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第七章第一节简单不等式及其解法(09年9月最新更新)

高考数学高次分式不等式解法

课题：分式不等式高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或? ??>+<-040 1x x ?x ∈φ或-40；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下： ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-23}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的区间. 注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图： ④∴原不等式的解集为：{x|-1

不等式知识点详解

考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不等式知识要点 1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a （对称性）（2）c a c b b a >?>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

分式不等式的解法

一不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法根轴法（零点分段法） 1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2）分解因式； 3）标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）； 4）穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)；一元二次不等式解法步骤： 1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2）首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

一元一次不等式解法教学设计说明

一元一次不等式及解法教学设计教学目标： 1．知识与技能：掌握一元一次不等式的相关概念及其解法,能熟练的解一元一次不等式。 2．过程与方法：学生亲身经历探究一元一次不等式及其解法的过程，学生通过合作、类比等学习方法，加深对化归思想的体会。 3．情感态度与价值观：在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣，培养学生归纳总结知识的能力。教学重点:掌握解一元一次不等式的步骤．教学难点:不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向. 教学过程一、问题导入，出示学习目标请同学们用不等式表示下列关系（１）ｘ与７的差大于２６（２）ｘ的３倍小于ｘ的２倍与１和（３）ｘ的小于５０（４）ｘ的－４倍大于３师生活动：学生抢答说出答案。教师由此引出课题，出示学习目标。设计意图：以抢答的形式说出答案从而激发学生的学习兴趣。 32

二、自学质疑：自学122页的思考，完成下面的问题观察思考中的４个不等式，它们有哪些共同特征？（１）每一个不等式都只含有______个未知数（２）未知数的次数是_______ （３）这４个不等式叫做_______________ 师生活动：学生独立完成这三个问题后小组交流。从而归纳出一元一次不等式的概念。教师点拨一元一次不等式满足的三个条件：①含有一个未知数②次数是1③不等式。设计意图：培养学生的观察、归纳的能力。三、探究解法：问题1：解方程（1）2x－2＝6（2）5－5x＝10 类比解方程的步骤解（1）2x－2＜6 （2）5－5x ＞10 师生活动：学生完成解题过程。教师让学生对比解方程和解不等式的步骤，找出它们的相同点和不同点？（小组交流展示。）教师从而引出解一元一次不等式可以类比解一元一次方程的步骤。设计意图：通过让学生对比解方程和解不等式的步骤，找出它们的相同点和不同点从而获得解一元一次不等式可以类比解一元一次方程的步骤。合作探究

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=，当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则

分式不等式的解法基础测试题回顾.doc

分式不等式的解法一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。二．学习过程（一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式（1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2

（三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（） .A }2131|{>-x x .D }31|{->x x （四）归纳总结 1．解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式或不等式组． 2．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解；若不等式含有等号时，分母不为零．即：（1）f (x )g (x )＞0?()()0>?x g x f （f (x )g (x ) <0?()()0

1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式（1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x

(完整版)一元一次不等式的概念和解法

一元一次不等式教学设计（第1课时）安徽省淮南市平圩中学李芬教学目标：（1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集（2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会．教学重点：一元一次不等式的解法．解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。教学难点：解一元一次不等式步骤的确定通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式．教学过程设计（一）引课课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想温故知新给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义：【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解观察下列不等式：（1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75；（3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比．师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一