八年级上学期期末数学试题

一、选择题

1．下列四组线段a 、b 、c ，不能组成直角三角形的是( ) A ．4,5,3a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c === C ．5,

12,13a b c ===

D ．1,

2

,3a b c ===

2．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ） A ．a ：b ：3c =：4：5 B ．A ∠：B ∠：9C ∠=：12：15 C ．C A B ∠=∠-∠ D ．222b a c -=

3．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．下列根式中是最简二次根式的是( ) A ．

23

B ．3

C ．9

D ．12

5．下列各组数不是勾股数的是（ ） A ．3，4，5

B ．6，8，10

C ．4，6，8

D ．5，12，13

6．如图,在ABC ?中,90C ∠=?,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC

的长为（ ）

A 51

B 51

C 31

D 31

7．在平面直角坐标系中，点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()3,2

B ．()2,3-

C ．()3,2-

D ．()3,2--

8．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)-

B ．(4,3)-

C ．(4,3)-

D ．()3,4-

9．如图，函数 y 1＝﹣2x 与 y 2＝ax +3 的图象相交于点 A （m ，2），则关于 x 的不等式﹣2x ＞ax +3 的解集是（ ）

A ．x ＞2

B ．x ＜2

C ．x ＞﹣1

D ．x ＜﹣1 10．下列计算，正确的是（ ）

A ．a 2﹣a=a

B ．a 2?a 3=a 6

C ．a 9÷a 3=a 3

D ．（a 3）2=a 6

二、填空题

11．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．下列条件：①∠A ＝∠B ﹣∠C ；②a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）；③∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5；④a ：b ：c ＝5：12：13．其中能判断△ABC 是直角三角形的是_____（填序号）．

12．如图，直线I I ：1y x =+与直线2I ：y mx n =+相交于点(,2)P a ，则关于x 的不等式1x mx n +≥+的解集为______．

13．已知10个数据：0，1，2，6，2，1，2，3，0，3，其中 2 出现的频数为____． 14．如图，一艘轮船由海平面上的A 地出发向南偏西45o的方向行驶50海里到达B 地，再由B 地向北偏西15o的方向行驶50海里到达C 地，则A 、C 两地相距____海里.

15．已知一次函数3y kx =+与2y x b =+的图像交点坐标为(?1，2)，则方程组

3

2y kx y x b =+??

=+?

的解为____． 16．根据如图所示的计算程序，小明输入的x 的值为36，则输出的y 的值为__________.

17．化简：|32|-=__________．

18．用四舍五入法将2.0259精确到0.01的近似值为_____．

19．如图，等边△ABC 的周长是18，D 是AC 边上的中点，点E 在BC 边的延长线上．如果DE ＝DB ，那么CE 的长是_____．

20．如图，等腰Rt △OAB ，∠AOB ＝90°，斜边AB 交y 轴正半轴于点C ，若A （3，1），则点C 的坐标为_____．

三、解答题

21．如图，正方形网格由边长为1的小正方形组成，ABC ?的顶点都在格点上，平面直角坐标系的坐标轴落在网格线上，按要求完成作图：

（1）作出ABC ?关于y 轴对称的图形111A B C ?，其中，点1A 的坐标为_______.

（2）在x 轴上画出一点Q ，使得ACQ ?的周长最小. 22．已知函数y=（2m +1）x+m ﹣3． （1）若函数图象经过原点，求m 的值；

（2）若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； （3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m 的取值范围．

23．甲、乙两车同时从A 地出发前往B 地，其中甲车选择有高架的路线，全程共50km ，乙车选择没有高架的路线，全程共44km .甲车行驶的平均速度比乙车行驶的平均速度每小时快20千米，乙车到达B 地花费的时间是甲车的1.2倍.问甲、乙两车行驶的平均速度分别是多少？

24．先化简，再求值：

35

(2)362

x x x x -÷+---，其中53x =- 25．如图，AO BO ⊥，DO EO ⊥，AO BO =，DO EO =. 求证：AE BD =.

四、压轴题

26．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足

3a c x +=

，3

b d

y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足14

13x -+==，()8223

y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点．

（1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．

①试确定y 与x 的关系式；

②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；

③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．

27．（1）问题发现．

如图1，ACB ?和DCE ?均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．

①求证：ADC BEC ??≌． ②求AEB ∠的度数．

③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．

如图2，ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=?，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ?中DE 边上的高，连接BE ．

①请判断AEB ∠的度数为____________．

②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 28．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B

b 满足

|21|280a b a b --++-=．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；

（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：

3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．

29．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．

（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；

（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和

ABP ?全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

30．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．

（1）求证：AE ＝BD ；

（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；

（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D 解析：D 【解析】 【分析】

根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可. 【详解】

解：A.22

22223491625,

525,a b c +=+==+=,

B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,

C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,

222222123,39,.1D a b c +=+==+≠.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，正确计算出每项的结果.

2．B

解析：B 【解析】

分析：根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，进而得到答案. 详解：A.设三边分别为3k ，4k ，5k ，因为(3k)2+(4k )2=(5k )2，所以是直角三角形； B.因为∠C=

0015

180909+12+15

?<，所以不是直角三角形；

C. ∠C=∠A ﹣∠B ，即∠B+∠C=∠A ，故∠A=090，所以是直角三角形；

D.因为b 2﹣a 2=c 2，所以c 2+a 2= b 2，所以是直角三角形. 故答案为B.

点睛：此题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

3．D

解析：D 【解析】

试题分析：A ．是轴对称图形，故本选项错误； B ．是轴对称图形，故本选项错误； C ．是轴对称图形，故本选项错误； D ．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D ．

考点：轴对称图形．

4．B

解析：B 【解析】

【分析】 【详解】

A 3

，故此选项错误；

B

C ，故此选项错误；

D = 故选B ．

考点：最简二次根式．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足a 2+b 2=c 2，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】

解：A 、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误； B 、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误 C 、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确； D 、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】

本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即BD AD ==Rt △ADC 中根据勾股定理

可得DC=1，则1. 【详解】

解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角 ∴∠ADC=∠B+∠DAB ∵ADC 2B ∠=∠ ∴∠B=∠DAB

∴BD AD ==

在Rt △ADC 中，由勾股定理得：DC 1===

∴1 故选B 【点睛】

本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】

解：点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标为()3,2--． 故选：D ． 【点睛】

本题考查坐标与图形变化——轴对称.熟记①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.是解决此题的关键.

8．C

解析：C 【解析】

分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 详解：由题意，得 x=-4，y=3，

即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．

点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x 轴的距离．

9．D

解析：D 【解析】

因为函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点A (m ,2),把点A 代入12y x =-可求出

1m =-,所以点A (－1,2),然后把点A 代入23y ax =+解得1a =, 不等式23x ax ->+,

可化为23x x ->+,解不等式可得:1x <-,故选D.

10．D

解析：D 【解析】 【详解】

A 、a 2-a ，不能合并，故A 错误；

B 、a 2?a 3=a 5，故B 错误；

C、a9÷a3=a6，故C错误；

D、（a3）2=a6，故D正确，

故选D．

二、填空题

11．①②④

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．

【详解】

解：∵∠A＝∠B﹣∠C，

∴∠A+∠C＝∠B，

∵∠A+∠C+∠B＝180°，

∴∠B＝90°，

∴△A

解析：①②④

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．

【详解】

解：∵∠A＝∠B﹣∠C，

∴∠A+∠C＝∠B，

∵∠A+∠C+∠B＝180°，

∴∠B＝90°，

∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；

∵a2＝（b+c）（b﹣c）

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；

∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，

∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；

∵a：b：c＝5：12：13，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；

故答案为：①②④．

【点睛】

此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定

理的运用.

12．x≥1． 【解析】 【分析】

把点P 坐标代入y=x+1中，求得两直线交点坐标，然后根据图像求解． 【详解】

解：∵与直线：相交于点， ∴把y=2代入y=x+1中，解得x=1， ∴点P 的坐标为（1，2

解析：x≥1． 【解析】 【分析】

把点P 坐标代入y=x+1中，求得两直线交点坐标，然后根据图像求解． 【详解】

解：∵1y x =+与直线2I ：y mx n =+相交于点(,2)P a ， ∴把y=2代入y=x+1中，解得x=1， ∴点P 的坐标为（1，2）； 由图可知，x≥1时，1x mx n +≥+． 故答案为：x≥1． 【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．

13．3 【解析】 【分析】

直接利用频数的定义得出答案． 【详解】

10个数据：0，1，2，6，2，1，2，3，0，3，其中2出现3次， 所以2出现的频数为：3． 故答案为：3． 【点睛】 此题主要考查

解析：3 【解析】 【分析】

直接利用频数的定义得出答案．

【详解】

10个数据：0，1，2，6，2，1，2，3，0，3，其中2出现3次，

所以2出现的频数为：3．

故答案为：3．

【点睛】

此题主要考查了频数，正确把握频数的定义是解题关键．

14．50

【解析】

【分析】

由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．

【详解】

解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，∴∠ABC=45°+15°=60

解析：50

【解析】

【分析】

由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．

【详解】

解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，

∴∠ABC=45°+15°=60°

∵AB=BC=50，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=50；

故答案为：50.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键．

15．.

【解析】

【分析】

直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．

【详解】

解：∵一次函数与的图象的交点的坐标为(?1，2)，

∴方程组的解是.

【点睛】

本题考查了一次函数和二元一次方程（组）

解析：1

2x y =-??=?

. 【解析】 【分析】

直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】

解：∵一次函数3y kx =+与2y x b =+的图象的交点的坐标为(?1，2)，

∴方程组32y kx y x b =+??=+?的解是1

2x y =-??

=?

. 【点睛】

本题考查了一次函数和二元一次方程（组）的关系：要准确的将一次函数问题的条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．

16．0 【解析】 【分析】

根据题意，由时，代入，求出答案即可. 【详解】

解：∵小明输入的的值为36， ∴；

故答案为：0. 【点睛】

本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到

解析：0 【解析】 【分析】

根据题意，由36x =时，代入32

y =-，求出答案即可. 【详解】

解：∵小明输入的x 的值为36，

∴3330y =

-=-=； 故答案为：0. 【点睛】

本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值．

17．【解析】 【分析】

先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】

解：∵，

∴原式

，

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小

解析：2

【解析】

【分析】

先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．

【详解】

<，

2

=-

∴原式2)

=-

2

故答案为：2．

【点睛】

此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．

18．03

【解析】

【分析】

把千分位上的数字5进行四舍五入即可．

【详解】

解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．

故答案为：2.03．

【点睛】

本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似

解析：03

【解析】

【分析】

把千分位上的数字5进行四舍五入即可．

【详解】

解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．

故答案为：2.03．

【点睛】

本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，就看它的后面一位，进行四舍五入计算即可．

19．3

【解析】

【分析】

由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出CD=CE=AC=3即可．

【详解】

∵△ABC为等边

解析：3

【解析】

【分析】

由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出

∠CDE=∠E，得出CD=CE=1

2

AC=3即可．

【详解】

∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，

∴∠DBE=30°，

又DE=DB，

∴∠E=∠DBE=30°，

∵等边△ABC的周长为18，

∴AC=6，且∠ACB=60°，

∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，

∴∠CDE=∠E，

∴CD=CE=1

2

AC=3．

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．

20．（0，）

【解析】

【分析】

过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，根据全等三角形的性质得到B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y=kx+b，求得直线AB的解析式为y=﹣x+，于是

得到结论．

解析：（0，

5

2

）

【解析】

【分析】

过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，根据全等三角形的性质得到B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y=kx+b，求得直线AB的解析式为y=﹣

1

2

x+

5

2

，于是得到结论．

【详解】

过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，如图所示：

∴∠BCO=∠AFO=90°，

∵A（3，1），

∴OF=3，AF=1，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠OBC=∠BOC+∠AOF=90°，

∴∠BOC=∠AOF，

∵OA=OB，

∴△BOE≌△AOF（AAS），

∴BE=AF=1，OE=OF=3，

∴B（﹣1，3），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴

3

31

k b

k b

-+=

?

?

+=

?

，

解得：

1

2

5

2

k

b

?

=-

??

?

?=

??

，

∴直线AB的解析式为y=﹣

1

2

x+

5

2

，

当x=0时，y=

5

2

，

∴点C的坐标为（0，

5

2

），

故答案为：（0，5

2

）． 【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标进而求得解析式.

三、解答题

21．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）分别找到三角形个顶点关于y 轴对称的对称点，再顺次连接即可，再根据直角坐标系即可得到1A 的坐标；

（2）作点A 关于x 轴的对称点A’，再连接A’C ，与x 轴的交点即为所求. 【详解】

（1）作出ABC ?关于y 轴对称的图形111A B C ?如图所示.

其中，点1A 的坐标为3,1（）．

（2）如图，Q 点为所求.

【点睛】

此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知轴对称的性质. 22．（1）m=3；（2）m ＜-1

2

；（3）m≥3 【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小说明k ＜0；

（3）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限要分情况讨论．

（1）把（0，0）代入，得m-3=0，m=3；

（2）根据y 随x 的增大而减小说明k ＜0，即2m+1＜0，m ＜-；

（3）若图象经过第一、三象限，得m=3．

若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0，m-3＞0，解得m ＞3， 综上所述：m≥3．

考点：本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质

点评：能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b 中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；

当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．能够根据k ，b 的符号正确判断直线所经过的象限． 23．甲车行驶的平均速度为75/km h ，乙车行驶的平均速度为55/km h . 【解析】 【分析】

设乙车行驶的平均速度为x km/h ，则甲车行驶的平均速度为（x +20）km/h ．根据“乙车到达B 地花费的时间是甲车的1.2倍”列方程求解即可． 【详解】

设乙车行驶的平均速度为x km/h ，则甲车行驶的平均速度为（x +20）km/h ．根据题意，得：

5044

1.220x x

?

=+ 解得：x =55．

经检验，x =55是所列方程的解． 当x =55时，x +20=75．

答：甲车行驶的平均速度为75km/h ，乙车行驶的平均速度为55km/h ． 【点睛】

本题考查了分式方程的应用．找出相等关系是解答本题的关键．

24．

()133x +【解析】 【分析】

先根据分式混合运算法则进行化简，再代入已知值求值. 【详解】 解：

35

(2)362

x x x x -÷+--- =

()2345

()3222x x x x x --÷---- =()239

322

x x x x --÷--

=()()()

32

3233x x x x x --?-+-

=()

133x +

当3x =时，原式

15

=

=

【点睛】

考核知识点：二次根式化简求值.先根据分式性质进行化简是关键. 25．见解析 【解析】 【分析】

利用SAS 证出△AOE ≌△BOD ，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】

解：∵AO BO ⊥，DO EO ⊥， ∴∠DOE =∠AOB =90°

∴∠DOE ＋∠AOD =∠AOB ＋∠AOD ∴∠AOE=∠BOD 在△AOE 和△BOD 中

AO BO AOE BOD EO DO =??

∠=∠??=?

∴△AOE ≌△BOD （SAS ） ∴AE BD = 【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用SAS 判定两个三角形全等是解决此题的关键．

四、压轴题

26．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21） 【解析】 【分析】

（1）根据融合点的定义3a c x +=

，3

b d

y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解； ②利用①的函数关系式解答；

③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可． 【详解】 解：（1）x ＝

-17233a c ++==，y ＝54

333

b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；