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2011高考文科数学立体几何

2011高考文科数学立体几何
2011高考文科数学立体几何

15.(2011全国)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC

所成角的余弦值为 。

20.(2011全国)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........

) 如图,四棱锥S ABCD -中, AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,

2,1AB BC CD SD ====.

(I )证明:SD ⊥平面SAB ;

(II )求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

16、(2011江苏)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,

AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证:(1)直线E F ‖平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面PAD 17、(2011江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm

(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2

)最大,试问x 应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

5.(2011

北京卷)某四棱锥的三视图如图

所示,该四棱锥的表面积是

A .32

B .16+162

C .48

D .16+322

F

E

A

C

D

B

P x

x

E

F A

B

D

C

17.(2011北京卷)(本小题共14分)

如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB ,PA ⊥BC,点

D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.

(Ⅰ)求证:DE ∥平面BCP ; (Ⅱ)求证:四边形DEFG 为矩形;

(Ⅲ)是否存在点Q ,到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等? 说明理由.

(8)(2011安徽卷)一个空间几何体的三视图

如图所示,则该几何体的表面积为 (A ) 48 (B )32+817 (C )48+817 (D )

80

(19)(2011

安徽卷)(本小题满分13分)

如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,1OA =,2OD =,△OAB ,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线BC EF ∥; (Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积.

8.(2011

新课标)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如

右图所示,则相应的侧 视图可以为 16.(2011

新课标)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和

底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________. 18.(2011

新课标)(本小题满分12分)

如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=?,2AB AD =

PD ⊥底面ABCD . (I )证明:PA BD ⊥;

(II )设PD=AD=1,求棱锥D-PBC 的高.

7、(2011上海)若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形,则该圆锥的侧面积是 。

20、(2011上海)(14分)已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,高12AA =。求:

⑴ 异面直线BD 与1AB 所成的角的大小(结果用反三角函数表示);

⑵ 四面体11AB D C 的体积。

6.(四川2011)1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是

(A )12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ?

(B )12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥

(C )233////l l l ?1l ,2l ,3l 共面

(D )1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面

15.(四川2011)如图,半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧

面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.

19.(四川2011)(本小题共l2分)

如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,延长A 1C 1至点P ,使C 1P =A 1C 1,连接AP 交棱CC 1于D .

(Ⅰ)求证:PB 1∥平面BDA 1;

(Ⅱ)求二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值;

2

3

3

D

C

B

A

D 1

C 1

B 1

A 1

10.(天津2011)一个几何体的三视图如图所示(单

位:m ),则该几何体的体积为__________3

m

13.(天津2011)如图已知圆中两条弦AB 与CD 相

交于点F ,E 是AB 延长 线上一点,且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ==

=

若CE 与圆相切,则CE 的长为__________

14.(天津2011)已知直角梯形ABCD 中,AD //BC ,0

90ADC ∠=,2,1AD BC ==,

P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为____________

17.(天津2011)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为

平行四边形,0

45ADC ∠=,1AD AC ==,O 为AC 中点,

PO ⊥平面ABCD , 2PO =,

M 为PD 中点.

(Ⅰ)证明:PB //平面ACM ; (Ⅱ)证明:AD ⊥平面PAC ; (Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.

8.(辽宁2011)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为32,

它的三视图中的俯视图

如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是

A .4

B .32

C .2

D .3

10.(辽宁2011)已知球的直径SC=4,A ,B 是该球球面上的两点,AB=2,

∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC 的体积为

A .

3

3

B .

233 C .43

3

D .

53

3

18.(辽宁2011)(本小题满分

12分)

D

C

A

B

P

M

O

如图,四边形ABCD 为正方形,QA ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =1

2

PD . (I )证明:PQ ⊥平面DCQ ;

(II )求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值.

11.(山东2011)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命

题:①存在三棱柱,

其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯

视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命

题的个数是 A .3 B .2 C .1 D .0

19.(山东2011)(本小题满分12分)

如图,在四棱台1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥平面A B C D ,底面ABCD 是平行四边形,

AB=2AD ,11AD=A B ,BAD=∠60°

(Ⅰ)证明:1AA BD ⊥; (Ⅱ)证明:11CC A BD ∥平面

5.(陕西2011)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 A .283π-

B .83

π

-

C .8-2π

D .23

π

B .(陕西2011)(几何证明选做题)如图,

,,90B D A E B C A C D ∠=∠⊥∠= 且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=_______.

16.(陕西2011)(本小题满分12分)

如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是BC 上的高,沿AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°。

(Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC;

(Ⅱ)设BD=1,求三棱锥D —ABC的表面积。

18.(本小题满分12分)

叙述并证明余弦定理。 7.(广东2011)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的

对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A .20 B .15 C .12 D .10 9.(广东2011)如图1-3,某几何

体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 A .34 B .4 C .32

D .2

15.(广东2011)(集合证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,CD=2.E,F

分别为AD ,BC 上点,且EF=3,EF ∥AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 18.(广东2011)(本小题满分13分) 图5所示的集合体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一

半沿切面向右水平平移后得到的.A ,A′,B ,B′分别为CD ,''C D ,DE ,''D E 的中点,

''

112,2

,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点. (1)证明:''

12,,,O A O B 四点共面;

(2)设G 为A A′中点,延长\''1A O 到H′,使得''''11O H AO =.证明:''''

2BO H B G ⊥平面

9.(江西2011)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为( )

18.(江西2011)(本小题满分12分)

如图,在=

2,2

ABC B AB BC P AB π

?∠==中,,为边上一动点,PD//BC 交AC 于

点D,现将'

'

,PDA .PDA PD PDA PBCD ??⊥沿翻折至使平面平面 (1)当棱锥'

A PBCD -的体积最大时,求PA 的长; (2)若点P 为A

B 的中点,E 为

''.AC B DE ⊥的中点,求证:A

(7)(2011浙江卷)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

(20)(2011

浙江卷)(本题满分14分)如图,在三棱

锥P ABC -中,AB AC =,D 为BC 的中点,PO ⊥平

面ABC ,垂足O 落在线段AD 上. (Ⅰ)证明:AP ⊥BC ;

(Ⅱ)已知8BC =,4PO =,3AO =,2OD =.求二面角B AP C --的大小

7.(2011湖北)设球的体积为V ,它的内接正方体的体积为V ,下列说法中最合适的是

A .V 比V 大约多一半

B .V 比V 大约多两倍半

C .V 比V

大约多一倍

D .V 比V

大约多一倍半

18.(2011湖北)(本小题满分12分)

如图,已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2,侧棱长为3

2,点E 在侧棱1A A 上,点F 在侧棱1B B 上,

且22A E =,2BF =.

(I ) 求证:1C F C E ⊥;

(II ) 求二面角1E C F C --的大小。

4.(2011湖南)设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A .942π+ B.3618π+ C.9122π+ D.9

182

π+

19.(2011湖南)(本题满分12分) 如图3,在圆锥PO 中,已知2,PO O =的

2A B C

=∠点在

上,且CAB=30为的中点.

(I )证明:;AC POD ⊥平面

(II )求直线和平面PAC 所成角的正弦值.

15.(2011福建)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2。,

点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若EF ∥平面AB 1C ,则线段EF 的长度等于________. 20.(2011福建)(本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB 。 (I )求证:CE ⊥平面PAD ;

(11)若PA=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD 的体积

3 3

2

正视图

侧视图

俯视图

图1

10.高为2的四棱锥S ABCD

-的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

A.10

2

B.

23

2

+

C.

3

2

D.2

20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分)

如题(20)图,在四面体ABCD中,平面ABC ⊥平面A,

,2,1

AB BC AC AD BC CD

⊥====

(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;

(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析 莘县实验高中赵常举邮编:252400 科目:数学试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科) 知识点检索号 新课标 题目及解析 1 (1)设集合{} 1,2,3,4 U=,{} 1,2,3, M={} 2,3,4, N=则 U = ? (M N)(A){} 12,(B){} 23,(C){} 2,4(D){} 1,4 【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法,易求{2,3} M N =, 进而求出其补集为{} 1,4. 【精讲精析】选D. {2,3},(){1,4} U M N M N =∴=. 4 (2 )函数0) y x =≥的反函数为 (A) 2 () 4 x y x R =∈(B) 2 (0) 4 x y x =≥ (C)2 4 y x =() x R ∈(D)2 4(0) y x x =≥ 【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围,它是反函数的定义域。【精讲精析】选B. 在函数0) y x =≥中,0 y≥且反解x得 2 4 y x= ,所以0) y x =≥的反函数为 2 (0) 4 x y x =≥. 20 (3)设向量,a b满足||||1 a b ==,则2 a b += (A (B (C (D 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项. 【精讲精析】选A.即寻找命题P使P, a b a b ?>>推不出P,逐项验证可选A。

29 (4)若变量x,y满足约束条件 6 3-2 1 x y x y x +≤ ? ? -≤ ? ?≥ ? ,则=23 z x y +的最小值为(A)17 (B)14 (C)5 (D)3 【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数=23 z x y +的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系,进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。 【精讲精析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线=23 z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5. 24 (5)下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A)1 a b+ >(B)1 a b- >(C)22 a b >(D)33 a b > 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项. 【精讲精析】选A.即寻找命题P使P, a b a b ?>>推不出P,逐项验证可选A。 11 (6)设 n S为等差数列{}n a的前n项和,若11 a=,公差2 d=, 2 24 k k S S + -=,则 k= (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 【思路点拨】思路一:直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二: 利用 221 k k k k S S a a +++ -=+直接利用通项公式即可求解,运算稍简。 【精讲精析】选D. 2211 2(21)2(21)224 5. k k k k S S a a a k d k k +++ -=+=++=++?=?= 19 (7)设函数()cos(0) f x x ωω =>,将() y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B)3(C)6(D)9

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2011—2017高考全国卷文科数学立体几何总结

新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ,α∥平面11C B D ,α平面ABCD m =, α 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 2 B .2 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15

2011年全国高考文科数学试题及答案-新课标

2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N ,则P 的子集共有 A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 2.复数512i i =- A .2i - B .12i - C . 2i -+ D .12i -+ 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 A .3 y x = B .||1y x =+ C .21y x =-+ D .|| 2 x y -= 4.椭圆 22 1168 x y +=的离心率为 A . 1 3 B . 12 C D . 2 5.执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是 A .120 B . 720 C . 1440 D . 5040 6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A .13 B . 12 C .23 D .34

7.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos 2θ= A . 45 - B .35 - C . 35 D . 45 8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为 9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ?的面积为 A .18 B .24 C . 36 D . 48 10.在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 A .1 (,0)4 - B .1(0,)4 C .11(,)42 D .13(,)24 11.设函数()sin(2)cos(2)44 f x x x π π =+++,则 A .()y f x =在(0,)2 π 单调递增,其图象关于直线4 x π =对称 B .()y f x =在(0,)2 π 单调递增,其图象关于直线2 x π =对称 C .()y f x =在(0,)2 π 单调递减,其图象关于直线4 x π =对称 D .()y f x =在(0, )2 π 单调递减,其图象关于直线2 x π = 对称 12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2 ()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函 数|lg |y x =的图象的交点共有 A .10个 B .9个 C .8个 D .1个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第

2018届高考数学(理)热点题型:立体几何(含答案解析)

4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1

-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.

年高考数学试题知识分类大全立体几何

年高考数学试题知识分类大全立体几何 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1.(全国Ⅰ?理7题)如图,正四棱柱1111D C B A ABCD -中, AB AA 21=,则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( D ) A .51 B .52 C .53 D .5 4 2.(全国Ⅱ?理7题)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于( A ) A . 6 B . 10 C . 2 2 D . 3 3.(北京理3题)平面α∥平面β的一个充分条件是( D ) A .存在一条直线a a ααβ,∥,∥ B .存在一条直线a a a αβ?,,∥ C .存在两条平行直线a b a b a b αββα??,,,,∥,∥ D .存在两条异面直线a b a a b αβα?,,,∥,∥ 4.(安徽理2题)设l ,m ,n 均为直线,其中m ,n 在平面α内,“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也 不必要条件 5.(安徽理8题)半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点,则A 与B 两点间的球面距离为( ) A .)33arccos(- B .)36arccos(- C .)31arccos(- D .)4 1arccos(- 6.(福建理8题)已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( D ) A .,,//,////m n m n ααββαβ??? B . //,,//m n m n αβαβ??? C .,//m m n n αα⊥⊥? D . //,m n n m αα⊥?⊥

(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题 1.(2012年7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A )6 (B )9 (C )12 (D )18 2.(2012年8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 (A )6π (B )43π (C )46π (D )63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______. 5.(2014年8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4 B .16π C .9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r =( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 9(2016年7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 10(2016年11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面,11ABB A n α=I 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A )32 (B )22 (C )33 (D )1 3 11.(2017年6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12.(2017年16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。

2011年全国新课标高考文科数学试题及答案

数学(文) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N I ,则P 的子集共有 A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 2.复数512i i =- A .2i - B .12i - C . 2i -+ D .12i -+ 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 A .3 y x = B .||1y x =+ C .2 1y x =-+ D .|| 2 x y -= 4.椭圆 22 1168 x y +=的离心率为 A . 13 B .1 2 C .33 D .22 5.执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是 A .120 B . 720 C . 1440 D . 5040 6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A . 13 B . 12 C .23 D .34 7.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ= A . 4 5 - B .35 - C . 35 D . 45 8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为 9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准 线上一点,则ABP ?的面积为 A .18 B .24 C . 36 D . 48 10.在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 A .1 (,0)4 - B .1(0,)4 C .11(,)42 D .13(,)24

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II) 数学 本试卷共4页,三大题21小题。满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差22,24k k d S S +=-=,则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3 π 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足,若 2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值.

2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小.

4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

2011年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 (1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =(M N ) I e (A ){}12, (B ){}23, (C ){}2,4 (D ){}1,4 【答案】D 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=eQ I I (2) 函数0)y x =≥的反函数为 (A )2()4x y x R =∈ (B )2(0)4 x y x =≥ (C )24y x =()x R ∈ (D )24(0)y x x =≥ 【答案】B 【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得2 4 y x =,又原函数的值域为0y ≥, 所以函数0)y x =≥的反函数为2 (0)4 x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12 a b ?=-r r ,则2a b += (A (B (C (D 【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】2221|2|||44||14()432 a b a a b b +=+?+=+?-+=r r r r r u r , 所以2a b +=r r (4)若变量x ,y 满足约束条件63-21x y x y x +≤??-≤??≥? ,则=23z x y +的最小值为 (A )17 (B )14 (C )5 (D )3 【答案】C

【命题意图】本题主要考查简单的线性规划. 【解析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5. (5)下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A )1a b +> (B )1a b -> (C )22a b > (D )33a b > 【答案】A 【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. 【解析】即寻找命题P ,使P a b ?>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A. (6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,224k k S S +-=,则k = (A )8 (B )7 (C )6 (D )5 【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一 2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422 k k k k k k S S k k k +++--=+?+?-?+?=+=,解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++?++?=+=,解得5k =. (7)设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3 π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A )13 (B )3 (C )6 (D )9 【答案】C 【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系. 【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3 π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3 k k Z ππω?=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=. (8)已知直二面角l αβ--,点A α∈,AC l ⊥,C 为垂足,B β∈,BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD === ,则CD = (A ) 2 (B (C (D )1 【答案】C 【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.

立体几何-2019年高考理科数学解读考纲

05 立体几何 (三)立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.90πB.63π C.42πD.36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规

则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解. 考向二 球的组合体 样题4 (2017新课标全国Ⅲ理科)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B . 3π4 C . π2 D . π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示: 由题意可得:, 结合勾股定理,底面半径, 由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是,故选B. 【名师点睛】(1)求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 (2017江苏)如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12 O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则 1 2 V V 的值是 .

高考数学专题:空间向量与立体几何(含解析)

立体几何中的向量方法 1.(2012年高考(重庆理))设四面体的六条棱的长分别为 a ,且长为a 的 ,则a 的取值范围是 ( ) A . B . C . D . [解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4 AO PO AOP R ?∴∠= =,A )0,23 ,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP , 4 2 arccos ?=∴R P A 2. (2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 ( ) A B C D . 35 解析:不妨设122CA CC CB ===, 11(2,2,1),(0,2,1) AB C B =-=- , 111111cos ,5 AB C B AB C B AB C B ×<>= =-,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,选A. 3.(2012年高考(天津理))如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC . (Ⅰ)证明PC 丄AD ; (Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值; (Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0 30,求AE 的长. P

【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线 与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:(1)以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向,建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22 D C B P - (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥ (2)(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-,设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = 则0 202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===???? 取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630 cos ,sin ,66 AD n AD n AD n AD n <>= = ?<>= 得:二面角A PC D --的正弦值为 6 (3)设[0,2]AE h =∈;则(0,0,2)AE =,11 (,,),(2,1,0)2 2 BE h CD =-=- cos ,210 10BE CD BE CD h BE CD <>= ? = ?= 即10AE = 方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由 ,AD AC PA AC A ⊥?=,故AD ⊥平面 PAC ,又PC ?平面 PAC ,所以PC AD ⊥. (2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

2011年全国卷1文科数学 答案

绝密★启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修I) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试..题卷上作答无效....... . 3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 一、选择题 (1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =(M N ) I e (A ){}12, (B ){}23, (C ){}2,4 (D ){}1,4 【答案】D 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=eQ I I (2)函数(0)y x x =≥的反函数为 (A )2()4x y x R =∈ (B )2(0)4 x y x =≥ (C )24y x =()x R ∈ (D )24(0)y x x =≥ 【答案】B 【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得2 4 y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥

的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ,12 a b ?=-r r ,则2a b +=r r (A )2 (B )3 (C )5 (D )7 【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】2221|2|||44||14()432 a b a a b b +=+?+=+?-+=r r r r r u r ,所以23a b +=r r (4)若变量x ,y 满足约束条件63-21x y x y x +≤??-≤??≥? ,则=23z x y +的最小值为 (A )17 (B )14 (C )5 (D )3 【答案】C 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划. 【解析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5. (5)下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A )1a b +> (B )1a b -> (C )22a b > (D )33a b > 【答案】A 【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. 【解析】即寻找命题P ,使P a b ?>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A. (6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,224k k S S +-=,则k = (A )8 (B )7 (C )6 (D )5 【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一 2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422 k k k k k k S S k k k +++--=+?+?-?+?=+=,解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++?++?=+=,解得5k =. (7)设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移 3 π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于

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