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广东省深圳市2016届高三下学期第一次调研考试数学(理)试题(解析版)

2016年深圳市高三年级第一次调研考试

数学（理科）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B = （） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B

【解析】{31}A x x =-≤≤，

∴{02}B x x =<≤，A B = {01}x x <≤．

2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ?=+，则z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】34i

43i i

z +=

=-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120

，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（）

A ．7-

B ．3-

C ．2

D ．3 【答案】D

【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，

∴2

()(2)2(21)λλλ+?-=-+-?a b a b a b a b ，

8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．

4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤??

--≤??≥?

则z x y =-的最小值为（）

A ．3-

B ．1

C ．2-

D ．2 【答案】C

5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C

【解析】∵2

316a a a =?，

∴2

111(2)(5)a d a a d +=?+， ∴2111(2)(5)a a a +=?+，即14a =． ∴10109

4101852

S ?=?+

?=．

6．若函数()2sin(2)()2f x x π

??=+<

的图像过点(,1)6

，则该函数图像的一条对称轴方程是（） A ．12

x π

= B ．512x π=

C ．6x π=

D ．3

x π= 【答案】D

【解析】∵()2sin(

)163f ππ

?=+=，∴1sin()32π?+=．

∵2π?<，5636

πππ?-<+<，

∴

?+=

，∴6

?=-

，()2sin(2)6

f x x π

∵()23

f π

=，故选D ．

7．2

(2)()x x x

+-的展开式中常数项为（）

A ．40-

B ．25-

C ．25

D ．55 【答案】B

【解析】6

1()x x

-的通项662166(1)(1)r r r r r r r

r T C x x C x ---+=-=-，

令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．

∴常数项为4433

66(1)2(1)25C C -+?-=-．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（） A

． B

． C ．6 D

．

【答案】D

【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，

如图，最长的边为PC =

C D A B P

9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（） A ．

49 B ．427 C ．964 D ．364

【答案】A

【解析】∵23

4344

C A P ==． 10．点S 、A 、B 、C

点S 到平面ABC 的距离为1

，AB BC CA === 则点S 与ABC ?中心的距离为（）

C ．1

D ．12

【答案】B

【解析】设球心为O ,ABC ?中心为1O ，

ABC ?

外接圆半径1r ==，

依题意，1OO ⊥平面ABC ，

∴11OO =

=．

作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212

O O =

， ∴2O 为1OO

的中点，∴1SO SO R ===

11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲

线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D

．

【答案】A

【解析】直线l 的方程为2b

y x b a

+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，

直线l 和直线b y x a =

b ≥， ∴2()14b a +≤，∴22

3c a a

-≤，∴12e <≤． 12．函数2

()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（）

A ． (0,1)

B ．(,1)-∞

C ．21(,)e e +-∞

D ．2

1(0,)e

e + 【答案】A

【解析】2

()ln 0f x x ax x =-+=，

得2ln 1x a x x =

+，令2ln 1

()x g x x x =+，则 2

12ln 1()x x x

x g x x x

?-'=-312ln x x x --=， O 2A

C B

O 1

令()12ln h x x x =--，则2

()10h x x

'=--

<， ∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，

∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <． ∵1

x e

时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >，综上，(0,1)a ∈．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3x f x g x +=，则(1)f 的值为______．【答案】

【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，

∵()()3x

f x

g x +=，

∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=???-+-=??，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=???-+=??

，∴1

343(1)23f -=

=． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近

圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______．（参考数据：sin150.2588=

，sin 7.50.1305=

）

【答案】24

【解析】由程序框图可知：

15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4

的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______．【答案】

【解析】直线AB 的方程为2

p y x =-

，由22

2(0)p y x y px p ?

=-???=>?

，得2220y py p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +=

=，003

p x y p =+=， ∴弦AB 的垂直平分线方程为3

()2

y p x p -=--， ∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)， ∴322p p -=

，∴45

p =． 16．数列{}n a 满足22

11,,

(2)2,.

n n n n n a n a n a a n ---?

[,)2

+∞

【解析】当212a <时，2224a ==，

∵2243a =<，∴2339a ==． ∵2394a =<，∴24416a ==．

若{}n a 为等比数列，则2

324a a a =，即2

9416=?，显然不成立，∴14a ≥．

当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．

若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，

即2

849=?，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2

339a ==，

若{}n a 为等比数列，则2

213a a a =，

即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故19

a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2

213a a a =．

∴1a 的取值范围是9

[,)2

+∞．

三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ?中，60C =

，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；

（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．

【解析】（1）在ABD ?中，31,20,21AB BD AD ===，

根据余弦定理，有

222cos 2AB BD AD B AB BD +-=?22231202123

2312031+-==??．

222

cos 2AB BD AD B AB BD

+-=?

（2）∵0B π<<

，∴sin 31

B ==

． ∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+

sin 60cos cos60sin B B =+

231312=

在ABC ?中，根据正弦定理，有

sin sin BC AB

BAC C

=∠∠,

∴31sin 35sin AB BAC

BC C

∠=

=∠．

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：

将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；

（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；

试比较哪种方案较好，并请说理由．

【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为： 0

3333127()()()4

P C C =+=

． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为

2732

．（2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，

用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，

2X 的分布列如下：

∴2()20000.99620000.012600E X =?+?=．

3X 的分布列如下：

∴3()00.74100000.25600000.013100E X =?+?+?=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好．

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=

，PA PB ⊥，2PC =．

（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；

（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.

【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==．

∵60ABC ∠=

，∴ABC ?是等边三角形．

∴CO AB ⊥

，OC = ∵PA PB ⊥，∴1

PO AB =

=． ∵2PC =，∴222

OP OC PC +=．∴CO PO ⊥．

∵AB PO O = ，∴CO ⊥平面PAB ．

∵CO ?平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）

∵2

11OP OA PA +=+==，

∴PO AO ⊥．

由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∴直线,,OC OB OP 两两垂直．

∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，

则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．

∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=

．

设平面APC 的法向量为(,,)x y z =m ，

由00

AP PC ??=???=?? m m

，得00y z z +=??-=，取1x =

，得(1,=m ，设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，

由00

PC DC ??=???=??

n n

，得020z y -==??，取1x =

，得(1=n ，

∴cos ,7

?<>=

?m n m n m n 由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --的的余弦值

．

已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>

的离心率为2

，直线0x y +=与椭圆E 仅有一个公共点

（1）求椭圆E 的方程；

（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ?面积的最大值．【解析】（1）

∵c e a ===∴22

2a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，

由22

2201

2x y x y b

b ?+=??+=??

，得223620x b ++-=

，∴2212(62)0b ?=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2

212

x y +=．（2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得2

23()32d +=

，解得d =．

当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l

的方程为x =．

由2212

x x y ?=±????+=??

，解得y =

，∴AB =

．∴12ABO S AB d ?=?= 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，

∴2d ==，∴223(1)4m k =+．由221

y kx m

x y =+???+=??，得222

1()2102k x kmx m +++-=． ∴222222

151(2)4()(1)4220222

k km k m k m ?=-+-=-+=

+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222

422

,2121

km m x x x x k k -+=-=++．

∴

AB =

= 令2

122t k =-

，则12t ≥-．

AB ==≤=

当且仅当3

t =

时，等号成立，

，∴当32t =时，即1k =±

时，max 1()2ABO S h ?==．

∵

82<，∴1k =±

时，max ()2

ABO S ?=．

21．（本小题满分12分）

已知函数()(1)x f x x e =+和函数2()()(1)x g x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数()g x 存在极值为2

2a ，求a 的值.

【解析】（1）()(2)x f x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-． ∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．

（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)x g x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0x f x x e =+≤． ①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴?唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ?中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．

（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；

（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．

【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠，

∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=

，

∴,,,C E F D 四点共圆．

（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，

∴BC 是 O 的切线，2

4DB DF DA =?=，即2BD =．

∴AB ==．

∵D 为BC 的中点，∴4BC =

，AC =

∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC AF AD ?=?．

∴12=,

即AE =

．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t α

=??

=?为参数，0)απ<<，以原点O 为

极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos p

p ρθ

=>-．

（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求

OA OB

的值．【解析】（1）由cos sin x t y t α

α=??=?

，得

当2

α=

时，直线为0x =，其极坐标方程为2

θ=和32

θ=

；当2

α≠

时，消去参数t 得tan y x α=?，

又0απ<<，

∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+

综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos p

ρθ

-，得cos p ρρθ-=，

∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得2

2()2

p y p x =+

．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，

由1cos p θα

ρθ=??

?=?-?，11cos p ρθ=

-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπ

ρθ=+??

?=?-?

，2

1cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴

111cos 1cos 2

OA OB p p p

θθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3()f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+

可化为138x x x ++-≥+，

∴1228x x x <-??

-≥+?，或1348x x -≤

228x x x ≥??-≥+?，

解得2x ≤-，或10x ≥，

∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞ ．

（2）∵()3f x x a x =++-

()(3)3x a x a ≥+--=+，

令35a +=，解得2a =，或8a =-．

宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<