习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a x
v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?=
)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?=
)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=
t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z =
(2)
θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l
z ==?杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。
图11-26
(a)
ω231ml L O = (b)
22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -= (c)
2222452312121ml l m l m J O =??+??= ω2245ml L O = (d)
2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =
11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ 在y 处 b h
y b y = y y h m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=??=??==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h m m y h J z d )(2d )(d 22
2-=
-= ??+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)4
13221(2d )2(2d )(2
26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
图11-28
3)31(12122???
????+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121m l m l l m m l J z =?+=???
?????+=
11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。
图11-29 (1)
2126121R m mR J C -= π
π221m m R R m == 222π
61π3π6121mR R m mR J C -=?-= π
)1(ππm m m m -=-=' 2222π
67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π
6π97mR J L O O -=-= (2)
21221)4(61a m a m J C -= m m a a m 16
π16π221== 22296
π325616π2138ma ma ma J C -=?-= m m m m 16
π1616π-=-='
222296
π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -?+-=?-+-=?'+= 296
π511024mR -= ωω296
1024π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。
图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-= (1)
R v A
=ω ω)(e R v C +=
R v e R m me J R v me J R v e R m L A
A A A A
B ])([)()(2222++--=--+-=
(2)
ωe v v A C +=
ωωC A B J e R e v m L -++-=))((
ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=
])()([ωmeR J v e R m A A +++-=
11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动，通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC ＝AC ＝BC ＝l ，曲柄质量为m ，连杆质量为2m ，试求系统在图示位置
时对O 轴的动量矩。
图11-31
ωω=AB (顺时针)
AB O C O L L L +=
ω23
1ml L OC = ωωωω22223
4322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+= ω23
5ml L OC =
11-9 如图11-32所示的小球A ，质量为m ，连接在长为l 的无重杆AB 上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F ＝km w ，k 为比例常数。问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半？
图11-32
ω2ml L z = ωkml M z -=
z z M t
L =d d 得
ωωl k t -=d d ??-=t t l
k 0d d 0ω
ωω
ω t l
k -=0ln ωω ωω0ln k l t = 2ln k l t =
11-10 水平圆盘可绕z 轴转动。在圆盘上有一质量为m 的质点M 作圆周运动，已知其速度大小
v 0=常量，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆盘上的位置由f 角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J ，并且当点M 离z 轴最远（在点M 0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f 角的关系。
图11-33
0=∑z M 常量=z L
)(00r l mv L z += ?ω?ωcos )cos 2(0022l mv r mv lr r l m J L z z +++++=
)(cos )cos 2(00022r l mv l mv r mv lr r l m J z +=+++++?ω?ω
)
cos 2()cos 1(220??ωlr r l m J v ml z +++-=
11-11 两个质量分别为m 1、m 2的重物M 1、M 2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r 1、r 2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，试求鼓轮的角加速度。
图11-34
222111r v m r v m J L O z ++=ω ω11r v = ω22r v = ω)(222211r m r m J L O z ++=
2211gr m gr m M z -=∑
z z M t
L ∑=d d 2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++α
2
222112211r m r m J gr m gr m O ++-=α
11-12 如图11-35所示，为求半径R ＝0.5m 的飞轮A 对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m 1＝8kg 的重锤，重锤自高度h ＝2m 处落下，测得落下时间t 1＝16s 。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m 2＝4kg 的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t 2＝25s 。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。
图11-35
v R
mR J mvR R v J mvR J L z )()()(2
+-=+-=+-=ω mgR M M z -=∑f
z z M t
L ∑=d d f 2
)(M mgR a R
mR J -=+ R M mgR a mR J )()(f 2-=+
R M mgR t
h mR J )(2)(f 22-=+ h
Rt M mgR mR J 2)(2f 2-=+ 第一次试验
22165.0)5.08(5.082
f 2
???-??=?+M g J )4(322f M g J -=+ (1)
第二次试验
22255.0)5.04(5.042f 2
???-??=?+M g J )2(125.781f M g J -=+ (2)
(1)-(2)
f 125.4625.281M
g +-=
m N 0238.6f ?=M
由(1)得
2f m kg 6.10592)4(32?=--=M g J
11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J ，以初角速度w 0绕其中心轴转动，见图11-36。设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即M ＝－k w ，k 为比例系数，试求在阻力作用下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？
图11-36
刚体定轴转动微分方程
ωωk M t J
-=∑=d d
t J k d d -=ωω ??-=t t J
k 02
d d 0
0ωωωω t J
k
-=21ln
2ln k J t =
11-14 两均质细杆OC 和AB 的质量分别为50kg 和100kg ，在C 点互相垂直焊接起来。若在图11-37所示位置由静止释放，试求释放瞬时铰支座O 的约束力。铰O 处的摩擦忽略不计。
图11-37
g g g g m g m M J e z O 125)10025(15.0)()(21-=+-=?-?-=∑=-F α
1501003
1003501100210012115031222=++=?+??+??=O J g g 6
5150125==α 质心运动定理
αααα125)10025(5.0212211-=+-=?-?-=+=m m a m a m ma y C y C Cy
0=Cx ma
e x Cx F ma ∑= e y Cy F ma ∑=
Ox F =0 21125W W F O y --=-α
0=O x F g m g m F g Oy 216
5125--=?- N 4496
27565125150==?-=g g g F Oy
11-15 质量为100kg 、半径为1m 的均质圆轮，以转速n =120r/min 绕O 轴转动，如图11-38所示。设有一常力F 作用于闸杆，轮经10s 后停止转动。已知摩擦因数μ＝0.1，试求力F 的大小。
图11-38
杆
05.35.10
N =-=∑'F F M O N 7
3F F = 圆轮
R F J O d =α
R J F O α=d N d F F μ= Rt J R J F F O O μωμαμ===d N t
mRn n Rt mR Rt J F F O μμμω140π30π721373732N =??===
N 28.26910
1.01401201100π=?????=
11-16 如图11-39所示的带传动系统，已知主动轮半径为R 1、质量为m 1，从动轮半径为R 2、质量为m 2，两轮以带相连接，分别绕O 1 和O 2轴转动，在主动轮上作用有力偶矩为M 的主动力偶，从动轮上的阻力偶矩为M '。带轮可视为均质圆盘，带质量不计，带与带轮间无滑动。试求主动轮的角加速度。
图11-39
主动轮 M R F F J O --=-11T 2T 1)()(1
α 从动轮 M R F F J O '+-=-22T 1T 2)()(2
α 即
11T 2T 1211)(2
1R F F M R m --=α (1) M R F F R m '--=21T 2T 2222)(2
1α (2) 因 1
221R R =αα 式(1)×R 2+(2) ×R 1
1221222122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 1212212122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 12122121)(2
1R M MR R R m m '-=+α 22121121)()(2R R m m R M MR +'-=α
11-17如图11-40所示，电绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用有一矩为M 的主动力
偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1 和J 2 ；传动比 z 2:z 1＝i ；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计，试求重物的加速度。
图11-40
主动轴
M R F J -=-1t 11)(α
1t 21R F M i J -=α
1t 1R F M a R
i J -= (1) 从动轴连重物
v R
mR J mvR R v J mvR J L O )(2
22222+=+=+=ω mgR R F M O -=∑2t 2
22
d d O M t L O ∑=
mgR R F a R
mR J -=+2t 2
2 (2) 式(1)×R 2+(2) ×R 1
1212
221mgRR MR a R R
mR J a R R i J -=++ 上式除以R 1
mgR Mi a R
mR J i J -=++2
221 2
212)(J i J mR R mgR Mi a ++-=
11-18 半径为R 、质量为m 的均质圆盘，沿倾角为θ的斜面作纯滚，如图11-41所示。不计滚动
阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。
图11-41
(1) 圆盘的平面运动微分方程
)(e C C e
y Cy e
x Cx M J F m a F m a F ∑=∑=∑=α
F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3)
αr a C = (4)
由式(3)、(4)得
C ma F 21= 代入式(1) θsin 32g a C =
由式(2) θcos N mg F =
(2)
θμμθcos sin 3
1s N s mg F mg F =≤= θμtan 31s ≥ θμtan 31min s =
11-19 均质圆柱体A 的质量为m ，在外圆上绕以细绳，绳的一端B 固定不动，如图11-42所示。圆柱体因解开绳子而下降，其初速度为零。试求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力。
图11-42
T F mg ma A -= (1)
R F J C T )(-=-α
R F R a mR A T 221= T 21F ma A = (2)
由式(1)、(2)得
g a A 32=
mg F 31T =
gh h g h a v A A 3323222=??==
11-20 如图11-43所示，有一轮子，轴的直径为50mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚过距离s =3m 。试求轮子对轮心的回转半径。
图11-43
与习题11-18类似，此处 2ρm J C =
F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2) Fr J C =α (3)
αr a C = (4)
由式(3)、(4)得
22r a m F C ρ= 代入式(1)
22/1sin r g a C ρθ+= 而 221t a s C = 24.05
32222=?==t s a C
即
24.0/120sin 22=+?r g ρ
)124.020sin (22-?=g r ρ
mm 02.909658.1225124
.020sin 8.925124.020sin ==-??=-?=g r ρ 11-21 重物A 质量为m 1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D ，并绕在鼓轮B 上，如图11-44所示。由于重物下降，带动轮C 沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固连在一起，总质量为m 2，对于其水平轴O 的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。
图11-44
重物A
T 11F g m a m A -=
A a m g m F 11T -= (1)
鼓轮B 和轮C
FR r F J O O --=-T )(α
FR r F r
R a m A +=+T 22ρ (2) F F a m O -=T 2
F F R r R a m A -=+T 2 (3)
由式(2)、(3)消去F 得
R F r F R r R a m r R a m A A T T 222
2+=+++ρ )(T 2
22r R F r R R a m A +=++ρ 将式(1)代入上式
))((112
22r R a m g m r R R a m A A +-=++ρ
)()(11222r R g m r R a m r R R a m A A +=++++ρ
)()()(2222121R m r R m r R g m a A ++++=ρ 11-22 半径为r 的均质圆柱体质量为m ，放在粗糙的水平面上，如图11-45所示。设其中心C 的初速度为v 0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为w 0，且有r w 0 图11-45 由 mg F F ma C μμ-=-=-=N 得 g a C μ-= 由 Fr J C -=-)(α mgr mr μα=22 1 得 r g μα2= gt v t a v v C C μ-=+=00 t r g t μωαωω200+=+= 纯滚时 ωr v C = 即 gt r gt v μωμ200+=- gt r v μω300=- g r v t μω300-= 320 00ωμr v gt v v C +=-= 11-23 如图11-46所示，长为l ，质量为m 的均质杆AB 一端系在细索BE 上，另一端放在光滑平面上，当细索铅直而杆静止时，杆对水平面的倾角f ＝45o，现细索突然断掉，试求杆A 端的约束反力。 图11-46 细索突然断掉瞬时 0=ω 质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动 基点法(以A 为基点，分析C 点) n τCA CA A C a a a a ++= 0n =CA a τCA A C a a a += ?cos τCA C a a = (1) 平面运动微分方程 C ma G F -=-N (2) ?αcos 2 )(121N 2l F ml -=- (3) 由式(1)代入式(2)得 ?αcos 2 N l m mg F ?-= 再代入式(3)得 l g l gl )cos 31(cos 6)cos 4 1121(cos 2222????α+=+= 由(3)得 ?? α2N cos 31cos 6+==mg ml F 当?=45?时，mg F 5 2N = 11-24 如图11-47所示的均质长方体质量为50kg ，与地面间的动摩擦因数为0.2，在力F 作用 下向右滑动。试求：(1)不倾倒时力F 的最大值；(2)此时长方体的加速度。 图11-47 长方体平动 0=α 平面运动微分方程 C ma F F =-d 5 4 (1) 05 3N =-+mg F F (2) )150(3001505 3300540N d d F F F F -?+?-?+?-= (3) )5 3(N d F mg F F -==μμ 临界状态 0=d 由式(3)得 0150300150N d =+--F F F 02N d =+--F F F 0)21(N =-+-F F μ 0)5 3)(21(=--+-F mg F μ 0)21(]5 3)21(1[=-+-+-mg F μμ N 18.21636.16.05 3)4.01(1)4.01(53)21(1)21(==?-+-=-+-=mg mg mg F μμ 此时 )53(d F mg F -=μ 由式(1)得 50 8.9502.02.21692.02.092.0)53(5454d ??-?=-=--=-=m mg F m F mg F m F F a C μ 2m/s 02.2=C a 11-25 如图11-48所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。若点B 的支承面突然移开，试求此瞬时点A 的加速度。 图11-48 点B 的支承面突然移开 0=ω 质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动 基点法(以A 为基点，分析C 点) n τCA CA A C a a a a ++= 0n =CA a τCA A C a a a += ?cos τCA C a a = αAC a CA =τ 故 α?α2 cos l AC a C == (1) 平面运动微分方程 A C F mg ma -= (2) 2 ))((12122l F b l m A -=-+α (3) 由式(1)代入式(2)得 α2l m mg F A ?-= 再代入式(3)得 2)2())((12122l l m mg b l m αα?--=-+ 222 22464)(122b l gl ml b l m mgl +=++=α 222 432b l gl l a C +==α 222224343tan b l glb l b b l gl a a C A +=?+==? 11-26 均质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD ＝d ，与铅垂墙间的夹角为θ，D 棱是光滑的。在图11-49所示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。 图11-49 e x Cx F ma ∑= θcos D Cx F ma = (1) e y Cy F ma ∑= mg F ma D Cy -=θsin (2) )(e C C M J F ∑=α d F ml D =α2121 (3) 基点法(以D 为基点，分析C 点) τn τD C D D C D C D C a a a a a a +=++= (0n =DC a ) θθcos sin τ CD D Cx a a a -= (4) θθsin cos τ CD D Cy a a a --= (5) 由(3)得 d ml F D 122α = (6) 将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2) θα θθcos 12)cos sin (2τd ml a a m CD D =- mg d ml a a m CD D -=--θα θθsin 12)sin cos (2τ 即 θα θθcos 12)cos sin (2τd ml a a m CD D =- mg d ml a a m CD D -=--θα θθsin 12)sin cos (2τ θα θcot 12cot 2τd l a a CD D =- (7) θθαθcos tan 12tan 2τg d l a a CD D -=-- (8) (7)+(8)得 θθθα?θcos )cot (tan 12)cot (tan 2τ g d l a CD -+=+- αd a CD =τ 22212sin 12)cot )(tan 12(cos l d dg d l d g +=++= θθθθα 代入(3)得 22212sin l d m gl F D +=θ 由(1)得 22212cos sin cos l d gl m F a D Cx +==θθθ 由(2)得 g l d l d m mg F a D Cy 2 222212cos 12sin ++-=-=θθ 11-27 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径均为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图11-50所示。摩擦忽略不计。试求：(1)圆柱体B 下落时质心的加速度； (2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。 图11-50 (1) 圆柱体A r F J A O T )(-=-α r F r a m r A T 221= T 2 1F ma A = (1) 圆柱体B 班级姓名学号 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) f(杆AC、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体) 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体 班级 姓名 学号 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 动量矩定理(2) 班级 学号 姓名 一、选择题 1、圆柱在重力作用下沿粗糙斜面下滚，角加速度 ；当小球离开斜面后， 角加速度 。 （1）等于零； （2）不等于零； （3）不能确定 2、OA 杆重P ，对O 轴的转动惯量为J ，弹簧的弹性系数为k ，当杆处于铅垂位置时弹 簧无变形，取位置角?及其正向如图所示，则OA 杆在铅直位置附近作微振动的运动 微分方程为 。 (1) ??? Pb ka J --=2 ； (2) ??? Pb ka J 2+= ； (3) ??? Pb ka J +-=-2 ； (4) 二、填空题 1、在质量为M ，半径为R 的均质圆环上固接一质量为m 的均质细杆AB ，位置如图，切 有60=∠CAB °。若系统在铅垂面内以角速度ω绕O 轴转动，则系统对O 轴的动量 矩的大小为 。 2、如图系统中，小球质量为m ，水平杆OA 质量不计，弹簧刚度系数为k ，图示为静 平衡位置， 则系统作微振动时的微分方程为 。 三、计算题（解题步骤：①取研究对象画受力图②运动分析③列动力学方程求解） 1、两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2，分别系在两条不计质量的绳上，如图所示。此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。塔轮的质量为m 3，质心为O ，对轴O 的回转半径为ρ。重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度。 ???Pb ka J -=-2 2、图示均质圆盘的半径R=180mm ，质量m=25kg 。测得圆盘的扭转振动周期s 11=T ；当加上另一物体时，测得扭转振动周期为s 2.1 2=T 。求所加物体对于转动轴的转动惯量。 3、一刚性均质杆重200N 。A 、B 处为光滑铰链约束。当杆位于水平位置时，C 处弹簧压缩了76mm ，弹簧刚度系数为8750N/m 。试求当约束A 突然移走时，此瞬时支座B 的反力。 ·250· 第11章 动量矩定理 11.1 主要内容 11.1.1 质点系动量矩计算 质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即 ∑∑==?==n i n i i i i i O O m m 1 1 )(i v r v M L 质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为 ∑==n i i i z z m M L 1) (v 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 ωz z I L = 质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即 i i n i i C m v r L ?'=∑=1 i r '为第i 个质点对质心的矢径。 质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。 C v r L L m C C O ?+= 当刚体作平面运动时，又可表示为 d mv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理 （1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即 ) (e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为 ·251· ?? ?? ? ? ??? ∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F （2）质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 (e )C C M L =dt d 或 (e ) C Cr M L =dt d 式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。 (3) 动量矩守恒定律 在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即 () 0=e O M ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如 0 )()(=∑e x M F ，L x =常数 11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程 若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为 z z M t I =22d d ? 或 z z M I =ε 在工程中，常将转动惯量表示为 2z z m I ρ= z ρ称为回转半径。 11.1.4 刚体平面运动微分方程 当刚体作平面运动时，联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，可得到刚体平面运动微分方程 ??? ? ???===∑∑C c y c x c M I F y m F x m ? 习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -= 动量矩定理 习 题 例1：单摆将质量为m 的小球用长为l 的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O 在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角0?时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。其速度为? l v =且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ()?? 2ml l ml mv m o =?= 又 ()o T m o =，则外力对轴O 之矩为 ()?sin mgl F m o -= 注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定 应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有 ()??sin 2mgl ml t x -= d d 即 0sin =+?? l g (a) 当单摆做微幅摆动时，??≈sin ，并令l g n = 2ω 则式（a ）成为 02=+?ω? n （b ） 解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，0??=，00=? ，得单摆微幅摆动时的运动方程为 t n ω??cos 0= ? 由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 g l T n π ωπ 22== 例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J 与2J ，两齿轮的节圆半径分别为1R 与2R ，齿数分别为1z 与2z ，在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M ，在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M ，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1111R P M J τε-= （a ） 2222R P M J τε+-= (b) 又 1 22112z z R R i === εε （c ） 以上三式联立求解，得 2 21211i J J i M M +-= ε 例3：质量为m 半径为R 的均质圆轮置放在倾角为α的斜面上，在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f 、f '，不计滚动摩阻。试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有 F mg ma c -=αsin （a ） N mg +-=αcos 0 (b) FR J c =ε (c) 由式（b ）得 αc o s mg N = (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则F=0,由式（a ）、(c)得 αs i n g a c = 0=ε 情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。 εR a c = ααεαsin 3 1 sin 32 sin 3 2 g F g R g a c = = = ∴ 理论力学题库——第二章 一、 填空题 1. 对于一个有n 个质点构成的质点系，质量分别为123,,,...,...i n m m m m m ，位置矢量分别 为123,,,...,...i n r r r r r ，则质心C 的位矢为 。 2. 质点系动量守恒的条件是 。 3. 质点系机械能守恒的条件是 。 4. 质点系动量矩守恒的条件是 。 5. 质点组 对 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的 定理。 6. 质心运动定理的表达式是 。 7. 平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。 8. 各质点对质心角动量对时间的微商等于 外力对质心的力矩 之和。 9. 质点组的角动量等于 质心角动量 与各质点对质心角动量之和。 10. 质点组动能的微分的数学表达式为： ∑∑∑===?+?==n i i i i n i i e i n i i i r d F r d F v m d dT 1 )(1)(12 )21( ， 表述为质点组动能的微分等于 力和 外 力所作的 元功 之和。 11. 质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 12. 柯尼希定理的数学表达式为： ∑='+=n i i i C r m r m T 1 2221 ，表述为质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 13. 2-6.质点组质心动能的微分等于 、外 力在 质心系 系中的元功之和。 14. 包含运动电荷的系统，作用力与反作用力 不一定 在同一条直线上。 15. 太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为 折合质量 的行星受太阳(不动) 的引力的运动。 16. 两粒子完全弹性碰撞，当 质量相等 时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个 粒子。 17. 设木块的质量为m 2 , 被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如 果有一质量为m 1的子弹以速率v 1 沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为 h 处，则此子弹射入木块前的速率为： 2 /11 2 11)2(gh m m m += v 。 18. 位力定理（亦称维里定理）可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值 。（或 ·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) A B l O ω r 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数 第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1．质点的动量矩 如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o （11-1） 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。 质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v （11-2） 2．质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o （11-3） 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 （11-4） 刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z （11-5） y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??= 平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω 动量、冲量及动量定理一 1.两物体质量之比为m 1∶m 2=4∶1，它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中 （1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______； （3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______. 2. 从高为H 的平台上，同时水平抛出两个物体A 和B ，已知它们的质量m B =2m A ，抛出时的速度v A =2v B ，不计空气阻力，它们下落过程中动量变化量的大小分别为Δp A 和Δp B ，则（ ） A.Δp A =Δp B B.Δp A =2Δp B C.Δp B =4Δp A D.Δp B =2Δp A 3.“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图5－1－1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P 处自由下 落，在空中感受失重的滋味.若此人质量为60 kg ，橡皮绳长20 m ，人可看成质点，g 取10 m/s 2，求： （1）此人从点P 处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为_______； （2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧，则此人从P 处下落到_______m 时具有最大速度；（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s ，求橡皮绳受到的平均冲力的大小. 4. 高压采煤水枪出水口的截面积为S ，水的射速为v ，射到煤层上后，水速度为零.若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力. 5．将一质量为kg 1的物体以速度0v 抛出，若在抛出后s 5钟落地，不计空气阻力，试求此物体在落地前s 3内的动量变化。 6．玻璃杯同一高度下落下，掉在水泥地上比掉在草地上容易碎，这是由于玻璃杯与水泥地撞击的过程中（ ） A .玻璃杯的动量较大 B .玻璃杯受到的冲量较大 C .玻璃杯的动量变化较大 D .玻璃杯的动量变化较快 7．蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做出各种空中动作的运动项目。一个质量为kg 60的运动员，从离水平网面m 2.3高处自由落下，着网后又沿竖直方向蹦回离水平网面m 0.5高处。已知运动员与网接触的时间为s 2.1，若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力来处理，求此力的大小。 8.如图1所示，质量为M 的小车在光滑的水平面上以速度0v 向右做匀速直线运动，一个质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度为仍为h 。设M ?m ，发生碰撞时弹力N F ?mg ，小球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起时的水平速度可能是 A .0v B .0 C .gh 22μ D .-v 0 9.一个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t 1=5s,然后推力减小为F 2=5N,方向不变,物体又运动了t 2=4s 后撤去外力,物体再经 过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。 10.质量是60kg 的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已 理论力学课后习题第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以 n3 预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。 若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。 2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。 2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大， y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??= 平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω 1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。 A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 理论力学课后习题第二章解答 2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。 有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 x x 题2.1.1图 ? ?=dm xdm x c ρdS dr rd dS dm θρρ==θcos r x =θθθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c ===?? ????2 π θ= πππ θθa a a x c 342 2sin 32sin 32=?== 把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为。 则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。 代入质心计算公式，即 2.3 解 建立如题2. 3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 题2.2.1图 z ρ)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρz )2()(432 b a b a dm zdm z c ++-==? ?人 W y 题2.3.1图 x v x v αcos v 0=水平v 1s ① ② ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 可知道 水平距离 跳的距离增加了 = 2.4解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。 以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 ① 对分析；因为 ② 在劈上下滑，以为参照物，则受到一个惯性力（方向与加速度方向相反）。如图2.4.2图所示。所以相对下滑。由牛顿第二定律有 t a v s ?=cos 01gt v =αsin 0ααcos sin 20 1g v s =)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+αu w W w a v v x ++ =cos 0αααsin )(cos sin 0202uv g W w w g v t v s x ++==12s s s -=?αsin )(0uv g w W w + 题2.4.1图 θ题2.4.2图 1m 2m 02211=+x m x m 1m 相对绝a a a +=1m 2m 2m 1m 21x m F -=惯2m 1m 2m 三 动量定理的应用 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、在下列各种运动中，任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有（ ） A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体，原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用，历时4 s ，物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带，纸带将会从重物下抽出，解释这些现象的正确说法是：（ ） A 、在缓慢拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力大； B 、在迅速拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力小； C 、在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大； D 、在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小． 4、从同一高度的平台上，抛出三个完全相同的小球，甲球竖直上抛，乙球竖直下抛，丙球平抛．三球落地时的速率相同，若不计空气阻力，则（ ） A 、抛出时三球动量不是都相同，甲、乙动量相同，并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下，与地面碰撞时间为 ，地面对小球的平均作用力大小为F ，则在碰撞过程中（取向上的方向为正）对小球来说（ ） A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ，所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上，如图8—1所示，由于地面对 物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功W 2，冲量是I 2。那么 （ ） A ．I 1 理论力学题库——第四章 一、填空题 1.科里奥利加速度（“是”或“不是”）由科里奥利力产生的，二 者方向（“相同”或“不相同”）。 2.平面转动参考系中某一点对静止参考系的加速度的表达式 是，其中是相对加速度，是牵 连加速度，是科里奥利加速度。 4-1.非惯性系中，运动物体要受到 4种惯性力的作用它们是：惯性力、惯性切 向力、惯性离轴力、科里奥利力。 4-2.在北半球，科里奥利力使运动的物体向右偏移，而南半球，科里奥利力使 运动的物体向左偏移。（填“左”或“右”） 4-3.产生科里奥利加速度的条件是：物体有相对速度υ'及参照系转动，有角速度ω，且υ'与ω不平行。 4-4.科里奥利加速度是由参考系的转动和物体的相对运动相互影响产生的。 4-5.物体在主动力、约束力和惯性力的作用下在动系中保持平衡，称为相对平衡。4-6.重力加速度随纬度增加的主要原因是：地球自转产生的惯性离轴力与地心引力有抵消作用。 4-7.由于科里奥利力的原因北半球气旋（旋风）一般是逆时针旋转的.（顺时针或逆时针） 4-8.地球的自转效应，在北半球会使球摆在水平面内顺时针转动.（顺时针或逆时针） 二、选择题 1.关于平面转动参考系和平动参考系，正确的是（） A.平面转动参考系是非惯性系； B.牛顿定律都不成立； C.牛顿定律都成立； D.平动参考系中质点也受科里奥利力。 2. 下列关于非惯性系的说法中正确的是： 【C 】 A 惯性离心力与物体的质量无关； B 科里奥利力与物体的相对运动无关； C 科里奥利力是参考系的转动与物体相对与参考系的运动引起的； D 科里奥利力使地球上南半球河流右岸冲刷比左岸严重。 3. 科里奥利力的产生与下列哪个因素无关？ 【B 】 A 参照系的转动； B 参照系的平动； C 物体的平动； D 物体的转动。 4. 在非惯性系中如果要克服科里奥利力的产生，需要： 【D 】 A 物体作匀速直线运动； B 物体作匀速定点转动； C 物体作匀速定轴转动； D 物体静止不动。 5. A 、B 两点相对于地球作任意曲线运动，若要研究A 点相对于B 点的运动，则A (A) 可以选固结在B 点上的作平移运动的坐标系为动系； (B) 只能选固结在B 点上的作转动的坐标系为动系； (C) 必须选固结在A 点上的作平移运动的坐标系为动系； (D) 可以选固结在A 点上的作转动的坐标系为动系。 6..点的合成运动中D (A) 牵连运动是指动点相对动参考系的运动； (B) 相对运动是指动参考系相对于定参考系的运动； (C) 牵连速度和牵连加速度是指动参考系对定参考系的速度和加速度； (D) 牵连速度和牵连加速度是该瞬时动系上与动点重合的点的速度和加速度。 7. dt v d a e e =和dt v d a r r =两式A (A) 只有当牵连运动为平移时成立； (B) 只有当牵连运动为转动时成立； (C) 无论牵连运动为平移或转动时都成立； (D) 无论牵连运动为平移或转动时都不成立。 8.点的速度合成定理D (A) 只适用于牵连运动为平移的情况下才成立； (B) 只适用于牵连运动为转动的情况下才成立； (C) 不适用于牵连运动为转动的情况； (D) 适用于牵连运动为任意运动的情况。 理论力学题库——第二章 一、填空题 1.对于一个有"个质点构成的质点系，质量分别为加］，加2,加3,…叫,…加"，位置矢量分别 为,“，￡，?"，???—，则质心c的位矢为_______________ 。 2.质点系动量守恒的条件是______________________________ 。 3.质点系机械能守恒的条件是__________________________ , 4.质点系动量矩守恒的条件是___________________________________ o 5.质点组_______ 对______ 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的 定理。 & 质心运动定理的表达式是______________________________ 0 7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。 8.各质点对质心角动量对时间的微商等于外力对质心的力矩之和。 9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。 10.质点组动能的澈分的数学表达式为：￡耳"?心+￡戸件叭 2 t.i /-I /-I 表述为质点组动能的微分等于_力和力所作的元功之和。 11.质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。 12.柯尼希定理的数学表达式为：丁=丄〃呢2+￡性十2 ,表述为质点组动能等于质心 2 /.I 动能与各质点对质心动能之和。 13.2-6?质点组质心动能的微分等于、外力在质心系系中的元功之和。 14.包含运动电荷的系统，作用力与反作用力不--定在同一条直线上。 15.太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为折合质量的行星受太阳（不动）的引力的运 动。 16.两粒子完全弹性碰撞，当质量相等时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个粒子。 17.设木块的质呈为nh ,被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如果有一质 量为叫的子弹以速率v,沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为 久=佟上竺（2g〃严 h处，则此子弹射入木块前的速率为：E___________ 。 18.位力定理（亦称维里定理）可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值。（或 沧士护T ） 二、选择题 习题 11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为： 。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点 O的动量矩。 11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。<1）杆重忽略不计；<2）杆为均质杆，质量为2m。b5E2RGbCAP 图11-25 (1> (2> 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。 图11-26 (a> (b> (c> (d> 11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 图11-27 面密度为 在y处 微小区域对于z轴的转动惯量 11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。p1EanqFDPw 图11-28 11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1> 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2> 边长为4a，质量为 m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。DXDiTa9E3d 图11-29 (1> (2> 11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1>当轮子只滚不滑时，已知vA；(2>当轮子又滚又滑时，已知vA、w。RTCrpUDGiT 图11-30 (1>理论力学习题
习题 动量矩定理(2)
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