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2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案)[1]

⑴若四个互不相等的正实数,,c,a b d 满足()()

20122012201220122012a c a d --=，

()()2012

2012201220122012b

c b

d --=，则()

()

2012

ab cd -的值为（）

()A 2012- ()B 2011- ()C 2012 ()D 2011

⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）

()

A 14 ()

B 38 ()

C 12 ()

D 58 ⑶如图，矩形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，则EF 的长为（）

（A ）3（B ）23（C ）10（D ）

310

⑷在正就变形ABCDEFGHI 中，若对角线2AE =,则AB AC +的值等于（）（A 3B ）2（C ）

32（D ）52

⑸有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加 1 项比赛，至

多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方

式至少有20个人报名，则n 的最小值等于

（）

(A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 181

⑹若1

2x x

=-，则221

x x -

的值为 ⑺若四条直线1,1,3,3x y y y kx ==-==-所围成的凸四边形的面积等于12，则k 的值为

__________.

⑻如图，半径为r 的O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，O 自点A 至点E 转动了__________周.

(9)如图，已知ABC △中，D 为BC 中点，,E F 为AB 边三等分点，AD 分别交,CE CF 于点,M N ，则::AM MN ND 等于_______.

(10)若平面内有一正方形ABCD ，M 是该平面内任意点，则MA MC

MB MD

++的最小值为______.

⑾已知抛物线2y=x +mx+n 经过点(2,-1)，且与x 轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P 为该抛物

线的顶点，求使PAB △面积最小时抛物线的解析式。

⑿如图，分别以边长1为的等边三角形ABC 的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D E F 、、，连接CF 交C 于点G ，以点E 为圆心，EG 长为半径画弧，交边AB 于点M ，求AM 的长。

⒀已知p 与25p -2同为质数，求p 的值。

⒁已知关于x 的不等式组x

2x-2>a ???

的解集中的整数恰好有2个，求实数a 的取值范围。

答案及详解

1、答案：A 。可将2012a 与2012b 看做方程20122012()()2012x c x d --=的两个解，则

()

2012

ab cd -化为()

2012

12x x cd -，因为20122012122012x x c d =-，所以原式2012=-

2、答案：D 。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足

条件，概率为1

14?；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2,3,4号球可满足要求，概率

为1344?；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3,4号球可满足要求，概率为12

44?；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为11

?；加和得到最后概

率为58

3、答案：C 。因为,9BE ED AD ==，所以9BE AE +=，根据勾股定理得到

222AE AB BE +=，得到4,5AE BE ==，易得BF BE =，过点E 作EG BF ⊥于G ，

541GF =-=，2210EF EG FG =+=

4、答案：B 。如图，设O 为正九边形ABCDEFGHI 的中心，连结OE OA 、，则160AOE ∠=，

10OEA ∴∠=，又易得70OED ∠=，60DEA ∴∠=，在AE 上截取EP ED =连结

DP PC 、，1406080PDC ∠=-=，18080

502

DPC -∴∠=

=，70CPA ∴∠=，又40

CAP BAP BAC ∠=∠-∠=，70CAP ∴∠=，AC AP

∴=，又AB DE EP ==AE AB AC ∴=+

5、答案：B 。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方

式有4种，报两项比赛的方式有2

15C -=种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为

1991172n =?+=

6、答案：242-()2

2(24x x

=-=，展开后124x x +-=，16x x +=，128

x x ∴++=即2

8x x =，22x x ∴=，2

2112x x x x x x x x ??-=+=- ?? 7、答案：1或2-。无论k 为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等

于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在1y =这条直线上，则可得到中

点坐标为()4,1或()2,1-，则代入3y kx =-得到1k =或2-

8、答案：1

。AB BC CD DE 、、、的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍

周长，也就是圆转了4周，但经过点B 从AB 到BC 时，从与AB 相切到与BC 相切转

动了一个ABC ∠补角的度数，同理C D 、两点都要转一个补角度数，总共转了120，即1

3周长 9、答案：5:3:2。如图，作//PD BF ，//QE BC ，:1:2PD BF =，::1:4DN NA PD AF ∴==，

15ND AD ∴=

，:::1:3AQ QD QE BD AE AB ===，1

AQ AD ∴=，11214436QM QD AD AD ==?=，1

AM AQ QM AD ∴=+=,::5:3:2AM MN ND ∴=

10、

答案：

。如图，通过勾股定理易得2222MA MC MB MD +=+，2222cos AC MA MC MA MC AMC =+-∠，2222cos BD MB MD MB MD BMD =+-∠，

AC BD =cos cos MA MC AMC MB MD BMD ∴∠=∠，cos cos MA MC BMD

MB MD AMC

∠=

∠，2222

22MA MC

MA MC MA MC

MB MD MB MD MB MD

+++=

+++，又2222MA MC MB MD +=+，所以当cos cos BMD

AMC

∠∠最小时，这个值最小，所以当90,0BMD AMC ∠=∠=时最小，即点M 与

点A C 、重合时

11、

因为2y x mx n =++经过()2,1-，代入得，25n m =--，2||820AB m m =++P

点纵坐标为21254m m ---，()3

8204

PAB S m

m ++△4m =-时PAB S △最小，解

析式为243y x x =-+ 12、

如图，过点E 作EP AB ⊥，连结EA EC 、，易得EAC △为正三角形，所以//EC AB ，

又,CG AB EC CG ⊥∴⊥2EM EG ∴==60EAP ∠=，3EP ∴=

，1

AP =，225PM EM EP -=

，51

AM PM AP -∴=-

13、

()()2525113p p p -=+-+，①当13p n +=()1n ≥，即31p n =-时，

()()3|5113p p +-+，即252p -为合数，不符合题意；②当13p n -=()1n ≥，即31p n =+时，()()3|5113p p +-+，

即252p -为合数，不符合题意；③当3p n =()2n ≥时，p 为合数，不符合题意；此时p 只能取3，当3p =时，25243p -=为合数符合题意，所以3p = 14、

初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)

第2讲几何变换——旋转典型例题【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L

【例3】已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形．【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R

【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积．【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D

【例7】设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小．【例8】如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C

如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=．【例9】如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .