第十五章网络拓扑和电路方程的矩阵形式 第一节网络的拓扑图 一、网络的图：1、拓扑图： 在电路的分析中，不管电路元件的性质差别，只注意连接方式即网络拓扑的问题。若将每一条支路用一条线段（线段的长短、曲直不限）来表示，就组成拓扑图。如图15-1-1(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-2(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-3(a)对应电路在低频下的拓扑图为(b)。 此拓扑图是连通图。 (b) 是互感 电路的 分离图。 (b)是在低频下的拓扑图，是分离图，包括自环（自回路）、悬支、孤立结点。
2、有向图：如果标以支路电压、电流的（关联）参考方向，即成有向图。 3、子图：如果图G1的所有结点和支路是图G的结点和支路，则G1是G的子图。子图可以有很多。 第二节树、割集 一、树： 1、定义：连通图G的树T是G的一个子图。（1）它是连同的。（2）包括G中的所有结点。（3）不包含任何回路。树是连接图中所有结点但不包含回路的最少的支路集合。同一拓扑图可以有不同的树。对于一个有n个结点的全连通图可以选择出n n-2种不同的树。 2、树支和连支：当树确定后，凡是图G的支路又属于T的，称为树支，其它是连支。树支数T=n-1；连支数L=b-(n-1)。 二、割集： 定义：对连通图来说，割集C是一组支路的集合，如果把C的全部支路移去，将使原来的连通图分成两个分离部分，但在C的全部支路中，只要少移去一条支路，剩下的拓扑图仍是连通的。因此割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合。 三、独立回路组的确定： 可以通过树确定一组独立回路，称为单连支回路组。如图15-2-1。 选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、 8为连支，则单连支回路组为： {1、2、4}，{2、3、5}，{2、3、6、7}， {1、3、7、8}。 又称为单连支回路组。 四、独立割集组的确定： 可以通过树确定一组独立割集，称为单树支割集组。如图15-2-2。 选择支路1、2、3、7为树支，4、5、 6、8为连支，则单树支割集组为： {1、4、8}，{2、4、5、6}，{3、5、6、 8}，{6、7、8}。 又称为单树支割集组。 第三节关联矩阵、回路矩阵、
答案 第一章 【1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【2】：D 。 【3】：300；-100。 【4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315= - W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 121 2 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 185=A ；U I I S =-?=218 511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。 第二章
第十五章电路方程的矩阵形式 一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心 列出结点电压方程的矩阵形式。 （二）本章重点 1.关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵； 2.结点电压方程的矩阵形式。 （三）本章前后联系 本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。 二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1.割集定义 定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。 割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）； Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。 图G 的割集 2.关联矩阵定义 定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个 )(b n ?的矩阵，用a A 表示。行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下： 1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。 ? ???? ???????---++-++--++=0111001 0011001001110100143216 54321a A 划去a A 中的任意一行，剩下的b n ?-)1(矩阵用 A 表示，称为降阶关联矩阵： a b c d e f 5 Q 6 Q 7Q a b c d e f 1 Q 2 Q 3Q 4 Q 13
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为
总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日
摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.
答案 第一章 电路模型和电路定律 【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【题2】：D 。 【题3】：300；-100。 【题4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W = -14；P I S 315=- W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 121 2 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 18 5=A ；U I I S =-?=218511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。 第二章 电阻电路的等效变换 【题1】：[解答]
线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵
高代小练习 专业课研究部 一、填空题 1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成． 2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____. 3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）. 4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1 =（1，-3，0，2）α2 =（-2，1，1，1）α3 =（-1，-2， 1，3），则此向量组的秩是_2____. 5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的. 6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ?>=??秩B. 7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。 8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+- 10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求 21V V ?=_原点____，和21V V ?=_整个空间R 3 ____。 二．解答题 1.在4维向量空间中， （1）求基 到基 的过渡矩阵。
第十五章电路方程的矩阵形式 重点：1. 关联矩阵； 2. 结点电压方程的矩阵形式； 3. 状态方程。 难点： 电路状态方程列写的直观法和系统法。 §15.1 图的矩阵表示 1．有向图的关联矩阵 2．电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3．关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 4．回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 5．割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 6．本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。 7．一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为n ，支路数为b ，且所有结点与支路均加以编号。 于是，该有向图的关联矩阵为一个阶的矩阵，用表示。它的每一行对应一个结 点，每一列对应一条支路，它的任一元素定义如下： 8．，表示支路k 与结点j 关联并且它的方向背离结点; 9．，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10．，表示支路k 与结点j 无关联。 对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是 关联矩阵的特点：图 15.1 ① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出，即只有 n-1 行是独立的。 如果把的任一行划去，剩下的矩阵用表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵，所以往往略去“降阶”二字），被划去的行对应的结点可以当作参考结点。 例如，若以结点 4 为参考结点，把上式中的第 4 行划去，得 若以结点 3 为参考结点，把上式中的第 3 行划去，得 矩阵的某些列将只具有一个 +1 或一个－ 1 ，每一个这样的列必对应于与参考结点相关联的一条支路。 注意：给定可以确定，从而画出有向图。 2．用A表示矩阵形式的KCL 电路中的 b 个支路电流可以用一个 b 阶列向量表示，即 若用矩阵左乘电流列向量，则乘积是一个阶列向量，由矩阵相乘规则可知，它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和，即 因此，有 上式是用矩阵表示的KCL的矩阵形式。例如对图15.1，以结点4 为参考结点，有： 上式为n-1 个独立方程。
电路答案 ——本资料由张纪光编辑整理（C2-241内部专用） 第一章 电路模型和电路定律 【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【题2】：D 。 【题3】：300；-100。 【题4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315= - W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 121 2 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 185=A ；U I I S =-?=218 511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。
线性方程组AX=B的数值计算方法实验 【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组的问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。 关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、稀疏矩阵 一、实验目的 1.掌握高斯消元法、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。 2.掌握线性方程组AX=B的数值计算方法。 3.掌握矩阵的基本编程技巧。 二、实验原理 1.高斯消元法
数学上，高斯消元法是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。高斯（Gauss ）夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形（上三角）方程组求解问题（消元法），只是步骤规，便于编写计算机程序。 一般高斯消元法包括两过程：先把方程组化为同解的上三角形方程组，再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程，后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。 对一般的n 阶方程组，消去过程分n-1步：第一步消去11a 下方元素。第二步消去22a 下方元素，......，第n-1步消去1-n 1-n a ，下方元素。即第k 步将第k 行的适当倍数加于其后各行，或可说是从k+1~n 行减去第k 行的适当倍数，使它们第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k 行对应列元素的倍数。 2.三角分解法 三角分解法是将原正方 (square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU 分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。 （2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 （3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。 （4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r 第十五章 电路方程的矩阵形式 一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心 列出结点电压方程的矩阵形式。 （二）本章重点 1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵； 2. 结点电压方程的矩阵形式。 （三）本章前后联系 本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。 二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义 定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。 割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）； Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。 图G 的割集 2. 关联矩阵定义 定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个 )(b n ?的矩阵，用a A 表示。行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下： 1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。 a b c d e f 5 Q 6 Q 7 Q a b c d e f 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q ????? ? ??? ???---++-++--++=01110010011001001110100143216 54321a A 划去a A 中的任意一行，剩下的b n ?-)1(矩阵用 A 表示，称为降阶关联矩阵： ?? ?? ??????++-++--++=10011001001110100 1A A 阵表示的KCL 、KVL 方程： KCL ：0Ai = KCL ：n T u A u = 3. 回路矩阵定义 回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下： 1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。 选树（1、2、5），则有单连支回路（1、4、5），（1、2、6），（2、3、5），回路方向为连支方向，所以： ?? ?? ? ?????-+++++-+-=0101101000110110013216 54321B 1 3 21 3 线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x 由(3)-4×(1)(1) 得 第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x （2）将某行加入到另一行 （3）将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元 （1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n） （2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i 第1 章矩阵与线性方程组 矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本 概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。 1.1 主要理论与方法 1.1.1 矩阵的基本运算 一、矩阵与向量 a11x1 + a12x2 + ￠ ￠ ￠+ a1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2n x n = b2 ... a m1x1 + a m2x2 + ￠ ￠ ￠+ a mn x n = b m 9> >>>=>>>>; (1.1) 它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量 形式简记为 Ax = b (1.2) 式中 A =26664 a11 a12 ￠ ￠ ￠ a1n a21 a22 ￠ ￠ ￠ a2n ... ... ... a m1 a m2 ￠ ￠ ￠ a mn 37775 (1.3) 称为m ￡ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而 x =26664 x1 x2 ... x n 37775 ; b =26664 b1 b2 ... b m 37775 (1.4) 分别为n ￡1向量和m￡1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如 a = [a1; a2; ￠ ￠ ￠ ; a n] (1.5) 是1 ￡ n向量。 二、矩阵的基本运算 1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m￡ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n ￡m矩阵， 定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义 为 A H =26664 a¤11 a¤21 ￠ ￠ ￠ a¤m1 a¤12 a¤22 ￠ ￠ ￠ a¤m2 ... §1 消元法 引例 求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x （1.1） 解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组： 方程组（1.1）???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r （1.3） 由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义 以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 1． 将某一方程乘以一个非零的倍数； 2． 将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去； 3． 对调两方程的位置。 命题 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。 定理 在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中，如果s 线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线 性方程组 习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵 将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A 习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n 3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n 第14章 网络方程的矩阵形式 14-1 图14-1所示图G 的关联矩阵A 。 图14-1 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------?????? ???? ?? ?? ??12345111 00000000 1 1 1 000 000011110010010001 0010010 14-2 已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。 解 ()1) 5 图14-3 14-3 图14-3所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别是几个？ 解 4个，3个； 14-4 含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。 电路如图14-4（a ）所示，图中元件的下标代表支路编号，图14-4（b ）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。 图14-4（a）图14-4（b）解由图14-4（b）得节点关联矩阵A, 节点电压的列向量， 支路电流的列向量， 支路电压的列向量， 支路导纳矩阵， 节点导纳矩阵， 结点电压方程的矩阵形式为： 14-5对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。电路如图14-5（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。 图14-5（a）图14-5（b）解方法1直观法 KVL： KCL ： ； 消去：；； 代入上式： 然后整理成矩阵形式（略）。 方法2系统法 选图（b）中支路1 、 3 、 4 、 6 为树支 含电感单连支回路的KVL ： 含电容单树支割集的KCL ： 14-6求图14-6所示电路的状态方程。 解设u c ,i1，i2为状态变量 其中： 从以上方程中消去非状态量，得： 写成矩阵形式： 14-7 有向图G 如图所示，以结点5为参考点，列出其关联矩阵A ；若取树（4,6, 9,10）列出基本回路矩阵f B 和基本割集矩阵f Q 。 解 111100100002010100-1001A=300000-11-11040 0101 011-?? ? - ? ? ? ----?? f 1000000 1 1 101000011110010000110B 00010010010000100011000001 1011-?? ? -- ? ? --= ? -- ? ? - ? ?--? ? 题 14-7图 题14-6图 线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系 数学系数052 蒋春 摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。 关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性 引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。 1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系 设线性方程组：1111 2 222a x b y c l a x b y c l +=?????????+=???????? 因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）： ()11 22 1a b a b ≠??????? ○2平行的充分必要条件是： ()111 222 2a b c a b c =≠??????? ○3重合的充分必要条件是： ()111222 3a b c a b c ==??????? 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为 1122a b A a b ??=????，111222a b c B a b c ??=???? 现记线性方程组增广矩阵的列向量 112a a α??=????，122b b α??=????，132c c α?? =???? 则 甘肃政法学院 本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法 学号： 姓名： 指导教师： 成绩：__________________ 完成时间： 2012 年 11 月 目录 第一章引言 (1) 第二章线性方程组的几种解法 (1) 2.1 斯消元法 (1) 2.1.1 消元过程 (1) 2.1.2 回代过程 (2) 2.1.3 解的判断 (2) 2.2 克莱姆法则 (3) 2.3 LU分解法 (4) 2.4 追赶法 (6) 第三章结束语 (8) 致谢 (8) 参考文献 (9) 摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。 关键词:线性方程组;解法;应用 Several methods of solving linear equation group Abstract:The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union. Key word: Linear equations; Solution ; Example第十五章电路方程的矩阵形式
线性方程组的几种求解方法
矩阵与线性方程组
求解线性方程组的几种方法
线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿
电路方程的矩阵形式内容总结
线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系
线性方程组的几种求解方法
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