专题二 隐圆问题
一【问题背景】
有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系．解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆），再利用和圆有关的一些知识进行求解．
二、【范例】
1.点和隐圆
例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22
650x y x +-+=，点,A B 在圆C 上，且
AB =OA OB +的最大值是 ．
例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(1,2)P ，,M N 为圆O 上的不同的两点，且0PM PN ?=，若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为 ．
2.直线和隐圆
例3 已知动点M 与两个定点)0,3(),0,0(A O 的距离之比为
2
1，那么直线AM 的斜率的取值范围是 ．
例4在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，
使得,PA PC PD =
=，则实数a 的取值范围是 ．
3.圆和隐圆
例5在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
例6 已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M 相交于,A B 两点，且满足PA BA =，求a 的取值范围．
三、【练习】
1．在平面直角坐标系xOy 中，若满足)()(y k y k x x -≤-的点),(y x 都在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是________
2．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为
,则直线l 斜率的取值范围是___________.
3. 在平面直角坐标系xOy 中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为__________
4. 若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -到动直线0=++c by ax 上的射影为M ，已知点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值为____________
5. 已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A ，动点C B ,分别在1l 和2l 上，且23=BC ，过C B A ,,三点的动圆所形成的区域的面积为__________
6.（16年高考题江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆
M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ,求直线l 的方程；
（3）设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围.
〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
例说解析几何圆问题的常规处理办法 一、知识讲解 知识点1：圆的概念和方程 （1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆； （2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()2 2 2x a y b r -+-=；以,2 2D E ?? - - ???为圆心， 以 为半径的圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=() 2240D E F +->；以 ()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--= （3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?（其中θ是参数）。 知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系 ○ 1点(),m n 与圆22 0x y Dx Ey F ++++=： 若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若 220m n Dm En F ++++>，点在圆外。 ○ 2点(),m n 与圆()()2 2 2 x a y b r -+-=： 若 () ()2 2 2m a n b r -+-<，点在圆内；若 () ()2 2 2m a n b r -+-=，点在圆上；若 ()()2 2 2m a n b r -+->，点在圆外。 （2）直线与圆的位置关系 ○ 1联立直线方程0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程2 0ax bx c ++=，若0?=，直线和圆有一个交点（相切）；若0?>，直线和圆有2个交点（相交）；若0?<，直线和圆没有交点（相离）。 ○ 2圆()()2 2 2 x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。若d r =，直 线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。
隐圆最值问题 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是 __________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 例1 【2015高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2 2， 且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程. 【答案】（1）2 212 x y +=（2）1y x =-或1y x =-+． 【解析】 试题解析：（1）由题意，得2 2 c a =且23a c c +=， 解得2a = 1c =，则1b =， 所以椭圆的标准方程为2 212 x y +=． （2）当x AB ⊥轴时，2AB = C 3P =，不合题意． 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得( )()2 2 22124210k x k x k +-+-=，
则 () 22 1,22 221 12 k k x k ±+ = + ，C的坐标为 2 22 2 , 1212 k k k k ?? - ? ++ ?? ，且 ()()()() ()2 222 2 2121212 221 1 12 k x x y y k x x k + AB=-+-=+-= + ． 若0 k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意． 从而0 k≠，故直线C P的方程为 2 22 12 1212 k k y x k k k ?? +=-- ? ++ ?? ， 则P点的坐标为() 2 2 52 2, 12 k k k ?? + ? - ? + ?? ，从而 () () 22 2 2311 C 12 k k k k ++ P= + ． 因为C2 P=AB，所以 () () () 222 2 2 2311421 12 12 k k k k k k +++ = + + ，解得1 k=±． 此时直线AB方程为1 y x =-或1 y x =-+． 例2 【2016高考】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600 x y x y +--+=及其上一点A(2，4). (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得, TA TP TQ += u u r u u r u u u r ，数t的取值围. 【答案】（1）22 (6)(1)1 x y -+-=（2）:25215 l y x y x =+=- 或（3）22212221 t -≤≤+ 【解析】 试题解析：解：圆M的标准方程为()() 22 6725 x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5，.
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹 叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。 具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< （1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）. 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注 2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点 的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 2 2=+b x a y （0>>b a ）； 若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点 的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法 得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ， ),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； “隐圆”最值问题 B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 07-05 圆的方程 点一点——明确目标 掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题. 做一做——热身适应 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 . 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0， 即－ 7 1 B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法 教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______ 25 6 ____． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 “圆”形毕露（二） 考纲要求： 江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读： 在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=?(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆. 小题热身 (1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 . (2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 . (3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 . (4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 . (5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 . 题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆 例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05 6<-m m B m A ,若圆上存在点P , 使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ． 题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=?PB PA 确定隐形圆 例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上, 若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ． 题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆 平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b) 半径为r 一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 圆心坐标：(－ D 2，－ E 2) 半径r＝ 1 2D 2＋E2－4F 【知识拓展】 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 隐形圆问题 一、确定动点轨迹是圆 【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为 【举一反三】 1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是 3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 . 4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是 2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到 边 AB 距离的最 第 2 二、定边对直角 知识回顾 :直径所对的圆周角是直角 构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 : 【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为 【举一反三】 1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是 若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °， 则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 第九章 解析几何之圆的方程 *定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合 * 基本要素：定位→圆心O 、定形→半径r *圆的标准方程与一般方程 （1）标准方程： ，圆心（a ，b ），半径为r ； 圆心（0，0），半径为r （2）一般方程： 特点：（必要非充分条件） a ．x 2、y 2的系数相同且不等于0； b ．不含 xy 的二次项． ① ＞0→圆（A=C ≠0，B=0） 圆心，半径为； ②=0时，表示点 ； ③ ＜0 时，不表示任何图形。 *点与圆的位置关系： 1.利用点到圆心的距离来判定： 点 与圆 （r ＞0）， 若，则 （1）点P 在圆外； （2）点P 在圆上； （3） 点P 在圆内。 2.利用圆的标准方程来判定： *圆的切线方程（注意：对k 是否存在分类讨论！！！） Ⅰ.常见情况： （1）已知：圆 ①若切点 在圆上→切线只有一条， 其方程是 ②当 在圆外，必有两条切线： → 过两切点的切点弦方程 →设 →相切条件→k →斜率k →设y=kx+b →相切条件→b （2）已知圆， ①过圆上 的切线方程： ②斜率为k 的圆的切线方程： Ⅱ.求法： （1）切线与圆仅有一个交点 ①代数法： 设切线方程→直线方程代入圆的方程→△=0求解 ②几何法：d=r （2）过定点： ①过圆上一点的切线方程： a)与圆 相切与点 的切线方程 是 b)与圆 相切于(rcos θ,rsin θ) 的切线方程是xcos θ+ysin θ-r=0 c)与圆 (X-A)2+ (Y-B)=r2相切于点(X1,Y1)的切线方程是(X1-A)(X-A)+(Y1-B)(Y-B)=r2 d)与 圆相切于 点 的切线方程是 ②过圆外一点的切线方程 设 外一点，求过P0点的圆的切线． 方法l ：设切点，解方程组 →切点P1的坐标→写出切线方程。 方法2： 设切线方程是 ∵→待定系数k →写出切线方程. 注意：观察图形→是否有垂直于x轴的切线！！！！ *直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆 1.认识： 2.性质： （1）直线l和⊙O相交 d＜r （2）直线l和⊙O相切 d=r； （3）直线l和⊙O相离 d＞r。 3.判定方法： （1）代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由 推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断． △>0相交；△=0相切；△<0相离． （2）几何法 +性质 （3）弦长的计算(见参数一章)：弦长公式or几何法or两点式 圆与圆 1.认识 2.方法： （1）几何法+两圆公切线条数 （2）代数法：联立两圆方程→一元二次方程 注意：x值可能对应两个y值！！！【慎用】 *轨迹方程 1.一般步骤（直接法）： （1）建系设点 （2）列式→代入 （3）简化→证明 2.常用解法：①直接法②定义法③相关点法 ④待定系数法⑤参数法⑥交轨法 解析几何（与圆有关的问题） 1.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 2. 已知抛物线C ：()2 20y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E(2，t)到焦点F 距离等于3 (1)求抛物线C 的方程； (2)过点()1,0K -的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点(A ，B 两点在x 轴上方)，点A 关于x 轴的对称点为D ，且FA ⊥FB ，求△ABD 的外接圆的方程. 24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C 3. 在平面内，已知圆P 经过点)(0,1F 且和直线10y +=相切. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)过F 的直线l 与圆心P 的轨迹交于A 、B 两点，与圆M ：()()22 144x y -+-=交于C 、D 两点，若AC BD = ，求三角形OAB 的面积 4. 已知椭圆222116x y a +=，离心率为35 . (1)求椭圆的方程； (2)过4a >的椭圆的右焦点F 任作一条斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，问在F 右侧是否存在一点(),0D m ，连AD 、BD 分别交直线253 x = 于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O 的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程． 高 中 平 面 解 析 几 何 知 识 点 总 结 一. 直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴 绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做直线的倾斜角 . 倾斜角[0,180 ) , 90 斜率不存在 . k y 2 y 1 ( x 1 x 2 ), k tan （2）直线的斜率： x 2 x 1 ．两点坐标为 P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： y y 1 k (x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ，且斜率为 k ) ． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x 0 ． （2）斜截式： y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). y y 1 x x 1 （3）两点式： y 2 y 1 x 2 x 1 ( y 1 y 2 ， x 1 x 2 ). 注：① 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线； ② 方程形式为： (x 2x 1 )( y y 1 ) ( y 2 y 1 )( x x 1 ) 时，方程可以表示任意 直线． x y （4）截距式： a b 注：不能表示与过原点的直线． 1 （ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 a 0, b 0 ）． x 轴垂直的直线，也不能表示与 y 轴垂直的直线，特别是不能表示 （5）一般式： Ax By C ( 其中 A 、 B 不同时为 0) ． y A x C k A 一般式化为斜截式： B B ，即，直线的斜率： B ． 注：（ 1）已知直线纵截距 b ，常设其方程为 y kx b 或 x 0 ． 已知直线横截距 x 0 ，常设其方程为 x my x 0 ( 直线斜率 k 存在时， m 为 k 的倒数 ) 或 y 0 ． 已知直线过点 ( x 0 , y 0 ) ，常设其方程为 y k( x x 0 ) y 0 或 x x 0 ． （ 2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何 中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 ，有 “与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平 教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。 教学目标： 从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。 重点与难点： 学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。 教学过程： 一、 引入新课 练习： 已知圆0122822=+--+y x y x 内一点)0,3(A ，求经过点A 的最长弦和最短弦所在的直线方程。 二、 新课 例: 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P 连线斜率 的最值？ 题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为)4,0(P ，则圆上的动点与点P 连线斜率的 最值是否存在？若存在求出最值，若不存在，请说明理由。 讨论问题1： 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4) 试试看： 根据以上条件，你还能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 讨论问题2： 已知圆的方程422=+y x 及一条直线05=--y x 试试看： 根据以上条件，你能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 三、 练习 1、 从直线y=3上找一点,向圆1)2()2(22=+++y x 作切线，切线长度的最 小的值是多少？ 2、 实数满足01422=+-+y y x ，求（1）x y 的取值范围。 （2）x y 2-的取值范围 四、 小结 最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结合的方法; 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值. 五、 思考题 过点M （3，0）作直线l 与圆1622=+y x ，交于A,B 两点， 求: 直线l 的倾斜角θ，使△AOB 面积最大，并求此最大值（O 为坐标原点）。 圆与方程（讲义） 知识点睛 一、圆的方程 1.圆的标准方程：________________________， 圆心：________，半径：________； 2.圆的一般方程：_______________________()，圆心：________， 半径：________． 二、与圆相关的位置关系 1.点与圆的位置关系 （1）已知点P(x0，y0)与圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2， 则计算2d=___________________，比较2d，2r判断． （2）已知点P(x0，y0)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则计算M=___________________，比较M，0判断． 2.直线与圆的位置关系 （1）比较d，r判断 （2）联立方程，根据 判断 3.圆与圆的位置关系 根据d，R，r判断 三、过定点求已知圆的的切线 1.判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线) 2.根据切线的性质，求解切线 （1）若点在圆上，则利用_____________确定切线斜率； （2）若点在圆外，则分别讨论________________，设点斜式利用d=r来建等式求解． 四、圆与方程思考角度 1.找圆心，连半径，根据两点间距离公式建等式； 2.遇弦，作垂线，根据垂径定理、勾股定理建等式； 3.遇切线，连切点，根据d=r，k1·k2=-1建等式； 4.求交点坐标，利用相关方程联立求解． 精讲精练 1. 圆心为(2，-3)，半径为5的圆的方程为__________________，点(5，-7)在 _______(填“圆外”“圆上”或“圆内”，下同)，点3(2)2 +，在__________． 2. 圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，-4)，B (0，-2)，则圆C 的方 程为_________________________． 3. 下列方程中，表示圆的是_____________． ①x 2+y 2-6x =0；②x 2+y 2-2x +4y -6=0；③x 2+y 2=0； ④22(240x y y +-+=；⑤y 2+x 2+5y -4x +5=0． 4. 圆x 2+y 2-2x +4y -1=0的圆心是_________，半径是________， 点(1，3)在_______(填“圆外”“圆上”或“圆内”，下同)，点(11)-在_________． 5. 在圆x 2+y 2-2x -6y =0内，过点(0，1)的最短弦的弦长为________． 6. 求过三点O (0，0)，A (1，1)，B (4，2)的圆的方程． 微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计 教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》 课型：复习课 设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。 一、教学内容分析 本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力． 二、学习者特征分析 学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。 三、教学目标设计 本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。 四、教学重难点设计 基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。 定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。 （线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。） 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。 1.(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC 于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．2 41- 4 2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） 16 A．2 13-B．2 13+C．5 D． 9 3.(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．3 4- 2 高三数学学案 第19周 第06次 课题：圆与圆的位置关系（1课时 总110课时） 备课时间：2016年12月26日 主备课人： 检查人： 上课时间： 年 月 日 三维目标： 知识与技能：记住圆与圆位置关系的判定方法；必须会求圆的切线及弦长。 过程与方法：通过实例，探索并掌握圆与圆的位置关系，并会用几何法求弦 长问题。 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值；同时 培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。 重点难点：圆的弦长问题 两圆的位置关系的判定方法： 设圆： 1C ()()212121r b y a x =-+- ()01>r ，圆2C ：()()222222r b y a x =-+- ()02>r ，则有： （1）2121r r C C +>?两圆 ，此时两圆有____________条公切线 （2）2121r r C C +=?两圆 ，此时两圆有____________条公切线 （3） ?两圆相交，此时两圆有____________条公切线 （4） ?两圆内切，此时两圆有____________条公切线 （5） ?两圆内含，此时两圆有____________条公切线 题型一、圆与圆的的位置关系 1、圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为（ ） A 、内切 B 、相交 C 、外切 D 、相离 2、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，求a 的值 3、圆1C : 022222=-+++y x y x 与2C ：012422=++-+y x y x 的公切线有且仅有 （ ）条 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 题型三：综合练习“隐圆”最值问题演示教学
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