2013年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称
【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等
2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于
⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴
1、等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到得距离相等
2、判定：到角两边距离相等的
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的
2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】
三、直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】
2、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半
3、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角是的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】
【重点考点例析】
考点一：等腰三角形性质的运用
例 1 （2012?襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．
分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
解：（1）当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=1
2
AC=
1
2
×8=4；
（2）当AB=BC时，
则∠A=∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴CD=cos∠BCD?BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，
则AD=4，
∴CD=tan∠A?AD=tan30°?4=43
3
；
故答案为：43
3
或43或4。
点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．
对应训练
1．（2012?广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=1
2
BC，则△ABC底角的
度数为（）
A．45°B．75°C．45°或75°D．60°
1．C
分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
解答：解：如图1：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC，∠ADB=90°，
∵AD=1
2 BC，
∴AD=BD，
∴∠B=45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图2，AC=BC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=
12
BC ， ∴AD=12AC ， ∴∠C=30°，
∴∠CAB=∠B=1802
A -∠ =75°， 即此时△ABC 底角的度数为75°；
综上，△ABC 底角的度数为45°或75°．
故选C ．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
考点二：线段垂直平分线
例2 （2012?毕节地区）如图．在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（ ）
A ．23
B ．2
C ．43
D ．4
思路分析：求出∠ACB ，根据线段垂直平分线求出AD=CD ，求出∠ACD 、∠DCB ，求出CD 、AD 、AB ，由勾股定理求出BC ，再求出AC 即可．
解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，
∵DE 垂直平分斜边AC ，
∴AD=CD ，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD ，
∴AB=1+2=3，
在△BCD 中，由勾股定理得：CB=3，
在△ABC 中，由勾股定理得：AC=
22AB BC +=23，
故选A ．
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
对应训练
2．（2012?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）
A．3 B．2 C．3D．1
2．B
分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出
∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
解答：解：连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵FD⊥AB，
∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，
∵DE=1，
∴AE=2DE=2，
∵∠FAE=∠AFD=30°，
∴EF=AE=2，
故选B．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强
考点三：等边三角形的判定与性质
例3 （2012?遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向
CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
思路分析：（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°
可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=1
2 QC，
即6-x= 1
2
（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可
知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=1
2
AB，由等边△ABC
的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．解答：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=1
2
QC，即6-x=
1
2
（6+x），解得x=2；
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ=∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，
∴
A FBQ
AP BQ
AEP BFQ ∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
,
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=1
2 EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=1
2 AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
对应训练
3．（2012?湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
3．分析：（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由
∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
解答：解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=1
2 BE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC ∥DE ，
∴BD ⊥AC ；
（2）在Rt △BED 中，
∵BE=6，DE=3，
∴BD=22BE DE -=2263-=33．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
考点四：角的平分线
例4 （2012?梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC=1，则EF= ．
思路分析：作EG ⊥OA 于F ，根据角平分线的性质得到EG 的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
解答：解：如图，作EG ⊥OA 于F ，
∵EF ∥OB ，
∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∵EG=CE=1，
∴EF=2×1=2．
故答案为2．
点评：本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题． 对应训练
4．（2012?常德）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DC=2，则D 到AB 边的距离是 ．
4．2
分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，得出DE 的长度是D 到AB 边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED ，代入求出即可．
解答：解：过D 作DE ⊥AB 于E ，则DE 的长度就是D 到AB 边的距离．
∵AD 平分∠CAB ，∠ACD=90°，DE ⊥AB ，
∴DC=DE=2（角平分线性质）， 故答案为：2．
点评：本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE ，本题比较典型，难度适中．
考点五：勾股定理
例5 （2012?黔西南州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB 的周长为 ．
思路分析：先证明四边形ACED 是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB 和EB 的长，从而求出四边形ACEB 的周长．
解：∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴AC ∥DE ．
又∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt △CDE 中，由勾股定理得CD=22CE DE -=23，
∵D 是BC 的中点，
∴BC=2CD=43，在△ABC 中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=
22AC BC +=213，
∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB 的周长=AC+CE+EB+BA=10+213，
故答案为：10+213．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB 和EB 的长的方法和途径．
对应训练
5． （2012?新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S 1=258
π，S 2=2π，则S 3是 ．
分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a 2+b 2=c 2，在等式两边同时乘以
8π，变形后得到S 2+S 3=S 1，将已知的S 1与S 2代入，即可求出S 3的值．
解答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a 2+b 2=c 2，
∴8πa 2+8πb 2=8
πc 2，即12（2a ）2π+12（2b ）2π=12（2c ）2π， ∴S 2+S 3=S 1，
又S 1=
258
π，S 2=2π， 则S 3=S 1-S 2=258
π-2π=98π． 故答案为：98π。
点评：此题考查了勾股定理，以及圆的面积求法，利用了转化的思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.8
1．C
专题：计算题．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE ，设CE=x ，表示出ED 的长度，然后在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：∵EO 是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ，
设CE=x ，则ED=AD-AE=4-x ， 在Rt △CDE 中，CE 2=CD 2+ED 2，
即x 2=22+（4-x ）2，
解得x=2.5，
即CE 的长为2.5．
故选C ．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
2．（2012?济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ） A ．-4和-3之间 B ．3和4之间 C ．-5和-4之间 D ．4和5之间
2．A
分析：先根据勾股定理求出OP 的长，由于OP=OA ，故估算出OP 的长，再根据点A 在x 轴的负半轴上即可得出结论．
解答：解：∵点P 坐标为（-2，3），
∴OP=22(2)3-+=13，
∵点A 、P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，
∴OA=OP=13，
∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于-4和-3之间．
故选A．
点评：本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012?肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或20
1．C
分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解答：解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．2．（2012?攀枝花）已知实数x，y满足|x-4|+8
y-=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
2．B
分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解答：解：根据题意得
40
88
x
y
-=
?
?
-=
?
，解得
4
8
x
y
=
?
?
=
?
，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
3．（2012?江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）
A．20°B．50°C．60°D．80°
3．B
分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=（180°-80°）÷2=50°．
故选B．
点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
4．（2012?三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．C
分析：分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出即可．
解答：解：以O为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，
即2个；
以A为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1=4，
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．
5．（2012?本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．分析：首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC．
解答：解：连接AE ，
∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=22AB AC =10，
∵DE 是AB 边的垂直平分线，
∴AE=BE ，
∴△ACE 的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．
故选A ．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．
6．（2012?荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为（ ）
A ．2
B ．23
C ． 3
D ．3
6．C
分析：先根据△ABC 是等边三角形P 是∠ABC 的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ ⊥BP 可得出BQ 的长，再由BP=2BQ 可求出BP 的长，在Rt △BEF 中，根据∠EBP=30°即可求出PE 的长．
解：∵△ABC 是等边三角形P 是∠ABC 的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ ⊥BP ，
∴BQ=BF?cos30°=2×32
=3， ∵FQ 是BP 的垂直平分线，
∴BP=2BQ=23，
在Rt △BEF 中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=12
BP=3． 故选C ．
点评：本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
7．（2012?黔东南州）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）
A ．（2，0）
B ．（51-，0）
C ．（101-，0）
D ．（5，0）
7．C
分析：在RT △ABC 中利用勾股定理求出AC ，继而得出AM 的长，结合数轴的知识可得出点M 的坐标．
解答：解：由题意得，AC=2222AB BC AC AD +=+=10，
故可得AM=10，BM=AM-AB=10-3，
又∵点B 的坐标为（2，0），
∴点M 的坐标为（10-1，0）．
故选C ．
点评：此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC 的长度是解答本题的关键，难度一般．
1．（2012?铜仁地区）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ．
9
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。
分析： 由∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ，利用两直线平
行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB ，∠NEC=∠ECN ，然后即可求得结论． 解答： 解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，
∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ，
∵MN ∥BC ，
∴∠EBC=∠MEB ，∠NEC=∠ECB ，
∴∠MBE=∠MEB ，∠NEC=∠ECN ，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．
点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．
2．（2012?佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质。
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得
解．
解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选C．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题
8．（2012?随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．8．6和4或5和5
分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5．
故答案为：6和4或5和5．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．
9．（2012?泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．9．3
分析：直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．
解答：解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，
∴BD=1
2
BC=
1
2
×6=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
10．（2012?钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为．
10．50°
分析：已知给出了等腰三角形的顶角等于80°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
解答：解：∵等腰三角形的顶角等于80°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°-80°）÷2=50°．
故答案为：50°．
点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．11．（2012?黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．11．6或25或45
分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．
解答：解：①如图1，
当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，
则BD=CD=3，
故底边长为6；
②如图2，△ABC 为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，
则AD=3，
∴BD=2，
∴BC=2224+=25，
∴此时底边长为25；
③如图3，△ABC 为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，
则AD=3，
∴BD=8，
∴BC=228445+=，
∴此时底边长为45．
故答案为：6或25或45．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．
12．（2012?贵阳）如图，在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数 ．
12．1802
n -
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数．
解答：解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，
∴∠BA 1A=1802B -∠ =180202
-
=80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1=12BA A ∠=802
=40°； 同理可得，
∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，
∴∠A n =1802
n -
． 故答案为：1802
n -
． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
13．（2012?海南）如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是 ．
13．9
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析：由在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，易证得△DOB 与△EOC 是等腰三角形，即DO=DB ，EO=EC ，继而可得△ADE 的周长等于AB+AC ，即可求得答案．
解答：解：∵在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，
∴∠DBO=∠CBO ，∠ECO=∠BCO ，
∵DE ∥BC ，
∴∠DOB=∠CBO ，∠EOC=∠BCO ，
∴∠DBO=∠DOB ，∠ECO=∠EOC ，
∴OD=BD ，OE=CE ，
∵AB=5，AC=4，
∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9． 故答案为：9．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB 与△EOC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
14．（2012?黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．
14．36°
分析：由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC 的度数，继而求得答案．
解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180
2
A
-∠
=72°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°．
故答案为：36°．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
15．（2012?黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．
15．4
分析：先在平面内摆出一个正三角形，然后再在空间又可以搭出三个等边三角形．
解答：解：如图，用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形．
故答案为：4．
点评：本题考查的是等边三角形的性质，解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平面图形．
16．（2012?泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是．
16．4
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 云南省八地市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2013?云南）﹣6的绝对值是（） A．﹣6 B．6C．±6 D． 2．（3分）（2013?云南）下列运算，结果正确的是（） A．m6÷m3=m2B．3mn2?m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2 3．（3分）（2013?云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（） A．B．C．D． 4．（3分）（2013?云南）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为（） A．1.505×109元B．1.505×1010元C．0.1505×1011元D．15.05×109元5．（3分）（2013?云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（） A．S?ABCD=4S △AOB B．A C=BD C．A C⊥BD D．?ABCD是轴对称图形 6．（3分）（2013?云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（） A．相离B．外切C．相交D．内切 7．（3分）（2013?云南）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（） A．9B．±3 C．﹣3 D．3 8．（3分）（2013?云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（） A． B．C．D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 9．（3分）（2013?云南）25的算术平方根是． 10．（3分）（2013?云南）分解因式：x3﹣4x=． 11．（3分）（2013?云南）在函数中，自变量x的取值范围是． 12．（3分）（2013?云南）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）． 13．（3分）（2013?云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=． 14．（3分）（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n 个数是． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分） 15．（4分）（2013?云南）计算：sin30°+（﹣1）0+（）﹣2﹣． 16．（5分）（2013?云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 17．（6分）（2013?云南）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标． 专题八：几何证明题 【问题解析】 几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型． 【热点探究】 类型一：关于三角形的综合证明题 【例题1】（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可 （2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可． 【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中，， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 【同步练】 （2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN． 类型二：关于四边形的综合证明题 【例题2】（2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG． （1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； （2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值． 2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过 三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198； （2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。 3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”． （1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=， 因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律． （2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除． 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 数学试题 第1页（共4页） 2013年十堰市初中毕业生学业考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1．2-的值等于（ ） A ．2 B ．1 2- C ．12 D ．－2 2．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE =18°，则∠B 等于（ A ．18° B ．36° C ．45° D ．54° 3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235a a a += B ．6 3 2a a a ? C ．426()a a = D ．235a a a = 4．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） 5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 6．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知 AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） A ．7cm B ．10cm C ．12cm D ．22cm 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC 的长为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 A ． B ． C ． D ． 第6题 B 第2题 第7题 正面 2018年中考数学第二轮专题复习 专题一选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2017年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（） A．1 B．-1 C．3 D．-3 对应训练 1．若y=(a+1)x a2-2是反比例函数，则a的取值为（） A．1 B．-l C．±l D．任意实数 考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法） 分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ； （2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。 （1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。 （2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。 3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→， 所以32和70都是“快乐数”． （1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”. 2014 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分） 1、2的值等于 （ ） A 、2 B 、-2 C 、2 D 、2 2、函数31+-= x y 中，自变量x 的取值范围是 （ ） A 、1>x B 、1≥x C 、1≤x D 、1≠x 3、方程 03 12=--x x 的解为 （ ） A 、2=x B 、2-=x C 、3=x D 、3-=x 4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ） A 、4,15 B 、3,15 C 、4,16 D 、3,16 5、下列说法中正确的是 （ ） A 、两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B 、两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C 、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D 、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 20. 已知圆柱的底面半径为 3cm ，母线长为 5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ） A 、30cm 2 B 、30πcm 2 C 、15cm 2 D 、15πcm 2 7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A 、35° B 、140° C 、70° D 、70°或 140° 8、如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 A C 、BD 相交于 O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等于 （ ） A 、 21 B 、41 C 、81 D 、16 1 1、如图，平行四边形 A BCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 A B 上，且 A E ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过 D 分别作 D P ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 D P ∶DQ 等于 （ ） A 、3:4 B 、3：52 C 、13：62 D 、32：13 10、已知点 A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记 N （t ）为□ABCD 内部（不含边界） 第7题图 第8题图 第9题图 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 中考数学专题复习之八：信息型题 所谓信息型题就是根据文字、图象、图表等给出数据信息，进而依据这些给出的信息通过整理、分析、加工、处理等手段解决的一类实际问题 【范例讲析】： 例1：某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加。（人均住房面积=该区住房总面积/该区人口总数，单位：m 2/人），该开发区 2003～2005年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如下 图：请根据两图所所提供的信息，解答下面的问题： ⑴该区2004年和2005年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？ 增加多少万m 2? ⑵由于经济发展需要，预计到2007年底，该区人口总数比2005年底 增加2万，为使到2007年底该区人均住房面积达到11m 2/人，试求2006 年和2007年这两年该区住房总面积的年平均增加率应达到百分之几？ 【闯关夺冠】 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过 程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）．两地间的距离是80千米．请你根据图像回答或解决下面的问题： （1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ （3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要 求写出自变量的取值范围）； （4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时 间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x 的方程或不等式（不要化 简，也不要求解）： ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； 2003 2004 2005 年 某开发区每年年底人口总 数统计图 2003 2004 2005 年 某开发区每年年底人均住房面积统计图 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 2013年广州市初中毕业生学业考试 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题： 1.（2013年广州市）比0大的数是（ ） A -1 B 1 2- C 0 D 1 分析：比0 的大的数一定是正数，结合选项即可得出答案 解：4个选项中只有D 选项大于0．故选D ． 点评：本题考查了有理数的大小比较，注意掌握大于0的数一定是正数 2.（2013年广州市）图1所示的几何体的主视图是（ ） （A ） (B) (C) (D)正面 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ． 点评：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ．． 3.（2013年广州市）在6×6方格中，将图2—①中的图形N 平移后位置如图2—②所示，则图形N 的平移方法中，正确的是（ ） A 向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D 向下移动2格 分析：根据题意，结合图形，由平移的概念求解 解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N 向下移动2格．故选D ． 点评：本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置． 4.（2013年广州市）计算： () 2 3m n 的结果是（ ） A 6 m n B 62 m n C 52 m n D 32 m n 分析：根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算即可 解：（m 3n ）2=m 6n 2 ．故选：B ． 点评：此题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，是一道基础题 5、（2013年广州市）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A ：报纸，B ：电视，C ：网络，D ：身边的人，E ：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条形图如图3，该调查的方式是（ ），图3中的a 的值是（ ） A 全面调查，26 B 全面调查，24 C 抽样调查，26 D 抽样调查，24 分析：根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量为50，故6+10+6+a+4=50，解即可 解：该调查方式是抽样调查，a=50﹣6﹣10﹣6﹣4=24，故选：D ． 点评：此题主要考查了条形统计图，以及抽样调查，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 6.（2013年广州市）已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ） A 1032x y y x +=??=+? B 1032x y y x +=??=-? C 1032x y x y +=??=+? D 1032x y x y +=??=-? 分析：根据等量关系为：两数x ，y 之和是10；x 比y 的3倍大2，列出方程组即可 解：根据题意列方程组，得： ．故选：C ． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语“x 比y 的3倍大2”，找出等量关系，列出方程组是解题关键． 7.（2013年广州市）实数a 在数轴上的位置如图4所示，则 2.5 a -=（ ） A 2.5a - B 2.5a - C 2.5a + D 2.5a -- 分析：首先观察数轴，可得a ＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5），则可求得答案 解：如图可得：a ＜2.5，即a ﹣2.5＜0，则|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5）=2.5﹣a ．故选B ． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 8.（2013年广州市）若代数式1x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围 解：根据题意得： ，解得：x≥0且x ≠1．故选D ． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数 9.（2013年广州市）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程2 40x x k +-=的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 分析：根据已知不等式求出k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况 解：∵5k+20＜0，即k ＜﹣4，∴△=16+4k ＜0，则方程没有实数根．故选A 点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 10.（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且 ,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ） F D C A B E 中考数学专题复习之三：数学的转化思想 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．． 。 【范例讲析】： 例1：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ， AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。求：cos ∠EDF 的值。 例2：如图，?ABC 中， ，于点交的平分线，F AD CF ACB DC AC ∠=点E 是 AB 的中点，连结EF.若四边形BDEF 的面积为6,求ABD ?的面积. 【闯关夺冠】 1：在?ABC 中，AB ＝6，?=∠=307B AC ，，求BC 的长. 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； A B C D E F P A B C D E F 第22题 A B x O y 往届中考题 三、解答题（每小题6分） 11．计算：101 ()(32)3 ---4cos30°+3 12．先化简，再求值：22211()x y x y x y x y +÷-+-，其中31,31x y == 13、（本小题满分8分）如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，∠DFC ＝∠AEB ． （1）求证：△ADF ∽△CAE ； （2）当AD ＝8，DC ＝6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积 （1）证明： 14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （4，0）、B （2，2），连结OB 、AB ． （1）求该抛物线的解析式； （2）求证：△OAB 是等腰直角三角形； 15、某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售. 该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨. 现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？ 2019年材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解． 2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根． 3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值． 中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图 2013年深圳市中考数学试卷 说明：1、答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位 置上，将条形码粘贴好。 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 4页。考试时间90分钟，满分100分。 3、本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律 无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 （本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1.－3的绝对值是（ ） A.3 B.-3 C.-31 D.3 1 2.下列计算正确的是（ ） A.2 2 2 )(b a b a +=+ B.2 2 )ab (ab = C.5 2 3)(a a = D.32a a a =? 3.某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ） A.81032.0? B.6102.3? C.7102.3? D.61032? 4.如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 5.某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ） A.最高分 B.中位数 C.极差 D.平均数 6.分式2 42+-x x 的值为0，则（ ） A.x =-2 B.x =2± C.x =2 D.x =0 7.在平面直角坐标系中，点P （－20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则b a +的值为（ ） A.33 B.-33 C.-7 D.7 8.小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. 1014401001440=--x x B. 101001440 1440++=x x C. 1010014401440+-=x x D. 1014401001440=-+x x 9.如图1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ） A.8或32 B.10或324+ C.10或32 D.8或324+ 10.下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直 角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 A..1个 B.2个 C.3个 D.4个 中考专题复习——新题型 一、选择题 1.(2008 湖北 荆门)科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按 照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( ) (A) 6米． (B) 8米． (C) 12米． (D)不能确定． 2. 形如 d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 d c b a ＝a d －bc ，依此 法则计算 4 13 2 的结果为（ ） A ．11 B ．－11 C ．5 D ．－2 3.(2008 台湾)某水果店贩卖西瓜、梨子及苹果，已知一个西瓜的价钱比6个梨子多6元，一个苹果的价钱比2个梨子少2元。判断下列叙述何者正确？( ) (A) 一个西瓜的价钱是一个苹果的3倍 (B) 若一个西瓜降价4元，则其价钱是一个苹果的3倍 (C)若一个西瓜降价8元，则其价钱是一个苹果的3倍 (D) 若一个西瓜降价12元，则其价钱是一个苹果的3倍 4.(2008 台湾)以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述： 甲：从学校向北直走500公尺，再向东直走100公尺可到图书馆。 乙：从学校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到邮局。 丙：邮局在火车站西方200公尺处。 根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站？( ) (A) 向南直走300公尺，再向西直走200公尺 (B) 向南直走300公尺，再向西直走600公尺 (C) 向南直走700公尺，再向西直走200公尺 (D) 向南直走700公尺，再向西直走600公尺 5.(2008 台湾) 若图（一）是某班40人投篮成绩次数长条图，则下列何者是图(一)资料的盒状图？( )2013年云南中考数学试题及解析
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