1999年12月系统工程理论与实践第12期
一种不确定性多属性决策模型的改进
樊治平,张 全
(东北大学工商管理学院,辽宁沈阳110006)
摘要: 针对具有不确定性区间数的多属性决策问题,B ryson和M obo lurin提出了一种线性规划模
型,但是,采用由该模型求出的所有方案评价值所在的区间在很大程度上并不是使用同一个属性权
重向量,这就使得所有的方案排序(或评价)不具有可比性.为了解决这个问题,该文提出了一种改进
的模型,并且给出了实例计算.
关键词: 多属性决策;区间数;线性规划
中图分类号: C934,N945125 α
T he R evisi on fo r the U ncertain M u lti p le
A ttribu te D ecisi on M ak ing M odels
FAN Zh i2p ing,ZHAN G Q uan
(Facu lty of Bu siness A dm in istrati on,N o rtheastern U n iversity,Shenyang110006) Abstract: Fo r m u lti p le attribu te decisi on m ak ing p rob lem s w ith uncertain in tervals,
B ryson and M obo lu rin p ropo sed the linear p rogramm ing models.How ever,in tervals of
app raisal values of all the alternatives ob tained by so lving the models are incomparab le,
becau se they don’t emp loy the sam e w eigh t vecto r of attribu tes to a great degree.In
o rder to so lve such a p rob lem,the revised models are p resen ted in th is paper.F inally,
examp les are given.
Keywords: m u lti p le attribu te decisi on m ak ing,in terval num ber,linear p rogramm ing
1 引言
多属性决策,也称为有限方案多目标决策,普遍存在于工程系统和社会经济系统之中,它是决策理论与方法研究的一个重要内容[1,2]Λ值得指出,由于决策问题的复杂性和不确定性,所以经常会遇到决策信息不是以数值点来表达结果,而是以区间数的形式来表示Λ因此,对于一类具有不确定性区间数的多属性决策问题的研究就有着重要的理论意义和实际应用背景Λ目前,有关这方面的研究,已经引起了重视[3～6]Λ例如,针对计算决策方案的评价值(区间数形式)方面,可采用误差分析方法[3～4]或线性规划方法[5]Λ但是,作者认为采用B ryson和M obo lu rin提出的线性规划模型[5]所求出的所有方案评价值所在的区间在很大程度上并不是使用同一个属性的权重向量,这就使得所有的方案排序(或评价)不具有可比性Λ为了解决这个问题,本文给出了一种改进的模型Λ
2 决策模型
设R为实数域,称闭区间[x L,x U]为区间数,用x～表示,其中x L,x U∈R,x LΦx UΖ
下列符号用来表示一个具有区间数的多属性决策问题:
α收稿日期:1998206203
资助项目:国家自然科学基金(批准号:79600006)和辽宁省博士科研启动基金(批准号:971023)资助项目
?S ={S 1,S 2,…,S m }:m 个决策方案的集合Ζ
?Q ={Q 1,Q 2,…,Q n }:n 个属性(或指标)的集合,假设这些属性是加性独立的Ζ?w ={w 1,w 2,…,w n }T
:属性的权重向量(区间数形式),其中,w j =[w L j
,w U j
],6
n
j =1
w
L j Φ1,
6
n
j =1
w U j
≥1,w L j
,w U j
Ε0Ζ
?A =[a ～ij ]m ×n :带有区间数的决策矩阵Ζ其中,a ～
ij =[a L ij ,a U ij ]表示方案S i 对应于属性Q j 的一个结果,
a L ij ,a U
ij >0
通常,需要将决策矩阵A =[a ～ij ]m ×n 规范化为B =[b ～
ij ]m ×n ,这里采用“比重变换法”,即计算公式如下:
b ～
ij =a ～
ij
6
m
l =1
a ～
ij ,当Q j 为效益型属性
b ～
ij =(1 a ～
ij )
6
m
l =1
1 a ～
lj ,
当Q j 为成本型属性
根据区间数的加减乘除法则,进一步可将上述公式写为
b L
ij
=a
L ij
6m
i =1a U ij
b U ij =a U
ij
6
m
i =1
a L ij
当Q j 为效益型属
b L ij
=(1 a U ij
)6m
i =11 a L ij
b U ij =
(1 a L ij )6
m
i =1
1 a U ij
当Q j 为成本型属性
显然有b L ij ,b U ij
∈[0,1],Πi ,j Ζ
决策者的目标就是从集合S 中选择M ( 设属性的权重向量为w =(w 1,w 2,…,w n )T Ζ对于不确定性区间数的多属性决策问题,根据加权法则[1,2],则决策方案S i 的综合评价值所在的区间,可以分别由下列两个线性规划模型求得[5] (P 1) m in d ′ i = 6 n j =1 b L ij w j s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 (P 2)m ax d ″ i = 6 n j =1 b U ij w j s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 设模型(P 1)、(P 2)的最优解分别为w ′i =(w ′1i ,w ′2i ,…,w ′ni )T 和w ″i =(w ″1i ,w ″2i ,…,w ″ni )T ,则方案S i 的综合 评价值所在区间d ～ i =[d L i ,d U i ]为 d L i = 6 n j =1 b L ij w ′ j i , d U i =6 n j =1 b U ij w ″j i , i =1,2,…,m 因此,需要求解2m 个线性规划模型,可以得到所有方案的综合评价值,即d ～ 1,d ～ 2,…,d ～ m Ζ 模型(P 1)、(P 2)就是B ryson 和M obo lu rin 提出的线性规划模型Ζ可以看出,所求出的d ～ i =[d L i ,d U i ]表 3 4第12期一种不确定性多属性决策模型的改进 示了方案S i 的综合评价值所属于的最大可能区间Ζ但是,该模型也存在一定的缺陷,这就是计算出来的 d ～ 1,d ～2,…,d ～ m 在很大程度上将分别可能使用不同的属性权重向量Ζ因此,在不是同一个权重向量的情况 下,对得出的d ～1,d ～2,…,d ～ m 并进行相应的所有方案排序或评价,缺乏可比性,这就显得没有什么实际意义Ζ 3 模型的改进 改进模型的基本思想如图1和图2所示 Ζ 图1 求解模型(P 1)、 (P 2) 的示意图图2 求解改进模型的示意图 为了使求出的d L 1,d L 2,…,d L m (或d U 1,d U 2,…,d U m )来自同一个属性权重向量w ,可以构造如下两个多目标最优化模型 (P 3) v -m in d ′=(d ′i ,d ′i ,…,d ′i ) T s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 (P 4) v -m ax d ″=(d ″i ,d ″i ,…,d ″i ) T s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 其中,d ′ i = 6 n j =1 a L ij w j ,d ″ i =6 n j =1 a U ij w j Ζ由于各决策方案之间是公平竞争的,不存在任何偏好关系,因此,为了 求解模型(P 3)、 (P 4),可采用等权的线性权和法综合为下列单目标最优化模型 (P 5)m in d ′ 0= 6 m i =1 d ′ i = 6m i =16 n j =1 b L ij w j s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 (P 6)m ax d ″ 0= 6 m i =1 d ″ i = 6m i =16 n j =1 b U ij w j s .t . w L j Φw j Φw U j , j =1,2,…,n 6 n j =1 w j =1 44系统工程理论与实践1999年12月 模型(P 5)、(P 6)属于线性规划模型Ζ设模型(P 5)、(P 6)的最优解分别为w ′=(w ′1,w ′2,…,w ′n )T 和w ″=(w ″1,w ″2,…,w ″n )T ,则方案S i 的综合评价值所在区间d ～ i =[d L i ,d U i ]为 d L i =6 n j =1 b L ij w ′ j , d U i =6 n j =1 b U ij w ″j , i =1,2,…,m 由于计算出的d L i (i =1,2,…,n )或d U i (i =1,2,…,n )均采用了同一个权重向量,所以采用d ～ 1,d ～ 2,…,d ～ m 进 行所有方案的排序或评价就有实际的意义Ζ 定理 设d ～i =[d L i ,d U i ]表示求解模型(P 1)、 (P 2)所得到的方案S i 的综合评价值所在区间,f ～ i =[f L i ,f U i ]表示求解模型(P 5)、(P 6)所得到的方案S i 的综合评价值所在区间,则必有[d L i ,d U i ]Β[f L i ,f U i ]Ζ 证明 只要证明d L i Φf L i 即可,而d U i Εf U i 的证明类似Ζ可以看出模型(P 1)和(P 5)的可行域是完全相同 的,并且注意到d L i 和f L i 的计算表达式的形式(即6n j =1 b L ij w j )是完全一样的Ζ由模型(P 1)可知,d L i 就是从可 行域中找出一个权重向量w ′ i 使目标函数达到的最小值Ζ而由模型(P 5)可知,(f L i +…+f L i +…+f L m )是从可行域中找出一个权重向量w ′使目标函数达到的最小值Ζ当w ′i =w ′时,显然有d L i =f L i ;当w ′i ≠w ′时,显然有d L i L i 成立,这是因为只有w ′ i 能使表达式6n j =1 b L ij w j 达到最小,这个最小值就是d L i ,而w ′并不能使表 达式6n j =1 b L ij w j 达到最小Ζ [证毕] 对于已求出的所有方案的综合评价值所在的区间:d ～ 1,d ～ 2,…,d ～ m ,如何进行相应的方案排序,这是另 一个需要研究的问题Ζ限于篇幅,这里不再讨论Ζ关于这方面的研究成果可见文献[7～9]. 4 算例 为了说明前面给出的改进模型,下面给出两个算例Ζ 例1 采用文献[5]提供的基础数据Ζ考虑一个大学的学院评估问题,设采用教学、科研和服务这3个属性(即Q 1,Q 2,Q 3)作为评估学院的指标,有5个学院(S 1,S 2,S 3,S 4,S 5)将被评估Ζ表1给出了决策矩阵 和属性的权重[5]Ζ表2给出了分别求解模型(P 1)、 (P 2)和模型(P 5)、(P 6)的计算结果Ζ可以看出,虽然求解两类模型的计算结果相差不大,但是它们所反映的概念却截然不同Ζ 表1 例1中的决策矩阵B 和属性权重向量w S i Q 1 Q 2 Q 3 S 1[0.214,0.220][0.166,0.178][0.184,0.190]S 2[0.206,0.225][0.220,0.229][0.182,0.191]S 3[0.195,0.204][0.192,0.198][0.220,0.231]S 4[0.181,0.190][0.195,0.205][0.185,0.195]S 5 [0.175,0.184] [0.193,0.201] [0.201,0.211] w 1=[0.3350,0.3755] w 2=[0.3009,0.3138] w 3=[0.3194,0.3363] 例2 采用文献[3]提供的基础数据Ζ考虑一个市政图书馆的空调系统选择问题,有5个备选方案(即 S 1,S 2,S 3,S 4,S 5),而评价方案的主要依据是三个因素,即经济性、 功能性和可操作性Ζ具体地,这三个因素又可划分为8个属性(或指标),即固定成本(＄ ft 2)(Q 1)、管理成本(＄ ft 2)(Q 2)、 性能(Q 3)、噪音(dB )(Q 4)、可维护性Q 5、可靠性Q 6、灵活性Q 7和安全性Q 8,其中,Q 3,Q 5,Q 7,Q 8的属性值为打分值,其范围为 1分(最差)到10(最好)分之间Ζ另外,Q 1、Q 2和Q 4为成本型属性,其它5个属性为效益型属性Ζ关于该问 题的原始决策矩阵及属性的权重向量如表3所示Ζ表4是采用本文给出的方法得出的规范化决策矩阵Ζ表 5 4第12期一种不确定性多属性决策模型的改进 5和表6分别是求解模型(P1)、(P2)和模型(P5)、(P5)的计算结果Ζ 表2 例1的计算结果 求解模型(P1)、(P2)的结果 求解模型(P5)、(P6)的结果 w=(w1,w2,w3)T→ d～i=[d L i,d U i] w=(w1,w2,w3)T→ d～i=[d L i,d U i] w′1=(0.3499,0.3138,0.3363)T→d L1=0.1889 w″1=(0.3755,0.3009,0.3236)T→d U1=0.1977 w′=(0.3668,0.3138,0.3194)T→d L1=0.1893 w″=(0.3755,0.3009,0.3236)T→d U1=0.1977 w′2=(0.3628,0.3009,0.3363)T→d L2=0.2021 w″2=(0.3668,0.3138,0.3194)T→d U2=0.2154(同上) d L2=0.2027 d U2=0.2152 w′3=(0.3668,0.3138,0.3194)T→d L3=0.2020 w″3=(0.3628,0.3009,0.3363)T→d U3=0.2113(同上) d L3=0.2020 d U3=0.2109 w′4=(0.3755,0.3009,0.3236)T→d L4=0.1865 w″4=(0.3499,0.3138,0.3363)T→d U4=0.1964(同上) d L4=0.1887 d U3=0.1961 w′5=(0.3755,0.3051,0.3194)T→d L5=0.1888 w″5=(0.3499,0.3138,0.3363)T→d U5=0.1984(同上) d L5=0.1890 d L5=0.1979 表3 例2中的原始决策矩阵A～和属性权重向量w Q j w j S1S2S3S4S5 Q1[0.0419,0.0491][3.7,4.7][1.5,2.5][3,4][3.5,4.5][2.5,3.5] Q2[0.0840,0.0982][5.9,6.9][4.7,5.7][4.2,5.2][4.5,5.5][5,6] Q3[0.1211,0.1373][8,10][4,6][4,6][7,9][6,8] Q4[0.1211,0.1373][30,40][65,75][60,70][35,45][50,60] Q5[0.1680,0.1818][3,5][3,5][7,9][8,10][5,7] Q6[0.2138,0.2294][90,100][70,80][80,90][85,95][85,95] Q7[0.0395,0.0457][3,5][7,9][7,9][6,8][4,6] Q8[0.1588,0.1706][6,8][4,6][5,7][7,9][8,10] 表4 例2中的规范化决策矩阵B Q j S1S2S3S4S5 Q1[0.1088,0.1972][0.2045,0.4864][0.1278,0.2432][0.1136,0.2084][0.1461,0.2918] Q2[0.1390,0.1968][0.1682,0.2471][0.1844,0.2765][0.1744,0.3161][0.1600,0.2323] Q3[0.2051,0.3448][0.1026,0.2069][0.1026,0.2069][0.1795,0.3103][0.1538,0.2759] Q4[0.2193,0.3640][0.1167,0.1683][0.1254,0.1825][0.1947,0.3126][0.1465,0.2186] Q5[0.0833,0.1923][0.0833,0.1923][0.1944,0.3462][0.2222,0.3836][0.1389,0.2692] Q6[0.1957,0.2439][0.1522,0.1951][0.1739,0.2195][0.1848,0.2317][0.1848,0.2317] Q7[0.0811,0.1852][0.1892,0.3333][0.1892,0.3333][0.1622,0.2963][0.1081,0.2222] Q8[0.1500,0.2667][0.1000,0.2000][0.1250,0.2333][0.1750,0.3000][0.2000,0.3333] 64系统工程理论与实践1999年12月 表5 例2中求解模型(P 1)、 (P 2)的结果S i w ′ 1w ″2 w ′ 2w ″2 w ′ 3w ″3 w ′ 4w ″4 w ′ 5w ″5 w ′ 6w ″6 w ′ 7w ″7 w ′ 8w ″ 8 d L i d U i S 1 0.04910.04190.09820.08400.12110.13730.12110.13730.18180.16800.21380.22140.04570.03950.16920.17060.15650.2612S 2 0.04190.04910.08400.09820.13730.13730.13110.12110.18180.16800.21380.21380.03950.04570.17060.16680.12430.2195S 3 0.04910.04910.08400.09820.13730.12110.13730.12110.16800.18180.21420.21380.03950.04570.17060.16920.15180.2508S 4 0.04910.04190.09820.09820.13350.12870.12110.13730.16800.18180.21380.21380.04570.03950.17060.15880.18440.3014S 5 0.04910.0491 0.08400.0868 0.12950.1373 0.13730.1211 0.18180.1818 0.21380.2138 0.04570.0395 0.15880.1706 0.16210.2630 表6 例2中求解模型(P 5)、 (P 6)的结果 w ′=w ″=(0.0491,0.0840,0.1373,0.1211,0.1818,0.2138,0.0457,0.1672)T d ～1=[0.1574,0.2578],d ～2=[0.1254,0.2188],d ～3=[0.1531,0.2498],d ～ 4=[0.1850,0.3004],d ～ 5=[0.1626,0.2626] 4 结束语 针对具有不确定区间数的多属性决策问题,本文对B ryson 和M obo lu rin 提出的线性规划模型,进行了 一种改进Λ改进的模型可以保证计算出来的每个方案综合评价值(区间数形式)均使用同一个属性权重向量,只有这样,进行相应的决策分析才显得更有意义Λ参考文献: [1] Hw ang C L ,Yoon K .M u lti p le A ttribu te D ecisi on M ak ing .Sp ringer 2V erlag ,Berlin ,H eidelberg N ew Yo rk ,1981. [2] 陈王廷.决策分析.北京:科学出版社,19871 [3] Yoon K .T he p ropagati on of erro rs in m u lti p le 2attribu te decisi on analysis :a p ractical app roach . Jou rnal of the Operati onal R esearch Society ,1989,40(7):681～686.[4] 樊治平,郭亚军.误差分析理论在区间数多属性决策问题中的应用.东北大学学报(自然科学版), 1997,18(5):550～560. [5] B ryson N ,M obo lu rin A .A n acti on learn ing evaluati on p rocedu re fo r m u lti p le criteria decisi on m ak ing p rob lem s .Eu ropean Jou rnal of Operati onal R esearch ,1996,96:379～386.[6] Sajjad Zah ir M . Inco rpo rating the uncertain ty of decisi on judgem en ts in the analytic h ierarchy p rocess .Eu ropean Jou rnal of Operati onal R esearch ,1991,53:206～216.[7] 樊治平,张全.具有区间数的多属性决策问题的分析方法.东北大学学报(自然科学版),1998,19 (4):434～436. [8] 张全,樊治平,潘德惠.不确定性多属性决策中区间数的一种排序方法.系统工程理论与实践,1999, 19(5):129～133. [9] 张全,樊治平,潘德惠.区间数多属性决策中一种带有可能度的排序方法.控制与决策,1999,14(6), 703～706. 7 4第12期一种不确定性多属性决策模型的改进 多属性决策基本理论与方法 主讲人：张云丰 多属性决策基本理论与方法 1.多属性决策基本理论 1.1多属性决策思想 根据决策空间的不同，经典的多准则决策(Multiple Criteria Decision Maki ng —MCDM)可以划分为两个重要的领域：决策空间是离散的(备选方案的个数是有限的)称为多属性决策(Multiple Attribute Decisi on Maki ng —MADM)，决策空间是连续的 (备选 方案的个数是无限的)称为多目标决策(Multiple Objective Decisi on Maki ng —MODM)0一般认为前者是研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设 计问题0 经典的多属性决策 (Multiple Attribute Decisi on Maki ng —MADM )问题可以描述为： 给定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性(每个属性有不同的评价标准)去对其进行综合评价。决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管 理和军事等诸多领域，如投资决策、项目评估、工厂选址、投标招标、人员考评、武器系统性能评定、经济效益综合排序等。 1.2多属性问题描述 设在一个多属性决策问题中，备选方案集合为G {g1,g2, ,g m}，考虑的评价属性集合为U {u 「U2, ,u n}，则初始多属性决策问题的决策矩阵为： x11x12"n X x12x22x2n x m1x m2x mn 其中，X j表示第i个方案的第j个属性的初始决策指标值，其值可以是确定值，也可以是模糊值，既可以是定量的也可以是定性的。 多属性决策问题主要包括三个部分：建立属性评价体系、确定属性权重及运用具体评价方法对备选方案进行综合评价。 2.属性值规范化方法 2.1属性值规范化概述 常见的属性有效益型、成本性、区间型三种。效益型属性也称正属性，是指属性值越大隶属度越大的属性，也就是说属性值越大越好。成本型属性也称负属性，是指属性值越小隶属度越大的属性，也就是说属性值越小越好。区间型属性也称适度型属性，是指属性值越接近某个常数隶属度越大的属性。 多属性决策研究简介 多属性研究，简称为MADM,，也称有限方案多目标决策，是指在考虑多个属性或者是目标下，选择最佳方案或者是排序有限备选方案的决策问题。 多属性决策问题的组成包括以下5个方面： 1、决策单元或者决策人：据侧人可以是一个人或者是一群人，直接或者间接提供价值判断，并据此选择最佳方案或者排雷可行方案； 2、属性集P：每个备选方案都需要有若干个属性； 3、备选方案集S：每个决策问题都要有若干个可供选择或者排序的方案； 4、决策情况：主要是指问题的结构和研究决策环境； 5、决策规则：一般可以分为两种：最优化决策和满意决策。满意决策一般把问题的可行方案分为若干有序子集，牺牲最优性，使问题简化，寻求令人满意的方案。 多属性决策中基础的几个步骤包括： 决策矩阵的规范化：为使得各个决策方案在不同的决策属性中具有可比 性，需要对决策矩阵进行所谓的规范化操作。儿规范化的方法有很多种，一般都要求其最后的属性无量纲且各值在[0,1]之间。其中包括的有效益型属性和成本型属性 主要包括：向量归一化方法：各个属性值和相应的指标下的平方和的平方根的比值；极差变换方法：和极差的比值；比重变换：和或者倒数的和之比；线性变换：最大最小直接比；固中变换，通过某个属性上的理想值来做出规范化变换；偏离型规范法：主要用于某些越偏离某个值越好的属性的规范法。 权重的确定 目前主要的权重确定方法包括三大类：决策者给出偏好的主观赋权方法和基于决策矩阵的客观赋权方法，以及将两者结合到一起的主客观信息结合方法。下面简单介绍下我所了解的几种。 主观的赋权方法：特征向量方法、*最小平方和方法和德尔菲法等； 客观的赋权方法：主要成分分析、*熵法等 主客观赋权方法：在各个赋权方法的目标函数（主要包括加权法和理想点法两种构造方法）中加入相对比例的新目标函数得出的赋权值 备选方案S的综合评价计算 算法分析 1.TOPSIS（逼近理想解法）：S.1981提出). 基本原理:根据评价指标的标准化值与指标的权重共同构成规范化矩阵来确定评价指标的正、负理想解。然后，建立评价指标综合向量与正、负理想解之间距离的二维数据空间。在此基础上对评价方案与最优理想参照点之间的距离进行模糊评判。最后，依据该距离的大小对评价方案进行优劣排序. 若某方案为最优方案则此方案最接近最优解，同时又远离最劣解. TOPSIS法最大的优点是:无严格限制数据分布及样本含量指标的多少，小样本资料、多评价单元、多指标的大系统资料都同样适用，同时也不受参考序列选择的干扰。既可用于多单位之间进行对比，也可用于不同年度之间对比分析，该法运用灵活，计算简便同时结果量化也客观[1]。 缺点：（1）规范决策矩阵的求解比较复杂，故不易求出理想解和负理想解；（2）评价缺少稳定性，当评判的环境及自身条件发生变化时，指标值也相应会发生变化，就有可能引起理想解和负理想解向量的改变，使排出的顺序随之变化，评判结果就不具有唯一性；（3）属性权重是事先确定的，其主观性较强。 [2] 基本步骤： ○1建立多属性决策问题的决策矩阵 ○2决策矩阵的规范化处理 常见的标准化处理方法有:模糊数学法、标准差标准化法、极差标准化法、极大值标准化法和百分比标准法等. ○3构建加权规范化矩阵 确定权重的方法有主观赋权法和客观赋权法。主观赋权法包括层次分析法、Delphi法等。主观权重法土要根据专家判断打分，主观性太强，其结果对多因素非线性定量关系的反映有一定影响:客观权重法人为因素干扰较小，可以较为客观地确定权重，但该方法也受样本数据数量和质量的制约。权重确定的方法：主成分分析法、变异系数法。 ○4确定正理想点和负理想点 所谓正理想点是设想得到的最好的解，它的各个指标值都达到各候选方案中最好的值。而负理想点是另一设想的最坏的解，它的各个指标都达到各候选方案中最坏的值。 ○5计算各方案到正负理想点的距离 ○6计算各方案与理想点的相对贴近度，相对贴近度的取值越大则表示该方案越优。贴近度的计算公式为：[3] TOPSIS方法对属性、数据没有严格要求，能充分运用原始数据，且过程简单，但该方法涉及到的理想解、负理想解是跟方案的原始数据相关的，一旦方案的原始数据或者是方案的数目发生变化，则理想解、负理想解也会发生变化，最终导致排序的不稳定[4]。 2.PROMETHEE(偏好顺序结构评估法): Brans、Vincke(1984)提出了PROMETHEE(Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations)的方法。 其中PROMETHEE比ELECTRE更具有优势: (1)PROMETHEE它能够更好的运用函数来解释和描述每项准则的特点; (2)相对于ELECTRE, PROMETHEE的结果更具有稳定性,并且在新加入供应商时,出现倒序的几率较小。但是这两种重要的排序方法都不能对指标的权重进行计算。 基于投影模型的多属性直觉模糊多属性决策方法应用研究 工业工程 张希梅 2009012336 摘要： 通过线性规划模型确定各个属性的权重，避免主观权重因素对结果的过多影响。定义了模糊直觉模糊理想点和一些相关的概念，包括每个方案的得分向量和直觉模糊理想点之间夹角的余玄函数，建立的投影模型度量每个方案与直觉模糊理想点之间的相似度，以相似度大小确定最佳方案。 关键词：投影模型 多属性决策 属性权重 一、引言 1965年Zade 提出的模糊集的理论已经被广泛应用于模糊决策问题之中。为了更好地处理不精确性信息,Atanasso 于1983年提出了直觉模糊集的概念,并对其运算和性质进行了研究。在一个直觉模糊集中,用一个真隶属函数A μ和一个假隶属函数A ν来描述其隶属度的边界，那么一个对象的支持度、反对度和未知度分别是A μ、, A ν和1A A μν--,这就使得直觉模糊集在处理不确定性信息时比传统的模糊集有更强的表示能力以及更具灵活性.。1993年,W. L. Gau 等人提出了Vague 集的概念。但是1996年,H. Bustince 和P. Burillo 指出Vague 集实质就是直觉模糊集。1994年, Chen 和Tan 将Vague 集应用于模糊条件下的多目标决策问题，利用记分函数与加权记分函数给出决策。2000年,Hong 和Choi[8]在Chen 的基础上提出了精确函数应用于多目标决策问题,国内学者李登峰、徐则水及林琳对该类问题进行了大量的研究工作。 文中对属性权重信息不完全知道的情况下，通过线性规划模型求出确定的权重，然后根据投影模型相关概念，求出最优方案。 二、基本概念及相关模型 定义1 直觉模糊集（Atanassov ） 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/2016288765.html, 多属性决策在供应商选择中的应用 作者：肖雯 来源：《现代商贸工业》2013年第13期 摘要：在市场竞争日益激烈的今天，供应商的选择对于企业而言显得越来越重要，如何 结合企业自身的情况，以成本最小和利益最大为目标，在现有的供应商中选出最佳的供应商，层次分析法为供应商的选择提供了一种科学依据和方法。层次分析法用于多属性多目标的决策中，并结合了定性与定量分析，根据供应商决策所要考虑的因素建立层次模型，在根据对属性的评价列出成对比较矩阵，将复杂的决策模型简单化，最后得到不同供应商的权值，选出权值最高的供应商即为最优的供应商。 关键词：层次分析法；供应商选择；多属性多目标 中图分类号：F2 文献标识码：A 文章编号： 16723198（2013）13001402 0 引言 在顾客对产品质量要求越来越高、对服务要求越来越个性化的今天，为了适应激烈的市场竞争，必须从原材料上把关来保证产品或服务的质量。调查显示，对大多数企业而言，采购成本占产品总成本的70%以上。供应商的选择，不仅影响到产品的成本，甚至影响到企业的业绩和名誉。因此，供应商的选择显得尤为重要，必须找到选择最合适的供应商的科学方法。层次分析法避免了过去企业老板凭自己的经验来选择供应商的盲目性，合理的应用于多属性多目标的供应商选择中。选择供应商时，不仅要考虑到原材料的成本、质量、可靠性，更应该兼顾到顾客对产品的满意度，尤其在服务业中，还要调查顾客对服务的不同要求，而层次分析法是定性与定量相结合可以解决这方面的问题。层次分析法不仅易于理解，还能够评估决策者划分等级的一致性。 1 供应商选择 1.1 供应商选择的基本步骤 供应商选择可以分为以下几个步骤，如图1： 图1 供应商选择步骤 1.2 供应商选择的标准 一、模型简介 态度多属性模型由心理学家Fishbein 在1963 年提出。Fishbein 认为,人们对客体的态度,可以用下列公式来表述: 其中,Ao 的字面意思是人们对客体的整个态度。这里的客体不仅仅指产品或者服务,还可以指企业形象或品牌形象等等。i 的含义是,在消费者的认知中,产品或者服务具有哪些重要的物理属性或者特点。一般而言,产品或者服务的属性很多,如作为五星级饭店,对消费者而言,应该具有的属性包括:方便的交通、合口的饭菜和热情的服务等等。应该注意的是,这里的属性存在于消费者的认知中,而不是产品或者服务客观存在的属性。研究表明,由于人类的工作记忆最多能够记住7 —9 个组块的信息,因此,对高度卷入的产品,要考察其7 —9 个重要属性,而对于低卷入的产品而言,要考察1—3 个重要的属性。bi为客体———属性信念的强度。其含义是,在消费者的认知中,产品的第i 个属性存在的可能性;也即指消费者对某特定产品或者服务的第i 个重要属性存在与否的信念强度。ei 为属性—利益信念的强度,指消费者对这类客体中某个属性重要性的评价;简单点说,就是消费者认为,在这类产品中,第i 个属性对自己是有利益的,还是有损害的,程度怎么样。 整个态度模型表明,要考察消费者对某个品牌的态度,必须先知道,在消费者的认知中,这类产品应该具有哪些属性或者特点,即确定i 变量;再确定在消费者的认知中,这些属性对他们的重要程度如何,就是e 变量;然后再确定,在消费者的认知中,某特定品牌的产品在多大程度上具有这些重要的属性,就是b变量。 二、消费者态度测量 确定变量i 该态度模型要求先确定i 变量,即消费者认为这类产品或者服务中应该具有哪些特点。这里需要注意的是,虽然在态度测量中,考察的是某特定品牌产品或服务,但是,在确定这个变量时,着眼点是这类产品或者服务应该具有多少个属性特点。要从消费者的认知中得出该变量的具体值,应该用定性的研究方法,以便穿破消费者的心理阻抗,或防止消费者故意迎合调查者的心理。比如使用凯利的建构储格技术、焦点小组技术(focus group) 、阶梯方法(Ladderingmethod) 等等。由于是定性研究,因此,在调查时没有必要进行概率抽样,使用方便性抽样即可。对高卷入的产品或者服务,应该找到7 个左右的重要属性,而对于低卷入产品或者服务而言,应该找到至少3 个重要的属性特点。 确定变量e 在确定i变量后,就应该确定变量e了。第i个属性特点对应的是ei 变量。与属性变量的确定方法不同的是,这时应该用定量的研究方法。调查时一般呈现给被访者一个结构化的问题—在这类产品中,您认为某个属性很重要吗? 并让他们在里克特7 点量表上打分,不要重的打- 3分,重要的打3 分。这里之所以有负值和正值,是因为,在有些消费者的认知中,某个属性是有害的,而不是有利的,比如,因为这个属性特点,在使用中,产品给消费者带来了自尊上的伤害。由于是定量的研究,因此,就应该使用概率抽样来取得消费者样本,以便了解目标市场的整个潜在消费者对这些属性的评价。这样,可以依次确定,消费者对这类产品的所有属性—利益信念的强度。 确定变量b 确定变量b也应该用定量的研究方法,使用 概率抽样获得消费者样本。和确定变量e很类似,也是向被访者呈现一个结构性的 对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法 卫贵武1,2 1西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031） 2川北医学院数学系，四川南充（637007） E-mail ：weiguiwu@https://www.doczj.com/doc/2016288765.html, 摘 要：针对只有部分权重信息且对方案有偏好的多属性决策问题，提出了一种灰色关联分析的决策方法。该方法依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，给出了该问题的计算步骤，其核心是通过构建并求解一个单目标最优化模型，可得到属性权重信息，进而得到每个方案客观偏好值与主观偏好值的灰色关联系数，然后计算出每个方案客观偏好与主观偏好的关联度，根据关联度对所有方案进行排序。最后给出了一个数值例子，结果表明方法简单，有效和易于计算。 关键词：多属性决策，属性权重;灰色关联分析，单目标最优化 中图分类号：O212.6 文献标识码：A 1. 引言 多属性决策是决策理论研究的重要内容，现已广泛应用于投资决策、项目评估、方案优选、工厂选址、经济效益评价等诸多领域[1-7]。由于客观事物、不确定性及决策者的积极参与，对方案有偏好的不确定多属性决策问题引起人们的关注[4 ，8-15] 。目前关 于这类方法的研究成果主要有：给出方案偏好程度条件概率的方法[8]；给出方案优先序的方法[9]；给出方案偏爱度的方法[10]；文献[11]在属性权重信息不能完全确知且对方案有偏好的多属性决策问题，提出一种基于方案达成度和综合度的交互式决策方法；文献[12]在属性权重信息完全未知的情况下，讨论了决策者对方案的偏好信息以互补判断矩阵形式给出的多属性决策问题；文献[13]研究了只有部分权重信息且对方案的偏好信息以互补判断矩阵和互反判断矩阵两种形式给出的多属性决策问题，提出了一种基于目标规划模型的多属性决策方法；文献[14]研究了只有部分权重信息且对方案的偏好信息以实数形式给出的多属性决策问题，提出了一种基于投影模型的多属性决策方法。文献[15]对权重信息完全未知且对方案的偏好信息为互补判断矩阵的多属性决策方法进行了研究，利用线性转化函数将决策信息一致化，然后建立一个优化模型，进而给出了相应的决策方案排序方法。 灰色关联分析法由邓聚龙教授首先提出[16-18]，它是灰色系统最普遍的分析方法之一，是分析不同数据项之间相互影响、相互依赖的关系，它是根据事物序列曲线几何形状的相似程度，用量化的方法评判事物(因素)间的关联程度。两条曲线的形状彼此越相似，关联度就越大，反之，则关联度就越小[16-22]。近年来，灰色关联分析法在多属性决策中得到了广泛的应用[16-28]。本文对已知部分属性权重信息且对方案有偏好的多属性决策问题进行了研究，提出了解决该问题的灰色关联分析法。最后以实际的例子说明了本文提出的方法。 2. 对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法 假设某多属性决策问题，有m 个可行方案12A ,A ,,A m L ，n 个评价属性 12G ,G ,,G n L ，评价属性j G 的权重j ω不能完全确定，但是知道,L R j j j w w ω??=? ?， 第３１卷第１期四川兵工学报２０１０年１月【基础研究】 基于相对熵的模糊多属性决策的多目标 规划方法膏 陶志富，周礼刚，陈华友 （安徽大学数学科学学院，合肥２３００３９） 摘要：针对属性权系数部分已知且属性值为梯形模糊数的多属性决策问题，提出一种基于相对熵的多目标规划决策方法．该方法在梯形模糊数归一化的基础上，引进了梯形模糊数的期望值的概念，给出属性的理想值和负理想值，根据相对熵的意义，建立了权系数确定的多目标规划模型，并探讨了模型的求解方法．最后，实例分析表明所提方法的可行性和有效性． 关键词：多属性决策；梯形模糊数；相对熵；多目标规划 中图分类号：０２２文献标识码：Ａ文章编号：１００６一０７０７（２０１０）０１—０１３２—０４ 多属性决策是指对于给定的有限个选择方案，决策者根据事先确定的各个方案若干个属性值，按照某种决策准则进行多方案排序．多属性决策广泛应用于社会、经济、管理等诸多领域．对于多属性决策问题，无论采取什么样的求解方法，一般需要确定各属性的相对重要程度，而重要程度往往用属性的权系数来反映，权系数越大则其对应的属性就越重要．因此权系数的正确确定，对于多属性决策问题的正确决策具有十分重要的作用．目前权系数确定的方法有多种．大体上可分为主观赋权方法和客观赋权方法２大类¨－２］．而客观赋权法是通过建立一定的数学模型计算出权重系数．客观赋权法显著的特点是存在赋权的客观标准，通过计算得出评价指标的权重系数，而不是人为给定的． 由于客观事物的不确定性和人们思维的模糊性，人们在决策过程中可能给出模糊信息．比如三角模糊数或梯形模糊数．对于模糊多属性决策问题的研究也是学术界研究的一个热点问题之一，并取得了大量的研究成果Ｈ－７１．然而目前模糊多属性决策大多处理的是三角模糊数信息的，且属性权重信息是已知的情形．本文试图探讨决策信息是梯形模糊数，且属性权重是部分已知的模糊多属性决策问题．相对熵是用来度量２个概率分布的符合程度的¨４。，因此提出一种基于相对熵的模糊多属性决策多目标规划方法，并探讨了模型的求解．实例分析表明所提方法是可行和有效的． １预备知识 定义１‘２】。称翩为１个梯形模糊数，若其隶属函数满足 ｐ薪（菇）＝（茗一Ｚ）／（ｍ—Ｚ），ｌ＜菇＜ｍ（茹一“）／（ｎ一Ⅱ），ｎ＜茗＜Ⅱ１．ｍ≤菇≤万 ０，其他 记为翩＝（Ｚ，ｍ，ｎ，“），其中ｚ＜ｍ≤ｎ＜ｕ．特别地，若ｍ＝，ｌ，则厨退化为一个三角模糊数． 定义２‘８—９１设毛，扎≥ｏ，ｉ＝１，２，…，珏，且１＝二石‘≥五Ｙｉ，则称 １２ｌ１２１ 睾收稿日期：２００９—１２—０２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０５７１００１）。安徽省优秀青年科技基金资助项目（０８０４０１０６８３５），安徽省自然科学基金资助项目（０７０４１６２４５），安徽高等学校省级教学研究项目（２００７ｊｙｘｍｌ７７），安徽大学人才队 伍建设项目． 作者简介：陶志富（１９８５一），男，硕士研究生，主要从事运筹与管理研究； 陈华友（１９６９一），男，安徽和县人，博士，教授，主要从事运筹与管理，预测和决策分析研究． 万方数据 第十章多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making Problem) 即: 有限方案多目标决策问题 主要参考文献: 68，112，152 §10.1概述 MA MC MO 一、决策矩阵(属性矩阵、属性值表) 方案集X = {} 方案的属性向量= {,…, } 当目标函数为时, = () 各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵): …… …… ……………… …… ……………… …… 例: 例： 二、数据预处理 数据的预处理(又称规范化)主要有如下三种作用。 首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。 其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即 使以万元为单位，其数量级往往在千(103)、万(104)间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位(100)或小数(101 )之间，为了直观，更为了便于 采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。 此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全补偿性。 常用的数据预处理方法有下列几种。 (1)线性变换 效益型属性：z ij= y ij/y j max(10-1) 变换后的属性值最差不为0，最佳为1 成本型属性z ij= 1 - y ij/y j max(10-2) 变换后的属性值最佳不为1，最差为0 或z ij’ = y j min/ y ij(10-2’) 变换后的属性值最差不为0，最佳为1, 且是非线性变换 (2) 标准0-1变换 多属性决策基本理论与方法 多属性决策基本理论与方法 主讲人：张云丰 多属性决策基本理论与方法 1. 多属性决策基本理论 1.1 多属性决策思想 根据决策空间的不同，经典的多准则决策（Multiple Criteria Decision Making —MCDM ）可以划分为两个重要的领域：决策空间是离散的（备选方案的个数是有限的）称为多属性决策（Multiple Attribute Decision Making —MADM ），决策空间是连续的（备选方案的个数是无限的）称为多目标决策（Multiple Objective Decision Making —MODM ）。一般认为前者是研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。 经典的多属性决策（Multiple Attribute Decision Making —MADM ）问题可以描述为：给定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性（每个属性有不同的评价标准）去对其进行综合评价。决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管理和军事等诸多领域，如投资决策、项目评估、工厂选址、投标招标、人员考评、武器系统性能评定、经济效益综合排序等。 1.2 多属性问题描述 设在一个多属性决策问题中，备选方案集合为}g ,,g ,{g m 21 G ，考虑的评价属性集合为},,,{21n u u u U ，则初始多属性决策问题的决策矩阵为： mn x m x m x n x x x n x x x X 2 1 22212 112 11 其中，ij x 表示第i 个方案的第j 个属性的初始决策指标值，其值可以是确定值，也可以是模糊值，既可以是定量的也可以是定性的。 多属性决策问题主要包括三个部分：建立属性评价体系、确定属性权重及运用具体评价方法对备选方案进行综合评价。 2. 属性值规范化方法 2.1 属性值规范化概述 常见的属性有效益型、成本性、区间型三种。效益型属性也称正属性，是指属性值越大 理性行为理论(TRA)与计划行为理论(TPB) 理性行为理论(Theory of Reasoned Action，TRA)又译作“理性行动理论”，是由美国学者菲什拜因（Fishbein）和阿耶兹（Ajzen）于1975年提出的，主要用于分析态度如何有意识地影响个体行为，关注基于认知信息的态度形成过程，其基本假设是认为人是理性的，在做出某一行为前会综合各种信息来考虑自身行为的意义和后果。TRA的理论模型，如下图： 该理论认为个体的行为在某种程度上可以由行为意向合理地推断，而个体的行为意向又是由对行为的态度和主观准则决定的。人的行为意向是人们打算从事某一特定行为的量度，而态度是人们对从事某一目标行为所持有的正面或负面的情感，它是由对行为结果的主要信念以及对这种结果重要程度的估计所决定的。主观规范（主观准则）指的是人们认为对其有重要影响的人希望自己使用新系统的感知程度，是由个体对他人认为应该如何做的信任程度以及自己对与他人意见保持一致的动机水平所决定的。这些因素结合起来，便产生了行为意向(倾向)，最终导致了行为改变。 理性行为理论是一个通用模型，它提出任何因素只能通过态度和主观准则来间接地影响使用行为，这使得人们对行为的合理产生有了一个清晰的认识。该理论有一个重要的隐含假设：人有完全控制自己行为的能力。但是，在组织环境下，个体的行为要受到管理干预以及外部环境的制约。因此，需要引入一些外在变量，如情境变量和自我控制变量等，以适应研究的需要。 X 计划行为理论 计划行为理论（Theory of Planned Behavior）是由多属性态度理论（Theory of Multiattribute attitude）与理性行为理论（Theory of Reasoned Action）（Ajzen& Fishbein,1980; Fishbein & Ajzen,1975）所结合发展出来的，由于理性行为理论假设行为的发生，皆能够由个人的意志所控制；可是实际的情况下，多属性决策基本理论与方法
多属性决策简介
经典多属性决策算法对比分析
基于投影模型的多属性直觉模糊多属性决策方法应用研究
多属性决策在供应商选择中的应用
多属性态度模型
对方案有偏好的多属性决策的灰色关联分析法
基于相对熵的模糊多属性决策的多目标规划方法
多属性决策问题分析
多属性决策基本理论与方法
理性行为理论
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