广东省佛山市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i
2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（?R N）=（）
A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]
3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2
4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．24 C．8D．
5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）
A．1B．C．D．2
6．（5分）在空间中，有如下四个：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个是（）
A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③
7．（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）
A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右
支交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）
A．16 B．20 C．21 D．26
9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）
A．45 B．55 C．90 D．100
二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）
11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=．
12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为．
13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，
∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）
三、几何证明选讲
14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=．
四、坐标系与参数方程
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求f（）．
（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．
17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）
2014年11月份AQI数据
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48
日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117
日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45
表1
2014年11月份AQI数据频率分布表
分组频数频率
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
[100，120）
[120，140]
表2
（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；
（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．
19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；
（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．
20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC 为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底
数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．
广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：原式===2﹣i，
故选：C．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（?R N）=（）
A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出N的补集，从而求出其与M的交集．
解答：解：∵集合M={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），N={x∈R|x＞1}=（1，+∞）
∴?R N=（﹣∞，1]