专题13 导数的概念及其运算
1.了解导数概念的实际背景；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1
x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．
1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义
函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→0
f x0＋Δx －f x0
Δx
＝l ，通常称为f(x)在点
x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→0 f x0＋Δx －f x0
Δx
＝f′(x0)． (2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．
2．函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)????
??f x g x ′＝f′ x g x －f x g′ x [g x ]2 (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
高频考点一 导数的运算
例1、分别求下列函数的导数： (1)y ＝exln x ；(2)y ＝x ? ????x2＋1x ＋1x3； (3)y ＝x －sin x 2cos x
2
；(4)y ＝ln 1＋2x.
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x ＋ex·1
x
＝ex ?
????ln x ＋1x . (2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2
x3.
(3)∵y＝x －12sin x ，∴y′＝1－1
2cos x.
(4)∵y＝ln 1＋2x ＝1
2ln(1＋2x)，
∴y′＝12·11＋2x ·(1＋2x)′＝1
1＋2x
.
【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少
差错，常用求导技巧有：
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数： (1)y ＝x2sin x ； (2)y ＝cos x ex
；
(3)y ＝xsin ?
????2x ＋π2cos ? ????2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x ＋x2cos x.
(2)y′＝?
??
??cos x ex ′＝（cos x ）′ex－cos x （ex ）′（ex ）2
＝－sin x ＋cos x
ex
.
高频考点二 导数的几何意义
例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f(x)在点 (1，2)处的切线方程是________.
(2)已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f(x)相切，则直线l 的方程为( )
A.x ＋y －1＝0
B.x －y －1＝0
C.x ＋y ＋1＝0
D.x －y ＋1＝0
解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex －1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex －1＋x ， 所以当x>0时，f(x)＝ex －1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex －1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln x ，∴?
????y0＝x0ln x0，
y0＋1＝（1＋ln x0）x0，
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.
答案 (1)2x －y ＝0 (2)B
【方法规律】(1)求切线方程的方法：
①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；
②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【变式探究】(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2
(2)若函数f(x)＝1
2x2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.
解析 (1)设切点为(x0，y0)，y′＝1
x ＋a
，所以有?????y0＝x0＋1，
1x0＋a ＝1，y0＝ln （x0＋a ），解得??
???x0＝－1，y0＝0，a ＝2. (2)∵f(x)＝12x2－ax ＋ln x ，∴f′(x)＝x －a ＋1
x .
∵f(x)存在垂直于y 轴的切线，
∴f′(x)存在零点，∴x＋1
x －a ＝0有解，
∴a＝x ＋1
x
≥2(x>0).
答案 (1)B (2)[2，＋∞)
【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析 法一 ∵y＝x ＋ln x ，∴y′＝1＋1
x
，y′|x＝1＝2.
∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，
∴a≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).
由?
????y ＝2x －1，y ＝ax2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a2－8a ＝0，解得a ＝8.
法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.
设y ＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x0，ax20＋(a ＋2)x0＋1). ∵y′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a ＋2).
由?????2ax0＋（a ＋2）＝2，ax20＋（a ＋2）x0＋1＝2x0－1，解得???
??x0＝－12，a ＝8. 答案 8
高频考点三、导数与函数图象的关系
例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E 作OB 的垂线l.记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象为下图中的( )
答案 D
【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f′(x0)． (2)已知斜率k ，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
?
??
??
y1＝f x1 ，y0－y1＝f′ x1 x0－x1 求解即可．
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f′(π
4)，f′(x)是f(x)的导函数，
则过曲线y ＝x3上一点P(a ，b)的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0
C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0
D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0
(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝xlnx 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)C (2)－e
解析 (1)由f(x)＝3x ＋cos2x ＋sin2x
得f′(x)＝3－2sin2x ＋2cos2x ， 则a ＝f′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π
2
＝1.
由y ＝x3得y′＝3x2，
当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a2＝3×12＝3. 又b ＝a3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)．
故过曲线y ＝x3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.
当P 点不是切点时，设切点为(x0，x30)， ∴切线方程为y －x30＝3x20(x －x0)，
∵P(a，b)在曲线y ＝x3上，且a ＝1，∴b＝1. ∴1－x30＝3x20(1－x0)， ∴2x 30－3x20＋1＝0，∴2x 30－2x20－x20＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为? ????－1
2，－18，
∴此时的切线方程为y ＋18＝34? ??
??
x ＋12，
综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x0，x0lnx0)，
由y′＝(xlnx)′＝lnx ＋x·1
x ＝lnx ＋1，
得切线的斜率k ＝lnx0＋1，
故切线方程为y －x0lnx0＝(lnx0＋1)(x －x0)， 整理得y ＝(lnx0＋1)x －x0，与y ＝2x ＋m 比较得
?????
lnx0＋1＝2，－x0＝m ，
解得x0＝e ，故m ＝－e.
【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）
sin y x
= （B ）
ln y x
=
（C ）e x
y = （D ）3
y x =
【答案】A
【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1?π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，
使条件成立，故A 正确；函数3
ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数
()
f x 满足
()01
f =- ，其导函数
()
f x ' 满
足
()1
f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A ．11f k k ??<
??? B ．
111f k k ??
>
?-?? C ．1111f k k ??
< ?
--?? D ． 111k f k k ??
> ?
--??
【答案】
C
【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． 【解析】解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a －2x －3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a
3，
x2＝－1＋4＋3a 3，x1 所以f′(x)＝－3(x －x1)(x －x2)． 当x 故f(x)在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ???? －1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在? ?? ??－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0， ①当a≥4时，x2≥1. 由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0 由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， 所以f(x)在x ＝x2＝－1＋4＋3a 3 处取得最大值． 又f(0)＝1，f(1)＝a ， 所以当0 当a ＝1时，f(x)在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1 【2014·安徽卷】设实数c ＞0，整数p ＞1，n∈N*. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ； (2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1 p . 【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下． ①当p ＝2时，(1＋x)2＝1＋2x ＋x2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x)k ＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k ＋1)x ＋kx2>1＋(k ＋1)x. 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立． 综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明an>c 1 p . ①当n ＝1时，由题设知a1>c 1 p 成立． ②假设n ＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c 1 p 成立． 由an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n 易知an>0，n∈N*. 当n ＝k ＋1时，ak ＋1ak ＝p －1p ＋c p a －p k ＝ 1＋1p ? ????c ap k －1. 由ak>c 1p >0得－1<－1p <1p ? ????c ap k －1<0. 由(1)中的结论得? ????ak ＋1ak p ＝??????1＋1p ? ????c ap k －1p >1＋p· 1p ? ????c ap k －1＝c ap k . 因此ap k ＋1>c ，即ak ＋1>c 1 p ， 所以当n ＝k ＋1时，不等式an>c 1 p 也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>c 1 p 均成立． 再由an ＋1an ＝1＋1p ? ????c ap n －1可得an ＋1an <1， 即an ＋1 综上所述，an>an ＋1>c 1 p ，n∈N*. ②假设n ＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak ＋1>c 1 p 成立，则当n ＝k ＋1时，f(ak)>f(ak ＋ 1)>f(c 1p )， 即有ak ＋1>ak ＋2>c 1 p ， 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>an ＋1>c 1 p 均成立． 【2014·福建卷】已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2 (3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 当x 且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值． ②若0 c >1，要使不等式x2 而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x ＋ln k 成立． 令h(x)＝x －2ln x －ln k ，则h′(x)＝1－2x ＝x －2 x . 所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增． 取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增． 又h(x0)＝16k －2ln(16k)－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k)＋5k ， 易知k>ln k ，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0. 即存在x0＝16 c ，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一． (3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有1 3 x3 令h(x)＝1 3x3－ex ，则h′(x)＝x2－ex. 由(2)知，当x>0时，x2 从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以h(x) 3x3 取x0＝3c ，当x>x0时，有1c x2<1 3 x3 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 【2014·广东卷】 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3. 【2014·江西卷】若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 【答案】(－ln 2，2) 【解析】设点P 的坐标为(x0，y0)，y′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【2014·江西卷】已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R)． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在区间? ?? ??0，13上单调递增，求b 的取值范围． 【解析】(1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2） 1－2x ，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x) 单调递增；当x∈? ?? ??0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4. (2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈? ????0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x∈? ????0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19. 所以b 的取值范围为? ????－∞，19. 【2014·全国卷】 曲线y ＝xex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】因为y′＝(xex －1)′＝ex －1＋xex －1，所以y ＝xex －1在点(1，1)处的导数是y′|x ＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y ＝xex －1在点(1，1)处的切线斜率是2. 【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】y′＝a －1 x ＋1 ，根据已知得，当x ＝0时，y′＝2，代入解得a ＝3. 【2014·陕西卷】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数． (1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明． 【解析】解：由题设得，g(x)＝x 1＋x (x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝ x 1＋x ， g2(x)＝g(g1(x))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ， g3(x)＝x 1＋3x ，…，可得gn(x)＝x 1＋nx . 下面用数学归纳法证明． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax 1＋x 恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－ax 1＋x (x≥0)， 则φ′(x)＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2 ， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥ ax 1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0， 故知ln(1＋x)≥ax 1＋x 不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]． (3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋n n ＋1， 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n －ln(n ＋1)． 证明如下： 方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1 n ＋1 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x ，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则1n ＋1 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，1 2 ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1 k ＋1 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2 k ＋1＝ln(k ＋ 2)， 即结论成立． 由①②可知，结论对n∈N＋成立． 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1 n ＋1 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x ，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则ln n ＋1n >1n ＋1. 故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>1 3， …… ln(n ＋1)－ln n>1 n ＋1 ， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1 n ＋1， 结论得证． 方法三：如图，??0n x x ＋1 dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋ 2 3 ＋…＋ n n ＋1 是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>??0 n x x ＋1 dx ＝ ??0n ? ?? ??1－1x ＋1dx ＝n －ln(n ＋1)， 结论得证． 【2014·四川卷】设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ； (2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2，求数列????? ?an bn 的前n 项和Tn. 【解析】(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以 2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d ＝a8－a7＝2， 所以Sn ＝na1＋n （n －1） 2 d ＝－2n ＋n(n －1)＝n2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在点(a2，b2)处的切线方程为y －2a2＝(2a2ln 2)(x －a2)， 其在x 轴上的截距为a2－1 ln 2 . 由题意有a2－1ln 2＝2－1 ln 2，解得a2＝2. 所以d ＝a2－a1＝1. 从而an ＝n ，bn ＝2n ， 所以数列{an bn }的通项公式为an bn ＝n 2n ， 所以Tn ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2Tn ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1 ， 因此，2Tn －Tn ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以，Tn ＝2n ＋1－n －2 2n . 1.设曲线y ＝eax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ∵y＝eax －ln(x ＋1)，∴y′＝aeax －1 x ＋1，∴当x ＝0时，y′＝a －1.∵曲线y ＝eax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a－1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析 ∵f′(x)＝2f′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.曲线f(x)＝x3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C 4.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－1e 5.已知y ＝f(x)是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f(x)在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－1 3，∵g(x)＝ xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所 以g′(3)＝1＋3×? ?? ??－13＝0. 答案 B 6.已知f1(x)＝sin x ＋cos x ，fn ＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn ＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2 017(x)等于( ) A.－sin x －cos x B.sin x －cos x C.－sin x ＋cos x D.sin x ＋cos x 解析 ∵f1(x)＝sin x ＋cos x ， ∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x －sin x ， ∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x －cos x ， ∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x ＋sin x ， ∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x ＋cos x ， ∴fn(x)是以4为周期的函数， ∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x ＋cos x ，故选D. 答案 D 7.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A.4 B.－14 C.2 D.－1 2 解析 f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g′(1) ＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4， ∴曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4. 答案 A 8.已知点M 是曲线y ＝1 3x3－2x2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y′＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y′＝－1，y ＝5 3 ， ∴斜率最小的切线过点? ?? ??2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈??????0，π2∪??????3π4，π. 故α的取值范围为??????0，π2∪???? ??3π4，π. 9.已知曲线y ＝13x3＋4 3 . (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解 (1)∵P(2，4)在曲线y ＝13x3＋4 3上，且y′＝x2， ∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0. 10.设函数f(x)＝ax －b x ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7 4x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f′(x)＝a ＋b x2，于是? ????2a －b 2＝12， a ＋ b 4＝7 4 ， 解得? ????a ＝1，b ＝3.故f(x)＝x －3 x . (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点， 由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y －y0＝? ????1＋3x20(x －x0)，即y －? ????x0－3x0＝? ????1＋3x20(x －x0).令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为? ????0，－6x0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12?????? －6x0|2x0|＝ 6. 故曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 . 答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0 导数 (选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x x在x＝ π 2处的切线方程为() A.y＝0 B.y＝2π C.y＝－ 4 π2 x＋ 4 π D.y＝ 4 π2 x 解析∵y′＝x cos x－sin x x2，∴y′|x＝ π 2＝－ 4 π2 ， 当x＝π 2时，y＝ 2 π ， ∴切线方程为y－2 π ＝－ 4 π2? ? ? ? ? x－ π 2 ，即y＝－ 4 π2 x＋ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)＝(2x＋1)e x， 所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x， 所以f′(0)＝3e0＝3. (2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析y′＝a－ 1 x＋1 ，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2， 所以a＝3. (2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为() A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴?????y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1 x ，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由?????y ＝2x －1，y ＝ax 2 ＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1. 设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由?????2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得???x 0＝－12，a ＝8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 导数的概念与基本运算 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量 △y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。如果当0→?x 时， x y ??有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即 )(x f '=x y x ??→?0lim ＝x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 2．导数概念的某些实际背景 瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。 3．求导数的方法 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0， 及()n x '= （n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf （x ）]'=C f '(x) 。 根据定义不难证明上述两个法则： [f(x)±g(x)]'= = = ±= ()f x '()g x '±； ()Cf x '????0 lim x C ?→==()Cf x ' 。 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。 另外，∵=≈， ∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 （1）几种常用函数的导数公式如下： 专题2.3 基本初等函数 【三年高考】 1. 【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【答案】D 【解析】试题分析：令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴ 22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =?=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32 x k z k =?=<，则25x z <，故选D. 2. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8 202 log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ． 3. 【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与 M N 最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D 4. 【2016高考新课标3理数】已知4 32a =，254b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】因为422335244a b ==>=，122333 2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述． 高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则 第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算 课题：导数的概念及运算 一．复习目标： 理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点： 1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习： 1．函数2 2 (21)y x =+的导数是 （ C ） ()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ） ()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f 3．曲线2 4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ） ()A (1,3) ()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4．若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ） 5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为 34 π ，则(2)f '-=1-，[( 2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =- 与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4 π． 四．例题分析： 例1．（1）设函数2 ()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32 ()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)n f x x a =-，求()f x '． 解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2 ()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2 ()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：2 03410x x -+=，解得：01x =或013 x = （3）0(22)(2)()lim n n x x a x x a f x x ?→-+?--'=? 112 210 lim[(2)24(2)2()]n n n n n n n n x C x a C x x a C x ---?→=-?+?-++?12(2)n n x a -=- 例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2 12 S gt = 其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1) lim t S t S V t ?→+?-=?9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ） （A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s （D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率； 若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率． 小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →?t t S t S ?-?+) 1()1(中的△t 可正可负 例3．（1）曲线C ：3 2 y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程； （2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴? ??=+++=439271 d c b a d ∵2 32y ax bx c '=++ / (0)f c = / (3)276f a b c =++ 专题1.1 集合 【三年高考】 1．【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =??等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一 定要先考虑?时是否成立，以防漏解． 2．【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2．【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算 教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处： 教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t 实验探究，让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习． 2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型． 3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还 原知识建构的完整过 程，实现导数概念的“再 创造”，其中数学探究 环节采用数学实验的方 《2018年高考数学分类汇编》 第十三篇：极坐标与参数方程 一、填空题 1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切， 则a =__________． 2.【2018天津卷12】)已知圆22 20x y x +-=的圆心为C ，直线2 1,232 ? =-??? ?=-?? x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题 1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2 2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）， 直线的参数方程为 （为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）， xOy C 2cos 4sin x θy θ =??=?， θl 1cos 2sin x t αy t α =+?? =+?， t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=? ， θ 过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程． 4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=，曲线C 的方程为 4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题 1.21+ 2. 2 1 二、解答题 1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆． 由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与 2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两 个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22 21 k =+，故 4 3 k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4 3 k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02， αl O ⊙A B ，αAB P 《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想． 教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下： 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 1.1.2 导数的概念 教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 教学重难点： 重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 难点：导数概念的理解. 教学过程： 情境导入： 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度. 合作探究： 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知： 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度. 导数的概念及运算 【考点指津】 1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义． 2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数． 【知识在线】 1．函数y =14223++x x 的导数是 ． 2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ． 3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ） A ． (6x+1)(2x+3) B ． 2(6x+1) C ． 2(3x 2+x+1) D ． 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数． 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5，故应选D 点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式． 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ． 分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具． 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ． 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9． 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求． 【知能集成】 1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n - 1(n ∈N *)． 导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数） 2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数． 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 导数的概念 （教案?讲稿?PPT） 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解． 3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念 00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数： ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 002018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
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