第七章：微分方程
主讲-----姜进进
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4．会用降阶法解下列微分方程：
()()
n
y f x
=，(,)
y f x y
'''
+和(,)
y f y y
'''
=
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程
()()
n
y f x
=，(,)
y f x y
'''
+和(,)
y f y y
'''
=
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程
§7. 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.
例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)
x dx
dy
2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:
x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)
?
=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.
把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C ,
由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式
4
.02
2-=dt s d . (4)
此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:
t =0时, s =0, 20==
dt
ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0
=20. (5)
把(4)式两端积分一次, 得 1
4.0C t dt
ds v +-==
; (6)
再积分一次, 得
s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件v |t =0=20代入(6)得 20=C 1;
把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2. 把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得
v =-0.4t +20, (8) s =-0.2t 2+20t . (9)
在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504
.020==
t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s =-0.2?502+20?50=500(m ).
几个概念:
微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:
F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0.
y (n )=f (x , y , y ', ? ? ? , y (n -1) ) .
微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =?(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ?(x ), ?'(x ), ? ? ?, ?(n ) (x )]=0,
那么函数y =?(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ? ? ?, y (n ) )=0在区间I 上的解.
通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
, 叫做微分方程的积分曲线.
kt kC kt kC dt
dx cos sin 2
1+-=,
)
sin cos (sin cos 2
1222122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=.
将
22dt
x
d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0. 这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程
22
2=+x k dt x d , 因此所给函数是所给方程的解.
例4 已知函数x =C
1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)2 x | t =0 =A , x '| t =0 =0 的特解.
解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得 C 1=A .
再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , C 2=0.
把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得 x =A cos kt .
, 得 y = C (此处积分后不再加任意常数). , 方程两边直
, 得
C x y +=-
21, 或C
x y +-=2
1,
可以验证函数C
x y +-
=21是原方程的通解.
一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx
形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C ,
由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程:
一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.
若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有
),()
,(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有
)
,(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y ))
的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.
讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.
(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x
y
y x y +=
'. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:
第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;
第二步 两端积分:?
?=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )
G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程
xy dx
dy
2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx
dy y 21=,
两边积分得
??=xdx dy y 21
,
即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2
11
2
x C C x
e e e y ±=±=+.
因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2
x Ce y =.
.
,011==-=-=+c y x dy y
y dx x x 时，变量分离 例
)1(1)1)(1(1ln 2
1ln 1ln 2111,01112
222
222223
223
2=++=++++-=++=+≠+++
=c cx x y x e x y c x x y dx x
x dy y y y y x x y y dx dy c ）故原方程的通解为（即两边积分得故分离变量得显然 例4 过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 由于铀的衰变速度与其含量成正比,
M dt
dM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 即 .
例, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为
kv mg dt
dv m
-=,
初始条件为 v |t =0=0. 方程分离变量, 得
m
dt
kv mg dv =-,
两边积分, 得
??=-m dt kv mg dv ,
1
)ln(1C m t kv mg k +=
--, 即 t m k Ce k
m g v -+=(k e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k
mg
C -=,
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为1(k
m g
v =
§
, y )可写成 x y
. 1)(222-+=?-+x
y x y dx dy x x y y .
2
2
11x y --. (3)(x 2
+y 2
)dx -xydy =0是齐次方程. x
y y x dx dy xy y x dx dy +=?+=?22.
(4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.1
4
2-+-+-=?y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh
2(=-+dy x
y
x dx x y y x y x 是齐次方程.
x y dx dy x
y x x y y x y x dx dy =?+=?
th 32ch 3ch 3sh 2
齐次方程的解法: 在齐次方程)(x y
dx dy ?=中, 令x
y u =, 即y =ux )(u dx
du x u ?=+, 分离变量, 得
x
dx
u u du =-)(?.
两端积分, 得
. 例 y =ux , dx
du x u dx dy
+=, 于是原方程变为
1
2
-=+u u dx du x u ,
即 1-=u u dx du x
. 分离变量, 得 x
dx du u
=
-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |, 或写成ln|xu |=u +C . 以
x
y
代上式中的u , 便得所给方程的通解 C x
y
y +=
||ln .
则有：令解：方程可变为例u
d u
u
dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x ln ln 1ln 1,0ln
)ln (ln 2+-===-?-=-- ，则原方程化为u y =3
.
)2()3(,023)2()3,)2()31
1206,
23,12306126126315337333533735372233222c x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u =+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==故原方程的解为时包含在通解中当或又因为，
即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解或即）方程的解是（或，得当，，，所以，则
例4 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.
解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,
因为 x y y
OP PM OP AP OA -'
=-=-=αcot , 而
.
即 分离变量, 得
y
dy v dv =+12,
两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y
v v =
++?12, 1)(22+=-?v v C
y , 1222=-C
yv
C y , 以yv =x 代入上式, 得)2
(22C x C y +
=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 )2
(222C x C z y +
=+. 这就是所求的旋转曲面方程.
§7.4 线性微分方程
一、 线性方程 线性方程: 方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+叫做一阶线性微分方程. .
)()(x Q y x P dx
dy
=+的齐次线性方程. . . 32)1(x
y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程
0)(=+y x P dx
dy
是变量可分离方程. 分离变量后得
dx x P y
dy
)(-=, 两边积分, 得
1)(||ln C dx x P y +-=?
,
或 )( 1)(C dx
x P e C Ce y ±=?
=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx
dy
x =-)
2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得
2
-=x dx y dy , 两边积分得
ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为 y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法:
将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把
?=-dx
x P e x u y )()(
设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得
)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx
x P dx x P dx x P =?+?-?
'---, 化简得 ?
='dx
x P e x Q x u )()()(,
C dx e x Q x u dx
x P +?
=?
)()()(,
于是非齐次线性方程的通解为
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??
=?
-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ?
??+?
=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.
例2 求方程
25
)1(1
2+=+-x x y dx dy 的通解. 解一 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程01
2=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得
1
2+=x dx y dy , 两边积分得
ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2.
用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 22
()1(1
2)1(2)1(=+?+-
+?++?'x x u x x u x u
21
)1(+='x u ,
23
21225)()1(3
2)1()1()1()(+=+=++=?
???-x dx x dx x x dx e x Q dx
x P , 所以通解为 ])1(3
2[)1(])([23
2)()(C x x C dx e x Q e
y dx
x P dx
x P +++=+??=?-.
例3．
dx
dy
=x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx
c dx +)
=e x [-
21e x
-(x x cos sin +)+c] =c e x -2
1
(x x cos sin +)是原方程的解。
二、伯努利方程 伯努利方程: 方程
n y x Q y x P dx
dy
)()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.
下列方程是什么类型方程？ (1)4)21(3
131
y x y dx dy -=+, 是伯努利方程.
. . . 令 x
dx 解 以y 2除方程的两端, 得 x a y x
dx dy y ln 11
2
=+--,
即 x a y x
dx y d ln 1)(1
1=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为
x a z x
dx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2
[2x a C x z -=. 以y -1代z , 得所求方程的通解为 1])(ln 2
[2=-x a C yx .
经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程.
例5
331dy dx xy x y =+ 解： 33
dx
yx y x dy =+
P(y)=-2y Q(y)=3
2y - 由一阶线性方程的求解公式
223(2)
ydy
ydy
z e y e dy c ---?
?=-+?
=
2
2
3(2)
y y e y e dy c --+?
=2
21y
y ce --++
2
22
(1)1y x y ce
--++=
2
2
2
22(1)y y y x e y ce e --++= 2
2222(1)y e x x y cx -+=
§7. 5 全微分方程
全微分方程: 一个一阶微分方程写成 P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0
, y )的全微分: du (. 这里 G 内具有一阶连续偏导数, 且 全微分方程的通解:
若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且 du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy 则 u (x , y )=C ,
即
)),(( ),(),(0000
G y x C dx y x Q dx y x P y
y x
x
∈=+??.
是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解
例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0. 解 这里
x
Q y xy y P ??=-=??236,
所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ??+-+=
y
x
dy y dx y xy x
y x u 0
203
24
)35(),(
332253
12
3
y xy y x x +-+=. 于是, 方程的通解为
C y xy y x x =+-+332253
123.
例2. 求解0)2(3)23(22
2
3
2
=+++dy y y x dx x xy
02
=dy
积分因子: 若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数 μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程 μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0
是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子. 例3通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx -xdy =0;
(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.
解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程. 因为 2
)(y xdy
ydx y
x
d -=
, 所以
2
1y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02=-y
xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C
y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程. 将方程的各项重新合并, 得 (ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,
, 方程就变为 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ). 可以验证?=dx
x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的
两边乘以?
=dx
x P e x )()(μ得
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求
（第七题删掉了） 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) ． 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226
14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 (答案)
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
第六章 微分方程 一、一阶微分方程 1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dx dy =+ ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +?? =?-通解 2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n ).()(d d 1111x Q y x P x y n n n =+?---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程 1．)()(x f y n = n 次积分 2． )',("y x f y = 不显含y 令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。 3． )',("y y f y = 不显含自变量 令)('y p y =，dy dp p dx y d =2 2，化为一阶方程。 三、线性微分方程 )()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ， 0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。 1．二阶线性齐次线性方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y （1） 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解， 则 )()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。
如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解, 则 )()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解. 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为 C x y x y ≡/) () (21（常数） 2．二阶线性非齐次线性方程 设 )(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+'' 的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程 的通解. 设)(* 1x y 与 )(*2x y 分别是二阶线性非齐次方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的两个特解。则+ )(* 1x y )(* 2x y 是 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 的特解。（叠加原理） 3.二阶线性常系数齐次方程 0'"=++qy py y 02 ,r r 4．二阶线性常系数非齐次方程 i) 如果 x m e x P x f λ)()(=, 则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。
第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x m x P λe )(或x x P x m βαcos e )(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非 齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. ⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k
高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念 一、 判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。 （ ） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。 （ ） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。 （ ） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、 填空题 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。 三、选择题 1. _________________ 下列方程中 是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运 3.微分方程 穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
常微分方程 一、一阶微分方程的可解类型 （一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程_________.1 2ln (1)9 xy y x x y '+==-满足的解为 2222223332.+ln ,=ln . 111 ln ln ln . 339 111 (1)0ln . 939 dx x dy y x e x dx x d x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ?==+=+-=-=?=-??分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得 (y)= 积分得 y=C+由得 2.（06,4分） (1) y x x -'————.微分方程y = 的通解为 111 (1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x y Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得 积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1.（97,2,5分）2 2 2 (32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解. 22223122+1-23 , 1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x u u x C u u Cx y C u x xy y x x -=-+-+-=-++-= +-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0. 分离变量得 积分得 即以代入得通解 2.(99,2,7分) 1(0(0),0 x y dx xdy x y =?+-=>??=??求初值问题的解.
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
第六章 常微分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=?=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ?上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1()() dy g y g y ?表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ??=+ ????，则()f x 等于 （ ） （A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e + 【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ? ?=- ??? 过点且其上任一点处的切线斜率为