111-≤++=
q q
b
m ，即1-≤b
m ，
而0>m 0<∴b ，则0<≤-b m ，故]3
,0()0,[m m b ?-∈。 答案：D
二、填空题：
11．等差数列}{n a 共有12+n 项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为______________.
解析:依题意,中间项为1+n a ,于是有?
?
?==+++290
319
)1(11n n na a n 解得291=+n a . 答案：29
12．若数列}{n a 满足2,2311=+=+a a a n n ,则通项公式=n a _____________.
解析:由231+=+n n a a ,得)1(311+=++n n a a ,这表明数列}1{+n a 是首项为311=+a ，公
比3=q 的等比数列，于是有n n a 31=+，即13-=n
n a 。 答案：13-n
13．对于每一个正整数n ，抛物线1)12()(2
2++-+=x n x n n y 与x 轴交于n n B A ,两点，则200420042211B A B A B A +++ 的值为______________。
解析：令0=y 得01)12()(2
2=++-+x n x n n ，1
1,121+=
=
∴n x n
x ，
111+-
=∴n n B A n n
+-+-
=+++3
121
21
1200420042211B A B A B A 2005
20042005
112005
1
2004
1=-
=-
+
。 答案：
2005
2004
14．已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f
)(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则=)2005(f ______________。
解析：由)1(2)()2(+=++x f x f x f 知函数))((*
N x x f ∈当x 从小到大依次取值时对应
的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(f f f 形成一个首项为2，公差为4
的等差数列，40104)11003(2)2005(=?-+=f 。 答案：4010
三、解答题：
15．已知数列}{n a 满足)2(3,111
1≥+==--n a a a n n n 。
（1） 求32,a a ； （2） 证明：2
13-=
n
n a 。
（1） 解：1343,413,12
321=+==+=∴=a a a 。 （2） 证明：由已知1
13
--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 2
13133
3
2
1
1-=
++++=+--n n n a , 所以证得2
13-=
n
n a 。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 3．2 (sin cos )1y x x =+-是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量 *1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是 A ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列 6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ． 133 8 + B ． 133 8 C ． 133 8 ± D ． 12 4 - 7．如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低 点，O 为坐标原点，则OA OB ?的值为 A ．12π B ． 2 119π+ C ．2 119 π- D ．2 113 π- 8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
函数导数与数列结合题
1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数） （本题满分14分） （1）()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分 （2）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3）若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-
上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减，单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
高中数学(函数和导数)综合练习含解析
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
第一讲数列地极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]．
函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
导数与三角函数的结合
----导数与三角函数的结合 1.（导数与三角函数结合）已知函数3 2 1 ()43cos 32 f x x x θ=-+，其中x R θ∈，为参数，且02 π θ≤≤ .（1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值； （2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数在区间（2a －1,a ）内都是增函数，求实数a 的取值范围. 【分析】定义域D 上的可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且 ()f x '在0x 两侧异号. 【解析】（1）当cos 0θ=时，3 1()432 f x x =+，则,012)('2 ≥=x x f 函数()f x 在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值. （2）2 ()126cos f x x x θ'=-,令()0f x '=，得12cos 02 x x θ == ，. 由02 π θ≤≤ 及（1）,只考虑cos 0θ>的情况. 当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在2x =处取得极小值( )2f ，且3()cos 2432 =-+f θ. 要使cos ()2f θ＞0,必有311cos 0432-+>θ，可得10cos 2θ<<，所以32 ππ θ<<. （3）由（2）知，函数()f x 在区间（－∞，0）与cos ()2 θ +∞，内都是增函数.由题设，函数()f x 在（2a －1,a ）内都是增函数，则a 需满足不等式组 21211 021cos 2 a a a a a a θ-
上海高中数学数列的极限(完整资料)
【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在
②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：
(完整版)函数与导数经典例题(含答案)
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
数列的极限与函数的导数
专题九：数列的极限与函数的导数 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自 都有极限时才能适用。对00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限， 一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14） π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的 和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
高考数学二轮复习 数列、极限、数学归纳法(1)
2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1） 教学目标： 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点： 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点： 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计：“五步”教学法 教学用具：三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构，构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--；解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，
导数之数列型不等式证明
函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln3ln 4ln5ln 112,23452n n n n n N n n +?????
例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ??????? . 例4.设函数()ln 1f x x px =-+ （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??
最新3第一讲__数列的极限典型例题汇总
3第一讲__数列的极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 ?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 注1 ?Skip Record If...?的双重性.一方面,正数?Skip Record If...?具有绝对的任意性,这样才能有 ?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...? 另一方面,正数?Skip Record If...?又具有相对的固定性,从而使不等式?Skip Record If...?.还表明数列?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...?的渐近过程的不同程度,进而能估算?Skip Record If...?趋近于?Skip Record If...?的近似程度. 注2若?Skip Record If...?存在，则对于每一个正数?Skip Record If...?，总存在一正整数?Skip Record If...?与之对应，但这种?Skip Record If...?不是唯一的，若?Skip Record If...?满足定义中的要求，则取?Skip Record If...?，作为定义中的新的一个?Skip Record If...?也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个?Skip Record If...?则必存在无穷多个正整数可作为定义中的?Skip Record If...?． 注3?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是：对?Skip Record If...?的预先给定的任意?Skip Record If...?邻域?Skip Record If...?，在?Skip Record If...?中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入?Skip Record If...?． 注4?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 2.子列的定义
导数与数列
导数与数列的综合应用 导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。 一．利用导数求数列之和 例1 1x ≠求下列数列之和： （1）21123n x x nx -+++ ； （2）22221123n x x n x -+++ （3）sin 2sin 23sin 3sin x x x n nx ++++ 二．利用导数证明数列不等式 例2：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.如 果函数有且仅有两个不动点、，且. （Ⅰ）试求函数的单调区间； （Ⅱ）已知各项不为1的数列满足14()1n n S f a ?=，求证：； （Ⅲ）在（2）中，设，为数列的前项和，求证：. ()f x 0x R ∈00()f x x =0x ()f x 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-021(2)2f -<-()f x {}n a 1111ln n n n a n a ++-<<-1n n b a =-n T {}n b n 200820071ln 2008T T -<<
练习． 1已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为 (0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2 ）证明：13521n n n x x x x x y -???< <． 2【2014·陕西卷（理21）】设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. （1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明.
高中数学2020年月月考-三角函数与导数交汇压轴题
绝密★启用前 高中数学2020年06月月考 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 一、解答题 1．（2019·安徽省高三月考（文））已知函数sin ()ln x f x x x =-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）?+∞??? ． 【解析】 【分析】 （1）对函数求导得2 (cos 1)sin ()x x x f x x --'= ，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤，可化为不等式1 sin sin 22 x x a +≤，令1 ()sin sin 2,(0,2)2 g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案. 【详解】 （1）证明：由sin ()ln x f x x x = -得 22 cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x x f x x x x ---'=-= 当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3 ()ln 066 f ππ π = ->，()ln 0f ππ=-<
3第一讲__数列地极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记
函数导数压轴小题题
函数导数压轴小题 一、单选题 1．已知数列中，，若对于任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 2．已知实数，满足，则的值为（） A．B．C．D． 3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”， 则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得 是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 4．若，恒成立，则的最大值为（） A．B．C．D． 5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是 A．B．C．D． 6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（） A．B．C．D． 7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）
A．B．C．D． 8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足， 且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( ) A．B．C．D． 10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是( ) A．B．C．D． 11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( ) A．B． C．D．
函数导数三角函数
函数导数三角函数 函数、导数、三角函数回归基础与基本题型复习一、基础知识与基本方法 函数部分 221、二次函数?三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c;顶点式f(x)=a(x- h)+k;零点式f(x)=a(x-x)(x-x);b=0偶函数;?区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称12 轴与区间的相对位置关系;?实根分布:先画图再研究?>0、轴与区间关系、区间 端点函数值符号; 2、值域(范围)常用分子常数法;分离;，分母整体换元;导数 3、周期:进退几 个单位，列举;画图;用周期定义逐个检验; 4、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义; (定义域优先意识) 5、单调性:?定义法;?导数法?图像;奇偶性:?定义法?图像。函 数 2yxx,,，log(2)的单调递增区间是.(答:) (1,2)12 注意:(1)函数单调性与奇偶性的逆用(?比较大小;?解不等式;?求参数范围(注 意等号)); 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:(或fugxuhx()()()0,，, fa()0,,fa()0,,(或); ,,,,0)()aub,,fb()0,fb()0,,,2若存在?[1，3]，使得 不等式，(-2)-2>0成立，则实数取值aaxaxx范围是 ( 22解:不等式即，设.研究“任意a?()220xxax，,,,faxxax()()22,，,, f(1)0,,2，，[1，3]，恒有”.则，解得。则实数x的取值范围是 fa()0,x,,1,,,,f(3)0,3，，, 2,, ,,,,，,,1,，，,,3,, (2)复合函数由单调性判定:同增异减。
