导数的背景（5月4日）
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是22
1gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量：
222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t
s v ?+=??=-
-9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t
s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t
s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为
t t s t t s t s ?-?+=??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t
s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P
的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?，
所以，割线PQ 的斜率x x
x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ?变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ?无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于
2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .
一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ?+?+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ?趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率x
y k PQ ??=
无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ?趋向于0时，割线PQ 的斜率x
y k PQ ??=的极限为k. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ?+?=+?-+?+=-?+=?. 产量变化q ?对成本的影响可用：q q C ?+=??3300来刻划，q ?越小，q C ??越接近300；当q ?无限趋近于0时，
q
C ??无限趋近于300，我们就说当q ?趋向于0时，q C ??的极限是300.
我们把q
C ??的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ?对成本的影响可用增量比q q C q q C q C ?-?+=??)()(00刻划. 如果q ?无限趋近于0时，q
C ??无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度
t s ??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率
x
y ??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.
2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单
位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.
5. 判断曲线221x y =
在（1，2
1）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本. 导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比
x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/
x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(000
0/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。
3.x
y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。
4.导数x
x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)
(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。
6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0
0000/
)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。 7.若极限x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。
一般地，a x b a x =?+→?)(lim 0，其中b a ,为常数。
特别地，a a x =→?0
lim 。 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。称这个函数)(/
x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即 )(/x f ＝/y ＝x
x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/
x x y
=就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导
数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作
)(0/x f 。
注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间
),(b a 内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim
0 4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=?。 （2）.求平均变化率
x
x f x x f x y ?-?+=??)()(。 （3）.取极限，得导数/y ＝x y x ??→?0lim 。 例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。
例2.已知函数x x y +=2
（1）求/y 。
（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。
小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。