文章编号
模糊层次分析法
张吉军
西南石油学院经济管理系 四川南充
摘要 首先通过分析指出层次分析法 存在的问题 然后给出了较文献
条件更弱的模糊一致矩阵的定义 并对新定义的模糊一致矩阵的性质 用模糊一致矩阵表示因素两两
重要性比较的合理性以及表示因素两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权
重之间的关系进行了讨论 最后给出了模糊层次分析法的原理和步骤
关键词 层次分析法 模糊一致矩阵 模糊层次分析法 决策分析
中图分类号 文献标识码
层次分析法 存在的问题
层次分析法是美国运筹学家 匹兹堡大学的 教授于
世纪 年代提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法 层次分析法通过明确问题 建立层次分析结构模型 构造判断矩阵 层次单排序和层次总排序五个步骤计算各层次构成要素对于总目标的组合权重 从而得出不同可行方案的综合评价值 为选择最优方案提供依据 的关键环节是建立判断矩阵 判断矩阵是否科学 合理直接影响到 的效果 通过分析 我们发现
检验判断矩阵是否具有一致性非常困难
检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根 看 是否同判断
矩阵的阶数 相等 若 则具有一致性 当阶数 较大时 精确计算 的工作量
非常大
当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素 使其具有一致性 这不排除要经过若干次调整 检验 再调整 再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性
检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准
缺乏科学依据 判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异
为了解决上述问题 我们引进了模糊一致矩阵的概念 为些 下面先介绍模糊一致矩阵的定义及其性质
第 卷第 期
模糊系统与数学 年 月
收稿日期 修订日期 作者简介 张吉军 男 四川南充人 西南石油学院经济管理系副教授 博士 研究方向 现代管理理论与方法
第期张吉军模糊层次分析法
模糊一致矩阵的定义及其性质
模糊一致矩阵及其有关概念
定义设矩阵若满足
则称是模糊矩阵
定义若模糊矩阵满足
则称模糊矩阵是模糊互补矩阵
在文献中定义的模糊一致矩阵如下
定义若模糊互补矩阵满足
则称模糊矩阵是模糊一致矩阵
本文定义的模糊一致矩阵不要求模糊矩阵是互补的因而其条件较文献弱本文的定义如下
定义若模糊矩阵满足有
则称模糊矩阵是模糊一致矩阵
模糊一致矩阵的性质
定理设模糊矩阵是模糊一致矩阵则有
有
有
的第行和第列元素之和为
且均为模糊一致矩阵其中是的转置矩阵是的余矩阵从中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵仍然是模糊一致矩阵
满足中分传递性即
当时若则有
当时若则有
证明由是模糊一致矩阵知有
特别地当时也应成立即有
故有成立
模糊系统与数学年因为有
成立特别地当时也应成立即有
由知故有
从而成立
的证明见文献
定理若模糊矩阵是模糊互补矩阵则有
证明因为是模糊互补矩阵故对一切有
成立特别地当时也应成立即有
故对一切有成立
定理模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的对应元素之差为常数
证明必要性对任意指定的第行和第行由模糊一致矩阵的定义知
有
从而有
在上式中和是固定的只有是变动的所以第行和第行对应元素之差为常数充分性对任意指定的第行和第行设它们对应元素之差为常数即有
成立特别地当时也应成立即有
由式和式有
故
再由是模糊互补矩阵及定理知有故由式有
最后由和的任意性及模糊一致矩阵的定义知模糊互补矩阵是模糊一致矩阵
第期张吉军模糊层次分析法
定理模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差为某一个常数
证明必要性由定理直接可得
充分性若对任意指定的第行和第行对恒有
则有
即第行和第行的对应元素之差为常数再由和的任意性知的任意指定两行对应元素之差均为常数从而由定理知是模糊一致矩阵
用模糊一致矩阵表示因素间两两重要性比较的合理性解释
在模糊数学中模糊矩阵是模糊关系的矩阵表示若论域上的模糊关系比重要得多的矩阵表示为模糊矩阵则的元素具有如下实际意义
的大小是比重要的重要程度的度量且越大比就越重要
表示比重要反之若则表示比重要
由余的定义知表示不比重要的隶属度而不比重要则比重要又因比重要的隶属度为故即是模糊互补矩阵特别地当时有也即元素同自身进行重要性比较时重要性隶属度为
若人们在确定一元素比另一个元素重要的隶属度的过程中具有思维的一致性则应有若即比重要则有另一方面是比相对重要的一个度量再加上自身比较重要性的度量为则可得比绝对重要的度量即
也即应是模糊一致矩阵
综上所述以及模糊一致矩阵的性质知用模糊一致矩阵表示论域上的模糊关系比重要得多是合理的
表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵
同表示因素重要程度权重之间的关系
设表示元素两两比较重要程度的模糊判断矩阵为
模糊系统与数学年
元素的权重分别为由的定义知表示元素比元素重要的隶属度越大就比越重要时表示和同等重要另一方面由权重的定义知是对元素的重要程度的一种度量越大元素就越重要因而的大小在一定程度上也表示了元素比重要的程度且越大比就越重要这样通过两两比较得到的元素比重要的重要程度度量同可建立一定的联系这种联系我们用函数表示即
下面推断函数应具有的性质
由上面的分析讨论知越大元素比越重要同样越大元素比越重要因此函数应是上的增函数因为
为确保模糊判断和元素与重要程度差异的一致性以及模糊判断整体的一致性函数应是连续的
由维尔斯特拉斯定理知对于函数及任意
总存在一个多项式使得在上一致成立因此在精度允许的范围内可以假定具有多项式形式即
由具有的性质可以确定的具体形式如下
由有令有
从而有
将代入上式并化简得
即
对一切成立这里假定或又因次多项式最多有个不同的根要使式对一切成立必有
故即具有如下形式
简记为
由有
令有
再由及上式有
第期张吉军模糊层次分析法
即
又
故要使对一切成立必有
事实上因为对一切成立特别地对也应成立此时有
故
对一切成立再因次多项式最多有个根知
从而必有
于是有及
由及有
当时所以是元素和重要程度差异的度量单位它的大小直接反映了决策者的意志趋向越大表明决策者非常重视元素间重要程度的差异越小表明决策者不是非常重视元素间重要程度的差异居于这种分析在实际决策分析中可以根据决策者的态度选择稍大或稍小一点的另外由是增函数知再由知综上知
模糊层次分析法
模糊层次分析法的步骤和提出的的步骤基本一致仅有两点不同在中通过元素的两两比较构造判断矩阵而在中通过元素两两比较构造模糊一致判断矩阵
由模糊一致矩阵求表示各元素的相对重要性的权重的方法同由判断矩阵求权重的方法不同
为此下面仅介绍如何建立模糊一致判断矩阵以及由模糊一致判断矩阵求权重的方法
模糊一致判断矩阵的建立
模糊一致判断矩阵表示针对上一层某元素本层次与之有关元素之间相对重要性
的比较假定上一层次的元素同下一层次中的元素有联系则模糊一致判断矩阵可表示为
元素具有如下实际意义表示元素和元素相对于元素进行比较时元素和元素具有模糊关系比重要得多的隶属度为了使任意两个方案关于某准则的相对重要程度得到定量描述可采用如下的标度给予数量标度
数量标度
标度定义说明
同等重要稍微重要明显重要重要得多极端重要两元素相比较同等重要
两元素相比较一元素比另一元素稍微重要两元素相比较一元素比另一元素明显重要两元素相比较一元素比另一元素重要得多两元素相比较一元素比另一元素极端重要
反比较若元素与元素相比较得到判断则元素
与元素相比较得到的判断为
有了上面的数字标度之后元素相对于上一层元素进行比较可得到如下模糊判断矩阵
具有如下性质
即是模糊一致矩阵模糊判断矩阵的一致性反映了人们思维判断的一致性在构造模糊判断矩阵时非常重要但在实际决策分析中由于所研究的问题的复杂性和人们认识上可能产生的片面性使构造出的判断矩阵往往不具有一致性这时可应用模糊一致矩阵的充要条件进行调整具体的调整步骤如下
第一步确定一个同其余元素的重要性相比较得出的判断有把握的元素不失一般性设决策者认为对判断比较有把握
模糊系统与数学年
第期张吉军模糊层次分析法
第二步用的第一行元素减去第二行对应元素若所得的个差数为常数则不需调整第二行元素否则要对第二行元素进行调整直到第一行元素减第二行的对应元素之差为常数为止
第三步用的第一行元素减去第三行的对应元素若所得的个差数为常数则不需调整第三行的元素否则要对第三行的元素进行调整直到第一行元素减去第三行对应元素之差为常数为止
上面步骤如此继续下去直到第一行元素减去第行对应元素之差为常数为止
由模糊一致判断矩阵求元素的权重值
设元素进行两两重要性比较得到的模糊一致性矩阵为元素的权重值分别为则由前面的讨论知有如下关系式成立
其中是人们对所感知对象的差异程度的一种度量但同评价对象个数和差异程度有关当评价的个数或差异程度较大时值可以取得大一点另外决策者还可以通过调整的大小求出若干个不同的权重向量再从中选择一个自己认为比较满意的权重向量
当模糊判断矩阵不是一致的时候式中等号不严格成立这时可采用最小二乘法求权重向量即求解如下的约束规划问题
由拉格朗日乘子法知约束规划问题等价于如下无约束规划问题
其中是乘子
将关于求偏导数并令其为零得个代数方程组成的方程组
也即是
注上式用到
方程组含有未知数个方程解此方程组还不能确定唯一解又因故将此式加到方程组中可得到含有个方程个未知量的方程组
模糊系统与数学年
解此方程组即可求得权重向量
结论
模糊层次分析法同普通层次分析法相比具有以下优点
用本文给出的定理或定理检验模糊矩阵是否具有一致性较通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应特征向量检验判断矩阵是否具有一致性更容易用本文给出的方法调整模糊矩阵的元素可很快使模糊不一致矩阵具有模糊一致性克服了普通层次分析法要经过若干次调整检验再调整再检验才能使判断矩阵具有一致性的缺点
用定理或定理作为检验模糊矩阵是否具有一致性的标准较检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准更加科学准确和简便
参考文献
许树柏层次分析法原理天津天津大学出版社
姚敏张森模糊一致矩阵及其在软科学中的应用系统工程
张跃邹寿平宿芬模糊数学方法及其应用煤炭工业出版社
模糊层次分析法(FAHP)
作者：张吉军， ZHANG Ji-jun
作者单位：西南石油学院,经济管理系,四川,南充,637001
刊名：
模糊系统与数学
英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS
年，卷(期)：2000,14(2)
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