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奥林匹亚题库

高中物理奥林比亚题库

张镇麟老师编辑

单元二：静力学

1. [弹簧]：

如图所示，原长L O 为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到铅直位置时

小球离开原水平面的高度h o 。

(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40公分的极大。 (b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。【答案】 (a)37.5cm (b)100cm ＞ho ＞50cm 2. [虎克定律]：

一很轻的水平金属丝在相距为的两个支柱上，刚好张紧，但此时张力可以忽略不计。金属丝的弹力常数为K ，一个质量m 的质点系于金属丝中点，并令其下。计算让质点开始回升前所下落之高度h 。【答案】

12)K

mg (=h

3. [力平衡]：如图所示，AB,BC,CD 和

DE 为质量可忽略的等长细线，长度均为5公尺，A 、E 端悬挂在水平天花板上，AE=14公尺，B 、D 是质量均为m o =7公斤的相同小球，质量为M 的重物挂于C 点，平衡时C 点离

天花板的垂直距离为7公尺，则质量M 若干？【答案】 M=18kg

4. [弹力与张力]：如图所示，一半径为R 的刚性光滑球体静止放置，质量为M 的圆环状均匀弹性绳水平套在球体上，已知绳环原长时的半径为a=R/2

套在球体上时绳环的半径变为b=a 2。

假设弹性绳满足虎克定律，求此弹性绳之弹力常数K 。【答案】

(π21+2=

K 2

5. [弹力与张力]：如图所示，静止的圆锥体铅直放置，顶角为α，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。【答案】

cot π2mg =T

6. [弹力与张力]：重

W 自然长度为a 弹力常数为k 的弹性圈放置在顶角为2α的光滑垂直的正圆锥体上，如图所示。试求平衡时圈面离圆锥顶点的距离h 。【答案】

)a cot k

(2cot h +αππα=

7. [张力]：如图所示，两垂直杆MN 与PQ 相距2公尺，一根长2.4公尺的绳的两端拴在这两杆上，第一次令两拴点等高，第二次使两拴点不等高，用一光滑的钓子把一重50牛顿的物体挂在绳子上，请问那一次绳子的张力较大？又绳子张力分别为若干牛顿？

【答案】一样大，张力N 45=T 8. [张力与力]：由绳索1、2、3平面。杆AD 、BE 、与CF 相等，D 、E 、F 分别位于杆BE 、和AD 的中点，在F 下之力P ，求绳索张力1T ，2T 3T (杆重不计)。

【答案】

P 74=

T 1，P 72=T 2，P 7

=T 3 9. [张力与平衡]：

个小球A 与B Q ，置于半径为角α于AB 的直线【答案】

φtan

10. [张力]：三个不相同的均质小球放在光滑水平

桌面上，用一根橡皮筋把三球束縳起来。三个小球的质量均为m ，半径均为R 。再如图所示，将一个质量为3m ，半径也为R 的均质小球放在原三球中间正上方，因受橡皮筋约束，下面三小球并未分离。设系统处处无摩擦，试求放置第四个小球后，橡皮筋张力的增加量。【答案】

mg 6

11. [正向抗力]：均质杆AB ，长度为a ，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠

在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直Oxy 面。如果要使杆子在Oxy 面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？

【答案】椭圆柱面，椭圆方程为222a =)a y 2(+x －

12. [正向力]

等，且半径均为r ，为R 面两个圆柱体不致被压而分开之条件

为：r )721(R +≤ 【答案】

13. [正向力]：四个相同的球静止在光滑的大半球形碗内，它们的中心同在一

水平面内，今以另一相同的球放在四球之上，若碗的半径大于球的半径K 倍时，则四球将互相分离。求K 值。(所有的接触面都是光滑的) 【答案】 1+132=K

14. [力矩平衡]m 的金属球置于直径为D D ＞d ，试证筒的质量M 圆筒才能倒扣住两金属球而不翻倒。【答案】

15. [力矩与平衡]：有6个完全相同的刚

性长条形薄片A i B i (I=1,2……6)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将此6个薄片架在一水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中央，由正上方俯视如图所示。若将一质量为m 的质点放在薄片66B A 上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起6A 的距离。求薄片66B A 中点所受的(由

另一小薄片的小突起1A 所施的)压力。【答案】 mg/42

16. [力矩与平衡]：一均匀圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑

着，桌腿重量忽略不计。某人坐在正对着一条桌腿的圆桌边上，恰好使圆桌以另两条桌腿着地点联机为轴而倾倒。圆桌倾倒后他再坐到圆桌面的最高点上，恰好又能使圆桌恢复过来。求桌面半径与桌腿长度之比值。【答案】 2 17. [力矩与平衡]：右图为一半径为R 质量为m 1

的均匀圆球O 与一质量为m 2的重物E 分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡。已知悬点A 到球心O 的距离为，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与铅直线的夹角θ之正弦值sin θ。【答案】

)m m (R

m sin 212+=

18. [力矩与正向力]：如图所示，一质量为m 的

均匀光滑圆棒，静止在瓷盆中，与铅直线成60o 角，棒的一端与盆底接触，另一端露在盆口之外，盆口外部分占捧全长的

求盆口处及盆底作用于棒的力的量值和方向。【答案】

mg 1033F 1=

，mg 1037F 2=；11

3tan =θ 19. [力矩与正向力]：有一半球形的光滑碗，其上搁

置一长为 2的均匀细棒，如碗的半径为R ，且

有2R ＞＞R 3

，求细棒平衡时与水平方向的夹角θ为多少？

【答案】

20. [正向力与平衡]径为a 均匀直棒AB ，其

A 端靠在墙上，

B 触，当棒倾斜与水平成60°角时棒恰好静止。长度。【答案】

a )13

11(+

21. [抗力与平衡]：如图所示，一根细棒，上端A 处用

绞炼与天花板相连，下端B 用绞炼与另一细棒相连，两棒长度相等，两棒只限于图示的垂直面内运动，且不计绞炼处的摩擦。当在C 端加一适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图标位置处，即两棒间夹角为90

°，且C 端正处在A 端的正下方。

(1)不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？

(2)如果AB 棒的质量1公斤，BC 棒的质量2公斤，求此外力的和方向。【答案】 (1)在角ACB 内向右上方

(2) ]N [5825F =；58

sin =

22. [合力作用点]：如图所示，在正三角形ABC

的三个顶点沿三边分别作用三个共平面力。

2F A =牛顿，4F B =牛顿，8F C =牛顿，则

这三个力的合力的作用线与y 轴的交点的坐标为何？【答案】 33

23. [力矩与平衡]长度均为，质量均为m ，并通过光滑铰链与铅直墙相连，水平状态达到平衡，作用力是多少？【答案】 mg 2

24. [刚体平衡]：轻质横杆OB ，其O 端用铰链固定在墙上，B 点用轻绳挂紧，使杆处于水平状态。在B 点挂重为W 的物体，如图所示，AB 与OB 的夹角为θ。在把重物的悬点向O 端移动的过程中，求墙对杆的作用力的最小量值。【答案】 Wcos θ

25. [抗力与平衡]：如图所示，薄均质三角板，三

边长AB 、BC 、AC 分别为2R 、R 3、R ，将此板板面垂直地放在光滑的、半径为R 的铅直圆环中，在静止时，三角板的斜边AB 与水平的夹角θ为多大？【答案】 o 30θ=

26. [力矩与平衡]：如图所示，代表某一铅直平

面，在此面内有两根均匀细杆AB 和BC ，质量相同，长度分别为21 , 它们共同接触水平地面，端点记为B ，各自的另一端A 和C 分别靠在相对的两堵垂直墙上。已知墙面间距离为，且 >+≠>>212121 , , , ，且系统处处无摩擦，试求两杆平衡时它们与水平地面倾斜角φ1、φ2各多

大？【答案】

φ1=φ2= 2

11cos

+－

27. [抗力与平衡]：如图所示，一

轻质木板EF 长为L ，E 端用铰炼固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳FD 拉住。木板上依次放着(2n+1)个圆柱体，半径均为R ，每个圆柱体重量均为W ，木板与墙的夹角为α，一切摩擦都可略去，求FD 绳上的张力T 。

【答案】

)tan n 2cos sin 1

sin 1(WR L 1n 2T 2

2α+α

?α+α+=

28. [抗力与平衡]：一空心圆环形圆管沿一条直

径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图所示，管口联机在一水平线上，向管内入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢珠都与圆管截面相切。已知单个钢珠重W ，共2n 个，求从左边起第k 个和第k+1个纲珠之间的相互作用正

向力量值N k 。假设系统中处处无摩擦。【答案】

)

2/sin()2/sin(n w

n k N k ππ=

29. [重力与平衡]：用20块质量均匀分布

相同光滑积木块，在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。已知每一称木块的长度为L ，横截面是边长为h(h=L/4)的正方形。要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽）。如右示意图，计算跨度K 与桥孔高度H 的比值。【答案】 K/H=1.258

30. [力矩与平衡]：如图所示，物体A 、B 及滚

轮C 质量均为M 。滚轮C 由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r 和r 各接触面静摩擦系数均为μ，求维持系统平衡时，μ最小值为多少？【答案】 1/3

31. [力矩与平衡]：一个半径为r 的均匀球，球重

W ，靠在铅直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦系数均为μ，现在球上加一铅直向下的力F ，如图所示。为了使球作逆时针方向转动，则力F 之作用线与球心O 之水平距离为何？(以F ，W ，μ，r 表之) 【答案】 F

)μ1(r

)μ1(μ)W F (2+++

32. [摩擦与平衡]：如图所示，质量M 1之物体

P 与质量为M 2之物体Q 以细绳连接跨过一光滑小滑轮，放置于与水平成45°角之两倾斜面上，呈静力平衡，设物体与斜面之摩擦系数为0.5。问：

(a)若将此系统以顺时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tan θ为若干？

(b)若将此系统以逆时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tan θ为若干？【答案】

(a) 2

133tan M M M M +=

－θ

(b) 2

233tan M M M M +=－θ

33. [摩擦与平衡]

系数均为μ，水平面与斜面间之夹角为Φ要使两物系统开始运动，角度Φ试求此Φ角之余弦cos Φ的值为多少？【答案】

cos Φ=1或cos Φ1

μ1

μ22+=－

34. [摩擦与夹具]：如图所示，用夹具夹一半

径为R 的球体，夹具每个臂与球面之间的摩擦系数均为μ，为了能够夹住球体，试问夹具的臂长L 至少应为多少？设重力的影响可忽略。【答案】 L ≥R/μ

35. [摩擦与平衡]：三个半径、质量均相同的圆柱

体如图的方式堆放在地面，互相接触。已知圆柱体之间的摩擦系数为1μ，圆柱体与地面之间的摩擦系数为2μ，试求使三圆柱体达到平衡所需之1μ、2μ的最小值。【答案】

)

32(31

32121+≥

μ+≥

μ　； 36. [摩擦力与力矩]：如图所示，将重为

W 的均匀木杆的一端用光滑铰链连接于墙上B 点，另一端放在光滑半球面上A 点，A 点到水平地面的高度为h ，半球体的球半径R 。且R=2h ，当该物体静止时，木杆恰呈水平，则半球体底面与粗糙水平地面的摩擦力为何。【答案】向右2/W 3

37. [摩擦与力矩]：长为a ，高为h ，重为W 匀长方体放在水平桌面上，面与桌面的边缘切齐，动，设长方体跟桌面间摩擦系数为μ开始至长方体欲下翻，此水平力F (1)，长方体移动之距离为(2)。【答案】 (1) W μ

(2)2/)h μa (－

38. [摩擦与平衡]：如图所示，均匀木板夹在两

根平行的木棍A 、B 之间，A 、B 的间距为d ，木板与水平面之夹角为θ，木板与木棍之间的摩擦系数为μ。试求木板静止时，其重心C 与木棍A 之的距离X 应满足的条件。【答案】

)μθ(tan μ2d

x μθtan －當≥?≥

0x μθtan ≥?<當

39. [摩擦与张力]：有一半径为R 的圆柱体水平

地横架在空中，有质量m 1与m 2(m 1=2m 2)

的两个小木块，用长为R 2

的细线相联，成

为一个系统，木块的大小可以忽略，它与圆柱表面的静摩擦系数1μ<，细线无质量柔软且不可伸长，系统横跨在圆柱上，m 1在右边，

细线贴在圆柱面上，与圆柱表面无摩擦，横截面如图所示。现在使圆柱绕水平并垂直于纸面通过圆心的轴，沿顺时针方向极缓慢地旋转，直至某一位置时，圆柱上系统将要开始滑，落由此位置开始，再极缓慢沿逆时针方向转动圆柱体。转过多大角度后，系统开始从左边滑落?（角度可用反三角函数表示）

【答案】 21

11o

111μ121sin μtan μ21μ2tan θΔ21μ90μ212μtan μ21μ2tan θΔ21μ3/4tan θΔ 21

μθΔ+++=>+++=<==

－－－－－－－－時－－－時時，則

表示圓柱體轉過的角度用 40. [摩擦力与提起]：半径为r ，质量为m 的三个

相同的球放在水平桌面上，两两相互接触。用一个高为1.5r 的圆柱形圆筒(上、下均无底)将此三球套在筒内，圆筒的内半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量也为m ，半径为R 的第四个

球，放在三球的上方正中，设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质做成，其相互之间的最大静摩擦系数均为153(约等于0.775)，问R 取何值时，用手轻轻铅直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？【答案】 r )133

32(

R r )13

≤≤－

41. [摩擦力与转动]：一均质圆柱体的重量W ，

放在开口为90°的V 形槽中，如图所示，欲在此槽中转动此圆柱体，最小需作用一力偶矩m ，设圆柱体直径为D ，试求此圆柱体与V 形槽间的摩擦系数。【答案】

D D 2－±=μ

42. [捧子靠在墙角]：重W 的均匀棒AB 与墙壁、

地面之摩擦系数分别为21μ , μ。将AB 置于墙地之间而与地面成θ角时，木棒AB 恰欲开始下滑，求θ角为何？【答案】

1μ2μμ1tan －=

43. [摩擦力与转动]：如图A 、B 是两个带柄

和b)的完全相同的长方形物体，C 体，C 的质量为m 在倾斜角为θ的斜面上。A 、B 与C 之皆有摩擦，C 与A 或B 的静摩擦系数均为0μ，止状态。

(1)若一手握住a ，使A 不动，另一手握住b ，逐渐用力将B 沿倾斜角为θ的斜面上拉，当力增大到能使B 刚刚开始上移时，C 动不动？若动，如何动？

(2)此时A 与C 之间的摩擦力多大？

(3)若握住b 使B 不动，握住a 逐渐用力将A 沿倾斜角为θ的斜面往下拉，当A 开始移动时，C 动不动？若动，如何动？【答案】 (1)静止不动。

(2) ))sin (cos 2

(θθμ－o mg (3)C 与A 一起沿斜面向下移动。

44. [摩擦与斜面]：如图所示，底下有两个很短

的支脚的木板放在斜面上，下面和上面两个支撑脚与斜面的摩擦系数分别为21μμ和，问斜面与水平面的夹角α的最小值等于多少时木板开始沿斜面滑下？已知物体质量分布对称，重心到斜面的距离为h ，两脚之间的宽度为a 。

【答案】

))(()(tan 2121μμa

12μμα－－／+=

45. [摩擦与碗面]：如图所示，一均匀直棒倾斜

地放置在粗糙的半球形碗内，若由球心到直棒两端所张的圆心角为2α，而且棒与球碗表与间静摩擦系数为βμtan =，求水直棒与水平面间的倾斜角【答案】

)βαtan()βαtan(2

θtan －+=

46. [摩擦力与平衡]：如图所示，在倾

斜角为α和β的两个斜面之间放

有均质杆AB 。设2

βα=+，杆

与两斜面间的摩擦系数均为μ，求平衡时杆AB 与斜面OA 的来角θ

【答案】 (1)当μαθμαμα111tan 2tan 2tan 2－－－－＞≥≥∈+?

(2)当0θμ2αμ2α1≥≥+?≤tan tan －

47. [最大拉力]：一长度为L ，质量为m 的木

杆垂直竖立在水平地面上，杆的顶端被一条固定在地面上的绳索拉住，绳与杆之间的夹角为θ，如右图所示。已知木杆与地面之的静摩擦系数为2μ，回答下各题：

(a)在距地面高h 处，以一水平力F ，在木杆与绳子所构成的铅垂面内，向右拉

木杆，则欲使木杆维持不滑倒之F 力的最大值max F 可为多少？(讨论在不同h 处之最大拉力max F 。)

(b)设m=50.0kg ，，，，　L 5

h 30θ 300μo s ===.已知绳可维持1000N 之张力而不致于断裂，试求当施用最大拉力max F 时，地面作用于

木杆的正向力。【答案】

())

(tan )(?tan tan max h

L L

h L h μ1mg μF θ

μθ

h s s S －－當ａ

+<為最大張力其中當max T , θT h L F θu θL h sin tan tan m ax m ax =?+≥ (b)1356N N ; N 625F max ==

48. [推动与否]：如图所示，质量为M 的圆柱

体位于可动的平板车和倾斜角为α的斜面之间，圆柱体与小车间的摩擦系数为

1μ，与斜面之间的摩擦系数为2μ。要使

小车向左等速运动，必须对小车施加多大的水平推力？(

【答案】 (1)

若

0F μα

2=?>+cos sin

(2)若

∞=?+F μα

1α

2≤cos sin

(3)若∞=?+≥F α

1α

μ1cos sin

(4)若)sin )cos 1(1/(M cos 1sin 111α

μμαα

μx g F +=?+<－

49. [打铆钉]：用一力P=400N 迫使圆锥形铆

钉进入在固定物体上的相配合的锥孔之中。如果拔掉铆钉则需要用力N 300P '=。试计算铆钉与孔之间的摩擦系数。(提示：在铆钉运动之前与锥形铆钉表面垂直的正向力保持不变。) 【答案】 o 1tan 7μ=

50. [破冰船]：破冰船是靠本身的重量压碎周

围的冰块，同时应把碎冰块挤向船底，如困碎冰块仍挤在冰原与船帮之间，船帮由于受到巨大的侧压力而可能解体，为此，如图所示，船帮与铅垂面之间必须有一倾斜角θ，设船与冰块之的静摩擦系数为μ，问为使碎冰块能挤向船底，θ角应满足什么条件？

【答案】 tan μθ

51. [斜面上拉动]：重W 的物体放在倾斜角

为α的斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为μ，今在物体上用力为P 、P 可与斜面成任意角，如图所示。求拉动对象沿斜面上升所力P 的最小值及对应的θ 【答案】 μθtan =，()θαWSin P min +=

52. [越过圆捧体]：半径为r 和R 的两个圆柱，

置于同一水平粗糙的平面上，如图所示，在大圆柱上绕上细绳，在绳端作用一水平向右的力，求大圆柱有可能翻过小圆柱的条件。已知所有接触面的静摩擦系数为μ

【答案】

μs ≥

53. [在斜面上数动]：重5kgw 的小方块P

放在倾斜θ角的粗糙斜面上，斜面的AD 边平行于BC 边，今施一平BC 边的水平力F 于P 上，F 由0逐渐增

大，P 与斜面间静摩擦系数为0.6。

当P 刚开始要动起来时，F 又P 前进的方向与AB 边的交角为何？【答案】 1.483kgw ，33°34’

54. [在斜面上移动]：重为1kN 的物体放在倾斜

角为30°的斜面上，接触面之间的摩擦系数为

(摩擦角O 4.18φ=)。今有一与斜面平行并与最大倾斜线成30°角的力P 作用于物体上，使物体在斜面上保持静止，如图所示。求P 值的范围。

【答案】 N 4.577P N 7.288≤≤

55. [刚体平衡]：有一长为L ，重为W o 的均匀杆

AB 、A 端在垂直的粗糙墙壁上，杆端与墙面间的静摩擦系数为B ; μ端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C 点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ，如图所示则(1)求杆能保持平衡时μ与θ 应

满足的条件(2)杆保持平衡时，杆上有一点P 存在，若在A 点与P 点间任一点悬挂一重物，则当重物的重力W 足够大，总可以破坏平衡；而在P 点与B 点之任一点悬挂任意重力的重物，都不能使平衡破怀，求出这一P 点与A 点的距离。【答案】 (1) θμtan

(2) )θcot μ1/(L AP +=

56. [雪撬]：用两个〝爬犁〞（雪撬）在水平雪地上运送一根质量为m ，长为

的均匀横梁，横梁保持水平，简化示意如图，每个爬犁的上端A 与被

运送的横梁端头固连，下端B 与雪地接触，假设接触面积很小，一水平牵引力F 作用于前爬犁，作用点到雪地的距离用h 表示，已知前爬犁与地间的动摩擦系数1μ，后爬犁与雪地间的动摩擦系数为2μ，问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁雪地等速向前移动，h 应满足什么条件？水平牵引力F 应多大？设爬犁的质量可忽略不计。【答案】

mg h μμμμ21F ; μ21h 21211??

????+=≤

)()(－－

57. [斜面上任意平衡]：如图所示，一弹性轻绳固在一

粗糙斜面上，一端系有一重P 的物体A,置物斜面上,问物体能在斜面的哪一部分区域内静止？绳的弹力与形变关系服从虎克定律，设绳原长L ，弹力常数为k ，斜面倾斜角为α，最大静摩擦系数为μ。

【答案】 0

αμαP y x y αn i Ps L y x k 2L y x k

22222

2222222

≤++?

+++)cos (sin )()(－－－方程式：　

58. [摩擦力与转动]有一木板可绕其下端的水平轴转动，

转轴位于一铅直墙面上，如图所示，开始时木板与墙面的夹角为15°，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r ，在木板外侧加一力F 使其保持平衡，在木棍端面上画一垂直向上的箭头，已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦系数分别为

5770 31μ 001μ21./,.≈==，若极缓慢地减小

所加的力F ，使夹角慢慢张开，木棍下落，问当夹角张到60°时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表。

【答案】箭头最后指向为由正上方沿顺时针转过135°角之方向

59. [液体压力]：石头材质的水库底上有一棱长为

a=2公尺的立方体，其材料密度是水密度的7

倍。想用一装置把立方体从水库底提上来，该装置采用吸盘原理如图所示，即把一边长为a 的正方形吸盘紧扣在立方体的上表面，抽走吸盘内的空气

直至压力P=0。

能不能借这个装置把立方体拉到水面?如果不能，在什么

水深立方体脱离吸盘？已知大气压力P o

=105帕；g=10公尺／秒2。【答案】 H ＜2公尺

60. [液体压力]：如图所示，杯中盛有密度均匀的混合

液体，其密度为ρ，经过一段时间后变为密度为1ρ

和)ρρ(ρ122>的两层均匀液体。设其总体积不变，则杯内底面所受的液体的压力是否有变化?若有变，化如何变化？试证明你的结论。【答案】压力增加

61. [气体与压力]：有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球(布的质

量可忽略不计)，直径为d=2.0公尺，球内充有压力P o =1.005×105帕的气体，该布料所能承受的最大不被撕破力为8.5×103牛顿/公尺(即对于一块展平的一公尺宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103牛顿时，布料将被撕破)，开始时，气球被置于地面上，该处的大气压力为P ao =1.000×105帕，温度T o =293K ，假设空气的压力和温度均随高度而线性地变化，压力变化为αp =－9.0帕/公尺，温度的变化为αT =－3.0×10-3k/m ，问该气球上升到多高度时将破裂？假设气球上升很缓慢，可认为气球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压力的差别。【答案】 H>2.1×103m

62. [平衡态]：一边长为a 的均质立方体，放在一半径为

R 的球面上如图，R 应满足什么条件才能使其成为平衡？【答案】 R>a/2

63. [平衡态]：质量m 长b 的均匀细棒用一根不可伸长的绳拴在弹力常数为

k 的弹簧上。绳绕过一固定于P 点的光滑小滑轮，棒可无摩擦地绕A 自由转动，如图，πθπ<<－，当C=0时，弹簧为自然长度。假定b

【答案】 (1)ka=1/2mg ，随遇平衡

(2)ka<1/2mg πθ=?为稳定平衡，0θ=为不稳定平衡 (3)ka>1/2mg πθ=?为不稳定平衡，0θ=为稳定平衡

边始终平行于水面，试讨论：木料浮在水上(即部分在水面下方，部分在水面上方)平衡的条件？

(2)密度为ρ的液体中浮有一立方体形均质木块，该木块的边长为2a ，密度为ρ／2。若木块在平衡位置附近绕木块中心轴作一微小偏转，试讨论木块将如何运动，忽略水和空气的阻力。【答案】

65. [平衡态]：如图所示，浮子由两个半径为R

的球冠相合而成，质量为m 1，中心厚度为

)R 2(h <，长为L 质量为m 2

的均匀细杆从