2014年石景山区高三统一测试
数学（理科）
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知全集U =R ，集合{}
2
|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A
B =e（ ）
A ．{}|01x x <<
B ．{}|0x x <
C ．{}|2x x >
D ．{}|12x x <<
2．下列函数中，在(0)+∞，
内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =
B ．1y x =+
C ．lg ||y x =-
D ．2x y =
3．在2
5
1
()x x
-的展开式中，x 的系数为（ ）
A ．10
B ．10-
C ．20
D ．20-
4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，
以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）
A ．4
B ．
95 C ．12
5
D ．165
A
C
B
5． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离
为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2
B ．8
C
D ．4
6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是
等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）
7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ） A ．2- B ．1
2
C ．1-
D ．2
8．已知动点()P x y ，在椭圆22
:12516
x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足
||1MF =且0MP MF ?=，则||PM 的最小值为（ ）
A B ．3
C ．
125
D ．1
A ．12
B ．3
C ．4
D ．6
主视图
左视图
俯视图
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知命题p :0x x e ?∈ 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ， ，则数列}{ n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{ n b 的前n 项和=n S _____________． 11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________． 12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤? ， ， ，则x y 的取值范围是_________. 13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专 业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直 线”.已知函数2 ()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔 离直线方程为_________. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c << 2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a = ，b = ，求c 边的长和△ABC 的面积. 16．（本小题满分13分） 经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ． （Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 1235567889 1 35567 罗非鱼的汞含量（ppm ） 17.（本小题满分14分） 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2 ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小； （Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在， 求出AE 的长；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分） 设函数2 ()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]， 上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1. A 1A 1B 1C C D B 19．（本小题满分14分） 给定椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 的圆 是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，， 其短轴上的一个端点到F 的 （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ， 交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 求直线12l l ， 的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值. 20．（本小题满分13分） 对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，， ，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列 12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，． 已知数列{}n b 为数列1{ }()2 n n * ∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311 (1)78 n n S = -，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为 121 {|2}2 n n k x x k k *--= ∈≤N ，，． 2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分， 第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：2sin b A =， 2sin sin A B A =， ……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以sin B = ， …………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ……………6分 （Ⅱ）因为2a =，b = 所以由余弦定理得22212222 c c =+-???，即2 230c c --=， 解得3c =或1c =-（舍）， 所以c 边的长为3. ……………10分 11=sin 2322ABC S ac B ?=??= ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则 1251031545()91 C C P A C ==， ∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为 45 91 . ……………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51 ()153 P B = =， ………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分 则3 0318(0)1327P C ξ??==-= ? ?? ，2 1 3114(1)1339P C ξ??==??-= ???， 223 112(2)1339P C ξ?? ??==?-= ? ??? ??，3 3311(3)327 P C ξ??=== ? ??．…………10分 其分布列如下： ……………12分 所以842101231279927 E ξ=? +?+?+?=. ……………13分 17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ， ， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点， M A 1A 1B 1C B C D 所以MD 是三角形1AB C 的中位线， ……………2分 所以MD ∥1B C ． ……………3分 因为MD ?平面1A BD ，1B C ?平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ． ……………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ， 所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB = ，1AA =D 是AC 的中点． 所以(100)A ，，，(100)B -，， ，(00C ， ，1(10)A ， ……………5分 所以1 (02D ，，3(022 BD =，，， 1(20)BA =． 设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量， 所以100n BD n BA ??=???=??，，即3022 20x z x ?+ =???+=? ，， 令x =2y =，3z =， 所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． ……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， ……………7分 所以121 cos 2 n AA <>= =，． ……………8分 所以二面角1A BD A --的大小为 3 π ． ……………9分 x （Ⅲ）设(10)E x ，， ，则1(1C E x =- ，11(10C B ，，=- 设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=， 所以111100n C E n C B ，，??=???=?? 即11111)00x x y x ， ， ?-++=?? -=?? 令1z =13x = ，1y = 1(3n =， ……………12分 又10n n ?= ，即0--= ，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且3 AE =． ……………14分 18．（本小题满分13分） 解: （Ⅰ）1a =时, 2 ()ln (0)f x x ax x x =+->， 1(21)(1) ()21x x f x x x x -+'∴=+-＝ ， ……………1分 11(0)()0()()022 x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，， ()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1 ()2+∞，. ……………3分 （Ⅱ）1 ()2f x x a x '=+- ()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立， 即1 20x a x +- ≤对任意(01]x ∈， 恒成立， ……………5分 1 2a x x ∴≤ -对任意(01]x ∈， 恒成立， 令1 ()2g x x x =-， min ()a g x ∴≤， ……………7分 易知()g x 在(01]， 单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-. 1a ∴≤-. ……………8分 （Ⅲ）设切点为(())M t f t ， ，1 ()2f x x a x '=+-， 切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点() f t k t = ， ()2221 2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. ……………11分 再证唯一性：设()2 1ln t t t ?=-+，()1 '20t t t ?=+>， ()t ?在(0,)+∞单调递增，且()1=0?， 所以方程21ln 0t t -+=有唯一解. 综上，切点的横坐标为1. ……………13分 19．（本小题满分14分） 解： （Ⅰ） 21c a b ==∴=，， ∴椭圆方程为2 213 x y +=， ………………2分 准圆方程为2 2 4x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆2 2 4x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ， ， 设过点(02)P ， 且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22 213 y kx x y =+???+=??， ，得22 (13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切， 所以2 2 14449(13)0k k ?=-?+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ， 方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ?=-，12l l ∴⊥. ………………8分 （ⅱ）①当直线12l l ， 中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：x = 当1l ：x = 1l 与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ， 垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ， 垂直. ………………10分 ②当12l l ， 斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22 004x y +=. 设经过点00()P x y ， 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由002 2 ()13 y t x x y x y =-+?? ?+=??， ， 得 222 0000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0?=化简整理得 222 0000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22 004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ， 的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ， 满足上述方程222 0000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ?=-，即12l l ， 垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ， 经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直. 所以线段MN 为准圆22 4x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. ………………14分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b = ，1||(,2)2n n b n n * =∈≥N ， ∴231148 b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488 ++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为1357 8888，，，． ……………3分 （Ⅱ）∵311 (1)78 n n S =-， 当1n =时，1233111 (1)788 a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111 (1)(1)78788 n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=， 323131 8n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， ……………5分 ∵{}n b 是1()2n n * ??∈???? N 的生成数列， ∴323212n n b --=± ；31311 2n n b --=± ；3312 n n b =± ； ∴323133231311111(421)()22288 n n n n n n n n b b b n * ----++=±±±=±±±=∈N ， 在以上各种组合中， 当且仅当32313421()888 n n n n n n b b b n * --= =-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2n n n n k b k n k *?=-??=∈??-≠-??N ，，（），． ……………8分 （Ⅲ）23 1111 2222 n n S = ±±±± 共有12n -种情形． 2323111 111112222222 2n n n S ----≤≤++++，即121 22 n n n n S -≤≤， 又1232221 2n n n n n S ---±±± ±= ，分子必是奇数， 满足条件121 222 n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． ……………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项． 由于1 ||||2 k k k a b == ，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=++ +-++ + 12 111122()2222k k k n ++≤?-?+++ 1 111122()02222k k n n -=? -?-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．…12分 ∴231111 222 2 n n S = ±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为13521 2222 n n n n n -，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为1 21{|2}2 n n k x x k k *--= ∈≤N ，，． ……………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】
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