2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题18 以椭圆和圆为背景的解析几何大题(江苏版)

热点十八 以椭圆和圆为背景的解析几何大题

【名师精讲指南篇】

【高考真题再现】

例1 【2012江苏高考】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，

2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ??

? ???

，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．

（i ）若126

2

AF BF -=

，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

例2 【2013江苏高考】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为

1， 圆心在l 上.

（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

例3 【2014江苏高考】（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，

12,F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .

（1）若点C 的坐标为41

(,)33

，且22BF =，求椭圆的方程；

（2）若1

FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 【热点深度剖析】

1. 圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2015年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

2. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

3. .避免繁复运算的基本方法：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则.“设而不求”、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.

4. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要

求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

5.预计15年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大.

【最新考纲解读】

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备注A B C

平面解析几何初步直线的斜率和倾斜角

√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表

中分别用A、B、C表示）.

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的

简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性

的问题.

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的

或较为困难的问题.

直线方程

√

直线的平行关系与垂直

关系

√

两条直线的交点

√

两点间的距离、点到直

线的距离

√

圆的标准方程与一般方

程

√

直线与圆、圆与圆的位

置关系

√

圆锥曲线与方程中心在坐标原点的椭圆

的标准方程与几何性质

√

中心在坐标原点的双曲线

的标准方程与几何性质

√

顶点在坐标原点的抛物线

的标准方程与几何性质

√

【重点知识整合】一、1.椭圆的定义：

（1）第一定义：平面内到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a >|F 1F 2|)的点的轨迹. （2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0

图形

标准方程：122

22=+b

y a x (b a >>0)

3. 几何性质：

（1）范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤ （2）中心 坐标原点(0,0)O

（3）顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --

（4）对称轴 x 轴，y 轴，长轴长2a ，短轴长2b

（5）焦点 12(,0),(,0)F c F c - 焦距 2c ，（22c a b =-） （6）离心率 c

e a

=

，（01e <<） （7）准线 2

a x c

=±

（8）焦半径 00,r a ex r a ex =+=-左右

（9）通径 2

2b a

（10）焦参数 2

a c

二、1. 抛物线的定义：

平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e =1）

2.图形与方程（以一个为例）

图形

标准方程：22(0)y px p => 3. 几何性质：

（1）范围 0x ≥经，y R ∈ （2）中心 无 （3）顶点 (0,0)O （4）对称轴 x 轴 （5）焦点 (

,0)2

p

F 焦距 无 （6）离心率 1e = （7）准线 2

p x =-

（8）焦半径 02

p r x =+ （9）通径 2p （10）焦参数 p 【应试技巧点拨】

一、（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其

两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。

（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，

其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在． （3）求椭圆的标准方程

①定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

②待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c 、、的方程组，解出22,a b ，从而写出椭圆的标准方程．

（4）椭圆中有一个十分重要的△OF 1B 2(如图)，它的三边长分别为a b c 、、.易见2

2

2

c a b =-，且若记

12OF B θ∠=，则cos c

e a

θ=

=.

（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如： ①a c +与a c -分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；

②椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长2

2b a ，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．

（6）共离心率的椭圆系的方程：椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率是)(22b a c a c

e -==，方程

t t b y a x (2

22

2=+是大于0的参数，0a b >>的离心率也是a

c

e =

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 二、对于抛物线的标准方程2

2(0)y px p =±>与2

2(0)x py p =±>，重点把握以下两点：

(1)p 是焦点到准线的距离，p 恒为正数；

(2)方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． B ．抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：

(1)抛物线2

2(0)y px p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02

p MF x =+

； (2)抛物线2

2(0)y px p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02p

MF x =

-； (3)抛物线2

2(0)x py p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02

p MF y =+

； (4)抛物线2

2(0)x py p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02

p

MF y =

-. C ．直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系．

特别地，已知抛物线22(0)y p x p =>，过其焦点的直线交抛物线于A B 、两点，设112

2(,),(,)A x y B x y ． 则有以下结论：

(1)12AB x x p =++，或2

2sin p

AB α

=

(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)2

124

p x x =；

(3)212y y p =-.

过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 【考场经验分享】

1.目标要求：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

2.注意问题：(1) 对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

(2) 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

3.经验分享：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

【名题精选练兵篇】

1. 【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中，己知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC=BD.

（1）若AC=4，求直线CD 的方程;

[来源学#科#网]

（2）证明：? OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O).

2. 【泰州2015一模】（本题满分14分）

如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ?构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ． （1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．

D

R

C

A

P

Q

O

B

3. 【常州2015一模】（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率12e =，直线:10()

l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知点5

(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m

变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说

明理由．

4. 【苏州2015一模】如图，已知椭圆22

:1124

x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一

点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上. （1）求直线AB 的方程；

（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.

5. 【镇江2015一模】（本小题满分15分）

已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设

CD AB ,的中点分别为N M ,.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ?面积的最大值.

6. 【南京盐城2015一模】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右准线方程为

4x =，右顶点为A ，

上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25

5

. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.

7. 【扬州2015一模】如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22

221(0)x y a b a b

+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的

右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，B C ＝2AC 。 （1）求椭圆的离心率；

（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。

8. 【泰州2015一模】（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2

2

的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O

的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ

斜率为

2

2

时，23PQ =．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

N

M

Q

A

O

P

x

y

9.. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2

的椭圆C ：

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若点B 的坐标为833

(,)55

，试求直线PA 的方程； （3）记

M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ?是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

10．【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 如图，已知椭圆)

0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 过点(1，

22)，离心率为2

2

，左、右焦点分别为12F F 、 .点P 为直线2l x y ：＋＝ 上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B 、 和C D O 、， 为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线12PF PF 、 的斜率分别为12k k 、 .

(ⅰ)证明：

2

13

1k k -＝2. (ⅱ)问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA OB OC OD 、、、 的斜率OA OB OC OD k k k k 、、、 满足

0OA OB OC OD k k k k ＋＋＋＝ ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．

11. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 如图所示，已知圆

M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交点．

（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；

（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明） （3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．

P O

C

M

A

12 【苏州市2014届高三调研测试】 如图，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，

1

2

）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）． （1）求椭圆的方程；

（2）若点B

，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=，且0OC OB ?=，求实数λ的值．

C

B

A y

x

O

13. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】

设点(,)P m n 在圆222x y +=上，l 是过点P 的圆的切线，切线l 与函数2()y x x k k R =++∈的图象交于

,A B 两点，点O 是坐标原点，且OAB ?是以AB 为底的等腰三角形．

（1）试求出P 点纵坐标n 满足的等量关系；

（2）若将（1）中的等量关系右边化为零，左边关于n 的代数式可表为22(1)()n ax bx c +++ 的形式，且满足条件的等腰三角形有3个，求k 的取值范围．

14. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.

（1）若ABC ?的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求

123

111

k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，

2k ，3k ，4k ，求

1234

1111

k k k k -+-的值. 15. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】理已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ?=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点

Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 已知ABC ?的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ．

(1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；

(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段

PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．

17. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (1)求k 的取值范围;

(2)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且

222

211

||||||

OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数. 【名师原创测试篇】

1.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点???

? ??23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d

的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，

求证：2

2

||||PB PA +为定值．

2.已知圆C 过定点)1,0(A ，圆心C 在抛物线y x 22

=上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点． （1）当圆心C 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （2）当圆心C 在抛物线上运动时，MN 是否为一定值？请证明你的结论． （3）当圆心C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求m

n

n m +的最大值，并求出此时圆C 的方程．

3.给定椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”，

已知椭圆C 的两个焦点分别是()(

)

12

2,0,2,0F F -.

（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标； （3）已知()()cos 3

,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ

+=-

=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()

22

,,,m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =

+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请

说明理由.

4.某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=?BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；

(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？

5.已知椭圆Γ：2

214

x y +=. (1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点

??? ?

?

21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.

①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若?BME 面积是?AMF 面积的5倍，求m 的值；

(2)若圆ψ:42

2

=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、

R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ?面积取最大值时直线1l 的方程.

6.已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C ：x y 22=上.

（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值. 、