一.专题综述
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．
二．考纲解读
1.理解平面向量的概念和向量相等的含义．理解向量的几何表示．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
3.理解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
三．2012年高考命题趋向
1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.
2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题. 3．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性．
四．高频考点解读
考点一向量的几何运算
例1 [2011·四川卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
图1－2
A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 【答案】D
【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →
，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量
MN ON OM =-
(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向
量．
考点三 向量平行与垂直
例4[2011·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1, 0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.1
2
C ．1
D ．2 【答案】B
【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，
所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝1
2
.
例5[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. 【答案】1
【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2
＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.
考点四 向量的数量积、夹角与模
例6[2011·广东卷] 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0 【答案】D
【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.
例7[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
【答案】－1
4
【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所
在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ???
?0，32，D (0,0)，B ????－1
2，0，E ????13，36，
故AD →＝????0，－32，BE →＝????56，36，所以AD →·BE →
＝－32×36＝－14.
例8[2011·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．
【答案】 π
3
【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得
|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12θ＝π
3
.
例9[2011·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p 1：|a ＋b |＞1?θ∈????0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1?θ∈???
?2π
3，π
p 3：|a －b |＞1?θ∈????0，π3；p 4：|a －b |＞1?θ∈???
?π
3，π.
其中的真命题是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4 【答案】A
【解析】 因为||a ＋b >1?||a 2＋2a ·b ＋||b 2
>1?a ·b >－12?||a ||b cos θ＝cos θ>－12?θ∈????0，
2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．又因为||a －b >1?||a 2－2a ·b ＋||b 2>1?a ·b <1
2
?||a ||b cos θ＝
cos θ<12
?θ∈????π
3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题．
【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a ·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a ·b=x 1x 2+y 1y 2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.
考点五 向量的应用
例10[2011·山东卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2
→
(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，
D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上
D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
【解析】 若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2.
对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12→
?λ＝12?1μ
0，故A 选项错误；同理B 选项
错误；对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1?1λ＋1
μ
，C 选项错误；对于D ：
若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则λ>1，μ>1?1λ＋1
μ
<2，故C 、D 不可能同时在线段
AB 的延长线上，D 选项正确．
例11[2011·福建卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域????
?
x ＋y ≥2，
x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，则OA →·OM →
的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2] 【答案】C
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，
当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.
∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →
的取值范围是[0,2]，故选C. 例12[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理．
【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法一：如图1－9，
a 2＝BC →·BC →
＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2
＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，
则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，
∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2
＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A
＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C . 【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面．
考点六 与向量相关的最值问题
例12[2011·全国卷] 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2
，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |
的最大值等于( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【答案】A 【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，
B ，
C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求
得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3
sin120°
＝2，||c 的最大值是2，故选A.
例13[2011·辽宁卷] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 B
【解析】 |a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·(a ＋b )，又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故选B. 例14[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P
是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________． 【答案】5
【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．
设P (0，y )，(0≤y ≤h ) 则PA →＝(2，－y )，PB →
＝(1，h －y )，
∴||
PA →＋3PB →＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.
例15[2011·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边
形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【答案】????
π6，5π6
【解析】 由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥1
2.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈???
?π6，5π
6.
【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
针对训练
一．选择题
1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
设向量3
1
(,cos ),(sin ,),//,2
3
a b a b θθθ==向量且则锐角为
（ ） A ．60° B ．30° C ．75°
D ．45°
答案：D .解析：
31,cos sin 0,sin 2 1.(0,90),290,45.23
a b θθθθθθ∴?-?=∴=∈∴=∴=
∥
2.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知()()2,1,1,3-=-=b a ，
若()()
b k a b a ++-∥2，则实数k 的值是( )
A. -17
B. 2
1- C.
18
19 D.
35
答案：B
解析： 由已知得2(7,4)a b -+=- ，(3,12)a k b k k +=-+-
，又因为两向量平行，所以
7(12)4(3)k k -=--+，计算可得实数k 的值是12
-
。
3.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
已知非零向量a b c ，，，满足0a b c ++= ，向量a b
，，
的夹角为60°，且，则向量a 与c
的夹角为 （ ） A.60
B. 30°
C. 120°
D. 150°
答案：D
解析：.220,().||()2+2cos 60 3.|a b c c a b c a b c ++=∴=-+∴=+==∴
2
3=()||=.2
c a a b a a a b ?-+?=--- 设c a 与的夹角为θ，
则3cos =[0,180],=150.2||||a c a c θθθ-
==-∈∴
4.【2012海淀区高三年级第一学期期末试题】
如图，正方形ABC D 中，点E 是D C 的中点，点F 是B C 的一个三等分点.那么=EF
（A ）1123
A B A D
-
（B ）114
2
A B A D
+
（C ）1132
A B D A
+
（D ）1223
A B A D
- 答案：D
解析： 在C E F ?中，有,EF EC C F =+
因E 为DC 的中点，故1,2
EC D C =
因点F 为BC 的一个三分点，故2,3
C F C B =
121212.232323
EF D C C B AB D A AB AD ∴=+=+=-
故选D.
5.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】在边长为1的正三角
形ABC 中，,B D x B A C E y C A ==
，0,0,1x y x y >>+=且，则CD BE ? 的最大值为
（ ） A ．58- B ．38-
C ．32
-
D ．34
-
答案：D
解析：如图所示，建立直角坐标系，则1221
1(,0),(,0),(0,),(,0),(,),222
A B C D x E x y -
设 1111
,(,00)(1,0),;22
B D x B A x x x x =∴--=-∴=-+
222211,(,(,,;2
2
2
2
2
2
C E yC A x y y x y y y =∴-
=-
-
∴=-
=
-
211(,(1,)(1)22222
x C D BE x x x x ?=-+-?-+=--+ ，因101,2x x <<∴=当时
函数取得最大值3.8
-
故答案为C.
6.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】在A B C ?中，若对任意k R ∈，
有BA k BC AC -≥
，则A B C ?一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 答案A
解析：如图所示，设k BC BD =
, 则D 为BC 所在的直线上动点，又
B A k
B C B
A B D D A C
A
-=-=
≥
恒成立， 故在三角形ACD 中，唯有90C ∠= 才能满足不等式恒成立，故答案为A 。 7.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0
c A C a P A b P B ++=
，则△ABC 的形状为 A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形.
答案：C
解析：由题意知11()()0
22
c A C a A B A C b A B A C -++-=
， ∴()022a b a b c A C A B +---= ，∴()22
a b a b
c A C A B
+--= ， 又A B 、A C 不共线，∴02
02
a b
a b c -?=???+?-=??，∴.a b c
== 8.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知,3),12,5(=-=a
( ）
（Ａ）[]15,9 （Ｂ）[]16,10 （Ｃ）[]17,11 （Ｄ）[]18,12 答案：B
解析：因为()b a a b =-- ，由向量的三角形不等式||||||||||a a b b a a b --≤≤+-
及
||13a = 得：
133||133b -≤≤+
[]16,10。 9.（2012届景德镇市高三第一次质检）下列命题：①若向量a 与向量b 共线，向量b
与向量c 共线，则向量a 与向量c 共线；②若向量a 与向量b 共线，则存在唯一实数λ，使
a b λ=；③若,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC
外一点，且
=
OM 3
1OA 3
1+
OB 3
1+
OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ?的内部。上述
命题中的真命题个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】①②若考虑零向量均不成立；对于③，由=
OM 3
1OA 3
1+
OB 3
1+
OC 得
AM BM CM ++=0uuur uuu r uuu r r
，因此M 是ABC ?的重心.
10、【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
设O 为A B C ?所在平面上一点，若实数x y z 、、满足0xO A yO B zO C ++= ，
2
2
2
(0),x y z ++≠则“0xyz =”是“O 为A B C ?的边所在直线上”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：C
解析： 若0,00x y z ===，中有两个成立，此时O 为三角形的顶点；若其中一个为零，
例如0,00x y z =≠≠，，0,,,yO B zO C yO B zO C O B C +=∴=-∴
，三点共线，总是可
知“0xyz =”是“O 为A B C ?的边所在直线上”的充分不必要条件，显然，反之也成立，故答案为C 。
11.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
主题(9) 如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO ·
BC
的值是 (A) －8
(B) －1 (C) 1 (D) 8
答案D
解析： 取BC 中点D ，则OD ⊥BC,
所以0()==D O BC AO BC AD D O BC AD BC D O BC AD BC ?=?=+??+?? ，
2
2259=
()8.222
AB AC
AC AB AC AB +--?-===
12.【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试数学（理科）】 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若，且
，则向量
在向量
方向上的射影的数量为（ ）
(A ).(B ).(C). 3
(D ).
【答案】A
【解析】由已知可以知道，A B C ?的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此A B C ?是直角三角形。且2
A π
∠=
，又因为
因此答案为A
二．填空题
13.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
在A B C ?中，已知 (23,31)A B k k =++ ，(3,)AC k =
()k ∈R ，则BC =__；90B ∠=?，
则k =__ _．
答案： (2,21)k k ---；1k =-或110
-
解析：(23,31)(3,)(2,21),BC BA AC k k k k k =+=----+=---
因90B ∠=?，所以
2
10,(2,21)(23,31)0,101110,1.10
B C B A k k k k k k k ?=∴-------=∴++=∴=- 或-14.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知||2||0a b =≠
，且关于
x 的函数32
11()||32
f x x a x a bx =++? 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为_______.
答案 ,3π
π??
???
解析：2
'
2()f x x a
x a b =++? ，因为函数()f x 在R 上有极值，所以240a a b ?=-?>
，
得240
a a
b ?=-?>
，解得2
4
a
a b ?<
，又因为
20
a b =≠
，所以
2
1
c o s ,24a a b a b a b a b
?=<=?? ，因为向量夹角的范围是[]0,π，所以向量,a b 的夹角范
围是,3π
π??
???
。 15.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
已知向量(1,1),(1,)a x b y =-=
，且a b ⊥ ，则22
x y +的最小值为
答案：
12
解析：因为a b ⊥ ，所以10x y -+=，代入得2222
211(1)2()22
x y x x x +=+-=-+，所
以当12x =时，22
x y +取得最小值12
16.【2011杭师大附中高三年级第一次月考卷】
已知平面向量,αβ （αβ≠ ）满足2,α= 且αβα-
与的夹角为120°，则(1)+()t t t R αβ-∈
的最小值是
答案
：解析：
2
2
2
2
()
11cos ,2
2
||||
||||
4
1||4||49122
2||
|(1)|t t αβαααβ
αβααβααβααβαβαβαβαββαβαβαβαβ→
→→
→→→
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→→→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
--+<->=
=-
∴
=-
---∴
=-
∴+-=∴-=-∴--+=
=
两边平方=-++（）（*）
αβ→
→
=
把（*）代入上式，可以得到关于
二次函数，利用性质可得。
三.解答题
17【河北省正定中学2011—2012学年度高三上学期第二次月考（数学理）】
A B C ?的三个内角,,A B C
所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-
，
(cos cos ,
sin sin 2
n B C B C =-
，且m n ⊥ ．
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）现在给出下列三个条件：①1a =；②21)0c b -=；③45B = ，试从中再选 择两个条件以确定A B C ?，求出所确定的A B C ?的面积．
解析：(I)因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin 02
B C B C -+-
=……………2分 即：cos cos sin sin 2
B C B C -=-，所以cos()2
B C +=-…………4分
因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-
所以cos ,302
A A ==
……………………………………6分
(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定A B C ?，
因为30,1,21)0A a c b ==-=
由余弦定理，得：222
111)222
2
b b b b =+-?
?
整理得：22,2
b b
c ==
=
10分
所以111sin 2
2
22
4
ABC S bc A ?=
=
=……………………12分
方案二:选择①③，可确定A B C ?， 因为30,1,45,105A a B C ====
又sin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 604
=+=+=
由正弦定理sin 1sin 105sin sin 302a C c A
?=
=
=
……………10分
所以11sin 12
2
2
2
4
ABC S ac B ?=
=?=
……………12分
（注意;选择②③不能确定三角形）
18.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
已知向量m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, n m ?C B A C ，，，且2sin =分别为△ABC 的三边c b a ,,所对的角. （Ⅰ）求角C 的大小;
（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB 成等比数列, 且18)(=-?AC AB CA , 求c 的值 解析： (Ⅰ) ∵m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =,n m ? C 2sin =, ∴C B A B A 2sin sin cos cos sin =+ 即 C C 2sin sin =
∴ 2
1cos =C ，又C 为三角形的内角， ∴ 3
π
=C ………………6分
(Ⅱ) ∵B C A sin ,sin ,sin 成等比数列， ∴ab c =2
又18)(=-?AC AB CA ,即 18=?CB CA , ∴ 18cos =C ab
∴ 362
==ab c 即6=c ………………12分
19【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知函数2
1()cos cos ,2
f x x x x x R =
--
∈．
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知A B C ?内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量
(1,s i n )m A = 与(2,sin )n B =
共线，求a b 、的值．
解：(Ⅰ
)
2
11()cos cos 2cos 212
2
2
f x x x x x x =--
=
-
-sin(2)16
x π
=-
-
∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106
f C C π
=--=， 即sin(2)16
C π
-=
∵ 0C π<<，11266
6
C π
π
π-
<-
<，∴ 26
2
C π
π
-
=
，∴ 3
C π
=
． ……7分
∵ m 与n
共线，∴ sin 2sin 0B A -=．
由正弦定理
sin sin a b A
B
=
， 得2,b a = ①…………………………………9分
∵ 3c =，由余弦定理，得22
92cos
3
a b ab π
=+-， ②……………………11分
解方程组①②，得a b ?=?
=?
…………………………………………13分
20.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知点P 是圆2
2
1:(1)8F x y ++=上任意
一点，点2F 与点1F 关于原点对称。线段2PF 的中垂线m 分别与12PF PF 、交于M N 、两点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）斜率为k 的直线l 与曲线C 交于,P Q 两点,若0O P O Q ?=
（O 为坐标原点），试求直
线l 在y 轴上截距的取值范围．
解：（1）由题意得，12(1,0),(1,0),F F -圆1F
的半径为，且2||||MF MP = ……… 1分
从而121112||||||||||||M F M F M F M P PF F F +=+==> ………… 3分 ∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆, ………… 5分
其中长轴2a =
得到a =焦距22c =，
则短半轴1b = 椭圆方程为:
2
2
12
x
y += ………… 6分
（2）设直线l
的方程为y kx n =+,由22
12
y kx n
x y =+??
?+=?? 可得222(21)4220k x knx n +++-=
则2222168(1)(21)0k n n k ?=--+>,即22210k n -+> ① ………… 8分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2
12122
2
422,21
21
kn n x x x x k k --+=
=
++
由0O P O Q ?=
可得12120x x y y +=,即1212()()0x x kx n kx n +++= …………10分 整理可得221212(1)()0k x x kn x x n ++++= …………12分
即
2
2
2
2
2
(1)(22)
4(
)021
21
k n kn kn n k k +--+?+=++
化简可得22322n k =+,代入①整理可得212n >,
故直线l 在y 轴上截距的取值范围是(,)2
2
-∞-
?+∞． …………14分
21.（2011杭师大附中高三年级第一次月考卷）设ABC ?的三个内角C B A 、、所对
的边分别为c b a 、、，且满足0)2(=?+?+CB CA c BA BC c a ． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ?的最小值．
解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cC A C B +?+?=
，
所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=，
即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2s i n
s i n )c o s s i A C B B C ++=所以
2s i n
c o s
s i n (A B C B ++=，即1cos 2
B =-
，所以23
B π=
（Ⅱ）因为2
2
2
22cos
3
b a
c ac π=+-，所以22
123a c ac ac =++≥，即4a c ≤
当且仅当a c =时取等号，此时ac 最大值为4 所以AB C B ? =21
cos
23
2
ac ac π=-≥-，即AB C B ? 的最小值为2-
2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 （1）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.10 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 （3）下面是关于复数z= 2 1i -+的四个命题 P1:z =2 P2:2 z =2i P3:z 的共轭复数为1+I P4 :z 的虚部为-1 其中真命题为 A P2 ,P3 B P1 ,P2 C P2，P4 D P3 P4 （4）设F1，F2是椭圆E ： 22x a +2 2y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦 点 ，P 为直线x= 23 a 上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 A 12 B 23 C 34 D 45 （5）已知{a n }为等比数列， a 4+a 1=2 a 5a 6＝-8 则a 1+a 10 = A.7 B.5 C-5 D.-7 （6）如果执行右边的程序图，输入正整数N （N ≥2）和实数 a 1.a 2,…a n ，输入A,B,则 (A)A+B 为a 1a 2,…，a n 的和 （B ） 2 A B +为a 1a 2.…，a n 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最小的数和最大的数 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 (B)9 (C)12 (D)18 （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点， ，则 C 的实轴长为
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（） A．3 B．6 C．8 D．10 2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A．12种B．10种C．9种D．8种 3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（）， p1：|z|=2， p2：z2=2i， p3：z的共轭复数为1+i， p4：z的虚部为﹣1． A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D． 5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（） A．A+B为a1，a2，…，a n的和 B．为a1，a2，…，a n的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几
何体的三视图，则此几何体的体积为（） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A． B．C．4 D．8 9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2] 10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（） A．B．C．D． 11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）
全国新课标高考文科数学考试大纲 I．命题指导思想 坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能. II．考试内容与要求 一.考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解 要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等. (3)掌握 要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决
2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=
（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10
2012年普通高等学校招生全国统一考试——全国新课标 理科数学 时间 120分钟 永不止步推荐 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 （ ） A 、3 B 、6 C 、8 D 、10 2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A 、12种 B 、10种 C 、9种 D 、8种 3．下面是关于复数i z +-= 12 的四个命题： 2|:|1=z p i z p 2:2 2= z p :3的共轭复数为i +1 z p :4的虚部为1- 其中的真命题为 （ ） A 、2p ，3p B 、1p ，2p C 、2p ，4p D 、3p ，4p 4．设1F 、2F 是椭圆E ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线2 3a x =上一点，12PF F ? 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ） A 、 2 1 B 、 3 2 C 、 43 D 、 5 4 5．已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a （ ） A 、7 B 、5 C 、-5 D 、-7 6．如果执行右边的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A 、B ，则 （ ） A 、B A +为N a a a ,,,21 的和 B 、 2 B A +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C 、A 和 B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D 、A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. B. C. D. （2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. （3）设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A. B. C. D. （4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8 {|0}A B x x =< A B =R {|1}A B x x => A B =? 14 π 812 π 41p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 12,z z 12z z ∈R 12z z =4p z ∈R z ∈R 13,p p 14,p p 23,p p 24,p p n S {}n a n 4524a a +=648S ={} n a
（5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. （6） 展开式中的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 （7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 （8）右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别填入 A.A ＞1 000和n =n +1 B.A ＞1 000和n =n +2 C.A ≤1 000和n =n +1 D.A ≤1 000和n =n +2 （9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 ()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]621 (1)(1)x x + +2 x 2π 3
绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 已知集合{1,2,3,4,5}A ，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10 （2） 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种 （3） 下面是关于复数21z i =-+的四个命题： 1:||2P z =, 22:2P z i =, 3:P z 的共轭复数为1i +, 4:P z 的虚部为-1， 其中的真命题为 （A ）23,P P (B) 12,P P (C) 24,P P (D) 34,P P （4） 设12F F 是椭圆E ：22 22(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45 （5） 已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） （A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7
2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3
3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
2019年高考新课标大纲及解读：数学(文) 2019年高考考试说明(课程标准实验版) 数学(文) I.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩.按己确定的招生计划。德、智、体全面衡量.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2019年颁布的《普通搞好总课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考察考生对中学的基础知、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考察考生进入高等学校继续学习的潜能。 一、考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的
数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步孩进行运其。处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识.知道知知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象。比较、判断，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2.能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运
2012年高考数学试题（理） 第1页【共10页】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 理 科 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 3. 下面是关于复数i z +-=12 的四个命题中，真命题为（ ） P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ， P 3: z 的共轭复数为1+i ， P 4: z 的虚部为-1 . A. P 2，P 3 B. P 1，P 2 C. P 2，P 4 D. P 3，P 4 4. 设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点， 12PF F △是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A. 2 1 B. 3 2 C. 4 3 D. 5 4 5. 已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1， a 2，…，a N ，输入A 、B ，则（ ） A. A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和 B.2 B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数 C. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最大的数和最小的数 D. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 （1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 （A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1)y x = ≥-的反函数为 （A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12 ≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=? （A ）2 π （B ）32π （C ）23π （D ）35π （4）已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）22 1128 x y +=
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8 y x x y ≥??+=?，且*,x y N ∈， 由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1 13i -的虚部是（ ） A. 310 - B. 110 - C. 110 D. 310 【答案】D 利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为11313 13(13)(13)1010 i z i i i i += ==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 11i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====
绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 数学（理科） 适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古 注息事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 （ ） A . 3 B . 6 C . 8 D . 10 2. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A . 12种 B . 10种 C . 9种 D . 8种 3. 下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题： 1:||2p z =； 22:2i p z =； 3:p z 的共轭复数为1i +； 4:p z 的虚部为1-. 其中的真命题为 （ ） A . 23,p p B . 12,p p C . 24,p p D . 34,p p 4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32 a x =上一点, 21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A . 12 B . 23 C . 34 D . 45 5. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （ ） A . 7 B . 5 C . 5- D . 7- 6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a , 2a ,,N a ,输出A ,B ,则 （ ） A . A B +为1a ,2a ,,N a 的和 B . 2 A B +为1a ,2a ,,N a 的算术平均数 C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数 D . A 和B 分别是1a ,2a , ,N a 中最小的数和最大的数 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 （ ） A . 6 B . 9 C . 12 D . 18 8. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线2 16y x =的准线交于A ,B 两点 , ||AB =则C 的实轴长为 （ ） A . B . C . 4 D . 8 9. 已知0ω>,函数π ()sin()4f x x ω=+在π(,π)2 上单调递减,则ω的取值范围是 （ ） A . 15 [,]24 B . 13[,]24 C . 1(0,]2 D . (0,2] 10. 已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-,则()y f x =的图象大致为 （ ） A B C D 11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为 （ ） A . B . C . 3 D . 2 12. 设点P 在曲线1 e 2 x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为 （ ） A . 1ln2- B . ln 2) - C . 1ln2+ D . ln 2)+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分 . 13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|-=|a b ,则|=|b _________. 14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --??+? ????≥， ≤，≥，≥， 则2 z x y =-的取值范围为_________. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此 --------------------卷 -------------------- 上 --------------------答 --------------------题 --------------------无 -------------------- 效--------
新课标高考数学考纲 一）命题指导思想 1.命题应依据教育部《普通高中数学课程标准（实验）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲》（待发），并结合我省普通高中数学教学实际，体现数学学科的性质和特点。 2.命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想、数学方法、数学能力，体现知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。 3.命题既要实现平稳过渡，又要体现新课程理念。 4.注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性。 5.命题要坚持公正、公平原则。试题要切合我省中学数学教学实际，数学问题的难度、问题的情景等要符合考生的实际水平。应用题要“贴近生活，背景公平，控制难度”。 6.命题要注意必修内容和选修内容的有机联系与适当差异，注重数学学科知识的内在联系。 7.试卷要有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度，难度系数控制在0.55—0.65之内。 （二）知识和能力要求 1．知识要求 对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是感知和了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。 (1)感知和了解：要求对所学知识的含义有初步的了解和感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中识别、模仿、描述它。 (2)理解和掌握：要求对所学知识内容有较为深刻的理论认识，能够准确地刻画或解释、举例说明、简单变形、推导或证明、抽象归纳，并能利用相关知识解决有关问题。 (3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能灵活运用所学知识分析和解决较为复杂的或综合性的数学现象与数学问题。 2．能力要求 能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以及实践能力和创新意识。 (1)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。 (2)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作出正确的判断；能根据要求对数据进行估计和近似计算。 (3)空间想象能力：会画简单的几何图形；能准确地分析图形中有关量的相互关系；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
2012高考全国卷二文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 选择题 （1）已知集合{| B x x =是矩形 =是平行四边形}，{| A x x =是菱形}，则 D x x C x x }，{| =是正方形}，{|
（A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1) y x =≥-的反函数为 （A ）) 0(12≥-=x x y （B ）) 1(12≥-=x x y （C ） ) 0(12≥+=x x y （D ） ) 1(12≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ? ?π+=∈是偶函数，则=? （A ）2π （B ）3 2π （C ）2 3π （D ）3 5π （4）已知α为第二象限角，3sin 5 α= ，则sin 2α= （A ） 25 24- （B ） 25 12- （C ）25 12 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 4 x =-，则该椭圆的方程为 （A ）22 11612 x y += （B ） 22 1128 x y +=
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数21z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 2 2:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= = =---+-+-- 1:p z =2 2:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
2012年全国统一高考数学试卷（新课标版）（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（） A ．3B ． 6C ． 8D ． 10 2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A ．12种B ． 10种C ． 9种D ． 8种 3．（5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1． A ．p2，p3B ． p1，p2C ． p2，p4D ． p3，p4 4．（5分）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（） A ．B ． C ． D ．
5．（5分）已知{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（） A ．7B ． 5C ． ﹣5D ． ﹣7 6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（） A ． A+B为a1，a2，…，a n的和 B ． 为a1，a2，…，a n的算术平均数 C ．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数
D ． A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） A ．6B ． 9C ． 12D ． 18 8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（） A ．B ． C ． 4D ． 8 9．（5分）（2012?黑龙江）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（） A ．B ． C ． D ． （0，2]