第三部分瓶颈题突破——冲刺高分②
第1讲填空题中的“瓶颈题”
举题说法——解法概述
考点1 直接法
【例1】【分析】(1) 解不等式再求交集;(2) 运用向量垂直的条件计算.
【答案】(1) (1,2] (2) -8 3
【解析】(1) 由题可得A={x|x>1},B={x|x≤2},所以A∩B={x|1 (2) 由已知得m=a+t b=(1,2+t),n=2a-b=(2,3),故由m⊥n可知132+(2+t)33=0, 所以t=-8 3. 【练习】【答案】500 【解析】(直接法)设第一种买x箱,第二种买y箱,总的花费为z元.由题意知 35x+24y≥106(x,y均为整数).z=140x+120y,其中x=0,1,2,3,4. 相应y值和花费如 下:x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500;x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540;x=4,y=0,z=560.易知最少花费为500元. 考点2 数形结合法 【例1】【答案】3 【解析】如图,在同一坐标系中作出y 1=lgx和y 2 =sinx的图象.注意到lg10=1,由图 易得原方程的实根个数是3个. (例1) 【练习】【答案】 11 -,0, 88?????? 【解析】由题意得y= 1 x x + - 1 -x x是偶函数,且y= 2 -,-1, -2,-10, 2,01, 2 ,1, x x x x x x x x ? ≤ ? ? << ? ? << ? ? ≥ ? ?作出曲线的图象 (如图所示).当k=0时,直线y=kx+1与曲线y= 1 x x + - 1 1- x有四个公共点;当k>0时,要 使它们有四个公共点,则需y=kx+1与y=-2 x(x≤-1)有一个公共点,此时kx+1=- 2 x,即 方程kx2+x+2=0有两个相等的实数解,从而Δ=1-8k=0,故k=1 8;当k<0时,根据对称性 可得k=-1 8.从而满足条件的k的取值范围是 11 -,0, 88 ?? ?? ?? . (练习) 考点3 特例法 【例1】【答案】13 16 【解析】考虑到a 1,a 3 ,a 9 的下标成等比数列,故可令a n =n,又易知它满足题设条件, 于是 139 2410 a a a a a a ++ ++= 13 16. 【练习】【答案】S 3 2 1 (练习) 【解析】要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等,则需满足与对应的交点E,F,G分别为中点方可.故可以将三条棱长分别取为OA=6,OB=4,OC=2,则如图,可计算 S 1 2 3 故S 3 2 1 . 考点4 等价转化法 【例1】【分析】直线y=kx+1恒过定点(0,1),转化为点(0,1)恒在圆的内部或边界上可满足题意. 【答案】[-1,3] 【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以原题等价于点(0,1)恒在圆内或圆 上,所以点(0,1)到圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0的圆心(a,0)的距离小于或等于半 径 , 即 ≤,解得-1≤a≤3.即实数a的取值范围是 [-1,3]. 【练习】【答案】2 【解析】f(x)= 2 2 (1)2sin 1 x x x x +++ +=1+2 2sin 1 x x x + +,因为f(x)-1=2 2sin 1 x x x + +为奇函数, 所以[f(x)-1] max +[f(x)-1] min =0,f(x) max -1+f(x) min -1=0,所以M+m=2. 考点5 整体代入法 【例1】【分析】由题意联想到长方体,把三棱锥放置于长方体内,整体代入,解决问题. 【答案】4 【解析】由题意可联想到长方体模型,如图, (例1) 设三条棱长分别为x,y,z,则12xy=6,12xz=4,1 2yz=3,有xy=12,xz=8,yz=6, 即(xyz)2=123836=433343236=242,于是xyz=24,所以所求体积 V=1 6xyz=4. 【练习】 【答案】2 3(c -b ) 【解析】连接BF,由题意知D,C 分别AB,AF 的中点,即BC,FD 均为△ABF 的中线,于是 E 为△AB F 的重心,则BE =23BC =23(AC -AB )=2 3(c -b ). 考点6 分析法 【例1】 【分析】由所给的四棱柱为直棱柱知为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影,只需B 1D 1⊥A 1C 1. 【答案】B 1D 1⊥A 1C 1 【解析】因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱,故A 1C 为A 1C 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影,从而要使A 1C ⊥B 1D 1,只要B 1D 1与A 1C 1垂直,故底面四边形A 1B 1C 1D 1只要满足条件B 1D 1⊥A 1C 1即可. 考点7 归纳猜想法 【例1】 【答案】1 n 【解析】由题知(a n+1+a n )[(n+1)a n+1-na n ]=0,所以(n+1)a n+1-na n =0,所以 a 1=1,a 2=12,a 3=13,…,猜想a n =1n .检验,当a n =1n 时,(n+1)2 11n ?? ?+??-n 2 1n ?? ? ??+11n +21n =0, 故a n =1n . 【练习】 【答案】b m (b n )2b p =b s (b t )2b r 【解析】等差数列的和、差、积、商的运算分别类比于等比数列中的积、商、乘方、开方. 考点8 极限法 【例1】 【答案】-12 【解析】虽然点P 异于点C,在选择P 点位置时可以无限接近点C,因而当点P 处在点C 位 置 时 , 易 得 OP 2(OB -OA )=OC 2AB =12(OA +OB )(OB -OA )=1 2(|OB |2-|OA |2)=-12. 事实上,一般情况下,OP 2(OB -OA )=(OC +CP )2AB =OC 2AB +CP 2AB ,因为CP 2AB =0, 所 以 OP 2(OB -OA )=OC 2AB =12(OA +OB )2(OB -OA )=1 2(|OB |2-|OA |2)=-12. 分类解密——专题突破 考点1 简易逻辑问题 【例1】 【答案】1 【解析】①不对,可能2A+2B=π;②不对,如B=120°,A=30°;③不对,仅能说明C 为锐角;④对,由正弦定理可得sin 2A =sin 2B =sin 2C ,即A=B=C. 【点评】本题主要使用了特殊值法.当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中 变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形,特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程. 【例2】【答案】 且b<0,即 【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义,准确判断命题之间的相互关系.如果p?q,p是q的充分条件,q是p的必要条件;如果p?q且 q p,p是q的充分而不必要条件;如果 p q且q?p,p是q的必要而不充分条件,如果p?q,p是q的充要条件. 【练习】【答案】(-1,2) 【解析】由题意得p:-1 考点2 立体几何中体积、面积的计算 【例1】【答案】3 2 【解析】点A,C到直线BD的距离之比为3∶2,所以 BC D ABD S S= 2 3,又在直四棱柱 ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,AE= 3 4AA 1 ,CF= 1 3CC 1 ,所以 AE CF= 9 4,于是 E B C D FABD V V= 1 · 3 1 · 3 BCD ABD S AE S CF = 2 33 9 4=3 2. 【例2】 【答案】 【解析】方法一:过点B作BE⊥AC,垂足为E,平面ABC⊥平面ACC 1 A 1 ,且平面ABC∩平 面ACC 1A 1 =AC,所以BE⊥平面ACC 1 A 1 .又因为梯形ACC 1 D的面积为 1 23(2+4)32=6,所以 1BACC D V 四棱锥=1 3 36 方法二:1BACC D V 四棱锥=3BACD V 三棱锥,而BACD V 三棱锥=DABC V 三棱锥=1 3 32,所以四棱 锥B-ACC 1D 的体积为 【点评】求几何体体积的关键是找“高”,如果高是现存的,需要证明线面垂直,若题目中没有高,往往是根据面面垂直的性质定理作出高,求三棱锥的体积可以采用等积来转化. 【练习1】 【分析】本题中点M 在线段BB 1上移动时,MA 和MC 1两者都在变化中,无法直接求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边,且当三点共线时,可以得到两边之和等于第三边,故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平面几何进行研究. 【解析】将三棱柱侧面展开后知,AM+MC 1最小可以等价为在矩形ACC 1A 1中求AM+MC 1 的最小值.如图,当A,M,C 1三点共线时,AM+MC 1最小.又AB=1,BC=2,所以 AM= ,MC 1 =2 ,又AC 1 = = ,所以cos ∠ AMC 1=222111-2 AM C M AC AM C M + =-1 2,所以sin ∠AMC 1 =2. 故△AMC 1的面积为S=1 2 (练习1) 【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题,都可以转化为平面几何中两点间距离最短,空间问题向平面转化,使得问题简化. 【练习2】 【答案】 【解析】方法一:设正四棱锥的底面边长为x,则体积 V=1 3x 记y=t2(2-t),t>0,利用导数可求得当t= 4 3时,y max = 32 27, 此时V max =; 方法二:设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ,则V=1 332cos2θ3sinθ =2 3(1-sin2θ)3sinθ,0<θ< π 2,记y=(1-t2)t,0 t= 时,y max =,此时V max =. 考点3 三角形与三角函数问题【例1】【答案】0 【解析】由两等式可知α3+sinα= 3 π - 2 β ?? ? ??+sin π - 2 β ?? ? ??.考虑函数f(x)=x3+sinx, 则f(x)是奇函数,且在 ππ -, 22 ?? ?? ??上是增函数,现已知α, π - 2 β ?? ? ??∈ ππ -, 22 ?? ?? ??且 f(α)=f π - 2 β ?? ? ??,所以α= π 2-β,所以α+β= π 2,所以cos(α+β)=0. 【点评】两角和与差的正弦、余弦和正切在高考中要求为C级,故这部分内容及与其相关的内容要予以高度重视,它们将是今后高考命题的热点. 【练习1】【答案】24 7 【解析】因为cosαcos(α+β)+sinαsin(α+β)=cos(α+β-α)=cosβ=-3 5, 且β是第二象限角,所以sinβ=4 5,tanβ=- 4 3,所以tan2β=2 2tan 1-tan a β = 24 7. 【练习2】【答案】30° 【解析】由 sinC=2sinB及正弦定理得 c=2b,代入a2-b2 =bc,得 a2-b2 =b2 2b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理 cosA= 222 - 2 b c a bc + 222 ,又A∈(0°,180°),所以A=30°. 考点4 函数的零点问题 【例1】【答案】20 【解析】因为f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有 f(f(x)-log 2x)=3,故f(x)-log 2 x必是正常数,设f(x)-log 2 x=m(m>0),即f(x)=m+log 2 x, 则由f(f(x)-log 2x)=3,得f(m)=3,从而m+log 2 m=3,由于g(m)=m+log 2 m是单调增函数, 故易得有唯一的m=2满足上式. f(x)=2+log 2 即log 2 易知有两个实根x 1 =4,x 2 =16. 故满足方程的所有实根的和为20. 【点评】根据f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有 f(f(x)-log 2x)=3,得出f(x)-log 2 x必是正常数,是解决该问题的关键. 【练习1】【答案】2 【解析】令f(x)=t,函数y=f(t)-1的零点为t 1=0,t 2 =2.由f(x)=0,得x 1 =1;由 f(x)=2,得x 2 =4.故有2个零点. 【练习2】【答案】4 【解析】根据条件作出函数f(x),y=|log 4 x|,x>0的图象,由两个函数图象的交点个数确定函数的零点个数.因为f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2,且x∈ [-1,1]时,f(x)=x2,在同一坐标系中作出函数f(x),y=|log 4 x|,x>0的图象如图,由图象可知,交点个数是4,即F(x)的零点个数为4. (练习2) 考点5 函数的性质问题 【例1】 【答案】[-2,0] 【解析】方法一:若x ≤0,|f(x)|=|-x 2+2x|=x 2-2x.当x=0时,不等式恒成立,当x<0时,不等式可变为a ≥x-2,而x-2<-2,可得a ≥-2; 若x>0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1),由ln(x+1)≥ax,可得a ≤ln(1) x x +恒成立,令 h(x)=ln(1)x x +,则h'(x)=2-ln(1) 1x x x x ++,再令g(x)=1x x +-ln(x+1),则 g'(x)=2 -(1)x x +<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x) x x x x ++<0,故h(x)在(0,+∞)上单调递减,x →+∞时,h(x)→0,所以h(x)>0,a ≤0.综上可知,-2≤a ≤0. 方法二:数形结合:画出函数|f(x)|=2-2,0, ln(1),0x x x x x ?≤? +>?与直线y=ax 的图象,如图,要使|f(x)|≥ax 恒成立,只要使直线y=ax 的斜率最小时与函数y=x 2-2x,x ≤0在原点处的切线斜率相等即可,最大时与x 轴的斜率相等即可,因为y'=2x-2,所以y'|x=0=-2,所以-2≤a ≤ 0. (例1) 【点评】由基本初等函数构成的一些新颖函数的性质是函数性质的命题趋势之一,解题方法是根据函数的概念、性质等建立不等式或方程求解,很多时候画出函数图象可以帮助直观解题. 【例2】 【分析】先分别求出函数f(x)和g(x)的值域,再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数a 的取值范围. 【答案】[1,4] 【解析】对于函数f(x),当x ∈10,2????? ?时,f(x)∈1,12??????;当x ∈1,12?? ???时,f(x)∈10,2?? ????,从而当x ∈[0,1],函数f(x)的值域为D 1=[0,1].对于函数g(x),因为0≤x ≤1,0≤π6x ≤π6,0≤sin π6x ≤12,所以2-a ≤asin π6x ?? ? ??-a+2≤2-12a,从而当x ∈[0,1],函数g(x)的值域为D 2=12-,2-2a a ? ???? ?(a>0).因为存在x 1,x 2∈[0,1],使f(x 1)=g(x 2),所以D 1∩D 2≠φ.若D 1∩D 2=φ,则2-1 2a<0或2-a>1,解得0 a ≤4,即所求实数a 的取值范围是[1,4]. 【点评】本题求函数f(x)和函数g(x)的值域并不困难,关键在于先求D 1∩D 2=φ时,实数a 的取值范围,再用补集的思想求实数a 的取值范围,从而得到本题的最终答案,这种正难则反的思想希望同学们掌握. 【练习1】 【解析】y=12e x 与y=ln(2x)互为反函数,曲线y=1 2e x 与曲线y=ln(2x)关于直线y=x 对称,只需求曲线y=1 2e x 上的点P 到直线y=x 距离的最小值的2倍即可.设点 P 1,e 2x x ?? ? ??,点P 到直线y=x 的距离 d= .令f(x)=12e x -x,则f'(x)=12e x -1.由f'(x)>0,得x>ln2;由f'(x)<0,得x 1e -x x min 所以PQ min =2d min 【练习2】 【答案】17-,12 ∞?? + ? ?? 【解析】由g(x)+h(x)=f(x)=2x ,得g(-x)+h(-x)=2-x ,因为g(x)为奇函数且h(x)为 偶函数,所以-g(x)+h(x)=2-x ,从而得g(x)=12(2x -2-x ),h(x)=1 2(2x +2-x ). 令t=2x -2-x ,则g(x)=12t,h(2x)=12(22x +2-2x )=12(2x -2-x )2+1=1 2t 2+1, 不等式2a 2g(x)+h(2x)≥0,即2at+t 2+2≥0.当x ∈[1,2]时,32≤t ≤15 4,问题转 化为:当2at+t 2+2≥0对任意的t ∈315,24????? ?恒成立,求实数a 的取值范围. 将不等式变为2a ≥-2t t ?? + ? ??, 令u(t)=t+2315,24t t ∈???? ? ????? ?, 则u'(t)=1-2 2t =2 2-2t t >0, u(t)=t+2 t 在区间315,24???? ? ?上单调递增, u(t)min =u 32?? ? ??=176,故2a ≥-176,a ≥-17 12. 【练习3】 【答案】8 【解析】方法一:依题意,只需求当x ∈[t-1,t+1],f(x)max -f(x)min ≥8时a 的最小值.根据f(x)=ax 2+20x+14(a>0)的对称性可知: ①当t=-10 a 时,f(x)max -f(x)min =f 10-1a ??+ ???-f 10-a ?? ? ??=a,所以只需a ≥8即可. ②当-10 a 10 a+1时,f(x) max -f(x) min =f(t+1)-f 10 - a ?? ? ??.当a≥8时,上式≥ f 10 -a a ?? + ? ??-f 10 - a ?? ? ??≥8成立. ③当t≥- 10 a+1时,f(x) max -f(x) min =f(t+1)-f(t-1)=4at+40≥4a 10 -1 a ?? + ? ??+40=4a, 需要4a≥8,即a≥2.综上知a≥8,即a的最小值为8. 方法二:问题转化为两条直线x=t-1与x=t+1分别与函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)的图象交点的纵坐标的差值的绝对值大于等于8,又因为f(x)=ax2+20x+14(a>0)图象经过平移后可变为g(x)=ax2(a>0)的图象,即求两条直线x=t-1与x=t+1分别与函数g(x)=ax2(a>0)的图象交点的纵坐标的差值的绝对值大于等于8,由对称性可知,只要考虑t≥0即可,由二次函数性质,最小值为g(1)-g(0)=a,所以a≥8. 考点6 导数的应用 【例1】【答案】[-6,-2] 【解析】不等式ax3-x2+4x+3≥0变形为ax3≥x2-4x-3.当x=0时,0≥-3,故实数a的 取值范围是R;当x∈(0,1]时,a≥ 2 3 -4-3 x x x,记 f(x)= 2 3 -4-3 x x x,f'(x)= 2 4 -89 x x x ++ =4 -(-9)(1) x x x + >0,故函数f(x)单调递增,则 f(x) max =f(1)=-6,故a≥-6;当x∈[-2,0)时,a≤ 2 3 -4-3 x x x,记f(x)= 2 3 -4-3 x x x,令f'(x)=0, 得x=-1或x=9(舍去),当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,故f(x) min =f(-1)=-2,则a≤-2.综上所述,实数a的取值范围是[-6,-2]. 【例2】【答案】 2 e , 3 ∞?? +?? ?? 【解析】令x=1,可得|a|≥1,即a≤-1或a≥1. 令g(x)=ax 3-lnx,g'(x)=3ax 2-1x =3 3-1 ax x . ①当a ≤-1时,对任意x ∈(0,1],g'(x)=33-1ax x <0,g(x)在(0,1]上递减,g(x)min =g(1)=a ≤-1,此时g(x)∈[a,+∞),|g(x)|的最小值为0,不适合题意. ②当a ≥1时,由g'(x)=33-1ax x =0,解得 ,可知当x ∈(0,1]时,|g(x)|的最 小值为 g =13+13ln(3a)≥1,解得a ≥2 e 3.故所求实数a 的取值范围是2e ,3∞??+????. 【点评】导数的运算与其它知识的综合是常见考题,可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合,考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法. 【例3】 【答案】(-∞,2] 【解析】由题意,当x>0时,f(x)的极小值为f(1)=2,当x ≤0时,f(x)极小值为f(0)=a, f(0)是f(x)的最小值,则a ≤2. 【练习1】 【答案】12013 【解析】先求出切线方程,令y=0,得x n ,再求乘积.因为y'=(n+1)x n ,所以在点(1,1) 处的切线斜率为n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x n =1n n +,所以x 12x 22x 32…2x 2 012=123233343…320122013=1 2013. 【练习2】 【答案】(-∞,-1) 【解析】利用导数将问题转化为导函数在(0,+∞)有零点,再利用分离参数的方法求解.由条件可得y'=e x +a=0在(0,+∞)上有解,所以a=-e x <-1. 【点评】分离参数法,导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用,函 数有极值点等价转化为导函数等于0有解,而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值,体现了导数的工具作用. 考点7 不等式与线性规划 【例1】 【答案】2或-1 【解析】题中的约束条件表示的区域如图阴影部分所示,将z=y-ax 化成斜截式为y=ax+z,要使其取得最大值的最优解不唯一,则y=ax+z 在平移的过程中与x+y-2=0重合或与2x-y+2=0重合,所以a=2或 -1. (例1) 【例2】 【答案】[-1,0] 【解析】当x ∈[-1,0]时,|f(x)|=2-x 2 ≥ax,所以a ≥max 2-x x ?? ???=-1;当x ∈(0,1]时,|f(x)|=|3x-2|≥ax 恒成立,作出图象即可得a ≤0,所以对x ∈[-1,1]上恒成立时,实数a 的取值范围是[-1,0]. 【点评】分段函数是函数的热点问题,将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题点,需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题,注意何时取交集、并集. 【练习1】 【答案】1 【解析】方法一:显然x>0,若x ≤0,则mx-1<0,而当m 充分大时,3m 2-(x+1)m-1>0,与题设矛盾.而当x>0时,要使(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0,对m ∈(0,+∞)恒成立,则关于m 的方程mx-1=0与3m 2-(x+1)m-1=0在(0,+∞)内有相同的根,所以 32 1x ?? ? ??-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去). (练习1) 方法二:(图象法)设函数y 1=xm-1,y 2=3m 2-(x+1)m-1,要使不等式(mx-1)2[3m 2-(x+1)m-1]≥0对任意m ∈(0,+∞)恒成立,则必有x>0,作出两个函数图 象,则有两个函数图象交于点1,0x ?? ? ??,即m=1x 是方程3m 2-(x+1)m-1=0的根,则有32 1x ?? ? ??-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去). 【练习2】 【答案】(-4,2) 【 解 析 】 x+2y>m 2+2m 恒 成 立 可 知 m 2+2m<(x+2y)min , 而 x+2y=(x+2y)21x y ??+ ?