开卷速查(五十三) 双曲线
A 级 基础巩固练
1．设P 是双曲线x 2a 2－y 2
9＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )
A ．1或5
B ．6
C ．7
D ．9
解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝3
2.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.
答案：C
2．与椭圆C ：y 216＋x 2
12＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )
A ．x 2－y
23＝1
B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 2
2＝1
D.y 23－x 2
＝1
解析：椭圆y 216＋x 2
12＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2
m －x 2
n ＝1(m ＞0，n ＞0)，则??
?
3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，
解得m ＝n ＝2，
故选C.
答案：C
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程
为( )
A.x 25－y 2
20＝1 B ．x 225－y 2
20＝1 C.x 220－y 2
5＝1
D.x 220－y 2
25＝1
解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c
a ＝5，∴a 2＝5，
b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y
2
20＝1.
答案：A
4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5
3c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )
A.32 B ．52 C.352
D.52
解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |
b 2＋a 2＝53
c ，即b ＝5
3c ，从而
b 2
＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2
＝94，所以离心率e ＝32.
答案：A
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b
a x ， 则由题意得b
a ＞2. ∴e ＝c a ＝1＋? ??
??b a 2
＞1＋4＝ 5. 答案：C
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.x 216－y 2
9＝1 B ．x 23－y 2
4＝1 C.x 29－y 2
16＝1
D.x 24－y 2
3＝1
解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝4
3x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.
答案：C
7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2
m ＝1的焦距等于4，则n ＝__________.
解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2
－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－
4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2
＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．
答案：5
8．已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．
解析：由x 29－y 2
16＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5， 所以|PQ |＝4b ＝16＞2a ， 又因为A (5,0)在线段PQ 上，
所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：
?????
|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.
所以|PF |＋|QF |＝28.
即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：44
9．已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为__________．
解析：依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB
→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．由FB →·AB →＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2
ac ＝1，即
e －1e ＝1，e 2
－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋5
2.
答案：1＋52
10．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且
c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2＝b 2＝2.
∴双曲线方程为x 22－y 2
2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
∴直线AO 的斜率满足y 0
x 0·(－3)＝－1.
∴x 0＝3y 0.①
依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即
y 0＝1
2c ，
∴x 0＝3
2c .
∴点A 的坐标为? ????
32
c ，12c .
代入双曲线方程得34c 2a 2－14c
2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2
，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，
∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得
34
c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3? ????c a 4－8? ??
??c a 2
＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，
∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.
B 级 能力提升练
11．直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F 是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )
A.3＋ 2 B ．3＋1 C.2＋1
D ．2 2
解析：由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．
又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，
∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ， 由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝c
a ＝3＋1. 答案：B
12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(2，2)
C ．(3，2)
D ．(2,3)
解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π
4即可．直线AB
的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2
＝b 4
a 2，取点A ?
????－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b 2
a ＜a ＋c ，即
b 2＜a 2＋a
c ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2.又e ＞1，故1＜e ＜2.
答案：A
13．如图，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .
(1)求双曲线的离心率e ；
(2)求菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1
S 2
.
解析：(1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ， ∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.
∴e 4
－3e 2
＋1＝0，∴e 2
＝3＋5
2.
∴e ＝1＋52.
(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1
S 2＝
2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc
4a 2bc b 2＋c
2
＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.
14．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2
＝1后，整理得
(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，
故?????
k 2－2≠0，
Δ＝(2k )2
－8(k 2
－2)>0，－2k k 2－2>0，
2
k 2
－2>0.
解得k 的取值范围是－2 (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得??? x 1＋x 2＝ 2k 2－k 2 ，x 1 ·x 2 ＝2 k 2 －2 .② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝6 2代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－6 5?(－2，－2)(舍去)， 可知存在k ＝－6＋6 5使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．
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