯一的非零最大特征值max λ，且n =max λ（
n a
i
ii
i
i
==∑∑λ）。
由于判断矩阵A 的最大特征值所对应的特征向量即为W ，为此，可以先求出
判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出A i 关于H 的相对重要度。
求法：
1． 用计算方法中的乘幂法等方法求。 2． 方根法：
=i w n
n
j ij a 11
)(∏= i = 1,2,…,n
多目标和多约束的优化问题都称为多目标优化问题。在实际应用中，常常需要使多个目标在给定的区域范围都尽可能达到最优，但多个目标之间往往都是相互冲突的。[24] 为了使多目标优化能够顺利实现人们提出了很多方法这类方法主要有： (1)评价函数法。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。评价函数法的实质，是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。对即有极小化模型又有极大化模型的混合优化问题，可把极大化问题转化为极小化处理，也可用分目标乘除法、功效函数法、选择法等方法解决。但不同的评价函数，表达了不同的评价意义。因此，评价函数法只可保证所求得的最优解为多目标优化的有效解，而很难准确地获取设计者认可的满意有效解，这使得评价函数法的应用，局限于要求不高或对多目标优化方法把握不深的应用者。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。由于有决策者的参与，所得的结果易于趋近决策者主观要求，因此其解只能达到主观最优，尚缺客观性的评价，且不易于操作。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。在要求获取的解是有效解的前提下，此种解法存在的问题为： 1)各目标的优先层次的不同选择，就得到具有不同优性的解，目标优性的差异与重要度的差异这两者的一致性难以调控与把握；2)对于非线性多目标优化，每个目标不可能在最优解上都存在等值线(面)，因此往往难以优化到最后一层，从而失去了多目标优化的意义。 早期的多目标问题实质上都是将多目标优化问题转化成单目标优化问题，然后采用比较成熟的单目标优化技术来进一步地解决。传统的多目标优化方法存在以下几个缺点： ①只能得到一个最优解，然而，在实际决策中决策者通常需要多种可供选择的方案； ②各目标之间没有共同的度量标准：各自具有不同的量纲、不同的物理意义，
第13章多目标决策 单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。 国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。 13.1 基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）； 2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）； 3）建造时间（越快越好）； 4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）； 5）造型美观（评价越高越好） 这三个方案的具体评价表如下。
复杂系统决策模型与层次分析法
费用居住饮食交通例3?科研课题 科研课題 承徳 可行性 实用价值学 术 意 义 人 才 培 养 §3.4复杂系统决策模型与层次分析法 Analitic Hierachy Process （AHP） T. L. Saaty 1970* —种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。—?问题举例 1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。 -?模型和方法 1.层次结构模型的构造 步骤一：确定层次结构，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。 例1.选购冰箱迭购冰箱步骤二：通过相互比较，确定下一 层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构 造因素判断矩阵。 例2.
步骤三：由矩阵的特征值确定判别的一致性；由相应的特征向量表示各因素的影响 权重，计算权向量。 步骤四：通过综合计算给出最底层（各方案）对最高层（总目标）影响的权重， 权重最大的方案即为实现目标的最由选择。 2. 因素判断矩阵 比较n 个因素y 二（y“兀,…,yJ 对目标z 的影响. 采用两两成对比较，用弘表示因素y ：与因素力对目标z 的影响程度之比。 通常用数字r 9及其倒数作为程度比较的标度，即九级标度法 Xi/Xj 相当 较重要 重要 很重要绝对重要 Si ； 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 居于上述两个相邻判断之间。 当弘＞ 1时，对目标Z 来说Xi 比X ：重要，其数值大小表示重要的程度。 同时必有3二1/氐＜1,对目标Z 来说X ：比血不重要，其数值大小表示不重 要的程度。 称矩阵A = （ aij ）为因素判断矩阵。 因为＞0且a.i =1/ 故称A 二（％ ）为正互反矩阵。 例.选择旅游景点Z ：目标，选择景点 y ：因素，决策准则 如果a ￡j a jk =a ik i, j, k=l, 2,n.则称正互反矩阵A 具有一致性.这表明对 各个因素所作的两两比较是可传递的。 —致性互正反矩阵A=（如）具有性质： A 的每一行例）均为任意指定行（列）的正数倍数，因此wnk （A ）二1. A 有特征值九二n,其余特征值均为零. 记A 的对应特征值九二n 的特征向量为w 二（w : w 2,…，wj 贝IJ a ￡j 二w, w ；1 如果在目标Z 中n 个因素y= (yi, y 2,…,yj 所占比重分别为w 二(w 】w?,…，wj, 则 =1,且因素判断矩阵为A=(w i w ；1) o 因此，称一致性正互反矩阵A 相应于特征值n 的归一化特征向量为因素 y= (yi> y?,…,yJ 对目标z 的权向量 4. 一致性检验与因素排序 定理1： n 阶正互反矩阵A 是一致性的当且仅当其最大特征值为n. 定理2：正互反矩阵具有模最大的正实数特征值九，其重数为1,且相应特征向量 为正向量. 为刻画n 阶正互反矩阵A=(如)与一致性接近的程度，定义一致性指标(Consensus index): 1 2 7 5 5 1/2 1 4 3 3 4 = 1/7 1/4 1 1/2 1/3 1/5 1/3 I 1 J/5 1/3 3 1 1 yi 费用, 景色, ys 居住, 3.—致性与权向量 yi 饮食，ys 交通
第十七章 多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP 法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。 5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。 （三）判断矩阵 以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。判断矩阵是层次分析法的核心。 判断矩阵的元素ij a 具有三条性质： （1）1=ii a （2）ji ij a a /1= （3）kj ik ij a a a ?= 判断矩阵的元素ij a 可以利用决策者的知识和经验估计出来。由于决策者的估计并不精确，因此第三条性质不一定成立。 （四）由判断矩阵确定权重 可用特征向量法中的和积法对判断矩阵求最大特征值及所对应的特征向量。特征向量经
数学建模算法--复杂系统决策模型与层次分析法 §3.4 复杂系统决策模型与层次分析法 Analitic Hierachy Process (AHP) T.L.Saaty 1970’ 一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 一. 问题举例 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。 二. 模型和方法 1. 层次结构模型的构造 步骤一：确定层次结构，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。 例 1. 选购冰箱 例2. 旅游景点 例3. 选购冰箱 品牌 功能 价格 耗电 海尔 新飞 容声 雪花 旅游景点 居住 景色 费用 饮食 交通 泰山 杭州 承德 科研课题 贡献 可行性 实 用 价 值 学 术 意 义 人 才 培 养 难 度 周 期 经 费 基础 应用 教育
步骤二： 通过相互比较，确定下一层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。 步骤三：由矩阵的特征值确定判别的一致性；由相应的特征向量表示各因素的影响权重，计算权向量。 步骤四： 通过综合计算给出最底层（各方案）对最高层（总目标）影响的权重，权重最大的方案即为实现目标的最由选择。 2. 因素判断矩阵 比较n 个因素y=(y 1,y 2,…,y n )对目标 z 的影响. 采用两两成对比较，用a ij 表示因素 y i 与因素y j 对目标z 的影响程度之比。 通常用数字 1~ 9及其倒数作为程度比较的标度， 即九级标度法 x i /x j 相当 较重要 重要 很重要 绝对重要 a ij 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 居于上述两个相邻判断之间。 当a ij > 1时，对目标 Z 来说 x i 比 x j 重要, 其数值大小表示重要的程度。 同时必有 a ji = 1/ a ij ≤1，对目标 Z 来说 x j 比 x i 不重要，其数值大小表示不重要的程度。 称矩阵 A = （ a ij ）为因素判断矩阵。 因为 a ij >0 且 a ji =1/ a ij 故称A = (a ij )为正互反矩阵。 例. 选择旅游景点 Z ：目标，选择景点 y ：因素，决策准则 y 1 费用，y 2 景色，y 3 居住，y 4 饮食，y 5 交通 3. 一致性与权向量 如果 a ij a jk =a ik i, j, k=1,2,…,n， 则称正互反矩阵A 具有一致性. 这表明对各个因素所作的两两比较是可传递的。 一致性互正反矩阵A=( a ij )具有性质: A 的每一行(列)均为任意指定行(列)的正数倍数,因此 rank(A)=1. A 有特征值λ=n, 其余特征值均为零. 记A 的对应特征值λ=n 的特征向量为w=(w 1 w 2 ,…, w n ) 则 a ij =w i w j -1 如果在目标z 中n 个因素y=(y 1,y 2,…,y n )所占比重分别为w=(w 1 w 2 ,…, w n ), 则 ∑i w i =1, 且因素判断矩阵为 A=(w i w j -1) 。 因此，称一致性正互反矩阵A 相应于特征值n 的归一化特征向量为因素y=(y 1,y 2,…,y n )对目标z 的权向量 4. 一致性检验与因素排序 定理1: n 阶正互反矩阵A 是一致性的当且仅当其最大特征值为 n. 定理2: 正互反矩阵具有模最大的正实数特征值λ1, 其重数为1, 且相应特征向量为正向量. 为刻画n 阶正互反矩阵A=( a ij )与一致性接近的程度, 定义一致性指标(Consensus index) : CI=(λ1-n)/(n-1) CI = 0, A 有完全的一致性。CI 接近于 0, A 有满意的一致性 。 Saaty 又引入平均随机一致性指标RT n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 当CR = CI / RI < 0.1 时, 认为A 有满意的一致性。 ????????????????=1133/15/11123 /15/13/12/114/17/133412/155 721A
第十七章多目标决策法 基本内容 一、多目标决策概述 多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。 多目标决策的特点： 1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。 2、目标之间的矛盾性。某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。 常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。 多目标决策遵循的原则： 1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。 2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。 二、层次分析法 层次分析法，简称AHP法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。 （一）层次分析的基本原理 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。 层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 （二）层次分析法的步骤 1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 2、建立层次结构模型。将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。 2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 3、由各层判断矩阵确定各层权重。用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。 4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。否则，对判断矩阵进行调整。
多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 )}(),(),({21x f x f x f DR n 0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g T S p 决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间 })({X x x f F 两个例子：
离散型；连续型 3．多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难 4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。
多目标决策方法 一．多目标决策方法简介 1．多目标决策问题及特点 （１） 案例 个人：购物；买房；择业．．．．．． 集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素 行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则 （3） 多目标决策有如下几个特点： 决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。 2． 多目标决策问题的描述 决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间 })({X x x f F ∈= 两个例子： 离散型；连续型 3． 多目标决策问题的劣解与非劣解 非劣解的寻找连续型有时较难
4．多目标决策主要有以下几种方法： （１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题； （２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。 （３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。（ （４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。 （５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。 （６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。 （７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。 （８）多目标群决策和多目标模糊决策。 （９）字典序数法和多属性效用理论法等。 二、几种常见方法简介及应用 1．加性加权法 （1）基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这 类问题进行合理分析的方法 和程序。 但在实际工作中所遇到的的决策分析问题， 却常常要考虑多个目标。 这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策 问题变得非常复杂。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和 运筹学等领域中得到了更多 的研究和关注。 13.1基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效 用值哪个最大即可，而多目 标问题就不如此简单了。 例13.1房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要 求根据以下5个目标综合 选出最佳的设计方案： 低造价（每 平方米造价不低于 抗震性能 建造时间 结构合理 造型美观 这三个方案的具体评价表如下。 表13.1 三种房屋设计方案的目标值 具体目标 方案1 (A 1) 方案2 (A 2) 方案3 (A 3) 低造价（元/平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 2 1.5 1 结构合理（定性） 中 优 良 造型美观（定性） 良 优 中 由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一 个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1较好；如从 合理美观的目标出发，方案 2就不错；但如果从牢固性看，显然方案 3最可靠等等。 1. 多目标决策问题的基本特点 例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个 这一明显的特点外，最显 着的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。 目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计 问题中，造价的单位是元/平 方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。 500元，不高于 700元）； （抗震能力不低于里氏 5级不高于7级）； （越快越好）； （单元划分、生活设施及使用面积比例等） ； （评价越高越好） 1) 2) 3) 4) 5)
精心整理 决策理论和方法(章节目录) DecisionTheoryandTechnology 引言 第一章决策的基本概念 §1-1引论 一、决策与决策分析的定义 1.Decision 的本义:(牛津词典) 2.3.<4.< 5. 6.7.1.2.3.4.5.§1-2§1-3§1-4一、问题的复杂性： 二、微观经济学和决策论关于经济人的假定： 三、决策人和决策分析人的分工 §1-5分析方法和步骤 一、 决策树与抽奖 二、分析步骤 习题 进一步阅读的文献 第二章主观概率和先验分布
SubjectiveProbabilityandPriorDistribution §2-1基本概念 一、概率（probability） .频率L aplace在《概率的理论分析》(1812)中的定公理化定义 二、主观概率(subjectiveprobability,likelihood) 1.为什么引入主观概率 2.主观概率定义 三、概率的数学定义 四、主客观概率的比较 §2-2先验分布(Priordistribution)及其设定 1. 2. 3. 4. 5. §2-3 §2.4 二、 习题 §3—1 四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility) §3.2效用函数的构造 一、离散型的概率分布 二、连续型后果集 §3.3风险与效用 一、效用函数包含的内容 1.对风险的态度 2.对后果的偏好强度 3.效用表示时间偏好 二、可测价值函数确定性后果偏好强度的量化
三、相对风险态度 四、风险酬金 五、钱的效用 §3.4损失、风险和贝叶斯风险 一、损失函数L 二、风险函数 三、贝叶斯风险 习题 进一步阅读的文献 第四章贝叶斯分析 §4.1 §4.1 一、 三、 六、 §4.2 四、E— §4.3 二、 §4.4 三、例 §4.5非正常先验与广义贝叶斯规则 一、非正常先验(ImproperPrior) 二、广义贝叶斯规则(GeneralBayeseanRule) §4.6一种具有部分先验信息的贝叶斯分析法 一、概述 二、分析步骤 三、几何意义 §4.7序贯决策 习题 进一步阅读的文献 第五章随机优势
多指标决策理论与方法作业 关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的决策研究 姓名：张杨 学号：1671131 班级：控制工程16-04班
关于某单位基层组织办公场所搬迁方案的 决策研究 张杨 （东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳 110000） 摘要：对于同一栋楼内不同部门的搬迁问题，我们不仅要考虑到搬迁的成本、搬迁后办公场所的利用率以及每个部门办公场所面积的公平性，更重要的是尽量将同一部门的办公场所集中。由于搬迁是一个多目标、多层次、多属性的复杂系统工程问题，通过层次分析法和模糊评价法对方案进行分析和优选。 关键词：搬迁；层次分析法；模糊评价法 1引言 同一栋楼内不同部门的搬迁是一项涉及成本、利用效率和工作便利性等多方面因素的复杂的系统工程，各个部门办公场所位置的选择，是同一栋楼内不同部门的搬迁问题重要环节。影响各个部门办公场所位置选择的因素有很多，例如，原办公部门的位置、同一部门办公场所的集中性、部门内办公人员的数量等等。如果从单一的因素对搬迁的方案进行评价，有失公平性和客观性。因此，采用层次分析法对影响搬迁的因素确定权重值，然后通过模糊分析法对搬迁方案进行综合评价。 2建立模型 通过对同一栋楼内不同部门搬迁问题的分析，将以下四个方面作为部门搬迁方案的优选体系，同一部门办公场所的集中性、部门搬迁所需要的成本、楼内办公面积的利用率及不同部门办公面积的公平性，如表1。 1）同一部门办公场所的集中性首先，在进行搬迁之前有些部门的办公场所是分散的，有些部门的办公场所相对来说比较集中，显然办公人员都是希望同一部门的人员都在一起办公，方便大家的工作。那么在进行搬迁的时候，原来办公场所相对分散的部门会要求尽量将其办公场所聚集在一起，原来办公场所相对比较集中的部门也不愿意其被分散在楼内的各个位置，因此我们在制定不同部门搬迁方案的时候，需要尽量将同一部门的办公场所聚集在一起，而且要尽量将同一部门的办公场所放在同一楼层。
第十一章多目标决策 (Multi-objective Decision-making)主要参考文献 68, 111 §11.1 序言 MA：评估与排序 MCDP MO：数学规划 一、问题的数学表达 N个决策变量x ?= {x 1 ,x 2 ,…, x N } n个目标函数f ?(x ? ) = (f 1 (x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) m个约束条件x ?即: g k (x ? ) 0 k=1,…,m x ? (1) 不失一般性，MODP可表示成： P1 Max {f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )} s.t. x ? 这是向量优化问题，要在可行域X中找一x S ? ，使各目标值达到极大。 通常x S ?并不存在，只能找出一集非劣解x ? * (2) 若能找到价值函数v(f1(x?),f2(x?),…, f n(x?)) 则MODP 可表示成： P2 Max v (f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) s.t. x ? 这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。二、最佳调和解(Best Compromise Solution) P3 DR (f 1(x ? ),f 2 (x ? ),…, f n (x ? )) s.t. x ? 即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c ?
常用的Decision Rule: max V maxEU min d p (f ? -?f ? ) 求BCS必须引入决策人的偏好 三、决策人偏好信息的获取方式 1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息 如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则 2.在优化过程中：逐步索取偏好信息 如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT 3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择i，算法复杂，决策人难理解， ii,计算量大， iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较 黄庆来[111]的分类表: §11.2 目的规划法 适用场合： 决策人愿意并且能用 优先级P (Preemptive priority) 权W (Weight)
第17章 层次分析法 本章主要针对一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题，介绍了一种比较有效的决策方法，即层次分析法。它可以将决策者的经验判断给予量化，从而将一些定性决策问题定量化。书中介绍了层次分析法的基本原理及具体的实现步骤，并结合实例利用MATLAB 软件给予实现。 17.1 引例 旅游方案的决策问题 人们在日常生活中常常会碰到许多事情需要做出决策：例如某人计划去旅游，可供选择的目的地有：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。在选择旅游目的地时，须考虑到景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素，在综合考虑了这些因素后，选择一种对此人最为合理的决策方案。 在上述决策问题中，可供选择的方案有三种，即：（1）苏州；（2）北京；（3）桂林。要选择一种最为合理的方案，须对这三种方案的优劣性进行综合评价，排队后，才能做出决策。 对这类复杂的决策问题，一般可按如下步骤进行处理： （1）先对问题所涉及的因素进行分类，然后构造一个各因素之间相互联结的层次结构模型。因素分类包括：（一）为目标类,即选择合适的旅游景点；（二）为准则类，这是衡量目标能否实现的标准，即景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素；（三）为措施类，是指实现目标的方案、方法、手段等，即指苏州、北京、桂林三个旅游目的地。 （2）按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系排列于不同层次，并构成一层次结构图，如图17-1所示。 （3）依据上面的层次结构图，由决策者的经验给出每一层的各因素的相对 图17-1 选择旅游地的层次结构 目标层A 准则层C 方案层P
重要性的权数，从而得到一些判断矩阵，然后将其不断修正，直至其通过一致性检验。 （4）进行组合权重计算，计算出措施层各方案的相对权数。从而确定出各方案的优劣次序，以便供决策者决策。 上面便是层次分析法的一般步骤，它可以较为有效地处理一些决策问题。 17.2 层次分析法的基本原理 人们在处理上述决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化。人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 T ．L ．Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP 法)，这是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。它可以将决策者的经验判断给予量化，能将一些半定性、半定量问题转化为定量计算问题，从而可以使人们的思维过程层次化，逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据，这对于处理一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题尤为实用。下面结合一些实际问题对其基本原理给予介绍。 设有n 件物体n A A A ,...,,21；它们的重量分别为n w w w ,...,,21。若将它们两两地比较重量，其比值可构成n n ?矩阵A 。 ??? ? ?????? ??=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A ... ......... ... 2 1 2221 212111 将重量向量 T n w w w W ),...,,(21= 右乘矩阵A ，可得
层次分析法建模 层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。 基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法 （2）AHP建模方法基本步骤 （3）AHP建模方法基本算法 （3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。 参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社 一、问题举例： A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。 问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ Ｂ.假期旅游地点选择工作选择 贡献收入发展声誉工作环境生活环境 可供选择的单位P1’P2 ‘----- P n
课程设计报告书 题目谈层次分析法在就业中的应用 系数理信息学院专业数学081 班学生孙徐炜余再星马燕燕 指导教师胡金杰 日期2011年7月15日
谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ? ????=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /......2/1//2........3/22/21/2/1........3/12 /11/1M M M M 通 过 Matlab 等 数 学 工 具 ， 得 到 特 征 向 量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--=n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标 RI 。 平均随机一致性指标RI 数值 通过比较，最后得出一致性检验通过。
第十五章多標準決策問題本章內容： 15.1 目標規劃:建立模式及圖解法 15.2 目標規劃:解更複雜的問題 15.3 計分模式 15.4 層級分析法 15.5 用AHP建立優先權 15.6 用AHP建立整體優先順序
線性規劃的基本假設： 1.可加性(Additivity)：目標函數或限制式變數之衡量單位必須相同，如此才能相加減 2.比例性(Proportionality)：就限制式而言，每單位產出所需之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍數的產出 3.確定性(Determinitic)：目標函數係數及限制條件中之技術系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含
任何機率分配 4.可分割性(Divisibility)：線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數 ▓15.1 目標規劃：建立模型及圖解法 例： 尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票： 美國石油$25 $3 0.50
休伯不動產 50 5 0.25 這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少9,000元，試以目標規劃找出最接近滿足所有目標的投資組合。 根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下：主要目標（優先等級1） 目標1：找一個投資組合，它的風險在700以下。 次要目標（優先等級2） 目標2：找一個投資組合，它所提供的年回收至少9,000元。 建立限制式及目標方程式 1.先決定決策變數 X1＝購買美國石油股的數目 X2＝購買休柏不動產股的數目
2.建立限制條件 25X 1＋50X 2≦80,000（可用資金） 3.建立目標方程式 （1）目標1之目標方程式(組合風險)： 風險指標可小於等於或大於目標值700，目標方程式如下： 0.5X 1＋0.25X 2－d 1+ ＋d 1- ＝700 d 1+ ＝組合風險指標超過目標值700的部份 d 1- ＝組合風險指標少於目標值700 的部份 （2）目標2之目標方程式(年回收)： 年收入指標可大於等於或小於目標值9000，目標方程式如下： 9000532221=+-+- +d d x x
决策理论和方法(章节目录) Decision Theory and Technology 引言 第一章决策的基本概念 §1-1引论 一、决策与决策分析的定义 1. Decision的本义:(牛津词典) 2.苏联大百科全书 3.<现代科学技术辞典> 4. <美国大百科全书>的“Decision Theory”条： 5.美国现代经济词典 6.哈佛管理丛书： 7.决策的政治含义 二、发展简史 三、地位(与其他学科的关系) 1.是运筹学的一支 2. 控制论的延伸 3.管理科学的重要组成部分 4.系统工程中的重要部分 5.是社会科学与自然科学的交叉，典型的软科学 §1-2决策问题的基本特点与要素 一、特点 二、要素 §1-3决策问题的分类 一、按容易区分的因素划分 二、按涉及面的宽窄 三、个人事务决策与公务决策 §1-4 决策人与决策分析人 一、问题的复杂性： 二、微观经济学和决策论关于经济人的假定： 三、决策人和决策分析人的分工 §1-5 分析方法和步骤
一、决策树与抽奖 二、分析步骤 习题 进一步阅读的文献 第二章主观概率和先验分布 Subjective Probability and Prior Distribution §2-1 基本概念 一、概率（probability） . 频率Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定公理化定义 二、主观概率(subjective probability, likelihood) 1. 为什么引入主观概率 2.主观概率定义 三、概率的数学定义 四、主客观概率的比较 §2-2 先验分布(Prior distribution)及其设定 一、设定先验分布时的几点假设 二、离散型随机变量先验分布的设定 三、连续型RV的先验分布的设定 1.直方图法 2.相对似然率法 3.区间对分法 4.与给定形式的分布函数相匹配 5. 概率盘法(dart) §2-3 无信息先验分布 一、为什么要研究无信息先验 二、如何设定无信息先验分布 §2.4 利用过去的数据设定先验分布 一、有θ的统计数据 二、状态θ不能直接观察时 习题 进一步阅读的文献