扬州市高一数学期中试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,5B =，则A B = ▲ . 2
．函数1
y x
=
的定义域为 ▲ . 3. 用列举法．．．表示集合{}2|1log 2,A x x x =-<<∈z ，其表示结果应为 ▲ . 4. 函数223(03)y x x x =-++≤<的值域是 ▲ .
5．已知函数21(0)
()1()(0)3
x x x f x x -≥??
=?
6. 若{}1,3,5B =-，下列集合A ，使得:21f x x →+是A 到B 的映射的是________(填写序号)
①{}1,2A = ②{}1,7,11A =- ③{}1,1,2A =- ④{}1,0,1A =- 7. 已知幂函数2
5*()m y x m -=∈N 在(0,)+∞上是减函数，且它的图像关于y 轴对称，则m =
▲ .
8．已知函数2
2
2()x x y x --+=∈R ，对于任意x 恒有0()()f x f x ≤成立，则0x = ▲ .
9. 函数1
43
y x =-+的图象的对称中心的坐标是 ▲ . 10. 计算：3
2
985
4
2lg 4lg log 16log 818
-+++?= ▲ .
11．函数lg 25y x x =+-的零点0(1,3)x ∈，对区间(1,3)利用两次“二分法”，可确定0x 所
在的
区间为 ▲ .
12. 已知()y f x =是R 上的偶函数，且当[0,)x ∈+∞时，()23x
f x =-，则满足()0f x <的
x 的
取值范围是 ▲ .
13．函数3
()||3f x x x x =?++在区间[2015,2015]-上的最大值与最小值之和为= ▲ .
2015.11.09.
14．下列命题：
① 函数22
(2)
2
x x y x -=-是奇函数； ② 函数|3|2x y -+=在(,4)-∞上是增函数； ③ 将函数2log (2)y x =-的图象向左平移3个单位可得到2log (1)y x =+的图象； ④ 若1.4 1.51a
b
=<，则0a b <<；
则上述正确命题的序号是 ▲ .（将正确命题的序号都填上）
二、解答题 (共6道题，计90分) 15．（本题满分14分）
设全集U =R ,集合{}|14A x x =≤<，{}|23B x a x a =≤<-． （1）若2a =-，求B A ，U B A e （2）若B A ?，求实数a 的取值范围；
16、（本题满分14分）
已知函数22
231()log (1)1x x x f x x x ?--+≤=?->?
(1) 画出函数()y f x =的简图（要求标出关键的点、线）；
(2) 结合图象，直接写出函数()y f x =的单调增区间；
(3) 观察图象，若关于x 的方程()f x t =有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围.
已知0a >且1a ≠，函数1()log (1),()log (3),a a
f x x
g x x =-=-
（1）若()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的定义域； （2）若2,a = 求函数()()()h x f x g x =-的值域； （3）讨论不等式()()0f x g x +≥中x 的取值范围.
18、（本题满分15分）
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ,经过一
段时间t 后的温度是T ，则有01()()2
T T T T αα-=-?t h
，其中T α表示环境温度，h 称为半衰
期且10h =. 现有一杯用89℃热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃，共需要多长时间？（lg 20.301≈，结果精确到
0.1）
已知函数()a
f x x x
=+
，()2g x a x =- （1） 若4,a =判断函数()y f x =在[2,)+∞上的单调性，并证明你的结论；
（2） 若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
20、（本题满分16分）
已知函数2()21(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，有最小值1， 设()
()g x f x x
=
. （1） 求,a b 的值；
（2） 不等式(2)20x x
f k -?≥在[1,1]x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围； （3） 若方程2
(|21|)(
3)0|21|
x
x
f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.
20151109高一数学期中考试参考答案
阅卷前，请认真核做答案，制定评分细则
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1、{}1,0,1,2,5-
2、{}|1,0x x x ≥-≠
3、{}1,2,3
4、(0,4]
5
、1 6、①③ 7、1 8、12-
9、(3,4)- 10、9124
11、5
(2,)2
12. 22(log 3,log 3)- 13. 6 14、 ①②③④ 二、解答题 (共6道题，计90分)
15．（本题满分14分） 解：（1）{}|14U A x x x =<≥或e, 2a =-时，{}45B x =-≤<， ………………2分 所以[1,4)B A = ,
U B A e={}|4145x x x -≤<≤<或
………………6分 （2）若B A ?，分以下两种情形：
①B =?时，则有23a a ≥-，∴1a ≥
………………8分 ②B ≠?时，则有232134
a a
a a <-??
≥??-≤?
，∴112a ≤<
………………12分
综上所述，所求a 的取值范围为12
a ≥
………………14分
（注：画数轴略，不画数轴不扣分）
16、（本题满分14分） 解：（1），其中图象正确得3分，关键点、线的标注3分. ………………6分
以下要素有一处不标注的，扣1分：x 、y 轴、原点O ，对称轴，渐近线，顶点（-1，4），点（1，0），点（2，0）.
（2）增区间为：(,1]-∞-，(1,)+∞
………………10分
（3）观察图象，方程()f x t =有两个不相等的解等价于函数()y f x =的图象与直线y t =只有两个交点. 所以实数 t 的取值范围是4t =或0t <
………………14分
17、（本题满分15分） 解：（1）x 应满足10
30
x x ->??
-
注：如对原来函数变形后求定义域，则扣2分. （2）2a =时， 函数2()log (1)(3)h x x x =--， 令(1)(3)t x x =--，由于13x <<，∴01t <≤，
…………7分 ∴ ()0h x ≤， 所以，所求函数()h x 的值域为(,0]-∞
…………9分
（3）1
()()log 03a x f x g x x
-+=≥-，分以下两种情形： 情形一：当1a >时，得1
13x x -≥-，等价于：3013x x x ->??-≥-?或3013x x x
-
…………12分
情形二：当01a <<时，得1013x x -<≤-，等价于：301013x x x x ->??->??-≤-?或30
1013x x x x
-
-
解得：12x <≤.
…………15分
18、（本题满分15分）
解：由条件知，089,T =25T α=，20t
=，
…………2分
代入01()()2T T T T αα-=-?t h 得125(8925)()2
T -=-?20
10
，
解得41T =
…………………6分 如果要降温到35℃，则1
3525(8925)()
2
-=-?t
10
， …………8分 则1
lg 18lg 2102
t ?=-，解得26.8t ≈
…………13分 答：此时咖啡的温度是41℃，要降温到35℃，共需要约26.8分钟. …………15分
19、（本题满分16分） 解：（1）4a =时，函数()y f x =在[2,)+∞上是增函数 ………………1分
任取12,[2,)x x ∈+∞，设12x x > 则211212121212
444()
()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-+ =121212
4()x x x x x x --?
………………4分 ∵ 122x x >≥，∴ 120x x ->，124x x >，∴1212
4
0x x x x ->
………………6分
∴12()()0f x f x ->，即：12()()f x f x >
所以，函数)(x f =x
x 4
+在[2,)+∞上是增函数 ………………8分 （2）不等式()()f x g x ≥就是：2a x a x x +≥-，即：3a
x a x
+≥
由于[1,)x ∈+∞，等价于2
30x ax a -+≥在[1,)+∞上恒成立 ………………9分
① 当16
a
≤时，2()3g x x ax a =-+在[1,)+∞是增函数，则(1)0g ≥，
这显然成立
………………12分
② 当
16a ≥时，2()3g x x ax a =-+在[1,]6a 是减函数，在[,)6
a
+∞上增函数， 则()06
a g ≥，解得612a ≤≤
………………15分 综上，所求实数a 的取值范围是12a ≤
………………16分
注：用分离参数法解，相应给分。 20、（本题满分16分）
解：（1）由条件得，0(2)11(3)9614a g b g a a b >??=+=??=-++=?或0(2)14(3)9611a g b g a a b
=+=??=-++=?
………4分
解得：1,0a b ==或1,3a b =-=（舍去）
………5分
（2）2
()21g x x x =-+，∴221
()x x f x x
-+=
令2x
t =，∵[1,1]x ∈-，∴1[,2]2
t ∈ …………………7分
不等式(2)20x x
f k -?≥可化为：
2210t t k t t
-+-?≥ 问题等价于2210t t k t t
-+-?≥在1
[,2]2t ∈时恒成立； …………………9分
即：211()21k t t ≤-?+在1[,2]2t ∈时恒成立，而此时11
[,2]2
t ∈
所以0k ≤ …………………11分 注：用二次函数2(1)210k t t --+≥讨论不解，相应给分。
（3）令|21|x m =-，则方程2(|21|)(3)0|21|
x
x
f k -+-=-有三个不同的实数解 ?关于m 的方程2()(3)0f m k m
+-=有两个不等的根，其中一个根大于
1，另一根大
于0且小于1；
…………………13分
2()(3)0f m k m +-=可化为：2212
(3)0m m k m m
-++-=
化简得：2(23)10m k m -++=，它的两根分别介于(0,1)和(1,)+∞ 只要2
1(23)110k -+?+<， …………………15分 ∴0k >为所求的范围.
…………………16分