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有理数知识点、重点、难点、易错点

第一章 有理数

一、 知识框架图

有理数知识点、重点、难点、易错点

知识点详列:

1、正数和负数:数0既不是正数也不是负数。

正数和负数是表示两种具有相反意义的量。

2、 有理数分类

(1)按定义分类: (2)按性质符号分类:

????

??????????

?

??负分数正分数分数负整数正整数

整数有理数0 ???????????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴:通常,用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。 它满足以下要求:

(1) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;

(2) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向; (3) 选取适当的长度为单位长度。

4、相反数:绝对值相等,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数仍是0.

5、绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|。

由绝对值的定义可得:|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

6、有理数比较大小

正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。

7、有理数的四则运算

(1)有理数的加法

加法法则:

①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

③一个数同0相加,仍得这个数。

运算律:

加法交换律:a+b=b+a

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

(2)有理数的减法

可转化为加法进行,减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。

正-正=正+负;正-负=正+正;

负-正=负+负;负-负=负+正。

(4)有理数的乘法

乘法法则:

①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

②任何数同0相乘,都得0.

③乘积是1的两个数互为倒数。

④几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积为负。

运算律:

乘法交换律:ab=ba

乘法结合律:(ab)c=ab+ac

(5)有理数的除法

除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数,即1

(0)a b a b b

÷=?≠。

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。 会用计算器进行相关计算。 8、 有理数的乘方

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。

n a ,读作a 的n 次方,或者a 的n 次幂。其中a 称为底数,n 为指数。

法则:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

9、有理数的混合运算顺序

(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行; (2)同级运算,从左到右进行;

(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 10、科学记数法

把一些绝对值较大或者较小的数表示为10n a ?的形式(110,a n ≤<为整数),n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 11、近似数

有效数字:从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。 二、 重点

1、了解并掌握正数和负数的概念及意义,弄清符号和实际意义间的关系,学会互变的能力;

2、能正确分辨及使用正数、负数和0;

3、掌握有理数的分类,数轴、相反数和绝对值的概念;

4、数轴概念的理解及应用;

5、能综合应用有理数的知识,解决一些简单的实际问题;

6、有理数大小的比较;

7、有理数的四则运算及混合运算; 8、会用计算器进行有理数的运算; 9、科学记数法; 10、

近似数概念的理解,有效数字的判断。

三、 考点、易错点、难点

考点1:用正负数表示具有相反意义的量,时差转化问题

难点:时差转化

考点2:有理数的分类、分数与小数的互换、有理数大小的比较

难点:有理数的分类中,分数与有限小数和无限循环小数可以用分数表示,因此分数包括上述小数,无限不循环小数不是有理数。

考点3:利用数轴上的点比较数,利用数轴比较数的大小

易错点:数轴画法错误,三要素不齐全;

难点:抽象数大小比较

考点4:求相反数、互为相反数的两数和为0

考点5:求绝对值、绝对值的相关运算、绝对值的性质、考查非负数的性质

考点6:通过运算律进行有理数的简便运算

易错点:运算结果的符号的确定,运算顺序记错;诸如“(-3)+(-4)=-(3+4)=-7”的运算中-4未加括号,写成“(-3)+-4”;有理数的减法可以转化为有理数的加法运算,要特别注意转变中符号的改变。视具体情况,注意小数与分数、带分数与假分数的转变。

难点:乘方运算、有理数的混合运算;简便运算方法的选择:互为相反数的两个数可以先加,符号相同的数可以先加,能凑整数的可以先加,同分母的分数可以先加。

考点7:科学记数法表示大数、精确度(近似数四舍五入到哪一位,就精确到哪一位)、有效数字的判断

易错点:“科学记数法”中,110,

a n

≤<

为整数;精确度由a的末位数字还原后所在的数位决定;有效数字只

与a有关,当近似数后面有单位时,有效数字与单位无关,只与单位前面的数有关,但精确度与单位有关。考点8:探索有理数的规律,考查数学思想方法

难点:发现规律。

预测题

1、存入银行200元记作+200元,-500元表示。

2、图纸上一个零件的直径是+0.03

-0.0230φ(单位:mm ),这样标注表示零件的标准尺寸是 ,实际产

品的直径最大可以是 ,最小可以是 。

3、墨尔本与北京的时差是+3h ,(“+”同一时刻比北京时间早),从墨尔本飞到广州要10h ,若

从墨尔本9:00起飞,到广州时是北京时间 。

4、某粮库10日存粮食3000吨,下表是该粮库一周内进出粮食的记录(运进为正),

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(1) 根据记录,这周内该粮库哪一天运进的粮食最多?哪一天运出的粮食最多? (2) 一周后(

17日)该粮库共有粮食多少吨? (3) 哪一天粮库里的粮食最多?

5.(6

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问:这6、把下列各数填在相应的大括号里: +

12,-6,0.54,7,0,3.14,200%,3万,-124,3.4365,-4

13

,-2.543。 正整数集合{ …},负整数集合{ …}, 分数集合{ …},自然数集合{ …},

负数集合{ … }, 正数集合{ … }。

7、已知:|a|=3,|b|=2,且a

8、比较大小:-3.14 -π. —6_____4.5

-212 -31

3

7.9_______0

9、点A 在数轴上表示2,从点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ,则点B 所表示的数是______

10、已知:2+23=22×23;3+38=32×38;4+2444,1515=?255

552424+=?;……;

若10+b a =102×b

a

符合前面式子的规律,则a+b=________。

11、计算题(每小题3分,共24分)

⑴(+3.41)-(-0.59) ⑵ ??? ??--??? ?

?

-75137413

⑶(-6)÷(-3

1

)2 ⑷ -3-4+19-11+2

⑸2(3)2--? ⑹()2

1

2115.2212--+---

⑺ 666

(5)(3)(7)(312(3777

-?-+-?-+?- (8) 24)]3(2[611--?--

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用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按上图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖__________块,第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n 的代数式表示). 13、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/(a+b ),求2*(-3)*4的值。

14、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ,用科学记数法表示302400,应记为 ,近似数 3.0×

精确到 位。

15、实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图:化简|a -b|+|b -c|-|c -a|.

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16、我国拟设计建造的长江三峡电站,估计总装机容量将达16780000千瓦,用科学记数法表示总装机容量是( ) (A )4101678?千瓦 (B )61078.16?千瓦 (C )710678.1?千瓦 (D )8101678.0?千瓦

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