“圆周运动的临界极值”模型
模型建构：
【模型】①竖直面内绳子拉小球的临界极值；②竖直面内光滑轨道的临界极值；③水平圆周运动的极值；④其它恒外力作用下圆周运动的极值。
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。
【特点】（1）如图1所示，没有物体支撑的小球，在
竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=
r
m v 2
临界
上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg ②能过最高点的条件：v ≥v 临界=rg
③不能过最高点的条件：v ①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v 临界=0 ②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是： 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg 当0 当v=rg 时，F N =0 当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大. ③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是 当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即F N =mg. 当0 图1 图 2 当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大 ④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界=gr 当v>rg 时，小球将脱离轨道做平抛运动。 模型典案： 【典案1】 如图3所示，两绳系一个质量为m=0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长L=2 m ，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ 〖解析〗两绳张紧时，小球受的力如图1-5-5所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值 （1）BC 恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速度为ω1,则有 F x =F 1sin30°=mω12Lsin30° ① F y =F 1cos30°-mg=0 ② 代入已知解①②得，ω1=2.40 rad/s. （2）AC 由拉紧转为恰好拉直，但F 1已为零，设此时的角速度为ω2,则有 F x =F 2sin45°=mω22Lsin30° ③ F y =F 2cos45°-mg=0 ④ 代入已知解③④得ω2=3.16 rad/s. 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s. 答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 点评：注意临界状态的选取,这是解答这类问题的关键. 【典案2】 如图4所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°.在距转动中心0.1 m 处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为 A.8 rad/s B.2 rad/s C.124rad/s D.60rad/s 〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则 μmg cos37°－mg sin37°=mω2r ω= r g ） （?-?37sin 37cos μ = 1 .06.08.08.010） （-?? rad/s=2 rad/s 所以，选项B 正确. 图 3 图4 说明：分析角速度最大时的临界条件，是求解这类极值的关键. 【典案3】 一根长为L 的均匀细杆可以绕通过其一端的 水平轴O 在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O 为a 处放有小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态，如图5所示.若此杆突然以角速度ω绕O 轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？ 〖解析〗物体相遇的条件是在相同的时间内物体的路程或位 移相等.本题中是物体自由下落的位移与由于杆的转动而引起的相同时间内的杆的两位置与B 所在竖直线交点间的距离相等，从图6（a ）中看出，此最大距离为BD 的长，即a tan θ1。 物体做自由落体运动，起始速度较小，速度逐渐变大.而杆在匀速转动，在相同时间内，BC 大于自由落体高度，当两者相等时则相遇，相遇的最大距离为BD ，即为ω的最大值. 若ω再增大时，当物体落至D 点时，杆已转过OD 位置，则此时不可能相碰. 但当ω再增大时，即在物体没有到达D 之前杆可能再次转入∠AOD 区域，这种情况下物体与杆也能相碰.这种情况相遇的最长时间是在D 点相遇，此时的ω为这种情况的最小值，只要ω大于该值均能在∠AOD 区域内相碰，如图6（b ）. 应用自由落体规律求出物体下落到D 点所用的时间，再由圆周运动求解出杆到OD 所用的时间.相遇则距离相等，同时还具有等时性. 小物体做自由落体运动，在时间t 内下落BC =a tan θ=2 1gt 2 此时A 点转过角度θ=ωt 由以上两式得ω= a g 2·θ θtan 可见在不同的角度θ时相遇要有不同的ω值，小物体追上杆的临界情况是在D 点相碰，所以有：BD =22a L -= 2 1gt 2 ω1t =arccos L a 消去时间t 有： ω1= 2g ·4221a L -arccos L a 若ω很大时，即转一圈后追上小物体并与小物体相碰，如图6（ b ）所示. 这时杆转过的角度θ2=arccos L a +2π 图 5 图6 所以ω2=t 2θ = 2 g 4 2 21 a L -（2π+arccos L a ） 此为第二种情况下相遇的最小角速度. 故物体与杆相遇的条件是：ω≤ω1或ω≥ω2. 〖点评〗（1）杆突然转动后，小木块做自由落体运动.如果在杆转动的时间t 内，杆端A 恰好转到小物体的正下方使小物体与杆端相碰，即杆转过θ角的时间与小物体自由下落高度h 的时间相等. 【典案4】 如图7所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A 和B ，相距0.1 m 、长1 m 的柔软细绳拴在A 上，另一端系一质量为0.5 kg 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧.把细线拉紧，给小球以2 m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做 圆周运动.由于钉子B 的存在，使线慢慢地缠在A 、B 上. （1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A 、B 上需要多长时间? （2）如果细线的抗断拉力为7 N ，从开始运动到细线断裂需 经历多长时间? 〖解析〗小球交替地绕A 、B 做匀速圆周运动，因线速度不变， 随着转动半径的减小，线中张力F 不断增大，半周期不断减小.推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间. 在第一个半周期内：F 1=m 02 L v t 1=v L 0π 在第二个半周期内：F 2=m AB L L v -02 t 2= v L L AB ） （-0π 在第三个半周期内：F 3=m AB L L v 202 - t 3= v L L AB ） （2π0- …… 在第n 个半周期内： F n =m AB L n L v ）（102 -- t n = []v L n L AB ）（1π0-- 由于AB L L 0=1 .01=10，所以n ≤10. （1）小球从开始运动到细线完全缠到A 、B 上的时间 图7 A L A B B L 0 t =t 1+t 2+…+t 10 =v π {10L 0－［1+2+3+…+（10－1）］L AB } = v π［10L 0－211010）（-?×0.1］≈8.6 s. （2）设在第x 个半周期时，F x =7 N 由F x =m AB L x L v ）（102 -- 代入数据后得x =8 则所经历的时间 t =v π［8L 0－2188）（-?L AB ］ = 2 π［8×1－2188） （-?×0.1］ s≈8.2 s. 说明：运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法.物理和数学是紧密联系的，应用数学知识处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求.因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解. 【典案5】 如图8所示，质量均为m 的A 、B 球分别固定在长为L 的轻杆的一端和中点（球可视为质点）.转至最高点A 球速度为v 时，AB 杆对A 球作用力刚好为零，在最高点， A 球速度为4v 时，O B 杆对B 球的作用力多大？ 〖解析〗当A 球速度为v 时，对A 球有 mg =m L v 2 当A 球速度为4v 时，B 球速度为2v ，对A 球有 F AB +mg =m L v 2 4） （ 对B 球有F OB +mg －F AB =m L v 2 122 ） （， 解得F OB =22mg . 答案：22mg 【典案6】如图9所示，长度为L=1.0m 的绳，栓着一质量 m=1kg 小球在竖直面内做圆周运动，小球半径不计，已知绳子 能够承受的最大张力为74N ，圆心离地面高度h=6m ，运动过程 中绳子始终处于绷紧状态 求：（1）分析绳子在何处最易断，求出线断时小球的角速度 （2）绳子断后小球平抛运动的时间及落地点与抛出点的水平 距离 〖解析〗在最低点绳子中的张力最大最容易断，即当绳子拉力达到为74N 时候，角速度达到最大值，这时拉力和重力的合力提供向心力。在绳子断开后，小球做平抛运动，初速 图8 m H 度为最低点的线速度。 且：平抛的高度是最低点到地面的距离H －r 解：（1）在最低点当拉力为74N 时。对小球由合力提供向心力得： r m mg T 2ω=- 得：s rad ml mg T /81 10 74=-=-= ω （2）在最低点以切线方向水平抛出 初速度 s m r v /80==ω 下落高度 m r H h 5=-= 飞行时间 s g h t 12== 水平距离 m t v x 80== 【典案7】如图11所示，匀速转动的水平圆盘上在离转轴某一距离处放一滑块，该滑块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不产生相对滑动，则在改变下列何种条件的情况下，滑块仍能与圆盘保持相对静止（ ） A.增大圆盘转动的角速度 B.增大滑块到转轴的距离 C.增大滑块的质量m D.改变上述任一条件的情况下都不可能使滑块与圆盘保持相对静止 解析:用ω、r 分别表示圆盘转动的角速度和滑块到转轴的距离，圆盘 对滑块的最大静摩擦力f m =kmg ① 滑块跟随圆盘的转动做匀速圆周运动，恰不发生相对滑动时，应有mω2r =f m .② 联立①②两式得:ω2r =kg ③ 由③式可知，滑块质量的大小不影响滑块是否能相对圆盘滑动.但若增大ω或r ，一定会使ω2r ＞kg ，滑块会做离心运动而相对圆盘滑动.因此，正确选项为C. 答案:C 【典案8】 如图12所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为2N ，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？g 取10m/s 2. 〖解析〗设物体 M 和水平面保持相对静止． 当ω具有最小值ω1时，M 有向圆心运动趋势，故水平面对M 的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力2N ． 隔离M 有： 代入数值得：ω1＝2.9rad/s 当ω具有最大值ω2时，M 有离开圆心趋势，水平面对M 摩擦力方向指向圆心，大小也为2N ． 隔离M 有 mg 图 10 图12 m M 代入数值得：ω2＝6.5rad/s 故ω范围是：2.9rad ／s ＜ω＜65rad ／s ． 〖点评〗圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题．对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况，从而建立方程求出。 【典案9】如图13所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4，圆环半径为R ，斜面倾角为θ=53°，s BC =2R 。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？ 〖解析〗小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F ，如图可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37o，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点时球与环的弹力恰好为零。 由圆周运动知识得：R v m F D 2= 即：R v m m g D 225.1= 由动能定理有： 2 2 1)37sin 2cot (43)37cos (D mv R R h mg R R h mg =?++?- ?--θ 联立可求出此时的高度h=10R 〖点评〗用极限法通过分析两个极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。当F 供=F 需时，物体做圆周运动；当F 供>F 需时物体做向心运动；当F 供 【体验1】如图15所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场 源A ，其电荷量Q = +4×10－ 3 C ，场源电荷A 形成的电场中各点的电势表达 式为r Q k U =，其中k 为静电力恒量，r 为空间某点到A 的距离．有一个质 量为m = 0.1 kg 的带正电小球B ，B 球与A 球间的距离为a = 0.4 m ，此时小球B 处于平衡状态，且小球B 在场源A 形成的电场中具有的电势能表达式 为r Qq k =ε，其中r 为q 与Q 之间的距离。有一质量也为m 的不带电绝缘 小球C 从距离B 的上方H = 0.8 m 处自由下落，落在小球B 上立刻也小球B 粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最 高点P 。（取g = 10 m/s 2，k = 9×109 N·m 2/C 2），求： (1)小球C 与小球B 碰撞后的速度为多少？ (2)小球B 的带电量q 为多少？ (3)P 点与小球A 之间的距离为多大？ (4)当小球B 和C 一起向下运动与场源A 距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？ 〖解析〗(1)小球C 自由下落H 距离的速度v 0 = gH 2 = 4 m/s 图13 图 14 图15 小球C 与小球B 发生碰撞，由动量守恒定律得：mv 0 = 2mv 1，所以v 1 = 2 m/s (2)小球B 在碰撞前处于平衡状态，对B 球进行受力分析知： 2a qQ k mg = 代入数据得：8109 4 -?=q C (3)C 和B 向下运动到最低点后又向上运动到P 点，运动过程中系统能量守恒，设P 与A 之间的距离为x ，由能量守恒得： x Qq k a x mg a Qq k mv +-=+?)(22212 1 代入数据得：x = (0.4＋5 2 ) m （或x = 0.683 m ） (4)当C 和B 向下运动的速度最大时，与A 之间的距离为y ，对C 和B 整体进行受力分析有：2 2y Qq k mg =，代入数据有：y = 52m （或y = 0.283 m ） 由能量守恒得： y Qq k y a mg mv a Qq k mv +--?=+?)(22212212 m 21 代入数据得：m/s 2816m -=v （或v m = 2.16 m/s ） 点评：此题是动量守恒和能量守恒与电学知识的综合。 【体验2】如图16所示，两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中，一长为 L 的绝缘细线一端固定在 O 点，另端栓着一个质量为 m ，带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一冲量后，它可绕 O 点在竖直平 面内作匀速圆周运动。若两板间电压增大为原来的 4 倍时，求： （1）要使小球从 C 点开始在竖直平面内作圆周运动，开始至少要给小球多大冲量？ （2）在运动过程中细线所受的最大拉力。 〖解析〗对本题的物理情景不难想象：一绳系带电小球在两板间原来的电场中作匀速圆周运动。后来两板间电压升高为4倍，小球仍在竖直面内作圆周运动。但这两情况下相应的物理条件是不同的，必须注意正确地把它们转化为具体的物理条件。 (1)设原来两极板间电压为U ，间距为 d ，小球电量为 q ，因小球开始能在电场中作匀速圆周运动，故小球所受电场力向上，并且和重力相等 所以小球带正电，且满足 qU /d = mg …① 当两板间电压增到 4U 时，设需在 C 点给小球的冲量为 I 才能使其在竖直平面内做圆周运动，并且 C 点就是小球做圆周运动的等效最高点，(即临界点)在等效最高点处小球的线速度最小，小球所受新的电场力与重力的合力恰好满足在该处作圆周运动的向心力，此时细线对小球的拉力为零(这是等效最高点的特点)，即： 2 43Uq v mg m mg d l -==………… ② ∴ v = I l =…… …③ （2）小球在最高点 D 时就是小球做圆周运动的等效最低点，小球在等效最低点处的线速度最大，所以细线 L 所受拉力最大，设拉力为T ，由牛顿第二定律，有： D 图16 24D v Uq T mg m d l +-= ……… …④ 小球C 点运动到D 点过程中，重力和电场力做功，根据动能定理，有： 2 22 121224mv mv l mg l d qU D -=?-?…⑤ 由②式得小球在等效最低点处的线速度 D v = ⑥ 将⑥式代入④式，得 T = 18 mg 【体验3】如图17所示，粗糙的水平绝缘轨道与竖直放置的光滑绝缘的圆形轨道平滑连接，处于水平方向的匀强电场中，圆形轨道的最低点有A 、B 两带电小球，中间压缩一轻弹簧，弹簧与A 、B 均不连接，已知A 、B 两球的质量均为m ，A 、B 两球均带正电，电量均为q ，A 球与水平轨道间的动摩擦因数为μ，μ=0.6，电场强度mg E q = ，圆形轨道半径为R ，由静止释放AB 后，B 恰能做完整的圆周运动。假定A 、B 球不再 碰撞。求：从释放开始到A 在水平轨道上运动的速度大 小为其被释放时速度大小的一半时所需要的时间。（不计A 、B 间的静电作用，设弹簧弹力足够大，且作用时 间极短） 〖解答〗：根据带电小球B 恰能做完整的圆周运动，因qE mg =，则小球能通过复合场中的物理最高点P （如图）。 设经过轨道上的P 点的速度为v ，由小球B 的重力和电场力的合力提供向心力有： 2 v F m R = =合…………① 在圆周轨道的最低点弹簧将A 、B 两球向左、右弹开，设弹开时A 、B 两球的速度大小分别为v A 、v B ，由动量守恒有：A B mv mv =，即A B v v =…………② 小球B 从圆周轨道的最低点运动到P 的过程中，由动能定理有： 22 11(1sin 45)cos 4522 o o B mgR qER mv mv -+-= -③ 由①②③求得：A B v v == ④ A 球向左弹开后在水平面上作匀减速运动，当速度减为0时，由于电场力qE mg =大于摩擦力0.6mg ，将向右匀加速运动，因此，小球A 的速度大小减为2A v ，有两种情况：一是匀减速过程速度减为2A v ，另一情况是向右加速过程速度等于2A v ，设相应经历的时间分别为t 1、t 2。 对第一种情况，由动量定理有：1()2 A v qE mg t m m +=………⑤ 由④⑤两式得：1()t s = = 对第二种情况，设球A 弹开后到速度减为零的时间为/ 2t ， 图17 图18 此后再经时间// 2t 速度增大为2A v ，同样由动量定理有： A mv t mg qE =+/2)(μ⑥ 2 )(// 2A v m t mg qE =-μ ⑦ 则所求时间为t 2为：// 2/22t t t +=⑧ 由④⑥⑦⑧四式解得： 【体验4】风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l 的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图20所示），当小球静止在A 点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求： ⑴ 水平风力的大小； ⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？ （3）小球静止在A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ 〖解析〗 ⑴参照图20，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cosα． ⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图21所示的坐标系：在x 轴方向，当Fcosβ >mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ 21 sin (1cos )2 Fl mgl mv αα--= 根据动能定理得: tan F mg v α== 将代入可解得（3）如图22所示，小球必须能通过B 点才能做完整的圆周运动，设通过B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零。 222 min min 11 2cos cos 22v mg mg m l mv mv l v αα==-= (1)(2) 由(1)(2)可解得: 【体验5】小球A 用不可伸长的细绳悬于O 点，在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速度释放，绳长 为L ， 为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，如图23所示。试求d 的取值范围。 〖解析〗为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，则小 图22 F 图20 图21 m 球在D 对绳的拉力F 1应该大于或等于零，即有： d L v m m g D -≤2 根据机械能守恒定律可得[])(2 12d L d mg mv D --= 由以上两式可求得： L d L ≤≤5 3 【体验6】如图24所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L>2πR ）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V 0，才能使列车通过圆形轨道？ 〖解析〗列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最 小值V ，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械 能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有： gR R vV Lv .2.2 121220πλλλ+= 要使列车能通过圆形轨道 则必有v>0 解得L g R v π20> 【体验7】如图25所示，在质量为M 的电动机上，装有质量 为ｍ的偏心轮，偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大? 〖解析〗设偏心轮的重心距转轴ｒ，偏心轮等效为用一长为ｒ的细杆固定质量为ｍ(轮的质量)的质点，绕转轴转动，如图4-3-7，轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心 轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即： F =M ｇ 根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F =M ｇ，其向心力为： F +mg =m ω2r 由①②得偏心轮重心到转轴的距离为： r =(M +m )g /(m ω2) ③ 当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大． 对偏心轮有：F '-mg =m ω2r ④ 对电动机，设它所受支持力为F N ，F N =F '+Mg ⑤ 由③、④、⑤解得F N =2(M +m )g 由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2(M +m )g 【点评】本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰；先以电动机为研究对象，再 图 24 以偏心轮为研究对象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找出最高点和最低点这两个临界状态． 【体验7】如图26所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L =0.8m 的细绳，一端固定在O 点，另一端系一 质量为m =0.2kg 的小球，沿斜面作圆周运动，试计算： （1）小球通过最高点A 的最小速度；（2）小球通过最 高点的最小速度。 （3）若细绳的抗断拉力为F max =10N ，小球在最低点B 的最大速度是多少？ 〖解析〗（1）小球在最低点时的等效重力为G=mgsin α 小球在最高点A 速度最小。 s m gL gL v A /2sin min ===α （2）根据动能定理：222 1212sin A B mv mv L mg -= ?α 当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小 解得最低点速度的最小值是s m v Bm /52= （3）若绳子的抗断拉力为10N ，根据牛顿第二定律 R v m mg F 2 sin =-α 解得小球在最低点B 的最大速度是v BM =6m/s 高一物理（必修2）测试试卷 （匀速圆周运动 离心现象） 测试时间：120分钟 满分：100分 班级__________姓名__________成绩__________ 一、选择题（每题3分，共36分） 1． 关于匀速圆周运动的下述说法中正确的是 （ ） （A ）角速度不变 （B ）线速度不变 （C ）是匀速运动 （D ）是变速运动 2．如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它的边 缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则 （ ） （A ）a 点与b 点线速度大小相等 （B ）a 点与c 点角速度大小相等 （C ）a 点与d 点向心加速度大小相等 （D ）a 、b 、c 、d 四点，加速度最小的是b 点 3．如图所示，水平转台上放着A 、B 、C 三个物体，质量分别为2m 、m 、m ，离转轴的 距离分别为R 、R 、2R ，与转台间的摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中，正确的是 （ ） （A ）若三个物体均未滑动，C 物体的向心加速度最大 （B ）若三个物体均未滑动，B 物体受的摩擦力最大 （C ）转速增加，A 物比B 物先滑动 （D ）转速增加，C 物先滑动 4．小球m 用长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方L/2处有一个光滑钉子C ，如图 所示，今把小球拉到悬线成水平后无初速度地释放，当悬线成竖直状态且与钉子相碰时 （ ） （A ）小球的速度突然增大 （B ）小球的角速度突然增大 （C ）小球的向心加速度突然增大 （D ）悬线的拉力突然增大 5．用材料和粗细相同、长短不同的两段绳子，各栓一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么 （ ） （A ）两个球以相同的线速度运动时，长绳易断 （B ）两个球以相同的角速度运动时，长绳易断 （C ）两个球以相同的周期运动时，长绳易断 （D ）无论如何，长绳易断 6．质量为m 的飞机，以速率v 在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动，空气对飞机的作用力的大小等于 （ ） （A ）2 22 )(r v g m + （B ）r v m 2 （C ）2 22)(g r v m - （D ）mg 7．火车在倾斜的轨道上转弯，弯道的倾角为θ ，半径为R ，则火车内、外轨都不受轮边缘挤压时的转弯速率是 （ ） （A ）θsin gR （B ）θcos gR （C ）θtan gR （D ） θcot gR 8．内壁光滑的圆锥筒固定不动，其轴线竖直，如图所示，有两个质量相同的小 球A 和B 紧贴内壁分别在图示所在的水平面内做匀速圆周运动，则 （ ） （A ）A 球线速度必定大于B 球的线速度 （B ）A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力 （C ）A 球角速度必定大于B 球的角速度 （D ）A 球的运动周期必定大于B 球的运动周期 9．木块从半球形的碗边开始下落，若不计一切摩擦，则在木块下滑的过程中 （ ） （A ）木块的加速度指向球心 （B ）碗对它的弹力不断增加 （C ）它所受的合力大小不变、方向不断改变 （D ）它所受的合外力大小变化，方向逐渐指向圆心 10．A 、B 两人分立于如图所示的位置上，人A 沿顺时针方向 做匀速圆周运动，人B 沿逆时针方向做匀速圆周运动，则人B 观察到人A 的即时速度的方向是 （ ） （A ）斜向右上方 （B ）斜向下 （C ）水平方向 （D ）斜向左上方 11．如图所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A 和B ，相距20cm ，用一根长为1m 的细绳，一端系一只质量0.4kg 的小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球与钉子A 、B 均在一条直线上（图示位置），然后使小球以2m/s 的速率，开始在水平面上做匀速圆周运动，若绳子能承受的最大拉力是4N ，则从开始运动到绳断经历的时间是 （ ） （A ）πs （B ）1.2πs （C ）1.4πs （D ）1.6πs 12．汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端栓一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平面上匀速行驶时弹簧的长度为L 1，当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧的凸形桥的最高点时弹簧的长度为L 2，下列说法中正确的是 （ ） （A ）L 1 =L 2 （B ）L 1 >L 2 （C ）L 1 （A）B物体运动时，其线速度的大小不变 （B）B物体运动时，其角速度不变 （C）A物体运动时，其角速度不变 （D）A物体运动时，其线速度随r的增大而减小 二、填空题（每题4分，共24分） 15．一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，则环上M、 N两点的线速度的大小之比v M∶v N =__________；角速度之比ωM∶ωN =__________；周期之比T M∶T N =__________。 16．电风扇在闪光灯的照射下运转，闪光灯每秒钟闪光30次，风扇的 叶片有三个，均匀安装在转轴上，当转动时，如果观察者感觉叶片不动，则风扇的转速是__________转/分；如果观察者感觉叶片有六个，则风扇的转速是__________转/分（电动机的转速每分钟不超过1400转）。 17．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，已知甲、乙质量之比为1∶2，圆周的半径之比为2∶3，当甲转过24圈时，乙转过了16圈，则甲、乙两物体所受合外力之比是________。18．用细绳栓一个小筒，盛0.5kg的水后，使小筒在竖直平面做半径为60cm的圆周运动，要使小筒过最高点时水不致流出，小筒过最高点的速度应是__________。当小筒过最高点的速度为3m/s时，水对筒底的压力是__________。（g=10m/s2） 19．自行车在半径为R的弯道上顺利通过，车与地面间最大摩擦因数为μ，车速和车身的倾斜程度都受到摩擦因数的影响，自行车转弯时的最大速度为___________，车身的倾斜角是__________。 20．溜冰者做半径为r的匀速圆周运动，所允许达到的最大速率为v，当溜冰者以2v的速率做匀速圆周运动时，圆周运动的半径不会小于__________。 三、计算题（每题8分，共40分） 21．如图所示，是水平放置的纸圆筒的截面图，圆筒的半径为R，以角速度ω顺时针转动，子弹以某速度水平射向纸筒，在纸筒上留下两个弹孔a、b，若∠aob为?，则子弹的速度的最大值是多少？ 22．如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一 小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周的最高点相碰，则Q球的角速度ω满足什么条件？ 23．用长为L的细绳栓住一个质量为m的小球，如图所示，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向成θ角，求小球做匀速圆周运动的周期及细绳对小球的拉力。 24．小球被绳子牵引在光滑水平的板上做匀速圆周运动，其半径R=30cm，速率v=1.0m/s，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动。 求（1）实现这一过渡所经历的时间 （2）新轨道上小球的角速度是多少？ 25．如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有一入口A，在入口A的正下方h 处还有一个出口B，质量为m的小球，从入口A沿切线方向的水平槽射入圆筒内，要使小球能从B孔飞出，小球从A口进入的速度v0应满足什么条件？在运动过程中小球对圆筒的 压力是多大？ 26．（选做）如图所示，在光滑水平面上有一质量不计的弹簧，劲度为k，原长为x0，一端固定在桌面上，另一端栓一质量为m的小物体，要使小物体在弹簧作用下以速度大小为v 绕固定点做匀速圆周运动，物体运动时。 求（1）弹簧的长度 （2）小物体的运动周期 27．（选做）匀速行驶的拖拉机的前轮的直径为0.8m，后轮的直径为1.25m，两车轮的轴的水平距离为2m，某时刻从前轮边缘的最高点A处水平飞出一个小石块，0.2s后从后轮的最高点B处也水平飞出一个小石块，这两个小石块先后落在地面上同一点，求拖拉机行驶 时的速度大小。 28．（选做）水平圆盘绕竖直轴水平转动，圆盘的半径为R，A、B两物体的质量分别为M、m（M>m），两物体与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的k倍，A、B间的连接的轻绳的长度为L，并且刚好伸直。A在转轴的位置，要使两物体不产生相对滑动，转盘的最大角速度是多少？ 29．（选做）水平匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线连接的质量均为m的A、B 两个小物块，A离轴心的距离为r1=20cm，B离轴心的距离为r2=30cm，A、B与盘面间的最大静摩擦力均为其重力的0.4倍。 求（1）细线上没有张力，圆盘转动的角速度应满足什么条件？ （2）A、B不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？ 30．（选做）如图所示，轻杆长度为3L，A球质量为m，B球质量为3m，距A球L处的O点装在水平轴上，杆在竖直面内转动。 求（1）若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴的受力大小及方向。（2）杆的转速逐渐增大，转到竖直位置时，水平轴不受力，则A、B球的速度各多大？ 31．（选做）如图所示电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后以角速度 匀速转动，转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力之差是多少？ 32．（选做）如图所示圆柱形屋顶中心的天花板上的O 点，挂一根长L=3m 的细绳，挂一个m=0.5kg 的小球，绳承受的最大拉力为10N ，小球在水平面内做圆周运动，速度逐渐增大到绳被拉断后，小球以v=9m/s 的速度落在墙角，求这个圆柱形房屋的高度H 和半径R 。 试卷（二）参考答案 一、选择题 1．AD 2．CD 3．AD 4．BCD 5．BC 6．A 7．C 8．AD 9．BD 10．D 11．C 12．B 13．ABC 14．B 二、填空题 15．3∶1；1∶1；1∶1 16．600或1200；300或900 17．3∶4 18．6m/s ；2.5N 19．gR μ；tan θ=μ 20． 4r 三、计算题 21．?πω-R 2 22．h g n 2)14(2+π n=0，1，2，…… 23．g l θπ cos 2；θcos mg 24．（1）0.4s ；（2）1.2rad/s 提示：放长绳子后，小球先做匀速直线运动；小球在新轨道上做匀速圆 周运动的线速度为V ， =Vcos530 =0.6m/s 25．h g R n 2π n=0，1，2，……；h Rg m n 222π 26．（1） k kmv x k kx 242 2 020++；（2） )4(22 020kmv x k kx kv ++π 27．5m/s 提示：设拖拉机的速度为V ，A 、B 两处两石块的平抛速度为2V 28． ml m M g ) (+μ 提示：A 受最大静摩擦力时，转盘的角速度最大 29．（1）3.6rad/s 提 示：B 受最大静摩擦力时，细线的张力为零；（2）4rad/s 提示：A 受最大静摩擦力时，转盘的角速度最大 30．（1）9mg ；方向向下；（2）v A =52 gl ；v B =5 4gl 提示：水平轴不受力时，B 球在上，A 球在下 31．r m 2 2ω 32．3.3m ；4.8m 提示：绳被拉断的瞬间，小球的线速度为V 0=s m /45 圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N 变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小， 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2R ＝(2 000×10－2 000×102 90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥 摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B B ．角速度ωA ＞ωB C ．向心力F A ＞F B D ．向心加速度a A ＞a B 解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合 ＝mg tan θ，由F ＝F 合＝mg tan θ＝mω2 r ＝m v 2 r ＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr tan θ 和ω＝ g r tan θ 知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错． 答案 A 三、火车转弯 1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支 持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力． 例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不 同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ， 如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg cos θ 1 圆周运动的临界问题 一 ．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最 大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m r v 2 ，静摩 擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 二 与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。若圆盘从静止 开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( ) A ．b 一定比a 先开始滑动 B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等 C ．ω＝ l kg 2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝l kg 32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC 解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。 它们所需的向心力由F 向＝mω2r 知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起 2 绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝ l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝l kg 32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝3 2 kmg ，选项D 错误 【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( ) A ．O B 绳的拉力范围为 0～3 3 mg B ．OB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg C ．AB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg D ．AB 绳的拉力范围为0～3 3 2mg 答案 B 解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝ 3 3 mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝ 332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～3 3 2mg ，AB 绳 圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 2.竖直平面内作圆周运动的临界问题 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。 １．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 （注意：绳对小球只能产生拉力） （1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用 mg =2 v m R v 临界 （2）小球能过最高点条件：v （当v （3）不能过最高点条件：v （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） （1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力） （2）当0< v F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v 时，F =0 （4）当v F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力） 注意：管壁支撑情况与杆一样。杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论． （3）拱桥模型 如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v =rg 时，F N =0，物体将飞离最高点做平抛运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s = 2R 。 a b 图6-11-2 b 《圆周运动中的临界问题》教学设计 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1.通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问 题的解题步骤； 2.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问 题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1.重点 a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2.难点 a 竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课 六、教学设计 (一)预习案 1.公式默写 角速度： 2v t T r θπ ω=== 线速度： 运行周期： 向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1. 圆周运动问题的解题步骤 例、例. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴 OO ′转动， 小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要 使A 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 2s r v r t T πω===22r T v ππω==22222222444n v r a r v n r f r r T πωωππ======22 222222444n n v F ma m m r m v mr n mr f mr r T πωωππ====== = 竖直平面内的圆周运动 竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类” 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： (1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道) 对小球没有力的作用，v gR = (2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0 v= (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： ①当0 v=时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N mg =； ②当0v gR << 2 v mg N m R -=,则 2 v N mg m R =-. 轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0 mg N >>．③当v gR0 N=； ④当v gR 2 v mg N m R +=，即 2 v N m mg R =-， 杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v gR应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做 圆周运动则可将上述的g换成g 月，若在其他天体上则把g换成g 天体 . 图1 图2 图3 图4 圆周运动的临界问题 【例1】如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。如图通过最高点为9m/s ，求绳子的拉力和水对桶底的 压力。（g 取10N/kg ） 【答案】拉力105N 方向向下 压力84N ，方向向下 【练习1】如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是 A ．图象函数表达式为mg l v m F +=2 B ．重力加速度l b g = C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线B 点的位置不变 答案:BD 【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在 转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r .物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能随盘转动. 【正解】由于A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A 所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心. 当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即 F＋F m′＝m21ωr ① 由于B静止，故 F＝mg ② 由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即 F m′＝μF N＝μmg ③ 由①②③式解得ω1＝r （μ+ g/） 1 当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为 ωr ④ F－F m′＝m2 2 由②③④式解得ω2＝r （μ-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足 1 g/） -≤ω≤r 1 （μ + g/） r （μ g/） 1 【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力. 【例3】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m 的细线相连接的A、B两小物块．已知A距轴心O的距离r l =0.2m，A、B的质量均为m =1kg，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（g 取10m/s2)．试求： ω为多大？ （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度 （2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？ 【练习2】如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍。现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（）A．B受到的静摩擦力一直增大 B．B受到的静摩擦力是先增大后减小 C．A受到的静摩擦力是先增大后减小 D．A受到的合外力一直在增大 答案：D 《圆周运动中的临界问题》教学设计 高一物理组龙 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1. 通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问题的解题步骤； 2. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1. 重点 a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2. 难点 a竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课六、教学设计 (一) 预习案 1.公式默写 角速度： 线速度： 运行周期： 向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1.圆周运动问题的解题步骤 例、例. 如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 小组讨论，得出结果，并归纳总结出圆周运动解题步骤。 解：A物体不下落，说明静摩擦力等于重力，A随着转动过程中，支持力提供向心力 即 且 联立解得 v1.0 可编辑可修改 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大 (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2 R ＝(2 000×10－2 000×102 90 ) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对 桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心 力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2 R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B 【二】重难点提示： 重点： 1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源； 2. 会用极限法分析临界条件。 难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。 【一】水平面内圆周运动临界产生原因 1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。 2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。 【二】水平面内圆周运动的两种模型 1. 圆台转动类 小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如下图，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力〔设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕提供小物块做圆周运动所需的向心力。水平面 内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为〝圆台转动类〞。 g ，当ω<ωmax时， 临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝ R 小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。 以下图均为平台转动类 甲乙丙 2. 火车拐弯类 如下图，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力。圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为〝火车拐弯类〞。 临界条件：假设v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨； 假设v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；假设v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。 火车转弯问题类变形： 1 2 3 4 5 【方法指导】临界问题解题思路 1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。 2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 3. 对研究对象进行受力分析。哪些力存在临界？〔摩擦力、弹力〕 4. 运用平行四边形定那么或正交分解法〔取向心加速度方向为正方向〕求出向心力F 。 5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。 例题1 如下图，半径为4 l 、质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a 、b 连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A 、B 两点上，A 、B 两点相距为l ，当两轻绳伸直后，A 、B 两点到球心的距离均为l 。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时〔细绳a 、b 与杆在同一竖直平面内〕。求： 〔1〕竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆。 〔2〕小球离开竖直杆轻绳a 的张力Fa 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。 思路分析：〔1〕小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a 与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝41，r ＝ 4 l 沿半径：Fasin α＝m ω2r 垂直半径：Facos α＝mg 联立解得ω＝2 l g 15 1 〔2〕由〔1〕可知小球恰离开竖直杆时，Fa ＝ 15 4mg 课题28圆周运动中的临界问题 一、竖直面内圆周运动的临界问题 (1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或 恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠ Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 3 10，则有关小球能够上升到最大高 度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为g v 220 B 、可能为3 R C 、可能为R D 、可能为 3 5R 【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为 桥面不能对汽车产生拉力． （2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力） ②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0 ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心） 典例讨论 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程 【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO / 旋转，现将轻质弹簧的一端固定 O O R R 圆周运动中的临界问题 一、水平面圆周运动的临界问题 关于水平面匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为 o 30与o 45，问球的角速度在什么围，两绳始终紧， 当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？ 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0 并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。（2/10s m g =） 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 C 图1 图2 二、竖直平面圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面光滑轨道侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。 临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力） 刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即r v m mg 2 0=， gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。 （1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力） （2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面做圆周运动，要让小球在竖直平面做完整 的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（2/10s m g =） 2、轻杆模型过最高点 如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。 圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg ②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0 ④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A 、a 处为拉力，b 处为拉力 B 、a 处为拉力，b 处为推力 C 、a 处为推力，b 处为拉力 D 、a 处为推力，b 处为推力 图 1 v 0 图 2 图 3 例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A 、6.0N 的拉力 B 、6.0N 的压力 C 、24N 的拉力 D 、24N 的压力 例3 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？ 图 5 C 图 6 圆周运动中的临界问题 一、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的就是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要就是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力与摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示,两绳系一质量为kg m 1.0=的小球, 上面绳长m l 2=,两端都拉直时与轴的夹角分别为 o 30与o 45,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧, 当角速度为s rad /3时,上、下两绳拉力分别为多大？ 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体,M 的中心与圆孔距离为m 2.0, 并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2,现让此平面 绕中心轴匀速转动,问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。(2/10s m g =) 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 二、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点与最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。 临界条件:假设小球到达最高点时速度为0v ,此时绳子的拉力(轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即 r v m mg 2 0=,gr v =0,式中的0v 就是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。 (1)0v v = (刚好到最高点,轻绳无拉力) C 图1 图2 圆周运动中的临界问题 教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 一、 有关概念 1、向心加速度的概念 2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 （1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： v 0 图4－2－2 图4－2－3 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m R v 2 v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）. （2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）； ②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大. v 杆 图42 4 图4－2－5 若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力. 例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况 下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力， 小于 5 m ／s 时受压力。 解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和 向上的支持力N a 图 4 3.23物理一轮复习：高考研究（二）圆周运动及其临界问题 高考研究(二 )圆周运动及其临界问题 圆周运动的临界问题，一般有两类：一类是做圆周运动的物体，在某些特殊位置上，存在着某一速度值，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动，此速度即为临界速度；另一类是因为某种原因导致物体的受力发生变化，其运动状态随之变化，对应物 体出现相应的临界状态。 竖直平面内的圆周运动——轻绳模型及其临界问题 题型简述 如图所示，轻绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动，或者小球在竖直放置的 光滑圆弧形轨道内侧运动。该题型的特点是小球到达最高点时没有物体支撑 小球，而轻绳或轨道对小球只能有向下的拉力或弹力。 方法突破小球做圆周运动，只要所受合外力恰好提供其做圆周运动的向心力，它便能 沿着原轨道继续运动，而绳或轨道内侧对小球只能有向着圆心的拉力或弹力， 最小拉力为零。 (1)恰能过最高点的临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用，mg ＝m v 临界2R 得v 临界＝Rg 。 (2)能过最高点的条件：v ≥v 临界，当v >Rg 时，绳对小球产生拉力，轨道对球 产生压力。 (3)不能过最高点的条件：v 竖直平面内的圆周运动及临界问题 【夯实基础】 1．如图所示圆轨道AB是竖直平面内的四分之一圆周， 在B点的轨道切线是水平的，一质点自A点从静止开始下滑， 不计摩擦和空气阻力，则质点刚要到达B点时的加速度大小 是多大？滑过B点的加速度是多大？ 2．(多选)长为L的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,关于小球在最高点的速度v,下列说法中正确的是() A.当v的值为gL时,杆对小球的弹力为零 B.若v由gL逐渐增大,则杆对小球的拉力逐渐增大 C.若v由gL逐渐减小,则杆对小球的支持力逐渐减小 D.当v由零逐渐增大时,向心力也逐渐增大 3．如图所示，小物块位于半径为R的半球顶端，若给小物块以水平初速度v0时，物块对球恰无压力，则下列说法不正确的是( ) A．物块立即离开球面做平抛运动 B．物块落地时水平位移为 2 R C．初速度v0＝gR D．物块落地速度方向与地面成45°角 【考点突破】 【例1】(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水 平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)， 现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动， v0应当满足(取g＝10 m/s2)() A．v0≥0 B．v0≥4 m/s C．v0≥2 5 m/s D．v0≤2 2 m/s 【练习】(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可 以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如 图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则() A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态 B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力 差越大 C．当v0>6gl时，小球一定能通过最高点P D．当v0 学科教师辅导讲义 前情回顾 体系搭建 突破一平抛运动中的临界问题 1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。 3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。 【例1】 (2015·新课标全国卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h 。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。不计空气的作用，重力加速度大小为g 。若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( ) A. L 1 2g 6h ＜v ＜L 1g 6h B. L 1 4 g h ＜v ＜（4L 2 1＋L 2 2）g 6h C. L 1 2 g 6h ＜v ＜12（4L 2 1＋L 2 2）g 6h D. L 1 4 g h ＜v ＜12 （4L 2 1＋L 22）g 6h 规律总结 处理平抛运动中的临界问题要抓住两点 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题。 【变式训练】 1.(多选)如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外马路宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球 离开屋顶时的速度v 0的大小的可能值为(g 取10 m/s 2 )( ) 课时跟踪训练（十）圆周运动的两种模型和临界问题 A级—学考达标 1.如图所示，物块(质量为m)随转筒一起以角速度ω做匀速圆周运动， 下列说法正确的是( ) A．物块受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 B．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，那么物块所 受摩擦力增大 C．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，物块所受摩擦力减小 D．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，物块所受摩擦力不变 解析：选 D 因为物块始终随转筒做匀速圆周运动，所以物块受重力、摩擦 力和筒壁的支持力。向心力为效果力，物块不受向心力，故A错误。因为物块在 竖直方向上处于平衡状态，所以f＝G，N＝mrω2，当ω增大时，N增大，f不变， 故B、C错误，D正确。 2.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上 随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为 0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)( ) A．1 rad/s B. 2 rad/s C. 3 rad/s D．3 rad/s 解析：选B 对A有μ1m A g≥m Aω2r，对A、B整体有(m A＋m B)ω2r≤μ2(m A＋m B)g，代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故B正确。 3.如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运 动，则下列说法中正确的是( ) A．小球在最高点时的向心力一定等于重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL D．小球过最低点时绳子的拉力可能小于小球的重力 解析：选C 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球在最高点的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，满足一定的条件时绳子的拉力可以为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝gL，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D错误。圆周运动中的临界问题和周期性问题
圆周运动的实例及临界问题
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
圆周运动的临界问题
高中物理圆周运动中的临界问题分析教案教学设计
圆周运动脱轨和临界问题(教案)
圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题分析+教案+教学设计
圆周运动的实例及临界问题
专项：圆周运动中的临界问题探究1水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(讲义)
圆周运动中的临界问题专题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中临界问题
高考研究(二) 圆周运动及其临界问题
圆周运动中的临界问题讲义
高三-平抛运动、圆周运动的临界问题(学)
新教材高中物理 课时跟踪训练(十)圆周运动的两种模型和临界问题 新人教版必修第二册
相关主题
文本预览