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2011年中考数学一轮复习:锐角三角函数

2011年中考数学一轮复习:锐角三角函数

锐角三角函数

知识考点:

本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现,主要考查锐角三角函数的意义,即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比(a 为锐角),考查锐角三角函数的增减性,特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。

精典例题:

【例1】在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =12,BC =15。 (1)求AB 的长;

(2)求sinA 、cosA 的值; (3)求A A 2

2

cos

sin

+的值;

(4)比较sinA 、cosB 的大小。 分析:在Rt △ABC 中,已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理,再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA 、cosA 的大小,从而便可以计算出A A 2

2

cos

sin

+的大小,即可比较sinA 与cosB 的大小。

答案:(1)AB =13; (2)sinA =13

5,cosA =

13

12;

(3)1cos

sin

2

2

=+A A ; (4)sinA =cosB

变式:(1)在Rt △ABC 中,∠C =900

,5=

a ,2=

b ,则sinA = 。

(2)在Rt △ABC 中,∠A =900,如果BC =10,sinB =0.6,那么AC = 。 答案:(1)

3

5;(2)6

【例2】计算:0

20045sin 30cot 60sin +?

解:原式=2

)2

2(32

3+?=

2

12

3+=2

注意:熟记00、300、450、600、900角的三角函数值,并能熟练进行运算。

【例3】已知,在Rt △ABC 中,∠C =900

,2

5tan =

B ,那么cosA ( )

A 、

2

5 B 、

3

5 C 、

5

52 D 、

3

2

分析:由三角函数的定义知:

斜边

的对边A A ∠=cos ,又因为2

5tan =

B ,所以可设k A

C 5=,k BC 2=)0(>k ,

由勾股定理得k AB 3=,不难求出3

535cos =

=

k

k A

答案:B

变式:已知α为锐角,且5

4cos =

α,则ααcot sin += 。

2011年中考数学一轮复习:锐角三角函数

略解:可设α为Rt △ABC 的一锐角,∠A =α,∠C =900

∴AC =k 4,AB =k 5,则BC =k 3 ∴15

2934533453cot sin =+=+=

+k

k k

k αα

评注:直角三角形中,只要知道其中任意两边的比,可通过勾股定理求出第三边,然后应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值。

【例4】已知3cot tan =+αα,α为锐角,则αα22cot tan += 。 分析:由定义可推出1cot tan =?αα

∴723cot tan 2)cot (tan cot tan 2222=-=?-+=+αααααα 评注:由锐角三角函数定义不难推出1cos

sin

2

2

=+A A ,1cot tan =?αα,它们是中考中常用的“等式”。

探索与创新:

【问题】已知009030<<<βα,则αβαβcos 12

3cos )cos (cos 2-+-

--= 。

分析:α在00~900范围内,sin α、tan α是随α的增大而增大;cos α、cot α是随α的增大而减小。∴cos β-cos α

<0,又不难知道cos300=2

3,cos00=1,∴2

3cos -

β<0,αcos 1->0。

∴原式=αββαcos 12

3cos cos cos -+-

+-=

2

3

2-

变式:若太阳光线与地面成α角,300<α<450,一棵树的影子长为10米,则树高h 的范围是( )(取7.13=) A 、3<h <5 B 、5<h <10 C 、10<h <15 D 、h >15 略解:∵300<α<450

∴tan300<α<tan 450 而αtan 10=h

∴0

45tan 1030tan 10<

跟踪训练:

一、选择题:

1、在Rt △ABC 中,∠C =900,若4

3tan =

A ,则sinA =( )

A 、

3

4 B 、

4

3 C 、3

5 D 、

5

3

2、已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是( )

A 、600<α<900

B 、00<α<600

C 、300<α<900

D 、00<α<300

3、若1)10tan(30

=+α,则锐角α的度数是( )

A 、200

B 、300

C 、400

D 、500 4、在Rt △ABC 中,∠C =900,下列式子不一定成立的是( )

A 、cosA =cos

B B 、cosA =sinB

2011年中考数学一轮复习:锐角三角函数

C 、cotA =tanB

D 、2

cos

2

sin B A C +=

5、在Rt △ABC 中,∠C =900,3

1tan =

A ,AC =6,则BC 的长为( )

A 、6

B 、5

C 、4

D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米,则他上升的最大高度为( )

A 、β

sin 100米 B 、βsin 100米 C 、β

cos 100米 D 、βcos 100米

7、计算0

030cot 3

360cos +

的值是( )

A 、

2

7 B 、

6

5 C 、

2

3 D 、

2

23+

二、填空题:

1、若α为锐角,化简αα2

sin sin 21+-= 。

2、已知135cot cot 0=?β,则锐角β= ;若tan α=1(00≤α≤900

)则)90cos(0α-= 。 3、计算020*******sin 21cot 90cos 48tan 42tan 27sin +?-?+= 。 4、在Rt △ABC 中,∠C =900,若AC ∶AB =1∶3,则cotB = 。 5、△ABC 中,AB =AC =3,BC =2,则cosB = 。

6、已知,在△ABC 中,∠A =600,∠B =450

,AC =2,则AB 的长为 。 三、计算与解答题:

1、0

90cot 0cos 45tan 60cos 0tan 30sin 90sin ?-?+++; 2、△ABC 中,∠A 、∠B 均为锐角,且0)3sin 2(3tan 2

=-+-A B ,试确定△ABC 的形状。

3、已知0

60sin =a ,0

45cos =b ,求a

b b b

a b a -+-+2的值。

四、探索题:

1、△ABC 中,∠ACB =900,CD 是AB 边上的高,则

CB

CD 等于( )

A 、cotA

B 、tanA

C 、cosA

D 、sinA 2、如图,两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起,且它们的夹角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A 、

α

sin 1 B 、

α

cos 1

C 、αsin

D 、1

3、已知m =+ααc os sin ,n =?ααcos sin ,则m 与n 的关 系是( )

A 、n m =

B 、12+=n m

C 、122

+=n m

D 、n m 212

-=

4、在Rt △ABC 中,∠C =900,∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ,且满足02

2

=--b ab a ,则tanA 等于( )

α

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A 、1

B 、

2

5

1+ C 、

2

5

1- D 、

2

5

跟踪训练参考答案

一、选择题:DAAAD ,BC 二、填空题:

1、1-sin α;

2、550

,2

2;3、2;4、22;5、

3

1;6、31+

三、计算与解答题:

1、2;

2、等边三角形;

3、625+ 四、探索题:CACB

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