全等三角形的判定（1）
一、知识要点：
1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
二、例题
例1：如图，已知AB=CD,AD=BC,求证：AB∥CD,AD∥BC
例2：如图，D是BC边上一点，AB=AD,BC=DE,AC=AE.
（1）求证：∠C=∠E
（2）求证：∠CDE=∠BAD
练习1
一、选择与填空：
1.如果△ABC的三边长为3、5、7，△DEF的三边长为3、32
x-、21
x-，若这两个三角形全等，则x等于（）
A：7
3
B：4 C：3 D：不能确定
2.如图，∠MON=800,OA=OB, AC=BC,则∠MOC=（）
A：300 B：400 C：450 D：500
A：1 B：2 C：3 D：4
（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）3．如图，已知AB=AC，D为B C的中点，下列结论中：①△ABD≌△ACD ②∠B=∠C ③AD平分∠BAC ④AD⊥BC，其中正确的有（）个
A：1 B：2 C：3 D：4
4.如图，OA=OB,OC=OD, AD=BC,则图中全等三角形有（）对。
A：1 B：2 C：3 D：4
5.如图，已知AB= BC，AD= CD，∠ABC=800，∠ADC=500，则∠A= ，∠C= 。二：解答题：
1.如图，AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证：∠BAD=∠CAE.
2. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．
3. 如图，△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点.
(1) △DCE可以看成是由△ABF通过什么样的运动得到的?
(2)证明：AF∥DE．
4. 小明在作∠AOB的平分线时，采用了下方法：
（1）在OA、OB上截取OE=OF.
（2）以大于EF的一半长为半径，E、F为半径为圆心画弧相交于点D.
（3）以O为端点，经过点D画射线OC，则OC平分∠AOB.小明的作法是否正确？为什么？
例3：如图，DE⊥AC.BF⊥AC,垂足分别是E、F,DE=BF,AF=CE,求证AB∥CD.
练习2
一、选择与填空：
1已知，如图，AC交BD于O,且BO=DO,AO=CO,那么下列判断中正确的是（）
A：只能证明△AOB≌△COD
B：只能证明△AOD≌△COB
C：只能证明△AOB≌△COD和△ADB≌△CBD
D：能证明四对三角形全等，即△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，
△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA
2.如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（）对
A：3 B：4 C：5 D：6
（第2题）（第4题）（第5题）
3.若AD=BC，∠A=∠B，直接能利用“SAS”证得△ADF≌△BCE的条件是（）
A：AE=BF B：DF=CE C：AF=BE D：∠CEB=∠DFA
4.如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，可以推出∠ =∠，加上条件AB=DE 和，可以得到△ABC≌△DEF。
5.如图，AC⊥BD，AC=DC，CB=CE，把△ABC绕点C顺时针旋转900，A点落在上，B 点落在上，所以△与△能够完全重合，即≌。二、解答题：
6. 如图，AC=AB,AE=AD, ∠1=∠2,求证∠3=∠4。
7. 如图，EA⊥AC于A,DC⊥AC于C,B为AC上一点，且AE=BC,AB=CD,求证：BE⊥BD
8.已知D、E分别是线段AB、AC上的点，AB=AC,AD=AE.
求证△CDE≌△BED.
9.已知，AB=AC,AD平分∠BAC,P 是AD上一点。
求证∠PBD=∠PCD.
10. 如图，△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF延长线上截取CG=AB,判断AG于AD关系.
11.已知点C线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F
(1)如图l，若∠ACD=600，则∠AFB= ，如图2，若∠ACD=900，则∠AFB= ．
如图3，若∠ACD=1200，则∠AFB= ；
(2)如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= (用含α的式子表示)；
(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，如图5，试探究∠AFB与α的数量关系，予以证明．
中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
《全等三角形的判定》教学设计 松江区民乐学校征丽 一、内容和内容辨析： 三角形全等的判定是初中平面几何学习中的基础和核心内容，是今后研究线段相等、角相等的重要方法，是今后研究几何图形不可或缺的工具与方法，因此，熟练掌握三角形的判定方法及其应用非常重要。本单元共安排了六课时，其中三课时讲述四种判定方法，另三课时讲述如何根据题目给出的条件，正确选择适当的判定方法说明全等，甚至以此达到证明边或角的相等。 本节课内容是七年级下册第十四章第四节“全等三角形的判定”中的第一课时。在学习这节之前，学生已掌握了全等三角形的概念和性质，以及利用三角形的三元素画三角形（即两角及其夹边、两边及其夹角、三边、两角及其对边）。借此，学生已知道如何确定三角形的 形状和大小，事实上，如果两个三角形的形状和大小都相同，则这两个三角形就是全等的，所以，通过四种画已知三角形的全等三角形的过程，可以总结判定两个三角形全等的四种判定方法。本节课的主要内容一是了解全等三角形的四种判定方法；二是重点学习“边角边” 的判定方法，掌握这一判定方法说明全等的规范书写格式，并由简至难，了解这种判定方法的应用。 二、目标及目标解析 教学目标： 、了解全等三角形判定的四种方法。 、熟练掌握边角边判定方法，熟悉有关基本图形，初步掌握这一判定方法的应用。 、掌握边角边判定方法说明两个三角形全等的规范书写格式，体会说理表达的严密性。目标解析：通过操作、看书和阅读，将全等概念与画三角形概念整合在一起，引导学生得出判定三角形全等的四种判定方法。了解四种判定方法自身的特征和相互间的联系与区别。 对于“边角边”判定方法的学习，学生需要知道“边”、“角”、“边”是如何先后确定三 角形三个顶点的相对位置的，进而掌握这种判定方法的应用一一证明三角形全等。要求学生，其一，会规范书写这一判定方法说明全等，要有严谨的逻辑思维能力和严密的表达能力；其二，在基本图形中找到需要的条件，初步掌握这一判定方法的应用，这也是我们学习判定方法的目的，为今后解决更复杂的几何问题打好基础。 本节课的教学重点，是在学习前面知识的基础上，让学生多欣赏和观察一些基本图形，结合给定条件，发掘基本图形中隐含的等量关系，找到证明全等的三大条件，从而说明全等。 为了拓展学生的思维，加强学生思维的活跃性，很多问题的解答是不唯一的，且有些题目是
《全等三角形的判定1》教案 教学目标 1 知识目标: 掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等. 2 能力目标: 使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研 究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力. 3思想目标: 通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。 教学重点、难点: 重点：利用边边边证明两个三角形全等 难点：探究三角形全等的条件 教学过程 （一）复习提问 1、什么叫全等三角形？ 2、全等三角形有什么性质？ 3、若△ ABC DEF,点A与点D,点B与点E是对应点，试写出其中 相等的线段和角. （二）新课讲解: 问题1:如图:在厶ABC 和厶DEF 中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠ A=
∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠尸则厶ABC和厶DEF全等吗 问题2: △ ABC 和厶DEF全等是不是一定要满足 AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F 这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件，这两个三角形全等吗？ 一个条件可分为：一组边相等和一组角相等 两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等 探究一: 1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等） ①只给一条边: 2?给出两个条件: ①一边一内角： ②只给一个角:
两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？ 满足三个条件有几种情形呢？ 3.给出三个条件 三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一 角相等 例：画△ ABC,使 AB=2,AC=3,BC=4 画法:1画线段BC=4 2分别以A 、B 为圆心，以2和3为半径作弧，交于点C 则厶ABC 即为所求的三角形 ②两内角: 内 角
八年级数学上册《全等三角形的性质和判定的应用》教案 预设 目标 1、全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四 个方法。 2、能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。掌握常规的作 辅助线的方法。 教学 重难点 重点：综合运用各种判定方法来证明线段和角相等. 难点：常规的作辅助线的方法。 教具 准备 三角尺 教法 学法 讲授、练习 教学 过程 讲解新课 一．全等三角形的判定了用定义，实质上只需要三个条件，注意至少有 一个条件是边，就能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等在几何 证时中常常不是结论，而通常是通过证明两个三角形全等，证明两条线 段相等或两个角相等，这恰是判定两个三角形全等的目的所在 课前练习： 1、下列命题中，不正确的是（） （A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （B）面积相等的两个直角三角形全等 （C）有一边相等的两个等边三角形全等 （D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
2、如图，在?ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（） （A）5对（B）6对（C）7对（D）8对 3、已知：如图，?ABC中，∠C=90?,，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6CM，则?DEB的周长为（） （A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对 二．议一议 P85 得出：1、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。 1、三角分别相等的两个三角形不一定全等。 三、例题解析 P85例题9 已知：如图2-55，AC与BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB。 求证：∠A=∠D P86 例题10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道。为估测这条隧道的长度（如图2-56），徐测出这座山A,B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？ 四、练习 1、已知：如图，在?ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相 交于H，且BH=AC，求∠HCD的度数。 2、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180?，求证：AE=AD+BD A B C D E H A B D C E 1 2
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
全等三角形的判定（SSS） 1．如图，若AB=CD,AC=DB，能够判定哪两个三角形全等？说明理由 2．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B与∠C有什么关系？试说明。 3．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，则AB和DE有怎样的位置关系？推理说明。 4．如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=EC。图中有几对三角形全等？用推理说明。 5．如图，已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 6．如图，已知AB=CD，AD=CB。则AB与CB，AD与CB有怎样的位置关系？
7．如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C 8．如图，AB=AD，BC=DC，∠BAD=64o，求∠DAC 9．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC 10.如图，AB=CD，AE=DF，BF=CE，试判断AB与CD，AE与FD的位置关系。 11.如图，AB=AC，BE=CE，说明AD平分∠BAC
12.如图，△ABC中，AD=AE，BE=CD，AB=AC，说明△ABD≌△ACE 13.如图，AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只要增加一个条件是： 14.如图，已知AC，BD相交于O，AB=DC，AC=DB，说明∠A=∠D 15.如图，在△ABC中AB=AC，∠B与∠C相等吗？说明理由。你还有发现吗？ 16.如图，已知AB=AC，BD=DC，则∠B与∠C是什么关系？为什么？
∠BDC与∠A，∠B，∠C又有什么时候关系？ 17．已知AB=AD，DC=CB，则∠B与∠D是什么关系？ 18．已知AB=CD，AD=BC，则直线AB，CD有什么位置关系？为什么？ 19．如图，△ABC中AB=AC，AD是△ABC的中线，问AD还是三角形的什么线？为什么？ 20.如图，已知AB=DC，AC=DB，说明∠1=∠2
小专题(三)全等三角形性质与判定的综合应用 全等三角形是证明线段相等和角相等的常用方法,在解题中要注意寻找全等三角形,探索三角形全等的条件是三角形的重点,又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的判定方法时,要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系,从而选择适当的说明方法.有些题目中既要用到证全等,又要用到全等的性质,二者相互联合应用.在解决问题时,要注意题目的特点,选择合适的方法和解题思路. 类型1全等三角形的判定 1.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,则P1,P2,P3,P4四个点中符合条件的点P有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ABD≌△ACD的是①②④.(只填序号) 类型2四种判定全等方法的综合应用 3.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中 AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=1 AC;③ 2 △ABD≌△CBD.其中正确的结论有(D) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 类型3全等三角形判定的实际应用 4.有一块长方形的土地ABCD,分别被甲、乙两户承包,一条公路GEFH穿过这块地.为发展经济,决定将这条公路尽量修直,为不影响甲、乙两户土地面积,请你设计一种方案,来解决这个问题.
解:如图,取EF的中点M,连接GM并延长交FH于点N,GN就是修直后的道路. 类型4全等三角形性质与判定的综合应用 5.如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=∠C,BC=8 cm,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由. (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP全等? 解:(1)△BPD≌△CQP. 理由:因为t=1 s,所以BP=CQ=3×1=3(cm), 因为AB=10 cm,D为AB的中点,所以BD=5 cm. 又因为PC=BC-BP=8-3=5(cm),所以PC=BD. 又因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP(SAS). (2)因为v P≠v Q,所以BP≠CQ, 又因为△BPD与△CPQ全等,∠B=∠C, 所以BP=PC=4 cm,CQ=BD=5 cm, 所以点P,点Q运动的时间t=BP 3=4 3 (s), 所以v Q=CQ t =54 3 =15 4 (cm/s). 答:当点Q的运动速度为15 4 cm/s时,△BPD与△CQP全等.
全等三角形的判定专题练习 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 9．已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？ 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？ 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 A C D E F 1 2 A B C E H D A C M E F B D A B C E F D A B C E D F A D E B C 1 2 3 4 D C F E A B
专训1全等三角形判定的六种应用 名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题． 已知一边一角型 应用1：一次全等型 1．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC. (第1题) 2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF. 求证：AD是△ABC的中线． (第2题)
应用2：两次全等型 3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD. (第3题) 4．如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE. (第4题)
已知两边型 应用3：一次全等型 5．【2016·河北】如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． (第5题) 应用4：两次全等型 6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE. (第6题)
7．如图，已知AD＝AE，AB＝AC.求证：BF＝FC. (第7题) 已知两角型 应用5：一次全等型 8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC. (第8题)
全等三角形的判定方法SAS 专题练习 1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD 2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′ B ′，AC=A ′ C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C 3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________． 4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。 5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是 6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中， ∵ ∴△ABD ≌△ACD （ ） 7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵
∴△AOB≌△COD( ) 8.已知：如图，AB=CB，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？ 9.已知：如图，AB=AC，AD=AE ，∠1 =∠2 。试说明：△ABD ≌△ACE 。 10.已知：如图，△ABC中， AD⊥BC 于D，AD=BD， DC=DE，∠C=50°。求∠ EBD的度数。
三角形全等的条件（一） 学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测 一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已 知： 求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），
分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断 一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .
三角形全等的判定（一） 【课题】：三角形全等的判定（一）(平行班) 【教学目标】： （1）知识与技能目标：了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．（2）过程与方法目标：经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题。（3）情感与态度目标：培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识。 【教学重点】：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法 【教学难点】：理解证明的基本过程，学会综合分析法 【教学突破点】：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。 【课前准备】：课件
(图1) 如图1,AB=DE,BC=EF,AC=DF,证明△ABC≌△DEF 如下图，AC=EF，BC=DE，AD=BF，证明△ABC≌△FDE（提示：AD+BD=BF+BD 采取师生互动的形式完成。 即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目 标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 课后练习： 1、如图1，在△ABC中，AD=ED，AB=EB，BD是△ABD和△EBD的边，∠A=80°，则（1）依据
边边边 可判断图中的 △ABD ≌ △EBD ；（2）这时，∠BED= 80° 。 2、如图2，AB=DB ，BC=BE ，要使△AEB ≌△DCB ，则需增加的条件是（ C ）。 （A ）AB=BC （B ）AC=CD （C ）AE=DC （D ）AE=AC 3、如图3，直角三角形ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ D ）。 （A ）△AB C ≌△DEF （B ）∠DEF =90° （C ）A C=DF （D ）EC=CF 4、如图4，小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF ，EH=FH ，求证：△DEH ≌△DFH 。 （由DE=DF ，EH=FH ，DH=DH 得△DEH ≌△DFH ） 5、如图5 ，AB=DF ，AC=DE ，BE=CF ，BC 与EF 相等吗？?你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由． （△ABC ≌△ DFE ，理由是：AB=D ，AC=DE ，BC=FE ） 6、如图6，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC=ED ，AC=AD ，求证：∠B=∠E 。 （由AB=AE ，BC=ED ，AC=AD 得△ABC ≌△AED ，所以∠B=∠E ） ，BE=CF ，B 、E 、F 、C 在同一条直线 上，求证：AB ∥CD 。 证明：∵BE=CF ∴BF=CE 又∵AB=DC AF=DE ∴△ABF ≌△DCE ∴∠B=∠C ∴AB ∥CD 7、如图8，已知AD=BC ，AB=CD ，试说明：∠B=∠D 。 证明：连结AC ∵AD=BC AB=CD AC=AC ∴△ABC ≌△CDA ∴∠B=∠D 9、已知：如图，AD=BC ，AB=DC ，求证：∠A=∠C 图5
全等三角形判定 一、选择题： 1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全 一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4的 方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF,下列说法中成立的是（） A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFD C.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形中，没有相等的角 3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（） A．△ABD和△C DB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC 4.下列判断中错误 的是（） ．． A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 5.使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED， BC=BE，则∠ACB等于（） A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( ) A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/
B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/ D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/ 8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF （） A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 10.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰 好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 11.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG 分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2
三角形全等的判定—边角边公开课教 案 授课教师：乐山市市中区关庙中学雷万建 一、背景介绍与教学资料 本教材强调直观和操作，在观察中学会分析，在操作中体验变换。教材的编排淡化概念的识记，强调图形性质的探索。全等三角形的判定是今后证明线段相等和角相等的重要工具，是学习后续课程的必要基础。在教学呈现方式上，改变了“结论——例题——练习”的陈述模式，而采用“问题——探索——发现”等多种研究模式。在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验说理的必要性，用自己的语言说明理由，学会初步说理。 二、教学设计 教学内容分析 本节课的主要内容是探索三角形全等的条件“边角边”以及利用“判定基本事实证明三角形全等。学生通过自己实验，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法。由于本节课是学生探索三角形全等的条件的第一课时，所以对学生来讲是一次知识的飞跃，也为下面几节课的探索做铺垫。 教学目标： }
1、知识与技能： 探索、领会“判定两个三角形全等的方法 2、过程与方法： 经历探索三角形全等的判定方法的过程，能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 3、情感态度与价值观： 培养学生合理的推理能力，感悟三角形全等的应用价值，体会数学与实际生活的联系。重难点与关键： 1、重点：会用“边角边”证明两个三角形全等。 《 2、会正确运用“判定基本事实，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。同时 通过作图，论证不能证明两个三角形一定全等。既是难点也是关键点。 教学方法： 采用“问题----操作---结论—运用”的教学方法，让学生有一个直观的感受。 教学过程： 一、创设情境。 1、因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢。（图见课件）
全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．
全等三角形的判定及应用 深圳市育才二中雷树养(2005.8) 一.全等三角形的判定方法： 1.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写为”SAS”) 2.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写为”ASA”) 3.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写为”AAS”) 4.三边对应相等的两个三角形全等(简写为”SSS”) 特别地:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为”HL”) 二.判定两个三角形全等的基本思路: 1.有两边对应相等时,找夹角或第三边对应相等. 2.有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹等角的另一边相等. 3.有两个角相等时,找一对对应边相等. 三.判定两个三角形全等的注意事项: 熟练判定方法,要善于寻找图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件，如果不能直接找到条件，就要考虑加辅助线，构造全等三角形。 四.三角形全等的主要应用于: 1.证明两线段相等; 2.证明两角相等
五.典型例题： 例1.如图,已知AC=DB,要使得⊿ABC ≌⊿DCB,只需要增加一个条件是 ＿ ＿＿＿＿＿＿． (2001年安徽省中考题) 分析：因为BC 是公共边,又已知AC=BD,要使⊿ABC ≌⊿DCB,可利用SSS 或SAS 来说明. 解:AB=DC 或∠ACB=∠DBC 例2.如图,已知AC 、BD 交于点O,AC=BD. 求证:OA=OD 分析:要证明两线相等,可通过证明两三角形全等或证明等腰三角形来解决.本题直接 证明,条件不足.所以考虑作助线. 证明:连结AD,在⊿ABD 和⊿DCA 中, ∵AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴⊿ABD ≌⊿DCA(SSS) ∴∠B=∠C 在⊿AOB 和⊿DOC 中, ∵∠AOB=∠DOC,∠B=∠C,AB=DC ∴⊿AOB ≌⊿DOC(AAS) A B C D O
r 三角形全等的判定专题训练题 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ． 2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ． 3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ． 4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ． （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A
r 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E在同一直线上． 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG． 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC． 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM． 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF． 求证：△ABE≌△DCF． 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF． 求证：AM是△ABC的中线． 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AB=AC． G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A M F E （图9） C B A E （图10） D C B A
全等三角形判定方法四 种方法 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
三角形全等的条件（一） 学习要求 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”， 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 课堂学习检测 一、填空题 1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____ ___________________________________________________________________________． 3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了． 图2－1 图2－2 图2－3 4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． 分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______， 只要证______≌______ 证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴______＝______ 在△______和△______中， ∴______≌______（）． ∴∠PRM＝______（______）． 即RM． 5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D． 分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______． 证明：∵BE＝CF（）， ∴BC＝______． 在△ABC和△DEF中， ∴______≌______（）． ∴∠A＝∠D（______）． 6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB， 求证：△ABC≌△BAD． 证明：∵CE＝DE，EA＝EB， ∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC和△BAD中， ＝______（已知）， ∴△ABC≌△BAD（）． 综合、运用、诊断 一、解答题 7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
专题三全等三角形判定的三种类型 类型一：已知一边一角型 应用1 一次全等型 1、如图，在ΔABC中，BD=CD,∠1=∠2,求证：AD平分∠BAC. 2、如图，在ΔABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE=CF。求证：AD是ΔABC的中线。 应用2 二次全等型 3、如图，∠C=∠D,AC=AD，求证：BC=BD 4、如图，D是ΔABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC,∠BAE=∠CAE.求证：∠ABE=∠ACE.
类型二已知两边型 应用1 一次全等型 5、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90o,CA=CB,D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F，度猜想BF与AE的位置关系，并说明理由。 应用2 两次全等型 6、如图，AB=CB,AD=CD，E是BD上任意一点。求证：AE=CD 7、如图，∠BAC是钝角，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且CD=BE。求证：∠ADC=∠AEB
类型三已知两角型 应用1 一次全等型 8、如图，已知∠BDC=∠CEB=90O，BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC。求证：OB=OC. 应用2 两次全等型 9、如图，在ΔABC与ΔDCB中，AC与BD六于点E，且∠BAC=∠CDB，∠ACB=∠DBC，分别延长BA与CD交于点F。求证：BF=CF。 添加辅助线之倍长中线法 1.1、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且 AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． E D C B
全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如 DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边 边边”或“SSS ”． 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点D 是对应点?=∠26BAC ，且?=∠20B ，1=?ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ， BC//EF
例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥； （2）BD 平分ABC ∠ 【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、①② C 、②③ D 、③④ 2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ） A 、CD B ABD ??和的面积相等 B 、CDB ABD ??和的周长相等 C 、CB D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC 3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和B 以及C 和D 分别是对应点，如果 ?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ） A 、?85 B 、?35 C 、?60 D 、?80 4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 D 第3题图 第4题图 第5题图 B 第6题图