2018年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣ B．C．﹣2 D．2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（）
A．35°B．30°C．25°D．20°
4．（3分）将数据0.0000025用科学记数法表示为（）
A．25×10﹣7B．0.25×10﹣8C．2.5×10﹣7D．2.5×10﹣6
5．（3分）在坐标平面内，点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限．则a的取值范围是（）
A．a＞2 B．a＜4 C．2＜a＜4 D．2≤a≤4
6．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（）
A．B．C．D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，经过点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上三者都有可能
8．（3分）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（）
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
9．（3分）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
10．（3分）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（）
A．B．C．D．
11．（3分）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
12．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（）
A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）计算：（）﹣2﹣×=．
14．（3分）如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE 翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为．
16．（3分）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，A E、DF为梯形的高，
其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．
17．（3分）如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为．
三、解答题
18．（5分）先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
19．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理
调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a=，b=，c=；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．
（1）证明：△CFG≌△AEG．
（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长．
21．（8分）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？22．（8分）如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两
处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m ≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
24．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
25．（12分）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于
点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
2018年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣ B．C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、只是中心对称图形，故本选项错误；
B、只是中心对称，故本选项错误；
C、只是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、即是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵l 1∥l 2， ∴∠2=∠3， ∵∠1=15°，
∴∠2=45°﹣15°=30°， 故选：B ．
4．（3分）将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．25×10﹣7
B ．0.25×10﹣8
C ．2.5×10﹣7
D ．2.5×10﹣6
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6． 故选：D ．
5．（3分）在坐标平面内，点P （4﹣2a ，a ﹣4）在第三象限．则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2
B ．a ＜4
C ．2＜a ＜4
D ．2≤a ≤4
【解答】解：∵点P （4﹣2a ，a ﹣4）在第三象限，
∴，解得2＜a ＜4．
故选：C ．
6．（3分）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、主视图是长方形，故A 选项错误； B 、主视图是长方形，故B 选项错误； C 、主视图是三角形，故C 选项正确；
D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，经过点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上三者都有可能
【解答】解：设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（4sin45°，2cos30°），
∴OA=，
∵圆的半径为2，
∴OA＞2，
∴点A在圆外，
∴直线和圆相交，相切、相离都有可能，
故选：D．
8．（3分）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（）A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y=2x2+1中a=2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D、y=﹣中k=﹣1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
9．（3分）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【解答】解：由x2﹣x﹣2=0可得，x1=﹣1，x2=2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．
故选：C．
10．（3分）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为，
故选：A．
11．（3分）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【解答】解：设方程的另一个根为n，
则有﹣2+n=﹣5，
解得：n=﹣3．
故选：B．
12．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（）
A．121 B．362 C．364 D．729
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）计算：（）﹣2﹣×=﹣8．
【解答】解：原式=4﹣2×
=4﹣2×6
=4﹣12
=﹣8
故答案为：﹣8
14．（3分）如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为61°．
【解答】解：∵∠AOD=58°，
∴∠ACD=∠AOD=29°，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ACD=29°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣29°=61°，
故答案为61°．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE 翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为1．
【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠A=90°，AB=CD=4，AD=BC=6，
根据题意得：△BCE≌△CEF，
∴EF=BE，∠F=∠B=90°，CF=BC=6，
在△GAE和△GFH中，
，
∴△GAE≌△GFH（ASA），
∴EG=GH，AE=FH，
∴AH=EF，
设BE=EF=x，则AE=FH=4﹣x，AH=x，
∴DH=6﹣x，CH=6﹣（4﹣x）=2+x，
根据勾股定理得：DC2+DH2=CH2，
即42+（6﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=3，
∴BE=3，
∴AE=1，
故答案为：1．
16．（3分）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，
其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为12米．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，
∴AE=6×sin45°=6（m），
∵背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），
∴tan∠C==，
∴∠C=30°，
则DC=2DF=2AE=12m，
故答案为：12．
17．（3分）如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为（0，﹣3）．
【解答】解：由题意知点B旋转=6次后与点B重合，即点B的旋转周期为6，
∵2018÷6=336…2，
∴点B旋转2018次后的坐标与旋转2次后的坐标相同，
如图，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
则两次旋转都点B落在y轴的负半轴，且OB=3，
所以点B的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
三、解答题
18．（5分）先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
【解答】解：÷﹣3
=
=a ﹣3，
当a=时，原式
=．
19．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生 “多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a= 10 ，b= 0.28 ，c= 50 ； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【解答】解：（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10，b=
=0.28，c=50；
故答案为10，0.28，50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200=528（人）．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．
（1）证明：△CFG≌△AEG．
（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，
∴AB=AC，AC=BC，
∴AB=AC=BC，
∴∠B=60°，
∴∠BAF=∠BCE=30°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE=CF，
在△CFG≌△AEG中，，
∴△CFG≌△AEG；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴?ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD，
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴AF⊥AD，CE⊥CD，
∵△CFG≌△AEG，
∴AG=CG，
∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，
∴GD平分∠ADC，
∴∠ADG=30°，
∵AD=AB=4，
∴DG==．
21．（8分）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，
，
解得，x=120，
经检验x=120是原分式方程的解，
∴1.5x=180，
答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元．
22．（8分）如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）．
【解答】解：∵AB=8m，BE=15m，
∴AE=AB+BE=23m，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=45°，
∴DE=AE=23m，
在Rt△CBE中，
∵∠CBE=60°，BE=15m，
∴CE=BE?tan60°=15m，
则CD=CE﹣DE=15﹣23≈3（m）．
答：广告牌CD的高为3m．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m ≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴3=
∴m=3．
∴反比例函数的表达式为y=．
∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）．
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为y=x﹣2；
（2）令y=0，∴x﹣2=0，x=2，
∴一次函数y=x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．
=3，
∵S
△ABP
PC×1+PC×2=3．
∴PC=2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．
24．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，
∴=，
∴BC2=BE?BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，