2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：
那么ω=（ ） A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3
2、已知复数1z i =-，则
221
z z
z -=-（ ） A. 2i B. －2i C. 2 D. －2
3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18
B. 3/4
C.
D. 7/8
4、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2S a =（ ）
A. 2
B. 4
C.
15
2
D.
172
5、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > x
B. x > c
C. c > b
D. b > c
6、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）
A.（0，1
1
a ）
B. （0，1
2
a ）
C. （0，
31a ） D. （0，
3
2a ） 7、0
20
3sin 702cos 10--=（ ）
A.
1
2
B.
2
C. 2
D.
2
8、平面向量a r ，b r
共线的充要条件是（ ）
A. a r ，b r 方向相同
B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量
C. R λ?∈， b a λ=r r
D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r
9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种
B. 30种
C. 40种
D. 60种
10、由直线21=
x ，x=2，曲线x
y 1
=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 4
17 C. 2ln 21 D. 2ln 2
11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点
距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （
4
1
，－1） B. （
4
1
，1） C. （1，2） D. （1，－2）
12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）
A. 22
B. 32
C. 4
D. 52
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13、已知向量(0,1,1)a =-r ，(4,1,0)b =r
，||a b λ+=r r
0λ>，则λ= ____________
14、过双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________
15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面
上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：
由以上数据设计了如下茎叶图：
甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：
284
292
295
304
306
307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329
331
333
336
337
343
356
根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。 （1） 求{}n a 的通项n a ；
（2） 求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
18、（本小题满分12分）
如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。 （1） 求DP 与CC 1所成角的大小；
（2） 求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。
1
A
19、（本小题满分12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2。根据市场
（1） 在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获
得的利润，求方差DY 1、DY 2；
（2） 将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A
项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a 2DX ）
20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦
点分别为F 1、F 2。F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25
||3
MF =
。 （1） 求C 1的方程；
（2） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+uuu r uuu r uuu u r
，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，
若OA uu r ·OB uu u r =0，求直线l 的方程。
21、（本小题满分12分）设函数1
()(,)f x ax a b Z x b
=+∈+，
曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。
（1） 求()y f x =的解析式；
（2） 证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3） 证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的
面积为定值，并求出此定值。
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。
（1）证明：O M ·OP = OA 2；
（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。过B 点的切线交
直线ON 于K 。证明：∠OKM = 90°。
23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2
：()x t y ?
???
???
为参数。 （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出
1'C ，2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？
说明你的理由。
24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数|4||8|)(---=x x x f 。 （1） 作出函数)(x f y =的图像；
（2） 解不等式2|4||8|>---x x 。
2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A
10．D
11．A
12．C
二、填空题 13．3
14．
3215
15．
43
π 16．
1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
三、解答题 17．解：
（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11
1
45a d a d +=??+=-?，解出13a =，2d =-．
所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)
42
n n n S na d n n -=+
=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4． 18．解：
如图，以D 为原点，DA
则(100)DA =，，u u u r ，(001)CC '=，，u u u r ．
连结BD ，B D ''．
在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．
设(1)(0)DH m m m =>，，u u u r
， 由已知60DH DA <>=，o uuu r uu u r ，
由cos DA DH DA DH DA DH =<>，uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r g
可得2m
解得m =
，所以122DH ??= ? ???
，uuu r ．
（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC +?+?'<>==
，uuu r uuu r 所以45DH CC '<>=，o u u u r u u u r
．
即DP 与CC '所成的角为45
．
（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，u u u r
．
因为01101cos 2DH DC +?+?<>==，uuu r uuu r ，
所以60DH DC <>=，o uuu r uuu r
．
可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30
．
19．解：
（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为
150.8100.26EY =?+?=，
221(56)0.8(106)0.24DY =-?+-?=， 220.280.5120.38EY =?+?+?=，
2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-?+-?+-?=．
（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -????
=+
? ?????
22
12100100100x x DY DY -????=+ ? ?????
22
243(100)100x x ??=
+-?? 2224(46003100)100
x x =-+?， 当600
7524x =
=?时，()3f x =为最小值． 20．解：
（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以15
13
x +=， 得123x =
，1y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是
22
2248193 1.a b
b a ?+=???=-?
， 消去2b 并整理得 4293740a a -+=，
解得2a =（1
3
a =
不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22
143
x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=uuu r uuu u r uuu r
知四边形12MF NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，
因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，
故l
的斜率323
k ==．
设l
的方程为)y x m -．
由223412)x y y x m ?+=??=-??，，
消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．
设11()A x y ，，22()B x y ，，
12169m x x +=，21284
9
m x x -=．
因为OA OB ⊥uu r uu u r
，所以12120x x y y +=． 121212126()()x x y y x x x m x m +=+--
2121276()6x x m x x m =-++
22841676699m m m m -=-+g g
21
(1428)09
m =-=．
所以m =．
此时22(16)49(84)0m m ?=-?->，
故所求直线l
的方程为y -
y =+． 21．解： （Ⅰ）2
1
()()f x a x b '=-
+，
于是2123210(2)a b a b ?+=?+???-=+??
，，
解得11a b =??=-?，， 或94
8.3a b ?=????=-??，
因a b ∈Z ，，故1
()1
f x x x =+
-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21
y x
=都是奇函数． 所以函数1
()g x x x
=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1
()111
f x x x =-+
+-． 可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)
，为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ??+
?-??
，． 由02
01
()1(1)f x x '=-
-知，过此点的切线方程为
2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--??
． 令1x =得001
1x y x +=
-，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-??
，．
令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．
直线1x =与直线y x =的交点为(11)
，． 从而所围三角形的面积为
000001112
12112222121
x x x x x +---=-=--．
所以，所围三角形的面积为定值2．
22．解：
（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥． 又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，
2OA OM OP =g ．
（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．
同（Ⅰ），有2
OB ON OK =g ，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g
g ，即ON OM
OP OK
=． 又NOP MOK =∠∠，
所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==
∠∠． 23．解：
（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．
1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C
的普通方程为0x y -=．
因为圆心1C
到直线0x y -=的距离为1， 所以2C 与1C 只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
1C '：cos 1
sin 2
x y θθ=???=??，（θ为参数）； 2C '
：4
x y ?
=????=??
（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '
：122
y x =+
，
联立消元得2
210x ++=，
其判别式24210?=-??=，
所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同． 24．解：
（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ??
=-+?
， ≤，
， ≤，
图像如下：
（Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．
由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，
．