立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）
BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?
同理，AD BD DE AB AE BE =?
?⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
A
E
D
B
C
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠= ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：
AD ⊥面SBC ．
证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC
BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：
AE ⊥平面PBC .
证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴
BC AC ⊥.
∵,PA AC A PA =? 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C = ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC .
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，
所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .
又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .
S
D
C
B
A
A
C
B
P
E
O
图
2
例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
证明：连结AC
B D A
C ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
???⊥BD A C A C BC A C BC D
11111同理可证平面
练习；
1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；
A
C
2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。
3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥EABD 的侧面积．
.
4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1的距离。
5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，P A＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
.
6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB.
(2)求证：A1F⊥BE.
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）
BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?
同理，AD BD DE AB AE BE =?
?⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
A
E
D
B
C
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠= ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：
AD ⊥面SBC ．
证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC
BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：
AE ⊥平面PBC .
证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴
BC AC ⊥.
∵,PA AC A PA =? 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C = ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC .
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，
所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .
又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .
S
D
C
B
A
A
C
B
P
E
O
图
2
例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
证明：连结AC
B D A
C ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
???⊥BD A C A C BC A C BC D
11111同理可证平面
练习；
1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；
A
C
2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；
证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.
又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 2
1，所以DC 1⊥DC . 又DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . 因为BC ?平面BCD ，所以DC 1⊥BC .
3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .
(1)求证：AB ⊥DE ；
(2)求三棱锥EABD 的侧面积． (1)证明：在△ABD 中，
∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， 设F 为AD 边的中点，连接FB ， ∴△ABF 为等边三角形， ∠AFB ＝60°，
又DF ＝BF ＝2，∴△BFD 为等腰三角形． ∴∠FDB ＝30°，故∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BD .又平面EBD ⊥平面ABD ， 平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ?平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .∵DE ?平面EBD ，∴AB ⊥DE .
(2)【解析】由(1)知AB ⊥BD ，∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，∴S △DBE ＝1
2DB ·DE ＝2 3. ∵AB ⊥平面EBD ，BE ?平面EBD ，∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4，
∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4.∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD .而AD ?平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝1
2AD ·DE ＝4.综上，三棱锥EABD 的侧面积S ＝8＋2 3.
4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1的距离。
6 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，P A＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
证明(1)∵P A⊥底面ABCD，∴CD⊥P A.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩P A＝A，
∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF綊1
2CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵P A＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面P AD，AG 平面P AD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB.
(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.2分
又因为DE?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.4分
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.6分
又A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.9分
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP.12分从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.14分
立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1） BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理，AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ． A E D B C
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证： AE ⊥平面PBC . 证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 是O e 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O e 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥. ∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC . 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD . 又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED . S D C B A A C B P E O g 图2
立体几何证明 【知识梳理】 1 ?直线与平面平行 判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行?（?'线线平行三线面平行”） 性质定理:如果一条直线和一个五f平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行?（“线面平行=线线平行”） 2??直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直三线面垂直”） 判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直三线线垂直） 性质2:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1.平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行亠面面平行”） 2两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直三面面垂直”） 忤质疋理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直=＞线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体ABCD-A/CD中,E、F分别为DD{. DB的中点。 (1)求证：EF//平面ABC}D{； (2)求证：平面BDG丄B】C EF丄§C; (3)求三棱锥B\—EFC的体积V. 2?如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形, 84 丄AD, CD 丄AD, CD = 2 AB. P4 丄底面AB CD、E 为PC 的中点，PA=AD=AB=1. (1)证明：EB//平面PAD ; (2) 证明：BE丄平面PDC ■, (3) 求三棱锥B-PDC的体积K 3、如图所示，在四棱锥BCD中，PA丄底面 A BCD, AB丄AD, AC 丄CD,Z ABC=60。，PA=AB= B C , E 是PC 的中点，证明： (1) AE丄CD ( 2 ) PD丄平面ABE?
立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.
立体几何平行、垂直问题【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题
一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直
线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中， ,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB
F D E C1 A1 C A 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角 三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == A B C A 1 B 1 C 1 M N
高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）
3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
A 0 A 0 A 0 (B 0 )A A (A 0)A 0B 0B 0B 0B 0B B B B B A A A A A A A αO A B C α O A B 1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内a α?（无数个公共点）；（2）直线和平面相交a A α=I （有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行//a α（没有公共点） 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行,,////l m l m l ααα??? 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这 条直线和交线平行推理模式：//,,//l l m l m αβαβ?=?I 4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 7．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： 8 斜线,垂线,射影 ⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影 直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上 9．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长；⑶垂 线段比任何一条斜线段都短 10．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐 角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。直线和平面所成角范围： [0， 2 π ] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 11 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式：,,,,PO O PA A a a OA a PA αααα⊥∈=?⊥?⊥I 12．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,,,PO O PA A a a AP a AO αααα⊥∈=?⊥?⊥I ． a P α O A β α m l
全方位教学辅导教案
5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥平面，且 PA AB =,点E 是PD 的中点。 ⑴求证：AC PB ⊥； ⑵求证：PB AEC ∥平面； 6、 如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝ AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC 。 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； 3、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将BCD 折起，使点C 移到点1C ，且
1C ABD O AB 在平面上的射影恰好在上。 11(2). BDC ⊥⊥1 1（）求证：AD BC 求证：面ADC 面 4、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 5、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. O B C 1 A D C
重点高中立体几何证明垂直的专题训练
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
3 P E D C B A 高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F ⊥平面PDC 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD E F B A C D P （第2
4 3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 形.PB PD ，E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ;（n 立体几何垂直总结 1线线垂直的判断: 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断: 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 (2) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 (3) 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 (4) 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 3、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法: 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是 AB 的中点。求证: （1）AB 平面 CDE;（ 2）平面 CDE 平面 ABC 。 BC 证明：（1） C AE AC BE CE AB 同理，AD BD DE AB AE BE 又??? CE DE ??? AB 平面 CDE (2)由(1)有 AB 平面CDE 又??? AB 平面ABC ， ???平面CDE 平面ABC C C P ABCD 的底面 是菱 ）求证：平面PAC 平
例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中 ACB 90o,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 证明：??? ACB 90 °BC AC 又SA 面ABC SA BC BC 面SAC BC AD 又S C AD,S C BC C AD 面SBC B 例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直 径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证: AE 平面PBC . 证明：??? PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA. 又??? AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角, BC AC. ??? PAI AC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC . ??? BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC . ??? PA AC，点E是线段PC的中点.??? AE PC . ??? PCI BC C , PC 平面PBC，BC 平面PBC . ??? AE 平面PBC . 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD是等腰梯形，AB // CD， / DAB= 60°，AE丄BD，CB= CD = CF.求证: BD丄平面AED; 证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，/ DAB = 60°所以/ ADC =/BCD = 120°. 又CB = CD，所以/ CDB = 30°, 因此/ ADB = 90°，即AD 丄 BD. 又AE 丄BD，且AEG AD = A，AE，AD?平面AED， 所以BD丄平面AED.
全方位教学辅导教案 线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 （1）定义： 如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直→线面垂直） 一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α. （3）性质定理：（线面垂直→线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） （2）二面角的平面角： 在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 围：000180θ<<. 3.面面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （2）判定定理：（线面垂直→面面垂直） 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直→线面垂直） 两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直. “垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
6、如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 2、如图，棱柱111 ABC A B C - 的侧面11 BCC B 是菱形， 11 B C A B ⊥ 证明：平面 1 AB C⊥平面 11 A BC； 3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点 1 C，且1 C AB D O AB 在平面上的射影恰好在上。 1 1 (2). BDC ⊥ ⊥ 1 1 （）求证：AD BC 求证：面ADC面
高中立体几何证明线线垂直方法 （1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若11PH AD FC == =，， 求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. （第2题图）
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为 PC 的中点, PA ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC （3）利用勾股定理 7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1 的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ； _ D _ C _ B _ A _ P A C B P
立体几何垂直的证明 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面 （2）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例2】在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点， 将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起，使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 【变式3】如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 o。 证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 【例3】在正方体 1111 ABCD A B C D -中，,求证： 11 AC BDC ⊥平面 【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1； B E ' A D F G
P C B A D E 【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的 中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ； 【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC = ()1求证：BD ⊥平面PAC ○ 2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。 【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且 PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?
立体几何垂直证明方法技巧授课教师：吴福炬
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明） 例1 在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形， 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中 点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起， 使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形， ∠P AC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 B E ' A D F G
方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1 1AC BDC ⊥平面 变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1 的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； 变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的
立体几何讲义(线面平行－垂直-面面垂直)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
D C A B B 1 A 1 C 1 立体几何讲义－－----线面平行,垂直，面面垂直 立体几何高考考点： 选择题：三视图 选择填空:球类题型 大题 （1）线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】 （2）异面直线的夹角 线面角 面面角（二面角) 【几何法、直角坐标系法】 (3)锥体体积 【找到一个好算的高,运用公式】 点面距离 【等体积法】 线面平行 1、如图所示,边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，Ｍ、Ｑ分别是PC ，AD 的中点.求证:PA ∥面BDM 2、如图,在直三棱柱A ＢＣ-Ａ1Ｂ１C 1中， D 为AC 的中点,求证:；平面D BC AB 11// ３、如图，正三棱柱111C B A ABC 的底面边长是2，侧棱长是＼ｒ(3），D 是A Ｃ的中点.求证://1C B 平面BD A 1. A B C A B C D
4、如图,在四棱锥Ｐ﹣AＢCＤ中,ABCＤ是平行四边形,Ｍ,N分别是AB,PC的中点,求证：MN∥平面PAＤ． 5、如图,PＡ垂直于矩形AＢCD所在的平面,AD=PＡ＝2,CＤ＝2，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE; 6、(2012·辽宁）如图，直三棱柱ＡＢC-A′B′Ｃ′，∠Ｂ AC=90°，ＡB＝AC＝错误!未定义书签。，AA′=1,点M、N分别为A′B 和Ｂ′C′的中点. 证明：MN∥平面A′ACＣ′; -中， ７、【２０15高考山东】如图,三棱台DEF ABC ，的中点. =，，分别为AC BC AB DE G H 2 BD平面FGH； (Ⅰ)求证：//
立体几何垂直总结 1线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、 线面垂直的判断： （1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是AB 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PB PD ， E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平 面 BDE . 证明：（1） BC AC CE AB 同理, AD AE BD BE DE AB AE BE 又??? CE DE E ??? AB 平面 CDE (2) 由 (1)有 AB 平面 CDE 又??? AB 平面 ABC ， ???平面 CDE 平面 ABC 的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。 C A B
例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC . 证明：：ACB 90 °BC AC 又SA 面ABC SA BC BC 面SAC BC AD 又SC AD, SC BC C AD面SBC 例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证： AE 平面PBC . 证明：??? PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA. 又??? AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角， ??? BC AC . v PAI AC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC . ??? BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC . v PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC . v PCI BC C, PC 平面PBC，BC 平面PBC . ??? AE 平面PBC . 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB= 60°, AE丄BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED; 证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60°， 所以/ ADC = / BCD = 120°. 又CB = CD，所以/ CDB = 30°, 因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD. 又AE 丄BD，且AE G AD = A，AE，AD?平面AED， ABCD是等腰梯形，AB // CD，
证明：（1） BC AC CE AB 同理, AD AE BD BE DE AB AE BE 又 ??? CE DE E ??? AB 平面 CDE (2) 由 (1)有 AB 平面 CDE 又??AB 平面 ABC ， ???平面 CDE 平面 ABC 立体几何垂直总结 1线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、 线面垂直的判断： （1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是AB 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PB PD ， E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平 面 BDE . 的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。 C A B
ABCD 是等腰梯形，AB // CD ， 例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC 中 ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面 SBC . 证明：：ACB 90 ° BC AC 又 SA 面 ABC SA BC BC 面 SAC BC AD 又 SC AD , SC BC C AD 面 SBC 例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直 径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC ,点E 是线段PC 的中点.求证： AE 平面PBC . 证明：??? PA eO 所在平面，BC 是eO 的弦，二BC PA. 又??? AB 是eO 的直径， ACB 是直径所对的圆周角， ??? BC AC . v PAI AC A, PA 平面 PAC ，AC 平面 PAC . ??? BC 平面 PAC ，AE 平面 PAC ，二 AE BC . v PA AC ，点E 是线段PC 的中点.二AE PC . v PCI BC C, PC 平面 PBC ， BC 平面 PBC . ??? AE 平面 PBC . 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB = 60°, AE 丄 BD ，CB = CD = CF.求证：BD 丄平面 AED ; 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB / CD ，/ DAB = 60°， 所以/ ADC = / BCD = 120°. 又 CB = CD ，所以/ CDB = 30°, 因此/ ADB = 90°，即AD 丄 BD. 又 AE 丄 BD ，且 AE G AD = A ，AE ，AD?平面 AED ，